如何求解二次函數(shù)中的面積值問題

如何求解二次函數(shù)中的面積最值問題如何求解二次函數(shù)中的面積最值問題如何求解二次函數(shù)中的面積最值問題資料僅供參考文件編號：2022年4月如何求解二次函數(shù)中的面積值問題版本號：A修改號：1頁次：1.0審核：批準(zhǔn):發(fā)布日期：如何求解二次函數(shù)中的面積最值問題從近幾年的各地中考試卷來看，求面積的最值問題在壓軸題中比較常見，而且通常與二次函數(shù)相結(jié)合．使解題具有一定難度，本文以一道中考題為例，介紹幾種不同的解題方法，供同學(xué)們在解決這類問題時(shí)參考．題目（重慶市江津區(qū)）如圖1，拋物線y＝－x2＋bx＋c與x軸交于A(1，0)，B(－3，0)兩點(diǎn)．(1)求該拋物線的解析式；(2)設(shè)(1)中的拋物線交y軸于C點(diǎn)，在該拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAC的周長最小若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；(3)如圖2，在(1)中的拋物線上的第二象限上是否存在一點(diǎn)P，使△PBC的面積最大若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PBC的面積最大值；若沒有，請說明理由．解答(1)拋物線解析式為 y＝－x2－2x＋3；(2)Q(－1，2)；下面著重探討求第(3)小題中面積最大值的幾種方法．一、補(bǔ)形、割形法幾何圖形中常見的處理方式有分割、補(bǔ)形等，通過對圖形的這些直觀處理，一般能輔助解題，使解題過程簡捷、明快．此類方法的要點(diǎn)在于把所求圖形的面積進(jìn)行適當(dāng)?shù)难a(bǔ)或割，變成有利于表示面積的圖形．方法一如圖3，設(shè)P點(diǎn)（x，－x2－2x＋3）(－3<x<0)．方法二如圖4，設(shè)P點(diǎn)(x，－x2－2x＋3)(－3<x<0)．（下略．）二、“鉛垂高，水平寬”面積法如圖5，過△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別作出與水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”(a)，中間的這條直線在△ABC內(nèi)部線段的長度叫△ABC的“鉛垂高(h)”，我們可得出一種計(jì)算三角形面積的另一種方法：S△ABC＝ah，即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半．根據(jù)上述方法，本題解答如下：解如圖6，作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F． 設(shè)P點(diǎn)（x，－x2－2x＋3）（－3<x<0）． ∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（－，）三、切線法若要使△PBC的面積最大，只需使BC上的高最大．過點(diǎn)P作BC的平行線l，當(dāng)直線l與拋物線有唯一交點(diǎn)(即點(diǎn)P)時(shí)，BC上的高最大，此時(shí)△PBC的面積最大，于是，得到下面的切線法．解如圖7，直線BC的解析式是y＝x＋3，過點(diǎn)P作BC的平行線l，從而可設(shè)直線l的解析式為：y＝x＋b． ＝．四、三角函數(shù)法本題也可直接利用三角函數(shù)法求得．解如圖8，作PE⊥x軸交于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，怍PM⊥BC于點(diǎn)M． 設(shè)P點(diǎn)（x，－x2－2x＋3）（－3<x<0）， 則F(x，x＋3)． 從以上四種解法可以看到，本題解題思路都是過點(diǎn)P作輔助線，然后利用相關(guān)性質(zhì)找出各元素之間的關(guān)系進(jìn)行求解．如此深入挖掘一道題