線性變換練習題

線性變換復習練習題線性變換習題一、填空題1.設是P3的線性變換，(a,b,c)(2bc,a4b,3a)，a,b,cP，1(1,0,0),2(0,1,0),3(0,0,1)是P3的一組基，則在基1,,下的矩陣為23_______________，又123P3,則()_________。2.設A為數域P上秩為r的n階矩陣，定義n維列向量空間Pn的線性變換：()A，Pn，則dim1(0)＝，dim(Pn)＝。,,1123.設P上三維列向量空間V的線性變換在基3下的矩陣是201，則12121,,3下的矩陣是在基21。假如矩陣A的特點值等于，則隊列式|AE|。4.211=15.設A=121，(X)AX是P3上的線性變換，那么的零度=。1126.若APnn，且A2E，則A的特點值為。7.在P[x]n中，線性變換D(f(x))f'(x)，則D在基1,x,x2,L,xn1下的矩陣為。在P22中，線性變換:A10在基10018.AE1,E2,2000000000E3,E4下的矩陣是。10013219.設A502的三個特點值為1，2，3，則1+2+3=，114=。12310.數域P上n維線性空間V的全體線性變換所成的線性空間L(V)為維線性空間，1/10線性變換復習練習題它與同構。11.已知n階方陣A知足A2A，則A的特點值為。12.已知3階矩陣A的特點值為1,2,3,則|A|。13.設為數域P上的線性空間V的線性變換,假如單射,則1(0)=。14.設三階方陣A的特點值為1,2,-2,則|2A|=。15.在P[x]n中，線性變換D(f(x))f'(x)，則D在基1,2x,3x2,L,nxn1下的矩陣為。aaa11a1213,16.已知線性變換在基1,2,3下的矩陣為a21a23，則在基3,1下的矩222aaa313233陣為。,,11217.設P上三維列向量空間V的線性變換3下的矩陣是201，則在基12121在基2,1,3下的矩陣是。18.設線性變換在基1,11在基2,2的矩陣為，線性變換1下的矩陣為01101,2下的矩陣為.，那么在基1119.已知n階方陣A知足A2A，則A的特點值為。20.已知線性變換在基矩陣為在R3中，若向量組t。

aaa,,111213aaa3,2,1下的123下的矩陣為212223，則在基aaa313233。1(1,t1,0)，2(1,2,0)，3(0,0,t21)線性有關，則2/10線性變換復習練習題21122.若線性變換在基1,2,3下的矩陣為011，則在基3,2,1下的矩陣為121矩陣為。23.若APnn，且A2E，則A的特點值為。3/10線性變換復習練習題二、選擇題1.以下哪一種變換必定是向量空間Fxn的線性變換（）。A．C．

fxfxxfxfx

B．fxfxdxD．fxf2xfx2.當n階矩陣A合適條件（）時，它必相像于對角陣。A．A有n個不同樣的特點向量B．A是三角矩陣C．A有n個不同樣的特點D．A是可逆矩陣值3.設是向量空間V上的線性變換，且22，則的所有特點值為（）。A．2B．0，2C．0D．0，2，14.設是3維向量空間上的變換，以下中是線性變換的是（）。A．x1,x2,x3=132333B．x1,x2,x3=2x1x2,x2x3,x3x,x,xC．x1,x2,x3=cosx1,sinx2,0D．123=12,0,0x,x,xx5.設1,2,L,r是向量空間V的線性有關的向量組，是V的一個線性變換，則向量組,12,L,r在下的像(1),(2),L,(r)（）。A．線性沒關B．線性有關C．線性有關性不確立D．所有是零向量6.n階方陣A有n個不同樣的特點值是A可以對角化的（）。A．充要條件B．充分而非必需條件C．必需而非充分條件D．既非充分也非必需條件7.設是向量空間V的線性變換且2，則的特點值（）。A．只有1B．只有1C．有1和1D．有0和118.假如方陣A與對角陣D1相像，則A10=（）。1A.EB.AC.ED.10E9.設A、B為n階矩陣，且A與B相像，E為n階單位矩陣，則（）。A．EAEBB．A與B有同樣的特點向量和特點值C．A與B相像于同一個對角矩陣D．AB10.設4級矩陣A與B相像，B的特點值是1，2，3，4，則A的隊列式是（）。A．-24B．10C．24D．不可以確立4/10線性變換復習練習題是n維線性空間V的線性變換,那么以下說法錯誤的選項11.設是（）。A.是單射Ker(){0}B.是滿射Im()VC.是雙射Ker(){0}D.是雙射是單位照耀設A為3階矩陣,且AE,AE,A2E均不可以逆,則錯誤的選項12.是（）。A.A不相像于對角陣B.A可逆C.|AE|0D.|AE|0設A為3階矩陣,且其特點多項式為f()(1)(1)(2),則錯誤的選項是13.（）。A.A相像于對角陣B.A不可以逆C.|AE|0D.|AE|014.n維線性空間V的線性變換可以對角化的充要條件是（）。A．有n個互不同樣的特點向量B．有n個互不同樣的特點根C．有n個線性沒關的特點向量D.不存在n個互不同樣的特點根15.設是3維向量空間上的變換，以下中是線性變換的是（）。A．x,x,x=x3,x3,x3B．x,x,x=2xx,x5x,6x12312312312233C．x1,x2,x3=cosx,x,0D．x1,x2,x3=x12,0,x321216.設是向量空間V上的線性變換，且2E，則的所有特點值為（）。A．2B．-1，1C．0D．0，2，117.n維線性空間V的線性變換可以對角化的充要條件是（）。A.有n個互不同樣的特點向量B.有n個互不同樣的特點根C.有n個線性沒關的特點向量D．是可逆線性變換18.2.設矩陣A的每行元素之和均為1，則()必定是A23A2E的特點值。C.2D.319.設是3維向量空間上的變換，以下中是線性變換的是（）。A．23B．x1,x2,x3=2x1,x2x3,x3x2x1,x2,x3=x1,x2,x3C．x1,x2,x3=cosx12,sinx3D．123=x12,x2,0,sinxx,x,x20.設L(V)，則以下各式建立的是（）。A.dimImdimKernB.ImKerVC.ImKerVD.ImIKer{0}5/10線性變換復習練習題三、計算題設R[x]3表示實數域上的次數小于3的多項式，再添上零多項式組成的線性空間，而f1(x)1x，f2(x)1x2，f3(x)x2x2是R[x]3的一組基，線性變換知足f1(x)2x2，f2(x)x，f3(x)1xx2（）求在已知基下的矩陣；（2）設f(x)12x3x2，求f(x)。2.設是二維列向量空間P2x111的線性變換：設xP2，定義xx211

。x（1）求值域P2的基與維數；（2）求核1(0)的基與維數。1113.設線性變換在基1,2,3下的矩陣是A222111（1）求矩陣A以及線性變換的特點值與特點向量；（2）判斷能否可以對角化（即線性變換能否在某組基下的矩陣為對角形），若不可以對角化，說明原因；若可以對角化，求可逆1AT為對角形。陣T，使T1114.令R3表示實數域R上的三元列向量空間，令A111，若R3，作變換222()A。（1）證明為R3上的線性變換；（2）求ker()及其維數；（3）求Im()及其維數。1215.設矩陣A000，000（1）求A的特點值和特點向量；（2）求可逆矩陣P，使P1AP為對角矩陣。110106.令R3表示實數域R上的三元列向量空間，A011，10，21，121006/10線性變換復習練習題31）

100

。若11,22,31，證明1,2,3為R3的一組基；233,,（2）求1,2,3到123的過渡矩陣；（3）若R3，作變換()A，證明為R3上的線性變換；4）求ker()及其維數；5）求Im()及其維數。7.設是R3的線性變換,(x1,x2,x3)(x12x2x3,x2x3,x1x22x3)。（1）求ker()及其維數；（2）求Im()及其維數。1118.設線性變換在基1,2,3下的矩陣是A222。111（1）求矩陣A以及線性變換的特點值與特點向量；（2）判斷能否可以對角化（即線性變換能否在某組基下的矩陣為對角形），若不可以對角化，說明原因；若可以對角化，求可逆陣T，使T1AT為對角形矩陣。1119.令R3表示實數域R上的三元列向量空間，令A012，若R3，作變換123()A。（1）證明為R3上的線性變換；（2）求ker()及其維數；（3）求Im()及其維數。100,10.設12,3為V的基，且線性變換在此基下的矩陣為A350。361（1）求的特點值與特點向量；（2）求可逆矩陣T，使T1AT是對角矩陣。7/10線性變換復習練習題11211.設三維線性空間V的線性變換在基1,2,3下的矩陣為A011。101（1）求的值域及其維數；（2）求的核及其維數。設R[x]3表示實數域上的次數小于3的多項式，再添上零多項式組成的線性空間，而f1(x)1x，f2(x)1x2，f3(x)x2x2是R[x]3的一組基，線性變換知足f1(x)2x2，f2(x)x，f3(x)1xx2（1）求在已知基下的矩陣；（2）設f(x)12x3x2，求f(x)。13.給定P3的兩組基1(1,0,1),2(2,1,0),3(1,1,1)；1(1,2,1),2(2,2,1),3(2,11)。定義線性變換：ii,i1,2,3。（1）,,3到基1,2,3的過渡矩陣；寫出由基12（2）寫出在基1,2,3下的矩陣；,（3）寫出在基1,23下的矩陣。32114.設線性變換在基1,2,3下的矩陣是A222,求可逆矩陣T,使得361T1AT為對角形矩陣。10115.設A020。101（1）求A的所有特點值；（2）求A的屬于每個特點值的特點向量；（3）求一個可逆矩陣X，使X1AX為對角形。12216.設L(V)，且在V的基1,2,3下的矩陣A=224。問242能否可以對角化(2)若能對角化，求出V的一個基，使在此基下的矩陣為對角矩陣。17.設數域P上三維線性空間V的線性變換在基1,2,3下的矩陣A

460350。3618/10線性變換復習練習題（1）求在基1212,22123，3123下的矩陣；（2）設1223，求在基1,2,3下的坐標。9/10線性變換復習練習題四、證明題1.設是數域F上的n維向量空間V的線性變換，又1,2,,n是V的一個基，證明。VL1,2,Ln2.設，都是向量空間V的線性變換，S是，的不變子空間，證明S也是的不變子空間。3.設是數域P上線性空間V的線性變換且2。證明：（1）的特點值為1或0；（2）1(0){()|V}；（3）V1(0)(V)。4.設W1,W2是向量空間V的兩個子空間，是V的一個線性變換，證明：若W1,W2都是的不變子空間，則W1W2也是的不變子空間。5.設是向量空間V的一個線性變換，W1,W2都是的不