高中數(shù)學(xué)第三單元三角恒等變換33三角函數(shù)的積化和差與和差化積學(xué)案-6416

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3。3三角函數(shù)的積化和差與和差化積學(xué)習(xí)目標(biāo)1.認(rèn)識利用兩角和與差的正弦、余弦公式導(dǎo)出積化和差、和差化積兩組公式的過程.2.理解在推導(dǎo)積化和差、和差化積公式中方程思想、換元思想所起的作用。知識點(diǎn)一積化和差公式思慮依照兩角和與差的正、余弦公式把以低等式補(bǔ)充完滿。sin(α＋β)＋sin(α－β）＝________________；②sin(α＋β)－sin(α－β）＝________________；③cos(α＋β)＋cos（α－β)＝________________；cos（α＋β)－cos(α－β)＝________________.在上述四個(gè)等式兩邊同乘以錯(cuò)誤!,等號兩端互換，就可以得出四個(gè)相應(yīng)的積化和差公式.梳理積化和差公式1)sinαcosβ＝________________________________.2）cosαsinβ＝________________________________.(3）cosαcosβ＝________________________________。(4）sinαsinβ＝________________________________。知識點(diǎn)二和差化積公式思慮在四個(gè)積化和差公式中，若是我們令α＋β＝θ，α－β＝φ，則α＝________,β＝________，由此可以得出四個(gè)相應(yīng)的和差化積公式，請你試一試寫出這四個(gè)公式：sinθ＋sinφ＝________________;sinθ－sinφ＝________________;cosθ＋cosφ＝________________________;cosθ－cosφ＝________________________.梳理和差化積公式1）sinx＋siny＝2sin錯(cuò)誤!cos錯(cuò)誤!，（2）sinx－siny＝2cosx＋ysin錯(cuò)誤!，23)cosx＋cosy＝2cos錯(cuò)誤!cos錯(cuò)誤!，（4）cosx－cosy＝－2sinx＋ysin錯(cuò)誤!。21學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精種類一利用積化和差與和差化積公式化簡求值例1求值：sin20°cos70°＋sin10°sin50°。反思與感悟套用和差化積公式的要點(diǎn)是記準(zhǔn)、記牢公式，為了可以把三角函數(shù)式化為積的形式，有時(shí)需要把常數(shù)第一化為某個(gè)角的三角函數(shù),爾后再化積，有時(shí)函數(shù)不同樣名,要先化為同名再化積，化積的結(jié)果能求值則盡量求出值來。追蹤訓(xùn)練1求值:cos20°＋cos60°＋cos100°＋cos140°。種類二三角恒等式的證明例2在△ABC中，求證:sin2A＋sin2B＋sin2C＝4sinAsinBsinC。反思與感悟在運(yùn)用積化和差求值時(shí),盡量出現(xiàn)特別角，同時(shí)注意互余角、互補(bǔ)角的三角函數(shù)間的關(guān)系.追蹤訓(xùn)練2已知A＋B＋C＝π,求證：sinA＋sinB－sinC＝4sin錯(cuò)誤!sin錯(cuò)誤!cos錯(cuò)誤!。2學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1。sin75°－sin15°的值為(）1A。2B。錯(cuò)誤!C。錯(cuò)誤!D.－錯(cuò)誤!2。sin15°cos165°的值是（）A.錯(cuò)誤!B。錯(cuò)誤!C。－錯(cuò)誤!D。－錯(cuò)誤!3.sin105°＋sin15°等于(）A.錯(cuò)誤!B。錯(cuò)誤!C。錯(cuò)誤!D.錯(cuò)誤!4.sin37.5°cos7.5°等于(）A。錯(cuò)誤!B.錯(cuò)誤!C.錯(cuò)誤!D。錯(cuò)誤!在△ABC中，若B＝30°，求cosAsinC的取值范圍.本節(jié)學(xué)習(xí)了積化和差公式、和差化積公式,必然要清楚這些公式的形式特色，理解公式間的關(guān)系。2。和差化積、積化和差公式不要求記憶，但要注意公式推導(dǎo)中應(yīng)用的數(shù)學(xué)思想方法,同時(shí)注意這些公式與兩角和與差公式的聯(lián)系.3學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點(diǎn)一思慮①2sinαcosβ②2cosαsinβ③2cosαcosβ④－2sinαsinβ梳理(1)錯(cuò)誤![sin（α＋β)＋sin(α－β)]2)錯(cuò)誤!［sin(α＋β）－sin（α－β)］(3）錯(cuò)誤![cos(α＋β)＋cos（α－β)］4)－錯(cuò)誤![cos(α＋β)－cos(α－β）]知識點(diǎn)二思慮錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!2sin錯(cuò)誤!cos錯(cuò)誤!2cos錯(cuò)誤!sin錯(cuò)誤!2cos錯(cuò)誤!cos錯(cuò)誤!2sin錯(cuò)誤!sin錯(cuò)誤!題型研究例1解sin20°cos70°＋sin10°sin50°＝錯(cuò)誤!（sin90°－sin50°)－錯(cuò)誤!（cos60°－cos40°)＝錯(cuò)誤!－錯(cuò)誤!sin50°＋錯(cuò)誤!cos40°＝錯(cuò)誤!－錯(cuò)誤!sin50°＋錯(cuò)誤!sin50°＝錯(cuò)誤!.追蹤訓(xùn)練1解原式＝cos20°＋錯(cuò)誤!＋（cos100°＋cos140°)cos20°＋錯(cuò)誤!＋2cos120°cos20°cos20°＋錯(cuò)誤!－cos20°＝錯(cuò)誤!。例2證明左邊＝sin2＋sin2＋sin2CAB2sin錯(cuò)誤!cos錯(cuò)誤!＋sin2C2sin(A＋B）cos（A－B)－2sin（A＋B）·cos（A＋B）＝2sinC[cos(A－B)－cos(A＋B）]2sinC·(－2）sin錯(cuò)誤!·sin錯(cuò)誤!4sinAsinBsinC＝右邊．所以原等式成立．追蹤訓(xùn)練2證明∵左邊＝sin(B＋C)＋2sin錯(cuò)誤!cos錯(cuò)誤!2sin錯(cuò)誤!cos錯(cuò)誤!＋2sin錯(cuò)誤!·cos錯(cuò)誤!2cos錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!4學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精π－AB＝2cos2·2sin2cos錯(cuò)誤!4sin錯(cuò)誤!sin錯(cuò)誤!cos錯(cuò)誤!＝右邊．∴原等式成立．當(dāng)堂訓(xùn)練1．B2.C3.C4.C5．解由題意，得cosAsinC＝錯(cuò)誤!［sin(A＋C)－sin(A－C）］＝錯(cuò)誤!［sin(π－B)－sin（A－C）］114－2sin(A－C)．∵－1≤sin（A－C)≤1，∴－錯(cuò)誤!≤錯(cuò)誤!－錯(cuò)誤!sin（A－C）