數(shù)學(xué)分析9.4定積分的性質(zhì)

數(shù)學(xué)分析9.4定積分的性質(zhì)數(shù)學(xué)分析9.4定積分的性質(zhì)數(shù)學(xué)分析9.4定積分的性質(zhì)數(shù)學(xué)分析9.4定積分的性質(zhì)編制僅供參考審核批準(zhǔn)生效日期地址：電話(huà)：傳真:郵編:第九章定積分4定積分的性質(zhì)一、定積分的基本性質(zhì)性質(zhì)1：若f在[a,b]上可積，k為常數(shù)，則kf在[a,b]上也可積，且dx=kdx.證：當(dāng)k=0時(shí)結(jié)論成立.當(dāng)k≠0時(shí)，∵f在[a,b]上可積，記J=dx，∴任給ε>0，存在δ>0，當(dāng)║T║<δ時(shí)，|-J|<；又|-kJ|=|k|·|-J|<|k|·=ε，∴kf在[a,b]上可積，且dx=kdx.性質(zhì)2：若f,g都在[a,b]上可積，則f±g在[a,b]上也可積，且dx=dx±dx.證：∵f,g都在[a,b]上可積，記J1=dx，J2=dx.∴任給ε>0，存在δ>0，當(dāng)║T║<δ時(shí)，有|-J1|<，|-J2|<.又|-(J1+J2)|=|(-J1)+(-J2)|≤|-J1|+|-J2)|<+=ε；|-(J1-J2)|=|(-J1)+(J2-)|≤|-J1|+|-J2)|<+=ε.∴f±g在[a,b]上也可積，且dx=dx±dx.注：綜合性質(zhì)1與性質(zhì)2得：dx=αdx±βdx.性質(zhì)3：若f,g都在[a,b]上可積，則f·g在[a,b]上也可積.證：由f,g都在[a,b]上可積，從而都有界，設(shè)A=|f(x)|，B=|g(x)|，當(dāng)AB=0時(shí)，結(jié)論成立；當(dāng)A>0,B>0時(shí)，任給ε>0，則存在分割T’,T”，使得<，<.令T=T’+T”，則對(duì)[a,b]上T所屬的每一個(gè)△i，有ωif·g=|f(x’)g(x’)-f(x”)g(x”)|≤[|g(x’)|·|f(x’)-f(x”)|+|f(x”)|·|g(x’)-g(x”)|]≤Bωif+Aωig.又≤B+A≤B+A<B·+A·=ε.∴f·g在[a,b]上可積.注：一般情形下，dx≠dx·dx.性質(zhì)4：f在[a,b]上可積的充要條件是：任給c∈(a,b)，f在[a,c]與[c,b]上都可積.此時(shí)又有等式：dx=dx+dx.證：[充分性]∵f在[a,c]與[c,b]上都可積.∴任給ε>0，分別存在對(duì)[a,c]與[c,b]的分割T’,T”，使得<，<.令[a,b]上的分割T=T’+T”，則有=+<+=ε，∴f在[a,b]上可積.[必要性]∵f在[a,b]上可積，∴任給ε>0，存在[a,b]上的某分割T，使<ε.在T上增加分點(diǎn)c，得分割T?，有≤<ε.分割T?在[a,c]和[c,b]上的部分，分別構(gòu)成它們的分割T’和T”，則有≤<ε，≤<ε，∴f在[a,c]與[c,b]上都可積.又有=+，當(dāng)║T?║→0時(shí)，同時(shí)有║T’║→0，║T”║→0，對(duì)上式取極限，得dx=dx+dx.(關(guān)于積分區(qū)間的可加性)規(guī)定1：當(dāng)a=b時(shí)，dx=0；規(guī)定2：當(dāng)a>b時(shí)，dx=-dx；以上規(guī)定，使公式dx=dx+dx對(duì)于a,b,c的任何大小順都能成立.性質(zhì)5：設(shè)f在[a,b]上可積.若f(x)≥0,x∈[a,b]，則dx≥0.證：∵在[a,b]上f(x)≥0，∴f的任一積分和都為非負(fù).又f在[a,b]上可積，∴dx=≥0.推論：(積分不等式性)若f,g在[a,b]上都可積，且f(x)≤g(x),x∈[a,b]，則有dx≤dx.證：記F(x)=g(x)-f(x)≥0,x∈[a,b]，∵f,g在[a,b]上都可積，∴F在[a,b]上也可積.∴dx=dx-dx≥0，即dx≤dx.性質(zhì)5：若f在[a,b]上可積，則|f|在[a,b]上也可積，且|dx|≤dx.證：∵f在[a,b]上可積，∴任給ε>0，存在分割T，使<ε，由不等式||f(x1)|-|f(x2)||≤|f(x1)-f(x2)|可得≤，∴≤<ε，∴|f|在[a,b]上可積.又-|f(x)|≤f(x)≤|f(x)|，∴|dx|≤dx.例1：求dx，其中f(x)=解：dx=dx+dx=(x2-x)+(-e-x)=-2-e-1+1=-e-1-1.例2：證明：若f在[a,b]上連續(xù)，且f(x)≥0，dx=0，則f(x)≡0,x∈[a,b].證：若有x0∈[a,b],使f(x0)>0，則由連續(xù)函數(shù)的局部保號(hào)性，存在的x0某鄰域U(x0,δ)（當(dāng)x0=a或x0=b時(shí)，則為右鄰域或左鄰域），使f(x)≥f(x0)>0，從而有dx=dx+dx+dx≥0+dx+0=δf(x0)>0，與dx=0矛盾，∴f(x)≡0,x∈[a,b].二、積分中值定理定理：(積分第一中值定理)若f在[a,b]上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)ξ∈[a,b]，使得dx=f(ξ)(b-a).證：∵f在[a,b]上連續(xù)，∴存在最大值M和最小值m，由m≤f(x)≤M,x∈[a,b]，得m(b-a)≤dx≤M(b-a)，即m≤dx≤M.又由連續(xù)函數(shù)的介值性知，至少存在一點(diǎn)ξ∈[a,b]，使得f(ξ)=dx，即dx=f(ξ)(b-a).積分第一中值定理的幾何意義：(如圖)若f在[a,b]上非負(fù)連續(xù)，則y=f(x)在[a,b]上的曲邊梯形面積等于以f(ξ)為高，[a,b]為底的矩形面積.dx可理解為f(x)在[a,b]上所有函數(shù)值的平均值.例3：試求f(x)=sinx在[0,π]上的平均值.解：所求平均值f(ξ)=dx=(-cosx)=.定理：(推廣的積分第一中值定理)若f與g在[a,b]上連續(xù)，且g(x)在[a,b]上不變號(hào)，則至少存在一點(diǎn)ξ∈[a,b]，使得dx=f(ξ)dx.證：不妨設(shè)g(x)≥0,x∈[a,b]，M,m分別為f在[a,b]上的最大,最小值.則有mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x),x∈[a,b]，由定積分的不等式性質(zhì)，有mdx≤dx≤Mdx.若dx=0，結(jié)論成立.若dx>0，則有m≤≤M.由連續(xù)函數(shù)的介值性知，至少存在一點(diǎn)ξ∈[a,b]，使得f(ξ)=，即dx=f(ξ)dx.習(xí)題1、證明：若f與g在[a,b]上可積，則=，其中ξi,ηi是△i內(nèi)的任意兩點(diǎn).T={△i},i=1,2,…,n.證：f與g在[a,b]上都可積，從而都有界，且fg在[a,b]上可積.設(shè)|f(x)|<M,x∈[a,b]，則對(duì)[a,b]上任意分割T，有==+≤+M.∴|-|≤M.∴|-|≤M=0∴==.2、不求出定積分的值，比較下列各對(duì)定積分的大小.(1)dx與dx；(2)dx與dx.解：(1)∵x>x2,x∈(0,1)，∴dx>dx.(2)∵x>sinx,x∈(0,]，∴dx>dx.3、證明下列不等式：(1)<<；(2)1<dx<e；(3)1<dx<；(4)3<dx<6.證：(1)∵1<<=,x∈(0,)；∴<<dx，又=；dx=；∴<<.(2)∵1<<e,x∈(0,1)；∴1=<dx<=e.(3)∵<<1，x∈(0,)；∴1=<dx<=.(4)令==0，得在[e,4e]上的駐點(diǎn)x=e2,又=，=，∴在[e,4e]上<<=；∴3=dx<dx<dx=6.4、設(shè)f在[a,b]上連續(xù)，且f(x)不恒等于0.證明：dx>0.證：∵f(x)不恒等于0；∴必有x0∈[a,b]，使f(x0)≠0.又由f在[a,b]上連續(xù)，必有x∈(x0-δ,x0+δ)，使f(x)≠0，則>0，∴dx=++=+0>0.注：當(dāng)x0為a或b時(shí)，取單側(cè)鄰域.5、若f與g都在[a,b]上可積，證明：M(x)={f(x),g(x)}，m(x)={f(x),g(x)}在[a,b]上也都可積.證：M(x)=(f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|)；m(x)=(f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|).∵f與g在[a,b]上都可積，根據(jù)可積函數(shù)的和、差仍可積，得證.6、試求心形線(xiàn)r=a(1+cosθ),0≤θ≤2π上各點(diǎn)極徑的平均值.解：所求平均值為：f(ξ)=(1+cosθ)dθ=(θ+sinθ)=a.7、設(shè)f在[a,b]上可積，且在[a,b]上滿(mǎn)足|f(x)|≥m>0.證明：在[a,b]上也可積.證：∵f在[a,b]上可積，∴任給ε>0，有<m2ε.任取x’,x”∈△i，則-=≤.設(shè)在△i上的振幅為ωi-，則ωi-≤.∴≤<·m2ε=ε，∴在[a,b]上也可積.8、證明積分第一中值定理(包括定理和中的中值點(diǎn)ξ∈(a,b).證：設(shè)f在[a,b]的最大值f(xM)=M,最小值為f(xm)=m，(1)對(duì)定理：當(dāng)m=M時(shí)，有f(x)≡m,x∈[a,b]，則ξ∈[a,b].當(dāng)m<M時(shí)，若m(b-a)=dx，則dx=0，即f(x)=m，而f(x)≥m，∴必有f(x)≡m，矛盾.∴dx>m(b-a).同理可證：dx<M(b-a).(2)對(duì)定理：不失一般性，設(shè)g(x)≥0,x∈[a,b].當(dāng)m=M或g(x)≡0,x∈[a,b]時(shí)，則ξ∈[a,b].當(dāng)m<M且g(x)>0,x∈[a,b]時(shí)，若Mdx-dx=dx=0，由(M-f)g≥0，得(M-f)g=0.又g(x)>0，∴f(x)≡M，矛盾.∴dx<Mdx.同理可證：dx>mdx.∴不論對(duì)定理還是定理，都有ξ≠xM且ξ≠xm.由連續(xù)函數(shù)介值定理，知ξ∈(xm,xM)?(a,b)或ξ∈(xM,xm)?(a,b)，得證.9、證明：若f與g都在[a,b]上可積，且g(x)在[a,b]上不變號(hào)，M,m分別為f(x)在[a,b]上的上、下確界，則必存在某實(shí)數(shù)μ∈[m,M]，使得dx=μdx.證：當(dāng)g(x)≡0,x∈[a,b]時(shí)，dx=μdx=0.當(dāng)g(x)≠0時(shí)，不妨設(shè)g(x)>0，∵m≤f(x)≤M,x∈[a,b]，∴mdx≤dx≤Mdx，即m≤≤M.∴必存在μ∈[m,M]，使dx=μdx.10、證明：若f在[a,b]上連續(xù)，且dx=dx=0，則在(a,b)內(nèi)至少存在兩點(diǎn)x1,x2，使f(x1)=f(x2)=0.又若dx=0，則f在(a,b)內(nèi)是否至少有三個(gè)零點(diǎn)？

證：由=0知，f在(a,b)內(nèi)存在零點(diǎn)，設(shè)f在(a,b)內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)f(x1)，則由=+可得：=-≠0.又f在[a,x1]與[x1,b]不變號(hào)，∴=+=ξ1+ξ2=(ξ2-ξ1)≠0,(a<ξ1<x1<ξ2<b)，矛盾.∴f在(a,b)內(nèi)至少存在兩點(diǎn)x1,x2，使f(x1)=f(x2)=0.記函數(shù)g=xf(x)，則g在[a,b]上連續(xù)，且dx=dx=0，又dx=dx=0，即有dx=dx=0，∴g=xf(x)在(a,b)內(nèi)至少存在兩個(gè)零點(diǎn)，若f在(a,b)內(nèi)至少存在三個(gè)零點(diǎn)f(x1)=f(x2)=f(x3)=0，則g(x1)=x1f(x1)=g(x2)=x2f(x2)=g(x3)=x3f(x3)=0，即g=xf(x)在(a,b)內(nèi)至少存在三個(gè)零點(diǎn)g(x1)=g(x2)=g(x3)=0，矛盾，∴f在[a,b]上連續(xù)，且dx=dx=dx=0，則f在(a,b)內(nèi)至少存在兩個(gè)零點(diǎn).11、設(shè)f在[a,b]上二階可導(dǎo)，且f”(x)>0.證明：(1)f≤dx；(2)又若f(x)≤0,x∈[a,b]，則有f(x)≥dx,x∈[a,b].證：(1)令x=a+λ(b-a),λ∈(0,1)，則dx=dλ，同理，令x=b-λ(b-a)，也有dx=dλ，則dx=dλ.又f在[a,b]上二階可導(dǎo)，且f”(x)>0，∴f在[a,b]上凹，從而有{f[a+λ(b-a)]+f[b-λ(b-a)]}≥f{[a+λ(b-a)]+f[b-λ(b-a)]}=f.∴dx≥dλ=f.(2)令x=λb+(1-λ)a，由f的凹性得dx=dλ≤dλ=f(b)+f(a)=.不妨設(shè)f(a)≤f(b)，則f(a)≤f(