專題6：橢圓的離心率問題

第第頁參考答案1．A【分析】結(jié)合圖像，利用點坐標(biāo)以及重心性質(zhì)，得到G點坐標(biāo)，再由題目條件軸，得到點橫坐標(biāo)，然后兩次運用角平分線的相關(guān)性質(zhì)得到的比值，再結(jié)合與相似，即可求得點縱坐標(biāo)，也就是內(nèi)切圓半徑，再利用等面積法建立關(guān)于的關(guān)系式，從而求得橢圓離心率.【解析】如圖，令點在第一象限（由橢圓對稱性，其他位置同理），連接，顯然點在上，連接并延長交軸于點，連接并延長交軸于點，軸，過點作垂直于軸于點，設(shè)點，，則，因為為的重心，所以，因為軸，所以點橫坐標(biāo)也為，，因為為的角平分線，則有，又因為，所以可得，又由角平分線的性質(zhì)可得，，而所以得，所以，，所以，即，因為即，解得，所以答案為A.【點評】本題主要考查離心率求解，關(guān)鍵是利用等面積法建立關(guān)于的關(guān)系式，同時也考查了重心坐標(biāo)公式，以及內(nèi)心的性質(zhì)應(yīng)用，屬于難題.橢圓離心率求解方法主要有：（1）根據(jù)題目條件求出，利用離心率公式直接求解.（2）建立的齊次等式，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解，同時注意數(shù)形結(jié)合.2．B【分析】分別設(shè)內(nèi)外層橢圓方程為、，進(jìn)而設(shè)切線、分別為、，聯(lián)立方程組整理并結(jié)合求、關(guān)于a、b、m的關(guān)系式，再結(jié)合已知得到a、b的齊次方程求離心率即可.【解析】若內(nèi)層橢圓方程為，由離心率相同，可設(shè)外層橢圓方程為，∴，設(shè)切線為，切線為，∴，整理得，由知：，整理得，同理，，可得，∴，即，故.故選：B.【點評】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)內(nèi)外橢圓的離心率相同設(shè)橢圓方程，并寫出切線方程，聯(lián)立方程結(jié)合及已知條件，得到橢圓參數(shù)的齊次方程求離心率.3．C【分析】由題設(shè)，利用為的重心，求出線段的中點為，將B代入直線方程得，再利用點差法可得，結(jié)合，可求出，進(jìn)而求出離心率.【解析】由題設(shè)，則線段的中點為，由三角形重心的性質(zhì)知，即，解得：即代入直線，得①.又B為線段的中點，則，又為橢圓上兩點，，以上兩式相減得，所以，化簡得②由①②及，解得：，即離心率.故選：C.【點評】本題考查求橢圓的離心率，求解離心率在圓錐曲線的考查中是一個重點也是難點，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出；②構(gòu)造的齊次式，求出；③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解；④根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解．4．B【分析】利用正弦定理得到，再利用橢圓的定義，設(shè)，，得到，結(jié)合余弦定理，得到，即得解.【解析】橢圓的焦點為，，根據(jù)正弦定理可得∴，.設(shè)，，則，由余弦定理得，∴，∴，又，∴即，故，解得：或（舍）.故選：.【點評】本題考查了橢圓的性質(zhì)綜合應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化與劃歸，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.5．A【分析】設(shè)橢圓方程為，雙曲線方程為，焦距為由橢圓和雙曲線的定義，不妨設(shè)在第一象限，求出為焦點），在中利用余弦定理，求出關(guān)系，進(jìn)而得出橢圓與雙曲線的離心率關(guān)系，利用三角換元，結(jié)合正弦函數(shù)的有界性，即可求解.【解析】設(shè)橢圓方程為，雙曲線方程為，左右焦點分別為不妨設(shè)在第一象限，，得，在中，，即，設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為，設(shè)，取，，當(dāng)時，取得最大值為.故選:A.【點評】本題考查橢圓與雙曲線的定義和性質(zhì)，利用余弦定理和三角換元是解題的關(guān)鍵，屬于較難題.6．A【分析】首先根據(jù)橢圓定義可知，根據(jù)余弦定理，再根據(jù)，根據(jù)這三個式子的變形得到和，最后求離心率.【解析】由橢圓的定義，得，平方得①.由，②，是銳角，由余弦定理得③，-③得④由②④，得，是銳角，，即且.由②③可知⑤由①⑤可得，，，即，.則橢圓離心率的取值范圍是.故選：A.【點評】本題考查求橢圓的離心率，已知考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想和變形，計算能力，屬于中檔題型，本題的關(guān)鍵和難點是三個式子的變形，得到關(guān)于的不等式關(guān)系.7．A【分析】由題意，設(shè)Q（x0，y0），由G為△F1QF2的重心，得G點坐標(biāo)為（，），利用面積相等可得，×2c?|y0|=（2a+2c）||，從而求橢圓的離心率．【解析】橢圓的左右焦點分別為F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），設(shè)Q（x0，y0），∵G為△F1QF2的重心，∴G點坐標(biāo)為G（，），∵，則∥，∴I的縱坐標(biāo)為，又∵|QF1|+|QF2|=2a，|F1F2|=2c，∴=?|F1F2|?|y0|，又∵I為△F1QF2的內(nèi)心，∴||即為內(nèi)切圓的半徑，內(nèi)心I把△F1QF2分為三個底分別為△F1MF2的三邊，高為內(nèi)切圓半徑的小三角形，∴=（|QF1|+|F1F2|+|QF2|）||，即×2c?|y0|=（2a+2c）||，∴2c=a，∴橢圓C的離心率為e=，∴該橢圓的離心率，故選：A．【點評】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、三角形的重心與內(nèi)心的性質(zhì)、三角形面積計算公式、向量共線定理，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．8．【分析】首先找到特殊位置，即取P在上頂點時，內(nèi)心和重心都在y軸上，由于內(nèi)心和重心連線的斜率不隨著點P的運動而變化，可得：GI始終垂直于x軸，可得內(nèi)切圓半徑為y0，再利用等面積法列式解方程可得：.【解析】當(dāng)直線IG的傾斜角不隨著點P的運動而變化時，取P特殊情況在上頂點時，內(nèi)切圓的圓心在y軸上，重心也在y軸上，由此可得不論P在何處，GI始終垂直于x軸，設(shè)內(nèi)切圓與邊的切點分別為Q，N，A，如圖所示：設(shè)P在第一象限，坐標(biāo)為：（x0，y0）連接PO，則重心G在PO上，連接PI并延長交x軸于M點，連接GI并延長交x軸于N，則GN⊥x軸，作PE垂直于x軸交于E，可得重心G（，）所以I的橫坐標(biāo)也為，|ON|，由內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，PG=PA，F(xiàn)1Q=F1N，NF2=AF2，所以PF1﹣PF2=（PG+QF1）﹣（PA+AF2）=F1N﹣NF2=（F1O+ON）﹣（OF2﹣ON）=2ON，而PF1+PF2=2a，所以PF1=a，PF2=a，由角平分線的性質(zhì)可得，所以可得OM，所以可得MN=ON﹣OM，所以ME=OE﹣OM=x0，所以，即INPEy0，（PF1+F1F2+PF2）IN，即（2a+2c），所以整理為：，故答案為：.【點評】本題考查了求橢圓的離心率，考查了內(nèi)心和重心的概念，考查了轉(zhuǎn)化思想和較強的計算能力，其方法為根據(jù)條件得到關(guān)于，，的齊次式，化簡可得.本題屬于難題.9．【分析】利用已知條件和幾何關(guān)系找出圓錐母線與軸的夾角為，截面與軸的夾角為的余弦值，即可得出橢圓離心率．【解析】如圖，圓錐面與其內(nèi)切球，分別相切與，連接,則，，過作垂直于，連接，交于點C設(shè)圓錐母線與軸的夾角為，截面與軸的夾角為.

在中，，解得即則橢圓的離心率【點評】“雙球模型”橢圓離心率等于截面與軸的交角的余弦與圓錐母線與軸的夾角的余弦之比，即．10．【分析】設(shè)出的坐標(biāo),得到(用,表示)，求出，令，則，利用導(dǎo)數(shù)求得使取最小值的，可得，則橢圓離心率可求．【解析】解：，，設(shè)，，則，則，，，，令，則．，當(dāng)時，函數(shù)取得最小值．．，故答案為：．【點評】關(guān)鍵點點睛：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、關(guān)鍵利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值．11．，【分析】設(shè)方程為，聯(lián)立方程組求出，坐標(biāo)，進(jìn)而得出，的坐標(biāo)，由列方程得到關(guān)于的方程，令此方程有解得出，，的關(guān)系，從而得出離心率的范圍．【解析】設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，消元得，，，，，又，，是，的中點，，，，，以為直徑的圓恰經(jīng)過坐標(biāo)原點，，，即，，，即，存在符合條件的直線，使得，關(guān)于的方程有解，，即，，，，又，．故答案為：，．【點評】離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個重點也是難點，求離心率范圍應(yīng)先將用有關(guān)的一些量表示出來，再利用其中的一些關(guān)系構(gòu)造出關(guān)于的不等式，從而求出的范圍.12．【分析】設(shè)點，，坐標(biāo)分別為，則根據(jù)題意有，分別將點，，的坐標(biāo)代入橢圓方程得，然后聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理得到和的值，代入得到關(guān)于的齊次式，然后解出離心率.【解析】設(shè)，，坐標(biāo)分別為，因為的重心恰好是坐標(biāo)原點，則，則，代入橢圓方程可得，其中，所以……①因為直線的斜率為，且過左焦點，則的方程為：，聯(lián)立方程消去可得：，所以，……②所以……③，將②③代入①得，從而.故答案為：【點評】本題考查橢圓的離心率求解問題，難度較大.解答時,注意，，三點坐標(biāo)之間的關(guān)系，注意韋達(dá)定理在解題中的運用.13．【分析】由題意，設(shè)橢圓，，，，的中點為，由在內(nèi)，可得不等式，從而得到關(guān)于的不等式，解不等式可得的取值范圍，從而求得離心率的范圍.【解析】由題意，設(shè)橢圓，，，，的中點為，則，，兩式相減得，，而，.所以，所在直線的斜率，由，關(guān)于對稱，直線，故①，又在上，所以②，聯(lián)立①與②的方程，解得，，.由題意，在內(nèi)，可得，化簡，即，解得或.令橢圓的離心率為，當(dāng)時，的焦點在上，，即，故，所以；當(dāng)時，的焦點在上，，即，故，所以.由于，所以的離心率的取值范圍是.故答案為：.【點評】本題考查橢圓與直線方程、離心率等綜合知識以及推理論證與運算求解能力.14．【分析】首先設(shè)，過點切線為，根據(jù)直線與橢圓相切，聯(lián)立得到，因為，得到，即.從而得到到直線的距離為，利用點到距離的公式即可求出，再求離心率即可.【解析】設(shè)，過點切線為，由題知：聯(lián)立，因為直線與橢圓相切，所以，整理得：.設(shè)切線，的斜率分別為，，因為，所以，即.所以點在以為圓心，為半徑的圓上，即到直線的距離為.，解得.又因為，所以，.故答案為：【點評】本題主要考查離心率的求法，同時考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于難題.15．【分析】設(shè)，設(shè)出直線AB的參數(shù)方程，利用參數(shù)的幾何意義可得,由題意得到，據(jù)此求得離心率的取值范圍.【解析】設(shè)，直線AB的參數(shù)方程為，(為參數(shù))代入圓，化簡得：，，，，存在點，使得，，即，，，，故答案為：【點評】本題主要考查了橢圓離心率取值范圍的求解，考查直線、圓與橢圓的綜合運用，考查直線參數(shù)方程的運用，屬于中檔題.16．【分析】的軌跡方程為：，聯(lián)立方程化簡得到，根據(jù)對應(yīng)函數(shù)的對稱軸計算得到答案.【解析】橢圓上存在點M使，即的軌跡方程為：.聯(lián)立方程，化簡得到.易知：是方程的解，且時，.方程在上有解，只需滿足：，解得.故答案為：.【點評】本題考查了橢圓的離心率問題，確定的軌跡方程是解題的關(guān)鍵.17．【分析】設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的半實軸長，焦距．由橢圓及雙曲線定義用，表示出，，在△中根據(jù)余弦定理可得到，與的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為離心率，再由基本不等式得結(jié)論．【解析】解：如圖，設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的半實軸長為，則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義：，，，，設(shè)，，則：在△中由余弦定理得，，化簡得：，即，又，，即，即橢圓和雙曲線的離心率乘積的最小值為．故答案為：．【點評】本題考查圓錐曲線的共同特征，考查通過橢圓與雙曲線的定義求焦點三角形三邊長，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)所得出的條件靈活變形，求出焦點三角形的邊長，屬于中檔題．18．【解析】【分析】由題意設(shè)焦距為2c，橢圓長軸長