專題19 圓錐曲線解答題-【2023高考必備】2013-2022十年全國高考數(shù)學(xué)真題分類匯編（全國通用版）（解析版）

2013-2022十年全國高考數(shù)學(xué)真題分類匯編專題19圓錐曲線解答題一、解答題1．(2022年全國甲卷理科·第20題)設(shè)拋物線焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，過F的直線交C于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí)，．(1)求C的方程；(2)設(shè)直線與C另一個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當(dāng)取得最大值時(shí)，求直線AB的方程．【答案】(1)；(2)．解析：(1)拋物線的準(zhǔn)線為，當(dāng)與x軸垂直時(shí)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為p，此時(shí)，所以，所以拋物線C的方程為；(2)設(shè)，直線，由可得，，由斜率公式可得，，直線，代入拋物線方程可得，，所以，同理可得，所以又因?yàn)橹本€MN、AB的傾斜角分別為，所以，若要使最大，則，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)最大時(shí)，，設(shè)直線，代入拋物線方程可得，，所以，所以直線．【題目欄目】圓錐曲線\拋物線\直線與拋物線的綜合問題【題目來源】2022年全國甲卷理科·第20題2．(2022年全國乙卷理科·第20題)已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸、y軸，且過兩點(diǎn)．(1)求E的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足．證明：直線HN過定點(diǎn)．【答案】(1)(2)解析：設(shè)橢圓E的方程為，過，則，解得，，所以橢圓E的方程為：．【小問2詳解】，所以，①若過點(diǎn)的直線斜率不存在，直線．代入，可得，，代入AB方程，可得，由得到．求得HN方程：，過點(diǎn)．②若過點(diǎn)的直線斜率存在，設(shè)．聯(lián)立得，可得，，且聯(lián)立可得可求得此時(shí)，將，代入整理得，將代入，得顯然成立，綜上，可得直線HN過定點(diǎn)【題目欄目】圓錐曲線\橢圓\直線與橢圓的綜合問題【題目來源】2022年全國乙卷理科·第20題3．(2022新高考全國II卷·第21題)已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線方程為．(1)求C的方程；(2)過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)在C上，且．過P且斜率為的直線與過Q且斜率為的直線交于點(diǎn)M．從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立：①M(fèi)在上；②；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)(2)見解析解析:(1)右焦點(diǎn)為，∴,∵漸近線方程為，∴，∴，∴，∴，∴．∴C的方程為：；(2)由已知得直線的斜率存在且不為零，直線的斜率不為零，若選由①②推③或選由②③推①：由②成立可知直線的斜率存在且不為零；若選①③推②，則為線段的中點(diǎn)，假若直線的斜率不存在，則由雙曲線的對(duì)稱性可知在軸上，即為焦點(diǎn),此時(shí)由對(duì)稱性可知、關(guān)于軸對(duì)稱，與從而，已知不符；總之，直線的斜率存在且不為零．設(shè)直線的斜率為,直線方程為,則條件①在上，等價(jià)于；兩漸近線方程合并為,聯(lián)立消去y并化簡整理得：設(shè),線段中點(diǎn),則,設(shè),則條件③等價(jià)于,移項(xiàng)并利用平方差公式整理得：，,即,即；由題意知直線的斜率為,直線的斜率為,∴由,∴,所以直線的斜率,直線,即,代入雙曲線的方程,即中，得：,解得的橫坐標(biāo)：,同理：，∴∴,∴條件②等價(jià)于，綜上所述：條件①在上，等價(jià)于；條件②等價(jià)于；條件③等價(jià)于；選①②推③:由①②解得：,∴③成立；選①③推②：由①③解得：，，∴，∴②成立；選②③推①：由②③解得：，，∴，∴，∴①成立．【題目欄目】圓錐曲線\雙曲線\直線與雙曲線的綜合問題【題目來源】2022新高考全國II卷·第21題4．(2022新高考全國I卷·第21題)已知點(diǎn)在雙曲線上，直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，直線的斜率之和為0．(1)求l斜率；(2)若，求的面積．【答案】(1)；(2)．解析：(1)因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，解得，即雙曲線易知直線l的斜率存在，設(shè)，，聯(lián)立可得，，所以，，．所以由可得，，即，即，所以，化簡得，，即，所以或，當(dāng)時(shí)，直線過點(diǎn)，與題意不符，舍去，故．(2)不妨設(shè)直線的傾斜角為，因?yàn)?，所以，?1)知，，當(dāng)均在雙曲線左支時(shí)，，所以，即，解得(負(fù)值舍去)此時(shí)PA與雙曲線的漸近線平行，與雙曲線左支無交點(diǎn)，舍去；當(dāng)均在雙曲線右支時(shí)，因?yàn)?，所以，即，即，解?負(fù)值舍去)，于是，直線，直線，聯(lián)立可得，，因?yàn)榉匠逃幸粋€(gè)根為，所以，，同理可得，，．所以，，點(diǎn)到直線的距離，故的面積為．【題目欄目】圓錐曲線\雙曲線\直線與雙曲線的綜合問題【題目來源】2022新高考全國I卷·第21題5．(2021年新高考全國Ⅱ卷·第20題)已知橢圓C的方程為，右焦點(diǎn)為，且離心率為．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)M，N是橢圓C上的兩點(diǎn)，直線與曲線相切．證明：M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線的充要條件是．【答案】解析:(1)由題意，橢圓半焦距且，所以，又，所以橢圓方程為；(2)由(1)得，曲線為，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線，不合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，必要性：若M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線，可設(shè)直線即，由直線與曲線相切可得，解得，聯(lián)立可得，所以，所以,所以必要性成立；充分性：設(shè)直線即，由直線與曲線相切可得，所以，聯(lián)立可得，所以，所以，化簡得，所以，所以或，所以直線或，所以直線過點(diǎn)，M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線，充分性成立；所以M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線的充要條件是．【題目欄目】圓錐曲線\橢圓\直線與橢圓的綜合問題【題目來源】2021年新高考全國Ⅱ卷·第20題6．(2021年新高考Ⅰ卷·第21題)在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、，點(diǎn)的軌跡為．(1)求的方程；(2)設(shè)點(diǎn)在直線上，過兩條直線分別交于、兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)，且，求直線的斜率與直線的斜率之和．【答案】解析：因?yàn)?，所以，軌跡是以點(diǎn)、為左、右焦點(diǎn)的雙曲線的右支，設(shè)軌跡的方程為，則，可得，，所以，軌跡的方程為；(2)設(shè)點(diǎn)，若過點(diǎn)的直線的斜率不存在，此時(shí)該直線與曲線無公共點(diǎn)，不妨直線的方程為，即，聯(lián)立，消去并整理可得，設(shè)點(diǎn)、，則且．由韋達(dá)定理可得，，所以，，設(shè)直線的斜率為，同理可得，因?yàn)?，即，整理可得，即，顯然，故．因此，直線與直線的斜率之和為．【題目欄目】圓錐曲線\雙曲線\雙曲線的幾何性質(zhì)【題目來源】2021年新高考Ⅰ卷·第21題7．(2020年新高考I卷(山東卷)·第22題)已知橢圓C：的離心率為，且過點(diǎn)A(2，1)．(1)求C的方程：(2)點(diǎn)M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足．證明：存在定點(diǎn)Q，使得|DQ|為定值．【答案】(1)；(2)詳見解析．解析：(1)由題意可得：，解得：，故橢圓方程為：．(2)設(shè)點(diǎn)．因?yàn)锳M⊥AN，∴，即,①當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為,如圖1．代入橢圓方程消去并整理得：②,根據(jù),代入①整理可得：將②代入，，整理化簡得,∵不在直線上，∴，∴，于是MN的方程為，所以直線過定點(diǎn)直線過定點(diǎn)．當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，可得,如圖2．代入得,結(jié)合,解得,此時(shí)直線MN過點(diǎn),由于AE為定值，且△ADE為直角三角形，AE為斜邊，所以AE中點(diǎn)Q滿足為定值(AE長度的一半)．由于，故由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得．故存在點(diǎn)，使得|DQ|為定值．【題目欄目】圓錐曲線\圓錐曲線的綜合問題\圓錐曲線的綜合問題【題目來源】2020年新高考I卷(山東卷)·第22題8．(2020新高考II卷(海南卷)·第21題)已知橢圓C：過點(diǎn)M(2，3),點(diǎn)A為其左頂點(diǎn)，且AM的斜率為，(1)求C的方程；(2)點(diǎn)N為橢圓上任意一點(diǎn)，求△AMN的面積的最大值．【答案】(1)；(2)18．解析：(1)由題意可知直線AM的方程為：，即．當(dāng)y=0時(shí)，解得，所以a=4，橢圓過點(diǎn)M(2，3)，可得，解得b2=12．所以C的方程：．(2)設(shè)與直線AM平行的直線方程為：，如圖所示，當(dāng)直線與橢圓相切時(shí)，與AM距離比較遠(yuǎn)的直線與橢圓的切點(diǎn)為N，此時(shí)△AMN的面積取得最大值．聯(lián)立直線方程與橢圓方程，可得：，化簡可得：，所以，即m2=64，解得m=±8，與AM距離比較遠(yuǎn)的直線方程：，直線AM方程為：，點(diǎn)N到直線AM的距離即兩平行線之間的距離，利用平行線之間的距離公式可得：，由兩點(diǎn)之間距離公式可得．所以△AMN的面積的最大值：．【題目欄目】圓錐曲線\圓錐曲線的綜合問題\圓錐曲線的綜合問題【題目來源】2020新高考II卷(海南卷)·第21題9．(2021年高考全國乙卷理科·第21題)已知拋物線的焦點(diǎn)為，且與圓上點(diǎn)的距離的最小值為．(1)求；(2)若點(diǎn)在上，是的兩條切線，是切點(diǎn)，求面積的最大值．【答案】(1)；(2)．解析：(1)拋物線的焦點(diǎn)為，，所以，與圓上點(diǎn)的距離的最小值為，解得；(2)拋物線的方程為，即，對(duì)該函數(shù)求導(dǎo)得，設(shè)點(diǎn)、、，直線的方程為，即，即，同理可知，直線的方程為，由于點(diǎn)為這兩條直線的公共點(diǎn)，則，所以，點(diǎn)、的坐標(biāo)滿足方程，所以，直線的方程為，聯(lián)立，可得，由韋達(dá)定理可得，，所以，，點(diǎn)到直線的距離為，所以，，，由已知可得，所以，當(dāng)時(shí)，的面積取最大值．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．【題目欄目】圓錐曲線\拋物線\直線與拋物線的綜合問題【題目來源】2021年高考全國乙卷理科·第21題10．(2021年高考全國甲卷理科·第20題)拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O．焦點(diǎn)在x軸上，直線l：交C于P，Q兩點(diǎn)，且．已知點(diǎn)，且與l相切．(1)求C，的方程；(2)設(shè)是C上的三個(gè)點(diǎn)，直線，均與相切．判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)拋物線，方程為；(2)相切，理由見解析解析：(1)依題意設(shè)拋物線，，所以拋物線的方程為，與相切，所以半徑為，所以的方程為；(2)設(shè)若斜率不存在，則方程為或，若方程為，根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè)，則過與圓相切的另一條直線方程為，此時(shí)該直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，即不存在，不合題意；若方程為，根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè)則過與圓相切的直線為，又，，此時(shí)直線關(guān)于軸對(duì)稱，所以直線與圓相切；若直線斜率均存在，則，所以直線方程為，整理得，同理直線的方程為，直線的方程為，與圓相切，整理得，與圓相切，同理所以為方程的兩根，，到直線的距離為：，所以直線與圓相切；綜上若直線與圓相切，則直線與圓相切．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：(1)過拋物線上的兩點(diǎn)直線斜率只需用其縱坐標(biāo)(或橫坐標(biāo))表示，將問題轉(zhuǎn)化為只與縱坐標(biāo)(或橫坐標(biāo))有關(guān)；(2)要充分利用的對(duì)稱性，抽象出與關(guān)系，把的關(guān)系轉(zhuǎn)化為用表示．【題目欄目】圓錐曲線\拋物線\直線與拋物線的綜合問題【題目來源】2021年高考全國甲卷理科·第20題11．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科·第20題)已知A、B分別為橢圓E：(a>1)左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，，P為直線x=6上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D．(1)求E方程；(2)證明：直線CD過定點(diǎn)．【答案】(1)；(2)證明詳見解析．【解析】(1)依據(jù)題意作出如下圖象：由橢圓方程可得：，，，，橢圓方程為：(2)證明：設(shè)，則直線的方程為：，即：聯(lián)立直線的方程與橢圓方程可得：，整理得：，解得：或?qū)⒋胫本€可得：所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．同理可得：點(diǎn)的坐標(biāo)為直線的方程為：，整理可得：整理得：故直線過定點(diǎn)【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)及方程思想，還考查了計(jì)算能力及轉(zhuǎn)化思想、推理論證能力，屬于難題．【題目欄目】圓錐曲線\橢圓\直線與橢圓的綜合問題【題目來源】2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科·第20題12．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科·第19題)已知橢圓C1：(a>b>0)右焦點(diǎn)F與拋物線C2的焦點(diǎn)重合，C1的中心與C2的頂點(diǎn)重合．過F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點(diǎn)，交C2于C，D兩點(diǎn)，且|CD|=|AB|．(1)求C1的離心率；(2)設(shè)M是C1與C2的公共點(diǎn)，若|MF|=5，求C1與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】(1)；(2)，．解析：(1)，軸且與橢圓相交于、兩點(diǎn)，則直線的方程為，聯(lián)立，解得，則，拋物線的方程為，聯(lián)立，解得，，，即，，即，即，，解得，因此，橢圓的離心率為；(2)由(1)知，，橢圓的方程為，聯(lián)立，消去并整理得，解得或(舍去)，由拋物線的定義可得，解得．因此，曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓離心率求解，同時(shí)也考查了利用拋物線的定義求拋物線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查計(jì)算能力，屬于中等題．【題目欄目】圓錐曲線\圓錐曲線的綜合問題\圓錐曲線的綜合問題【題目來源】2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科·第19題13．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科·第20題)已知橢圓的離心率為，，分別為的左、右頂點(diǎn)．(1)求的方程；(2)若點(diǎn)在上，點(diǎn)在直線上，且，，求的面積．【答案】(1)；(2)．解析：(1)，，根據(jù)離心率，解得或(舍)，的方程為：，即；(2)不妨設(shè),在x軸上方點(diǎn)在上，點(diǎn)在直線上，且，，過點(diǎn)作軸垂線，交點(diǎn)為，設(shè)與軸交點(diǎn)為根據(jù)題意畫出圖形，如圖，，，又，，，根據(jù)三角形全等條件“”，可得：，，，，設(shè)點(diǎn)為，可得點(diǎn)縱坐標(biāo)為，將其代入，可得：，解得：或，點(diǎn)為或，①當(dāng)點(diǎn)為時(shí)，故，，，可得：點(diǎn)為，畫出圖象，如圖,，可求得直線的直線方程為：，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式可得到直線的距離為：，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得：，面積為：；②當(dāng)點(diǎn)為時(shí)，故，，，可得：點(diǎn)為，畫出圖象，如圖,，可求得直線的直線方程為：，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式可得到直線的距離為：，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得：，面積為：，綜上所述，面積為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程和求三角形面積問題，解題關(guān)鍵是掌握橢圓的離心率定義和數(shù)形結(jié)合求三角形面積，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．【題目欄目】圓錐曲線\橢圓\直線與橢圓的綜合問題【題目來源】2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科·第20題14．(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科·第21題)已知曲線C：y=，D為直線y=上的動(dòng)點(diǎn)，過D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B．(1)證明：直線AB過定點(diǎn)：(2)若以E(0，)為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求四邊形ADBE的面積．【答案】【答案】(1)見詳解；(2)3或．【官方解析】(1)設(shè)則． 由于，所以切線的斜率為，故 整理得．． 設(shè)同理可得．故直線的方程為． 所以直線過定點(diǎn)． (2)由(1)得直線的方程為．由可得． 于是， ． 設(shè)分別為到直線的距離，則． 因此，四邊形的面積． 設(shè)線段的中點(diǎn)，則． 由于，而，與向量平行，所以．解得或． 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，． 因此，四邊形的面積為3或．【點(diǎn)評(píng)】此題第一問是圓錐曲線中的定點(diǎn)問題，第二問是求面積類型，屬于常規(guī)題型，按部就班的求解就可以．思路較為清晰，但計(jì)算量比較大．【題目欄目】圓錐曲線\拋物線\直線與拋物線的綜合問題【題目來源】2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科·第21題15．(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國Ⅱ卷理科·第21題)已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足直線與的斜率之積為．記的軌跡為曲線．求的方程，并說明是什么曲線；過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，軸，垂足為，連結(jié)并延長交于點(diǎn)．證明：是直角三角形；求面積的最大值．【答案】詳見解析詳見解析【官方解析】由題設(shè)得，化簡得，所以為中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓，不含左右頂點(diǎn)．設(shè)直線的斜率為，則其方程為．由得．記，則．于是直線的斜率為，方程為．由，得．①設(shè)，則和是方程①的解，故，由此得．從而直線的斜率為．所以，即是直角三角形．由得，，所以的面積．設(shè)，則由得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．因?yàn)樵趩握{(diào)遞減，所以當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，最大值為．因此，面積的最大值為．【分析】分別求出直線與的斜率，由已知直線與的斜率之積為，可以得到等式，化簡可以求出曲線的方程，注意直線與有斜率的條件；設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)關(guān)系求出的坐標(biāo)，再求出直線的斜率，計(jì)算的值，就可以證明出是直角三角形；由可知三點(diǎn)坐標(biāo)，是直角三角形，求出的長，利用面積公式求出的面積，利用導(dǎo)數(shù)求出面積的最大值.【解析】直線的斜率為，直線的斜率為，由題意可知：，所以曲線是以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在軸上，不包括左右兩頂點(diǎn)的橢圓，其方程為；設(shè)直線的方程為,由題意可知,直線的方程與橢圓方程聯(lián)立,即或,點(diǎn)在第一象限，所以，因此點(diǎn)的坐標(biāo)為直線的斜率為，可得直線方程：，與橢圓方程聯(lián)立，，消去得，(*)，設(shè)點(diǎn)，顯然點(diǎn)的橫坐標(biāo)和是方程(*)的解所以有，代入直線方程中，得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的斜率為；，因?yàn)椋?，因此是直角三角形；由可知：，的坐?biāo)為，，,，，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，最大值為.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及利用直線與橢圓的位置關(guān)系，判斷三角形形狀以及三角形面積最大值問題，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最大值問題.【題目欄目】圓錐曲線\圓錐曲線的綜合問題\圓錐曲線的綜合問題【題目來源】2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國Ⅱ卷理科·第21題16．(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國Ⅰ卷理科·第19題)已知拋物線的焦點(diǎn)為，斜率為的直線與的交點(diǎn)為，，與軸的交點(diǎn)為．(1)若，求的方程；(2)若，求．【答案】解：設(shè)直線．(1)由題設(shè)得，故，由題設(shè)可得．由，可得，則．從而，得．所以的方程為．(2)由可得．由，可得．所以．從而，故．代入的方程得．故．【題目欄目】圓錐曲線\拋物線\直線與拋物線的綜合問題【題目來源】2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國Ⅰ卷理科·第19題17．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷(理)·第20題)已知斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為()．(1)證明：；(2)設(shè)為的右焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且，證明：，，成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差．【答案】【官方解析】(1)設(shè)，，則有，兩式相減，并由，得由題設(shè)知，，于是①由題設(shè)，故(2)由題意得，設(shè)，則由(1)及題設(shè)得，又點(diǎn)在上，所以，從而，于是同理所以故，即成等差數(shù)列設(shè)該數(shù)列的公差為，則②將代入①得所以的方程為，代入的方程，并整理得故，，代入②解得所以該數(shù)列的公差為或．【民間解析】(1)法一：設(shè)直線，交點(diǎn)，則有，聯(lián)立方程，消去并整理可得所以所以，代入可得所以，所以，所以或①又即②由①②可知法二：設(shè)，，則有③，④兩式相減可得所以依題意，，所以又點(diǎn)在橢圓內(nèi)，所以，而，所以所以．(2)由橢圓的方程可知，，設(shè)因?yàn)?，所以，所以所以，故又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，解得，所以此時(shí)直線的方程為：即聯(lián)立方程，消去并整理可得所以，又，所以所以同理所以而所以，故，，成等差數(shù)列設(shè)公差為，則有所以【題目欄目】圓錐曲線\橢圓\直線與橢圓的綜合問題【題目來源】2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷(理)·第20題18．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷(理)·第19題)(12分)設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過且斜率為的直線與交于，兩點(diǎn)，．(1)求的方程；(2)求過點(diǎn)，且與的準(zhǔn)線相切的圓的方程．【答案】解析：(1)由題意得，的方程為．設(shè)，，由得，，故，所以，由題設(shè)知，解得(舍去)，．因此直線的方程為．(2)由(1)得的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以的垂直平分線方程為，即．設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為，則，解得或，因此所求圓的方程為或．【題目欄目】圓錐曲線\拋物線\直線與拋物線的綜合問題【題目來源】2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷(理)·第19題19．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷Ⅰ(理)·第19題)(12分)設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，過的直線與交于兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．(1)當(dāng)與軸垂直時(shí)，求直線的方程；(2)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：．【答案】解析：(1)由已知得，的方程為．由已知可得，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．所以的方程為或．(2)當(dāng)與軸重合時(shí)，．當(dāng)與軸垂直時(shí)，為的垂直平分線，所以．當(dāng)與軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè)的方程為，，則，直線MA，MB的斜率之和為．由得．將代入得．所以．則．從而，故的傾斜角互補(bǔ)，所以．綜上，．【題目欄目】圓錐曲線\橢圓\直線與橢圓的綜合問題【題目來源】2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷Ⅰ(理)·第19題20．(2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷理科·第20題)已知橢圓,四點(diǎn),,,中恰有三點(diǎn)在橢圓上．(1)求的方程;(2)設(shè)直線不經(jīng)過點(diǎn)且與相交于兩點(diǎn),若直線與直線的斜率的和為,證明:過定點(diǎn)．【答案】(1);(2)．【分析】(1)根據(jù)兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱,由橢圓的對(duì)稱性可知經(jīng)過,另外知,不經(jīng)過點(diǎn),所以在上,因此在橢圓上,代入其標(biāo)準(zhǔn)方程,即可求出的方程;(2)先設(shè)直線與直線的斜率分別為,再設(shè)直線的方程,當(dāng)與軸垂直時(shí),通過計(jì)算,不滿足題意,再設(shè)(),將代入,寫出判別式,根與系數(shù)的關(guān)系,表示出,根據(jù)列出等式,表示出和的關(guān)系,判斷出直線恒過定點(diǎn)．【解析】(1)由于,兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱,故由題設(shè)知經(jīng)過,兩點(diǎn)．又由知,不經(jīng)過點(diǎn),所以點(diǎn)在上．因此,解得．故的方程為．(2)設(shè)直線與直線的斜率分別為,如果與軸垂直,設(shè),由題設(shè)知,且,可得的坐標(biāo)分別為,．則,得,不符合題設(shè)．從而可設(shè):()．將代入得由題設(shè)可知．設(shè),則,．而．由題設(shè),故．即．解得．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),,欲使:,即所以過定點(diǎn)．法二:求點(diǎn)代點(diǎn)法設(shè),直線的方程為:,直線的方程為聯(lián)立,消去可得,得,即,同理由題意可知所以于是的直線方程為令,得,所以直線過定點(diǎn)．(為什么令?用特殊法!直線方程中令,得兩直線,求這兩直線交點(diǎn)即可．)法三:齊次方程設(shè),的直線方程為設(shè)則化齊次得:即顯然以上方程代表以,為根的方程又,所以于是的直線方程為,所以直線過定點(diǎn)．解法四:曲線系設(shè)直線的方程為:,直線的方程為則曲線系代表過三點(diǎn)的曲線令則曲線系可分解為顯然直線經(jīng)過點(diǎn)所以方程為直線的方程又,代入整理得:由,解得所以直線過定點(diǎn)．解法五:利用橢圓內(nèi)接三角形公式若三角形是橢圓的內(nèi)接三角形,設(shè),則頂點(diǎn)的對(duì)邊的方程為:由,則直線的方程為由,代入整理得由,解得所以直線過定點(diǎn)．【考點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與圓錐曲線的位置關(guān)系．【點(diǎn)評(píng)】橢圓的對(duì)稱性是橢圓的一個(gè)重要性質(zhì),判斷點(diǎn)是否在橢圓上,可以通過這一方法進(jìn)行判斷;證明直線過定點(diǎn)的關(guān)鍵是設(shè)出直線方程,通過一定關(guān)系轉(zhuǎn)化,找出兩個(gè)參數(shù)之間的關(guān)系式,從而可以判斷過定點(diǎn)情況．另外,在設(shè)直線方程之前,若題設(shè)中為告知,則一定要討論直線斜率不存在和存在情況,接著通法是聯(lián)立方程組,求判別式、韋達(dá)定理,根據(jù)題設(shè)關(guān)系進(jìn)行化簡．【題目欄目】圓錐曲線\橢圓\直線與橢圓的綜合問題【題目來源】2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷理科·第20題21．(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科·第20題)(12分)已知拋物線，過點(diǎn)的直線交與兩點(diǎn)，圓是以線段為直徑的圓．(1)證明：坐標(biāo)原點(diǎn)在圓上；(2)設(shè)圓過點(diǎn)，求直線與圓的方程．【答案】(Ⅰ)證明略;(Ⅱ)直線的方程為,圓的方程為．或直線的方程為,圓的方程為．【解析】法一:(1)證明:①當(dāng)軸時(shí),代入得在以為直徑的圓上．此時(shí)圓半徑為,圓過原點(diǎn);②當(dāng)不垂直于軸時(shí),設(shè)的方程為且由,消去,整理可得,,從而,,在以為直徑的圓上．(2)由(1)知以為直徑的圓的方程為即,由于在此圓上代入上述方程得,故所求圓的方程為．法二:⑴顯然,當(dāng)直線斜率為時(shí),直線與拋物線交于一點(diǎn),不符合題意．設(shè),,,聯(lián)立:得,恒大于,,．∴,即在圓上．⑵若圓過點(diǎn),則化簡得解得或①當(dāng)時(shí),圓心為,,半徑則圓②當(dāng)時(shí),圓心為,,,半徑則圓．【考點(diǎn)】直線與拋物線的位置關(guān)系;圓的方程【點(diǎn)評(píng)】直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似,一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系;在解決直線與拋物線的位置關(guān)系時(shí),要特別注意直線與拋物線的對(duì)稱軸平行的特殊情況．中點(diǎn)弦問題,可以利用“點(diǎn)差法”,但不要忘記驗(yàn)證或說明中點(diǎn)在曲線內(nèi)部．【題目欄目】圓錐曲線\拋物線\直線與拋物線的綜合問題【題目來源】2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科·第20題22．(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科·第20題)(12分)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C：上，過M做x軸的垂線，垂足為，點(diǎn)滿足．(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)在直線上，且．證明：過點(diǎn)且垂直于的直線過的左焦點(diǎn)．【答案】(1)；(2)證明略．【命題意圖】橢圓，定值問題的探索；運(yùn)算求解能力【基本解法】(Ⅰ)解法一：相關(guān)點(diǎn)法求軌跡：設(shè)，,，則：,．又,所以：，則：．又在橢圓C上，所以：。所以：．解法二：橢圓C的參數(shù)方程為：(為參數(shù))．設(shè)，,，則：,．又,所以：，則：．則：．(Ⅱ)解法一：設(shè)，,,則，,，．又,所以：即：．那么．所以．即過垂直于的直線過橢圓C的左焦點(diǎn)。解法二：設(shè)，,,則，,，．又,所以．又在上，所以：．又．所以：．即過垂直于的直線過橢圓的左焦點(diǎn)．【考點(diǎn)】軌跡方程的求解；直線過定點(diǎn)問題?！军c(diǎn)評(píng)】求軌跡方程的常用方法有：(1)直接法：直接利用條件建立x，y之間的關(guān)系F(x，y)＝0。(2)待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型，求曲線方程。(3)定義法：先根據(jù)條件得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。(4)代入(相關(guān)點(diǎn))法：動(dòng)點(diǎn)P(x，y)依賴于另一動(dòng)點(diǎn)Q(x0，y0)的變化而運(yùn)動(dòng)，常利用代入法求動(dòng)點(diǎn)P(x，y)的軌跡方程．【題目欄目】圓錐曲線\橢圓\直線與橢圓的綜合問題【題目來源】2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科·第20題23．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科·第20題)已知拋物線:的焦點(diǎn)為,平行于軸的兩條直線,分別交于,兩點(diǎn),交的準(zhǔn)線于,兩點(diǎn).(Ⅰ)若在線段上,是的中點(diǎn),證明∥;(Ⅱ)若的面積是的面積的兩倍,求中點(diǎn)的軌跡方程.【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ).【解析】由題設(shè).設(shè),則,且,,,,.記過兩點(diǎn)的直線為,則的方程為.(Ⅰ)由于在線段上,故.記的斜率為,的斜率為,則,所以∥.(Ⅱ)設(shè)與軸的交點(diǎn)為,則,.由題設(shè)可得,所以(舍去),.設(shè)滿足條件的的中點(diǎn)為,當(dāng)與軸不垂直時(shí),由可得.而,所以.當(dāng)與軸垂直時(shí),與重合.所以所求軌跡方程為.【題目欄目】圓錐曲線\拋物線\直線與拋物線的綜合問題【題目來源】2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科·第20題24．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科·第20題)(本小題滿分12分)已知橢圓E:的焦點(diǎn)在軸上，A是E的左頂點(diǎn)，斜率為的直線交E于兩點(diǎn)，點(diǎn)N在E上，．(=1\*ROMANI)當(dāng)，時(shí)，求的面積；(=2\*ROMANII)當(dāng)時(shí)，求k的取值范圍．【答案】(1)；(2)．分析：(Ⅰ)先求直線的方程，再求點(diǎn)的縱坐標(biāo)，最后求的面積；(Ⅱ)設(shè)，，將直線的方程與橢圓方程組成方程組，消去，用表示，從而表示，同理用表示，再由求．【解析】(I)設(shè)，則由題意知，當(dāng)時(shí)，的方程為，．由已知及橢圓的對(duì)稱性知，直線的傾斜角為．因此直線的方程為．將代入得．解得或，所以．因此的面積．(II)由題意，，．將直線的方程代入得．由得，故．由題設(shè)，直線的方程為，故同理可得，由得，即．當(dāng)時(shí)上式不成立，因此．等價(jià)于，即．由此得，或，解得．因此的取值范圍是．【題目欄目】圓錐曲線\橢圓\直線與橢圓的綜合問題【題目來源】2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科·第20題25．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科·第20題)(本小題滿分12分)設(shè)圓的圓心為，直線過點(diǎn)且與軸不重合，交圓于兩點(diǎn)，過作的平行線交于點(diǎn)．(I)證明為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；(=2\*ROMANII)設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，直線交于兩點(diǎn)，過且與垂直的直線與圓交于兩點(diǎn)，求四邊形面積的取值范圍．【答案】(I)4；，()；(=2\*ROMANII)【官方解答】(I)因?yàn)?,故．所以，故又圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，從而，所以．由題設(shè)得,由橢圓的定義可得點(diǎn)的軌跡方程為，()；(=2\*ROMANII)當(dāng)與x軸不垂直時(shí)，設(shè)，由得．則，所以．過點(diǎn)且與垂直的直線，到的距離為，所以故四邊形的面積為當(dāng)與x軸不垂直時(shí)，四邊形的面積的取值范圍為當(dāng)與x軸垂直時(shí)，其方程為，，四邊形的面積12．綜上，四邊形的面積的取值范圍為．【民間解析】⑴ 圓整理為，坐標(biāo)，如圖，，則，由，則所以的軌跡為一個(gè)橢圓，方程為，()；⑵ ；設(shè)，因?yàn)?，設(shè)，聯(lián)立得；則；圓心到距離，所以，．【題目欄目】圓錐曲線\橢圓\直線與橢圓的綜合問題【題目來源】2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科·第20題26．(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科·第20題)(本題滿分12分)已知橢圓,直線不過原點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸，與有兩個(gè)交點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)為．(Ⅰ)證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；(Ⅱ)若過點(diǎn)，延長線段與交于點(diǎn)，四邊形能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)的斜率，若不能，說明理由．【答案】(Ⅰ)詳見解析；(Ⅱ)能，或．解析：(Ⅰ)設(shè)直線，，，．將代入得，故，．于是直線的斜率，即．所以直線的斜率與的斜率的乘積為定值．(Ⅱ)四邊形能為平行四邊形．因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以不過原點(diǎn)且與有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是，．由(Ⅰ)得的方程為．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．由得，即．將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程得，因此．四邊形為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段與線段互相平分，即．于是．解得，．因?yàn)椋?，，所以?dāng)?shù)男甭蕿榛驎r(shí)，四邊形為平行四邊形．考點(diǎn)：1、弦的中點(diǎn)問題；2、直線和橢圓的位置關(guān)系．【題目欄目】圓錐曲線\橢圓\直線與橢圓的綜合問題【題目來源】2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科·第20題27．(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科·第20題)(本小題滿分12分)在直角坐標(biāo)系中，曲線：與直線(＞0)交與兩點(diǎn)，(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，分別求在點(diǎn)和處的切線方程；(Ⅱ)軸上是否存在點(diǎn)，使得當(dāng)變動(dòng)時(shí)，總有？說明理由?！敬鸢浮?Ⅰ)或(Ⅱ)存在分析：(Ⅰ)先求出M,N的坐標(biāo)，再利用導(dǎo)數(shù)求出M,N．(Ⅱ)先作出判定，再利用設(shè)而不求思想即將代入曲線C的方程整理成關(guān)于的一元二次方程，設(shè)出M,N的坐標(biāo)和P點(diǎn)坐標(biāo)，利用設(shè)而不求思想，將直線PM，PN的斜率之和用表示出來，利用直線PM，PN的斜率為0,即可求出關(guān)系，從而找出適合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)．解析：(Ⅰ)由題設(shè)可得，，或，．∵，故在=處的到數(shù)值為，C在處的切線方程為，即．故在=-處的到數(shù)值為-，C在處的切線方程為，即．故所求切線方程為或．(Ⅱ)存在符合題意的點(diǎn)，證明如下：設(shè)P(0，b)為復(fù)合題意得點(diǎn)，，，直線PM，PN的斜率分別為．將代入C得方程整理得．∴．∴==．當(dāng)時(shí)，有=0，則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補(bǔ)，故∠OPM=∠OPN，所以符合題意．考點(diǎn)：拋物線的切線；直線與拋物線位置關(guān)系；探索新問題；運(yùn)算求解能力【題目欄目】圓錐曲線\拋物線\直線與拋物線的綜合問題【題目來源】2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科·第20題28．(2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)2理科·第20題)(本小題滿分12分)設(shè),分別是橢圓C：的左，右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且與x軸垂直，直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N．(Ⅰ)若直線MN的斜率為，求C的離心率；(Ⅱ)若直線MN在y軸上的截距為2，且，求a,b．【答案】解析：(Ⅰ)，解得(Ⅱ)依據(jù)題意，原點(diǎn)為的中點(diǎn)，與軸垂直，所以直線與軸的交點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，故，即由，得