專題12：橢圓向量結(jié)合問題

第第頁(yè)參考答案1．（1）；（2）.【分析】（1）由條件可得，然后可得答案；（2）設(shè)方程為，，，聯(lián)立直線與橢圓的方程消元，然后韋達(dá)定理可得、，然后表示出，然后可得答案.【解析】（1）依題意有．即點(diǎn)軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓．故點(diǎn)的軌跡方程為．（2）設(shè)方程為，，，，，得，，．，當(dāng)時(shí)取最大值14．此時(shí)，∴，，．2．(1)(2)存在點(diǎn)，使得【分析】(1)將代入橢圓方程求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，從而可得答案.

(2)當(dāng)直線l與x軸不重合時(shí)，設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立，寫出韋達(dá)定理，將的坐標(biāo)表達(dá)式寫出來，將韋達(dá)定理代入，分析式子為定值的條件，再驗(yàn)證直線l與x軸重合時(shí)的情況，可得答案.【解析】(1)當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí),直線將代入，得，解得即,所以(2)設(shè)當(dāng)直線l與x軸不重合時(shí)，設(shè)由，可得則所以，當(dāng)，即時(shí)，的值為定值與無關(guān).當(dāng)直線l與x軸重合時(shí)，且時(shí)，所以存在點(diǎn)，使得為定值.【點(diǎn)評(píng)】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查橢圓中的弦長(zhǎng)和定點(diǎn)定值問題，解答本題的關(guān)鍵是由方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理，由向量數(shù)量積將韋達(dá)定理代入可得，從而得出答案，屬于中檔題.3．（1）；（2）；（3）.【分析】（1）求得橢圓的a，b，c，可得焦距2c；（2）設(shè)，代入，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線的距離公式，三角形的面積公式，解方程可得m，進(jìn)而得到直線方程；（3）求得M的坐標(biāo)，設(shè)N（x，y）是曲線C上一點(diǎn)，運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，可得，分別討論M在橢圓上和雙曲線上，化簡(jiǎn)整理可得所求范圍.【解析】解：（1）由橢圓：，可得，，，則橢圓的焦距為；（2）由，設(shè)，代入得，由，得，，所以，又Q到直線l的距離為，由，所以；（3）由，解得，設(shè)是曲線C上一點(diǎn)，則，，，所以；當(dāng)點(diǎn)N在曲線上時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)點(diǎn)N在曲線上時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，；綜上，.【點(diǎn)評(píng)】解決直線與橢圓的綜合問題時(shí)，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問題．4．（1）；（2）.【分析】（1）求得橢圓，得、坐標(biāo)，設(shè)，直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示可得答案；（2）設(shè)，則，表示與的距離的平方減去5的差，再轉(zhuǎn)化為圓心到點(diǎn)距離加減半徑的長(zhǎng)的平方減去5的取值范圍，可得答案.【解析】（1）設(shè)，直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立得，所以，因?yàn)?，所以，即，所以，整理得，點(diǎn)到直線的距離為，所以點(diǎn)的軌跡方程為.（2）由橢圓C:，得，右頂點(diǎn)，上頂點(diǎn)，設(shè)，則，表示與的距離的平方減去5的差，轉(zhuǎn)化為求圓上的點(diǎn)到的距離的平方減去5的取值范圍，再轉(zhuǎn)化為圓心到點(diǎn)距離加減半徑的長(zhǎng)的平方減去5的取值范圍，即為最大值為，最小值為所以的取值范圍.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的方程和性質(zhì)，以及直線和橢圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵點(diǎn)是利用韋達(dá)定理和向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查了分析問題、解決問題的能力，及運(yùn)算能力.5．（1）；（2）【分析】（1）由題意可知，，再結(jié)合，即可求得，從而得到橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，由題意可得，易知直線的方程為，由方程組可得，由方程組可得，結(jié)合，可得或，經(jīng)檢驗(yàn)的值為.【解析】（1）設(shè)橢圓右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)，由題意知，，即又橢圓離心率，即，又由，可得，從而．所以，橢圓的方程為．（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，由題意，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，，由，可知，即．由點(diǎn)，點(diǎn)，易知直線的方程為，由方程組消去y，QQ群333528558可得，由方程組消去，可得．由，可得，整理得，解得或．當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，，符合題意．所以，的值為．【點(diǎn)評(píng)】思路點(diǎn)睛：解決直線與橢圓的綜合問題時(shí)，要注意：（1）注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；（2）強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問題．6．（1）；（2）是定值，定值為.【分析】（1）推導(dǎo)出，利用橢圓的定義可知曲線為橢圓，確定焦點(diǎn)位置、長(zhǎng)軸長(zhǎng)以及焦距，可得出、的值，進(jìn)一步可得出的值，由此可得出曲線的方程；（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)直線的方程為，求出、的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)，利用斜率公式計(jì)算出，進(jìn)而可計(jì)算得出的值.【解析】（1）由于線段的垂直平分線交直線于，由中垂線的性質(zhì)可得，，所以動(dòng)點(diǎn)在以、為焦點(diǎn)的橢圓上，設(shè)該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)，則，，所以，，因此，曲線的方程為；（2）依題意可知直線、的斜率均存在且不為，設(shè)直線的方程為，設(shè)直線的方程為，則，.可得，，，設(shè)點(diǎn)，則有，可得，則，，，因此，（定值）.【點(diǎn)評(píng)】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．7．（1）；（2），.【分析】（1）用待定系數(shù)法求橢圓方程；（2）設(shè)出直線l，表示出M的坐標(biāo)，利用，求出點(diǎn)的坐標(biāo).【解析】（1）由題意可得：三角形為等腰直角三角形，所以2a=4，即a=2.又由，，所以，代入得：，解得：b=1.所以橢圓的方程為（2）由（1）可知.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的斜率顯然存在，設(shè)為，則直線的方程為于是，兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組，由方程組消去并整理，得由，得，從而，設(shè)線段是中點(diǎn)為，則的坐標(biāo)為以下分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.線段的垂直平分線為軸，于是，由得②當(dāng)時(shí)，線段的垂直平分線方程為令，解得，整理得，綜上或.點(diǎn)的坐標(biāo)是，.【點(diǎn)評(píng)】（1）待定系數(shù)法可以求二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）"坐標(biāo)法"是解析幾何中常見的基本方法，把題目中的條件用坐標(biāo)翻譯出來，把幾何條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算.8．（1）；（2）.【分析】（1）設(shè)代入橢圓方程兩式相減化簡(jiǎn)得，利用且OH的斜率為可得，結(jié)合可得答案；（2）設(shè)直線的方程，，求出直線的方程得到坐標(biāo)，求出直線的方程得到坐標(biāo)，聯(lián)立與橢圓的方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理表示，得到，再設(shè)，則再用表示可得答案.【解析】（1）由題意，設(shè)，直線與軸交于點(diǎn)，所以，又，兩式相減得，即，所以，又，所以，橢圓C的方程為.（2）由已知得，，設(shè)直線的方程為，，由的方程與橢圓的方程聯(lián)立，整理得，所以，直線的斜率為，，直線的斜率為，則，直線的斜率為，直線的方程為，則，，，所以，因?yàn)?，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以的取值范?【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的方程、直線和橢圓的位置關(guān)系，第一問中關(guān)鍵點(diǎn)是利用了點(diǎn)差法，第二問的關(guān)鍵點(diǎn)是利用韋達(dá)定理和表示，考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力，具有一定的難度.9．（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）由已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出、的值，即可得出橢圓的方程；（2）由題意可知，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、、，聯(lián)立直線與橢圓的方程，列出韋達(dá)定理，由，可得出、的表達(dá)式，結(jié)合韋達(dá)定理可計(jì)算得出為定值.【解析】（1）因?yàn)闄E圓的焦距為，所以，又橢圓過點(diǎn)，，且滿足，可得，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）設(shè)點(diǎn)、，，由題意可知，直線的斜率存在，可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，由于點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，直線與橢圓必有兩個(gè)交點(diǎn)，由韋達(dá)定理可得，，，，，得，，，，.【點(diǎn)評(píng)】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．10．（1）；（2）.【分析】（1）首先得到橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)橢圓的定義求，得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）分兩種情況討論，當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，得到的值，當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立得到，再和直線與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示，并求范圍.【解析】（1），焦點(diǎn)坐標(biāo),,根據(jù)橢圓定義可知，所以，所以橢圓方程是：（2）當(dāng)?shù)男甭蕿?時(shí)，，當(dāng)?shù)男甭什粸?時(shí)，設(shè)，代入橢圓C的方程可得由得又代入橢圓C的方程可得設(shè)，，則得∴令，∴綜上∴.【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用韋達(dá)定理，解決范圍問題，首先討論直線的斜率為0，這種情況容易忽略，代入韋達(dá)定理解決問題，注意計(jì)算，當(dāng)出現(xiàn)次數(shù)較高時(shí)，需觀察式子，合理利用換元，解決問題.11．（1）；（2）．【分析】（1）由題可得是等腰直角三角形，可得，即可求出離心率；（2）可得，，由向量關(guān)系求出點(diǎn)B坐標(biāo)，代入橢圓可求.【解析】（1），為上頂點(diǎn)，，，，．又，．（2）橢圓的焦距為，，．設(shè)，，．又，，，又點(diǎn)在橢圓上，，，又，，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量共線問題，解題的關(guān)鍵是將向量共線問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，利用點(diǎn)在橢圓上求參數(shù).12．（1）；（2）是，為定值.【分析】（1）由題可得，解方程組求出的值，QQ群333528558即可求解；（2）首先討論切線斜率不存在的情況計(jì)算的值，當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，點(diǎn)，，，利用直線與圓相切得出，并求出切點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用韋達(dá)定理可得，，化簡(jiǎn)計(jì)算即可求解.【解析】（1）由題可得，解得，所以橢圓的方程為．（2）①當(dāng)過點(diǎn)且與圓相切的切線斜率不存在時(shí)，由對(duì)稱性，不妨設(shè)切線方程為，則，，，所以．②當(dāng)過點(diǎn)且與圓相切的切線斜率存在時(shí)，不妨設(shè)切線的方程為，設(shè)點(diǎn)，，，將直線方程與圓的方程聯(lián)立并整理，得，由直線與圓相切易得圓心到直線的距離即，因?yàn)?，所以，?lián)立直線和橢圓的方程并整理，得，則，所以，．所以．綜上可知，為定值．【點(diǎn)評(píng)】思路點(diǎn)睛：圓錐曲線中求定值的問題，通常需要聯(lián)立方程，得到二次方程后利用韋達(dá)定理、結(jié)合題中條件（比如斜率關(guān)系，向量關(guān)系，距離關(guān)系，面積等）直接計(jì)算，即可求出結(jié)果，運(yùn)算量較大.QQ群33352855813．（1）；（2）；（3）證明見解析，定圓的方程為.【分析】（1）由協(xié)同圓的定義，結(jié)合橢圓方程的參數(shù)寫出協(xié)同圓圓的方程；（2）討論直線的斜率存在和不存在兩種情況：斜率不存在時(shí)，直接求出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求；斜率存在時(shí)，設(shè)聯(lián)立橢圓方程，由切線的性質(zhì)確定判別式符號(hào)，應(yīng)用根與系數(shù)關(guān)系、向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求；（3）設(shè)，則，討論有一條直線的斜率不存在和兩條直線的斜率都存在，分別求，，，由等面積法求，即可證結(jié)論，并寫出定圓方程.【解析】（1）由橢圓，知.根據(jù)協(xié)同圓的定義，可得該橢圓的協(xié)同圓為圓.（2）設(shè)，則.直線為圓的切線，分直線的斜率存在和不存在兩種情況討論：①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線.若，由，解得，此時(shí).若，同理得：.②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè).由，得，有，又直線是圓的切線，故，可得.∴，則，而.∴，即.綜上，恒有.（3）是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)且，設(shè)，則.直線：有一條直線的斜率不存在和兩條直線的斜率都存在兩種情況討論.若直線的斜率不存在，即點(diǎn)在軸上，則點(diǎn)在軸上，有.∴，，且，由，解得.若直線的斜率都存在，設(shè)，則.由，得，有；同理，得.于是，.由，可得.因此，總有，即點(diǎn)在圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為的圓上.∴該定圓的方程為圓.【點(diǎn)評(píng)】研究直線與曲線相交關(guān)系注意討論直線的斜率是否存在，求出交點(diǎn)坐標(biāo)或聯(lián)立橢圓、直線方程，根據(jù)判斷判別式的符號(hào)、根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合題設(shè)已知條件列方程求定值或定曲線.14．存在，且直線的方程為或.【分析】假設(shè)存在滿足題意的直線，對(duì)直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理或求出交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合可求出直線的方程.【解析】假設(shè)存在滿足