專題12:橢圓向量結(jié)合問題_第1頁(yè)
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第第頁(yè)參考答案1.(1);(2).【分析】(1)由條件可得,然后可得答案;(2)設(shè)方程為,,,聯(lián)立直線與橢圓的方程消元,然后韋達(dá)定理可得、,然后表示出,然后可得答案.【解析】(1)依題意有.即點(diǎn)軌跡是以,為焦點(diǎn)的橢圓.故點(diǎn)的軌跡方程為.(2)設(shè)方程為,,,,,得,,.,當(dāng)時(shí)取最大值14.此時(shí),∴,,.2.(1)(2)存在點(diǎn),使得【分析】(1)將代入橢圓方程求出點(diǎn)A,B的坐標(biāo),從而可得答案.

(2)當(dāng)直線l與x軸不重合時(shí),設(shè),與橢圓方程聯(lián)立,寫出韋達(dá)定理,將的坐標(biāo)表達(dá)式寫出來,將韋達(dá)定理代入,分析式子為定值的條件,再驗(yàn)證直線l與x軸重合時(shí)的情況,可得答案.【解析】(1)當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí),直線將代入,得,解得即,所以(2)設(shè)當(dāng)直線l與x軸不重合時(shí),設(shè)由,可得則所以,當(dāng),即時(shí),的值為定值與無關(guān).當(dāng)直線l與x軸重合時(shí),且時(shí),所以存在點(diǎn),使得為定值.【點(diǎn)評(píng)】關(guān)鍵點(diǎn)睛:本題考查橢圓中的弦長(zhǎng)和定點(diǎn)定值問題,解答本題的關(guān)鍵是由方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理,由向量數(shù)量積將韋達(dá)定理代入可得,從而得出答案,屬于中檔題.3.(1);(2);(3).【分析】(1)求得橢圓的a,b,c,可得焦距2c;(2)設(shè),代入,運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線的距離公式,三角形的面積公式,解方程可得m,進(jìn)而得到直線方程;(3)求得M的坐標(biāo),設(shè)N(x,y)是曲線C上一點(diǎn),運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算,可得,分別討論M在橢圓上和雙曲線上,化簡(jiǎn)整理可得所求范圍.【解析】解:(1)由橢圓:,可得,,,則橢圓的焦距為;(2)由,設(shè),代入得,由,得,,所以,又Q到直線l的距離為,由,所以;(3)由,解得,設(shè)是曲線C上一點(diǎn),則,,,所以;當(dāng)點(diǎn)N在曲線上時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以;當(dāng)點(diǎn)N在曲線上時(shí),;當(dāng)時(shí),,;綜上,.【點(diǎn)評(píng)】解決直線與橢圓的綜合問題時(shí),要注意:(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件,明確確定直線、橢圓的條件;(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力,重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問題.4.(1);(2).【分析】(1)求得橢圓,得、坐標(biāo),設(shè),直線的方程為,與橢圓方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理表示可得答案;(2)設(shè),則,表示與的距離的平方減去5的差,再轉(zhuǎn)化為圓心到點(diǎn)距離加減半徑的長(zhǎng)的平方減去5的取值范圍,可得答案.【解析】(1)設(shè),直線的方程為,與橢圓方程聯(lián)立得,所以,因?yàn)?,所以,即,所以,整理得,點(diǎn)到直線的距離為,所以點(diǎn)的軌跡方程為.(2)由橢圓C:,得,右頂點(diǎn),上頂點(diǎn),設(shè),則,表示與的距離的平方減去5的差,轉(zhuǎn)化為求圓上的點(diǎn)到的距離的平方減去5的取值范圍,再轉(zhuǎn)化為圓心到點(diǎn)距離加減半徑的長(zhǎng)的平方減去5的取值范圍,即為最大值為,最小值為所以的取值范圍.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的方程和性質(zhì),以及直線和橢圓的位置關(guān)系,關(guān)鍵點(diǎn)是利用韋達(dá)定理和向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示,考查了分析問題、解決問題的能力,及運(yùn)算能力.5.(1);(2)【分析】(1)由題意可知,,再結(jié)合,即可求得,從而得到橢圓的方程;(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為,點(diǎn)M的坐標(biāo)為,由題意可得,易知直線的方程為,由方程組可得,由方程組可得,結(jié)合,可得或,經(jīng)檢驗(yàn)的值為.【解析】(1)設(shè)橢圓右頂點(diǎn)為,上頂點(diǎn),由題意知,,即又橢圓離心率,即,又由,可得,從而.所以,橢圓的方程為.(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為,點(diǎn)M的坐標(biāo)為,由題意,,則點(diǎn)的坐標(biāo)為,,由,可知,即.由點(diǎn),點(diǎn),易知直線的方程為,由方程組消去y,QQ群333528558可得,由方程組消去,可得.由,可得,整理得,解得或.當(dāng)時(shí),,不合題意,舍去;當(dāng)時(shí),,,符合題意.所以,的值為.【點(diǎn)評(píng)】思路點(diǎn)睛:解決直線與橢圓的綜合問題時(shí),要注意:(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件,明確確定直線、橢圓的條件;(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力,重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問題.6.(1);(2)是定值,定值為.【分析】(1)推導(dǎo)出,利用橢圓的定義可知曲線為橢圓,確定焦點(diǎn)位置、長(zhǎng)軸長(zhǎng)以及焦距,可得出、的值,進(jìn)一步可得出的值,由此可得出曲線的方程;(2)設(shè)直線的方程為,設(shè)直線的方程為,求出、的坐標(biāo),設(shè)點(diǎn),利用斜率公式計(jì)算出,進(jìn)而可計(jì)算得出的值.【解析】(1)由于線段的垂直平分線交直線于,由中垂線的性質(zhì)可得,,所以動(dòng)點(diǎn)在以、為焦點(diǎn)的橢圓上,設(shè)該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,設(shè),則,,所以,,因此,曲線的方程為;(2)依題意可知直線、的斜率均存在且不為,設(shè)直線的方程為,設(shè)直線的方程為,則,.可得,,,設(shè)點(diǎn),則有,可得,則,,,因此,(定值).【點(diǎn)評(píng)】方法點(diǎn)睛:求定值問題常見的方法有兩種:(1)從特殊入手,求出定值,再證明這個(gè)值與變量無關(guān);(2)直接推理、計(jì)算,并在計(jì)算推理的過程中消去變量,從而得到定值.7.(1);(2),.【分析】(1)用待定系數(shù)法求橢圓方程;(2)設(shè)出直線l,表示出M的坐標(biāo),利用,求出點(diǎn)的坐標(biāo).【解析】(1)由題意可得:三角形為等腰直角三角形,所以2a=4,即a=2.又由,,所以,代入得:,解得:b=1.所以橢圓的方程為(2)由(1)可知.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,直線的斜率顯然存在,設(shè)為,則直線的方程為于是,兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組,由方程組消去并整理,得由,得,從而,設(shè)線段是中點(diǎn)為,則的坐標(biāo)為以下分兩種情況:①當(dāng)時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)為.線段的垂直平分線為軸,于是,由得②當(dāng)時(shí),線段的垂直平分線方程為令,解得,整理得,綜上或.點(diǎn)的坐標(biāo)是,.【點(diǎn)評(píng)】(1)待定系數(shù)法可以求二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)"坐標(biāo)法"是解析幾何中常見的基本方法,把題目中的條件用坐標(biāo)翻譯出來,把幾何條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算.8.(1);(2).【分析】(1)設(shè)代入橢圓方程兩式相減化簡(jiǎn)得,利用且OH的斜率為可得,結(jié)合可得答案;(2)設(shè)直線的方程,,求出直線的方程得到坐標(biāo),求出直線的方程得到坐標(biāo),聯(lián)立與橢圓的方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理表示,得到,再設(shè),則再用表示可得答案.【解析】(1)由題意,設(shè),直線與軸交于點(diǎn),所以,又,兩式相減得,即,所以,又,所以,橢圓C的方程為.(2)由已知得,,設(shè)直線的方程為,,由的方程與橢圓的方程聯(lián)立,整理得,所以,直線的斜率為,,直線的斜率為,則,直線的斜率為,直線的方程為,則,,,所以,因?yàn)?,設(shè),則,因?yàn)?,所以,所以的取值范?【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的方程、直線和橢圓的位置關(guān)系,第一問中關(guān)鍵點(diǎn)是利用了點(diǎn)差法,第二問的關(guān)鍵點(diǎn)是利用韋達(dá)定理和表示,考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力,具有一定的難度.9.(1);(2)證明見解析.【分析】(1)由已知條件可得出關(guān)于、的方程組,解出、的值,即可得出橢圓的方程;(2)由題意可知,直線的斜率存在,設(shè)直線的方程為,設(shè)點(diǎn)、、,聯(lián)立直線與橢圓的方程,列出韋達(dá)定理,由,可得出、的表達(dá)式,結(jié)合韋達(dá)定理可計(jì)算得出為定值.【解析】(1)因?yàn)闄E圓的焦距為,所以,又橢圓過點(diǎn),,且滿足,可得,,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:;(2)設(shè)點(diǎn)、,,由題意可知,直線的斜率存在,可設(shè)直線的方程為,聯(lián)立,可得,由于點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部,直線與橢圓必有兩個(gè)交點(diǎn),由韋達(dá)定理可得,,,,,得,,,,.【點(diǎn)評(píng)】方法點(diǎn)睛:求定值問題常見的方法有兩種:(1)從特殊入手,求出定值,再證明這個(gè)值與變量無關(guān);(2)直接推理、計(jì)算,并在計(jì)算推理的過程中消去變量,從而得到定值.10.(1);(2).【分析】(1)首先得到橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo),再根據(jù)橢圓的定義求,得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)分兩種情況討論,當(dāng)直線的斜率為0時(shí),得到的值,當(dāng)直線的斜率不為0時(shí),設(shè),與橢圓方程聯(lián)立得到,再和直線與橢圓方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)的關(guān)系表示,并求范圍.【解析】(1),焦點(diǎn)坐標(biāo),,根據(jù)橢圓定義可知,所以,所以橢圓方程是:(2)當(dāng)?shù)男甭蕿?時(shí),,當(dāng)?shù)男甭什粸?時(shí),設(shè),代入橢圓C的方程可得由得又代入橢圓C的方程可得設(shè),,則得∴令,∴綜上∴.【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用韋達(dá)定理,解決范圍問題,首先討論直線的斜率為0,這種情況容易忽略,代入韋達(dá)定理解決問題,注意計(jì)算,當(dāng)出現(xiàn)次數(shù)較高時(shí),需觀察式子,合理利用換元,解決問題.11.(1);(2).【分析】(1)由題可得是等腰直角三角形,可得,即可求出離心率;(2)可得,,由向量關(guān)系求出點(diǎn)B坐標(biāo),代入橢圓可求.【解析】(1),為上頂點(diǎn),,,,.又,.(2)橢圓的焦距為,,.設(shè),,.又,,,又點(diǎn)在橢圓上,,,又,,∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量共線問題,解題的關(guān)鍵是將向量共線問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系,利用點(diǎn)在橢圓上求參數(shù).12.(1);(2)是,為定值.【分析】(1)由題可得,解方程組求出的值,QQ群333528558即可求解;(2)首先討論切線斜率不存在的情況計(jì)算的值,當(dāng)切線斜率存在時(shí),設(shè)切線方程為,點(diǎn),,,利用直線與圓相切得出,并求出切點(diǎn)坐標(biāo),聯(lián)立直線與橢圓的方程,利用韋達(dá)定理可得,,化簡(jiǎn)計(jì)算即可求解.【解析】(1)由題可得,解得,所以橢圓的方程為.(2)①當(dāng)過點(diǎn)且與圓相切的切線斜率不存在時(shí),由對(duì)稱性,不妨設(shè)切線方程為,則,,,所以.②當(dāng)過點(diǎn)且與圓相切的切線斜率存在時(shí),不妨設(shè)切線的方程為,設(shè)點(diǎn),,,將直線方程與圓的方程聯(lián)立并整理,得,由直線與圓相切易得圓心到直線的距離即,因?yàn)?,所以,?lián)立直線和橢圓的方程并整理,得,則,所以,.所以.綜上可知,為定值.【點(diǎn)評(píng)】思路點(diǎn)睛:圓錐曲線中求定值的問題,通常需要聯(lián)立方程,得到二次方程后利用韋達(dá)定理、結(jié)合題中條件(比如斜率關(guān)系,向量關(guān)系,距離關(guān)系,面積等)直接計(jì)算,即可求出結(jié)果,運(yùn)算量較大.QQ群33352855813.(1);(2);(3)證明見解析,定圓的方程為.【分析】(1)由協(xié)同圓的定義,結(jié)合橢圓方程的參數(shù)寫出協(xié)同圓圓的方程;(2)討論直線的斜率存在和不存在兩種情況:斜率不存在時(shí),直接求出交點(diǎn)坐標(biāo),利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求;斜率存在時(shí),設(shè)聯(lián)立橢圓方程,由切線的性質(zhì)確定判別式符號(hào),應(yīng)用根與系數(shù)關(guān)系、向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求;(3)設(shè),則,討論有一條直線的斜率不存在和兩條直線的斜率都存在,分別求,,,由等面積法求,即可證結(jié)論,并寫出定圓方程.【解析】(1)由橢圓,知.根據(jù)協(xié)同圓的定義,可得該橢圓的協(xié)同圓為圓.(2)設(shè),則.直線為圓的切線,分直線的斜率存在和不存在兩種情況討論:①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),直線.若,由,解得,此時(shí).若,同理得:.②當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè).由,得,有,又直線是圓的切線,故,可得.∴,則,而.∴,即.綜上,恒有.(3)是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)且,設(shè),則.直線:有一條直線的斜率不存在和兩條直線的斜率都存在兩種情況討論.若直線的斜率不存在,即點(diǎn)在軸上,則點(diǎn)在軸上,有.∴,,且,由,解得.若直線的斜率都存在,設(shè),則.由,得,有;同理,得.于是,.由,可得.因此,總有,即點(diǎn)在圓心為坐標(biāo)原點(diǎn),半徑為的圓上.∴該定圓的方程為圓.【點(diǎn)評(píng)】研究直線與曲線相交關(guān)系注意討論直線的斜率是否存在,求出交點(diǎn)坐標(biāo)或聯(lián)立橢圓、直線方程,根據(jù)判斷判別式的符號(hào)、根與系數(shù)關(guān)系,結(jié)合題設(shè)已知條件列方程求定值或定曲線.14.存在,且直線的方程為或.【分析】假設(shè)存在滿足題意的直線,對(duì)直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論,將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,列出韋達(dá)定理或求出交點(diǎn)坐標(biāo),結(jié)合可求出直線的方程.【解析】假設(shè)存在滿足

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