2022-2023學(xué)年上海初二下學(xué)期同步講義第16講 動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的面積問(wèn)題(含詳解)

第16講動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的面積問(wèn)題運(yùn)動(dòng)變化題是隨著圖形的某一元素的運(yùn)動(dòng)變化，導(dǎo)致問(wèn)題的結(jié)論改變或者保持不變的幾何題，它揭示了“運(yùn)動(dòng)”與“靜止”、“一般”與“特殊”的內(nèi)在聯(lián)系.解題的關(guān)鍵是分清幾何元素運(yùn)動(dòng)的方向和捷徑，注意在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中哪些是變量，哪些不是變量，通常要根據(jù)幾何元素所處的不同位置加以分類討論，同時(shí)，綜合運(yùn)用勾股定理、方程和函數(shù)等知識(shí)，本節(jié)課的內(nèi)容涉及三角形、特殊的四邊形的面積問(wèn)題.模塊一：面積計(jì)算的問(wèn)題知識(shí)精講本節(jié)主要是在函數(shù)背景下求三角形或四邊形的面積問(wèn)題，較復(fù)雜的題目可以采取“割補(bǔ)”的思想構(gòu)造較簡(jiǎn)單的圖形進(jìn)行求解.例題解析例1.(2018?上海八年級(jí)期中)一次函數(shù)y=-2x+m的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸(-2,3),且與x軸、丁軸分別交于點(diǎn)A、8,求△408的面積.例2.(2020?上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期中)一次函數(shù)y=(/n-2)x”fM-2+〃的圖像y隨x增大而減小，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)41,6).求(1)mn的值：(2)求該直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積及坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離.A的坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)。的坐標(biāo)為(0,4),直線。/〃x軸.點(diǎn)8與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，直線y=x+b(〃為常數(shù))經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,且與直線CM相交于點(diǎn)O.(1)求匕的值和點(diǎn)。的坐標(biāo)；(2)在x軸上有一點(diǎn)。，使的面積為8,求。點(diǎn)的坐標(biāo)：(3)在x軸的正半軸上是否存在一點(diǎn)P,使得APOO為等腰三角形，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.例4.(2020?上海市位育實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)月考)如圖，直線4的解析式為y=-3x+3,且/i與x軸交于點(diǎn)D,直線上經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,B,兩條直線交于點(diǎn)C,在直線/2上存在一點(diǎn)P，使得4ADP的面積是4ADC面積的2倍，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)為例5.(2020?上海市南匯第四中學(xué)八年級(jí)月考)如圖，直線L:y=-」x+3與x軸、y軸分別交于A、8兩點(diǎn)，在y軸上有一點(diǎn)。(。,9),動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)以每秒2個(gè)單位的速度沿x軸向左移動(dòng).(1)求A、8兩點(diǎn)的坐標(biāo)(2)求VCQ0的面積S與M的移動(dòng)時(shí)間，(秒)之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)當(dāng)，何值時(shí)△COA/gAAOB,并求此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo).(4)當(dāng)f何值時(shí)VCOM的面積是aAOB-半，并求此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo).過(guò)點(diǎn)A(1,m),與x軸、y軸分別相交于B、C兩點(diǎn)，且NAB0=45°,設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3,0)(1)求m的值；(2)聯(lián)結(jié)CD、AD,求4ACD的面積;(3)設(shè)點(diǎn)E為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)NADC=/ECD時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo).例7..(2019?上海市市西初級(jí)中學(xué)八年級(jí)期中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(-6,0),8(T,3),邊48上有一點(diǎn)P(見(jiàn)2),點(diǎn)C,。分別在邊。A,OBh,聯(lián)結(jié)(1)求直線A8的解析式及點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2當(dāng)CQ=8Q時(shí)，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；(3)在(2)的條件下，點(diǎn)R在射線8c上，5刖什0=5AM0,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)/?的坐標(biāo).例8.(2020?上海嘉定區(qū)?八年級(jí)期末)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知一次函數(shù)4丁=一二3+6的圖像與4軸、》軸分別相交于點(diǎn)a、b,且與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的3面積為6.(1)直接寫(xiě)出點(diǎn)A與點(diǎn)8的坐標(biāo)(用含方的代數(shù)式表示)；(2)求力的值：4(3)如果一次函數(shù)y= +b的圖像經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,m),其中6>0,試用含m的代數(shù)式表示△ABC的面積.例9.（2020?上海金山區(qū)?八年級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)y=Ax（人/0）的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)41,；），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2,6）.（1）求女的值；（2）求AQ4B的面積：（3）若點(diǎn)。（不與點(diǎn)A重合）在此正比例函數(shù)〉=依仕/0）圖像上，且點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為a,求AABC的面積.（用a的代數(shù)式表示）3例10.(2019?上海市西延安中學(xué)八年級(jí)期中)已知一次函數(shù)y=--x+6的圖象與坐標(biāo)軸交4于A、B點(diǎn)(如圖)，AE平分NBA0,交x軸于點(diǎn)E.(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)求直線AE的表達(dá)式；(3)過(guò)點(diǎn)B作BF_LAE,垂足為F,連接OF,試判斷△OFB的形狀，并求△OFB的面積.例11.如圖，已知直線/：y=-2x+2與x軸、y軸分別交于點(diǎn)反C,將直線y□向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到直線用，點(diǎn)。是直線用與y軸的交點(diǎn)，求四邊形溝物的面積.例12.如圖，已知直線16：y=x+2與直線曲：y=；x交于點(diǎn)4與直線仍：y=3x交于例13.如圖，已知直線y=x+3的圖像與x軸、y軸分別交于4、8兩點(diǎn)，直線/經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，與線段46交于點(diǎn)G把如的面積分為2：1兩部分，求直線/的解析式.0例14.如圖，已知，在矩形46(力中，力值10,叱12,四邊形跖第的三個(gè)頂點(diǎn)反F、〃分別在矩形4閱9邊四、BC、以上，4斤2.(1)如圖1,當(dāng)四邊形班第為正方形時(shí)，求△療。的面積；(2)如圖2,當(dāng)四邊形歐W為菱形，且上a時(shí)，求匕的面積.(用含a的代數(shù)式表示)例15.如圖1,正方形48力的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)/(0,1)和點(diǎn)〃在y軸正半軸上，點(diǎn)以C在第一象限，一次函數(shù)尸履+2的圖像/交力〃、或分別于區(qū)F.(1)若△麻與△6"的面積比為1：2,求A的值;(2)聯(lián)結(jié)典當(dāng)跖平分/曲時(shí)，求★的值.例16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)尸2x+12的圖像分別交/軸、y軸于4、B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)4的直線交y軸正半軸于點(diǎn)機(jī)且點(diǎn)〃為線段辦的中點(diǎn).(1)求直線力/的表達(dá)式；(2)試在直線4〃上找一點(diǎn)尸，使得心仙=8彳胸請(qǐng)求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)〃為坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)"使以1、B、M、〃為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形?若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)〃的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.例17.如圖1,已知直角坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)小2,0),尸是函數(shù)尸x(x>0)圖像上一點(diǎn)，PQL［夕交y軸正半軸于點(diǎn)Q.(1)試證明：AP=P@(2)設(shè)點(diǎn)〃的橫坐標(biāo)為a,點(diǎn)。的縱坐標(biāo)為b,那么6關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式是—(3)當(dāng)叢的=*版.時(shí)，求點(diǎn)〃的坐標(biāo).3模塊二：與面積相關(guān)的函數(shù)解析式知識(shí)精講本節(jié)主要研究點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)的背景下，產(chǎn)生的面積與動(dòng)點(diǎn)之間的關(guān)系，關(guān)鍵點(diǎn)是找出決定這個(gè)面積變化的幾個(gè)量是怎樣變化的，重點(diǎn)在于思維能力的培養(yǎng)，難度較大.例題解析例1.如圖，矩形4頗中，AB=1,［介2,材是切的中點(diǎn)，點(diǎn)一在矩形的邊上沿Af 運(yùn)動(dòng),試寫(xiě)出△/￥的面積y與點(diǎn)〃經(jīng)過(guò)的路程x之間的函數(shù)關(guān)系，寫(xiě)出定義域，并畫(huà)出函數(shù)圖像.DMDM例2.如圖，在梯形4閱9中，AD//BC,A4gAD=5cm,充=11的點(diǎn)。從點(diǎn)〃出發(fā)沿的邊以每秒1頌的速度移動(dòng)，點(diǎn)0從點(diǎn)8出發(fā)沿回邊以每秒2M的速度移動(dòng)(當(dāng)點(diǎn)尸到達(dá)點(diǎn)｛時(shí)，點(diǎn)一與點(diǎn)0同時(shí)停止移動(dòng))，假設(shè)點(diǎn)。移動(dòng)的時(shí)間為x(秒)，四邊形四0P的面積為y(cm').(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出它的定義域；(2)在移動(dòng)的過(guò)程中，求四邊形力戚的面積與四邊形直加的面積相等時(shí)x的值：(3)在移動(dòng)過(guò)程中，是否存在x使得用=/6,若存在，求出所有的x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.例3.已知：如圖1,在線段46的同側(cè)作正方形［四和正方形BEFG(BEVAB),連結(jié)能并延長(zhǎng)交DC于點(diǎn)M,作"_￡”，垂足為％MN交.BD于P.設(shè)正方形松力的邊長(zhǎng)為1.(1)證明：叢CMGQ4NBP；(2)設(shè).BE=x,四邊形耿況V的面積為y,求y關(guān)于*的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出定義域:(3)如果按照題設(shè)方法作出的四邊形6G即是菱形，求應(yīng)的長(zhǎng).ANBANB例4.已知：在梯形｛頗中，AD//BC,Z5=90°,AB=BX4,點(diǎn)￡在邊46上，CE=CD.(1)如圖1,當(dāng)/靦為銳角時(shí)，設(shè)應(yīng)的面積為y,求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域；(2)當(dāng)勿=5時(shí)，求AG宏的面積.例5.如圖1,四邊形的該是矩形，點(diǎn)/、C的坐標(biāo)分別為(3,0),(0,1),點(diǎn)〃是線段優(yōu)上的動(dòng)點(diǎn)(與端點(diǎn)6、。不重合)，過(guò)點(diǎn)〃作直線y=-」x+加交折線力6于點(diǎn)反2(1)當(dāng)點(diǎn)￡恰為48中點(diǎn)時(shí)，求卬的值；(2)當(dāng)點(diǎn)￡在線段OA上，記△眺的面積為外求y與0的函數(shù)關(guān)系式并寫(xiě)出定義域；(3)當(dāng)點(diǎn)〃在線段的上時(shí)，若矩形的故關(guān)于直線龍的對(duì)稱圖形為四邊形試判斷四邊形。46G與矩形曲斷的重疊部分的面積是否發(fā)生變化，若不變，寫(xiě)出該重疊部分的面積；若改變，寫(xiě)出重疊部分面積S關(guān)于0的函數(shù)關(guān)系式.例6.如圖1,在正方形”或中，點(diǎn)K在邊四上(點(diǎn)E與點(diǎn)4、6不重合)，過(guò)點(diǎn)E作R；_LDE,FG與邊BC相交于點(diǎn)F,與邊力的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G.(1)當(dāng)￡是四中點(diǎn)時(shí)，求證46=明(2)當(dāng)K在邊46上移動(dòng)時(shí)，觀察如、AG、451之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系?并證明你所得到的結(jié)論；(1)聯(lián)結(jié)如，如果正方形的邊長(zhǎng)為2,設(shè)/歹=x,△〃對(duì)的面積為y,求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域.例7.如圖1,梯形曲(力中，AD//BC,N490°,上18,犯=21.點(diǎn)一從點(diǎn)/出發(fā)沿以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)〃勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。從點(diǎn)，沿⑶以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)6勻速運(yùn)動(dòng).點(diǎn)P、。同時(shí)出發(fā)，其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.(1)當(dāng)46=10時(shí)，設(shè)從B、Q、。四點(diǎn)構(gòu)成的圖形的面積為S,求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出定義域；(2)設(shè)反F為AB、5的中點(diǎn)，求四邊形包0是平行四邊形時(shí)t的值.例8.如圖1,在菱形48(力中，N5=45°,AB=\.左右作平行移動(dòng)的正方形必第的兩個(gè)頂點(diǎn)尺G始終在邊比'上.當(dāng)點(diǎn)G到邊6c中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)￡恰好在邊四上.(1)如圖1,求正方形夕詡的邊長(zhǎng);(2)設(shè)點(diǎn)6與點(diǎn)尸的距離為*,在正方形班第作平行移動(dòng)的過(guò)程中，正方形加第與菱形力及力重疊部分的面積為y,求y與x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出它的定義域;(3)聯(lián)結(jié)必HC,當(dāng)△破'是等腰三角形時(shí)，求跖的長(zhǎng).例9.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形切回是矩形，4(0,4),<7(5,0),點(diǎn)〃是y軸正半軸上一點(diǎn)，將四邊形如比'沿著過(guò)點(diǎn)〃的直線翻折，使得點(diǎn)。落在線段46上的點(diǎn)￡處.過(guò)點(diǎn)￡作了軸的平行線與x軸交于點(diǎn)'折痕與直線打交于點(diǎn)M,聯(lián)結(jié)DE、OM.設(shè)OD=t,MN=s.(1)試判斷四邊形瓦)QV的形狀，并證明；(2)當(dāng)點(diǎn)〃在線段如上時(shí)，求s關(guān)于t的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域;(3)用含t的代數(shù)式表示四邊形敢物與矩形刃砥重疊部分的面積.

例10.已知：如圖1,梯形4a。中，AD//BC,N4=90°,NQ45°,AB=AD=\.￡是直線｛〃上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)比；過(guò)點(diǎn)￡作打工緲交直線位于點(diǎn)式.聯(lián)結(jié)質(zhì)(1)若點(diǎn)￡是線段4〃上一點(diǎn)(與點(diǎn)4、〃不重合)，(如圖1所示)①求證：BE=EF；②設(shè).DE=x,△啊'的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出此函數(shù)的定義域：(2)直線4〃上是否存在一點(diǎn)E,使△戚是跖面積的3倍，若存在，直接寫(xiě)出"的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.例11.如圖，已知正方形46繆的邊長(zhǎng)為3,菱形的W的三個(gè)頂點(diǎn)區(qū)G、〃分別在正方形的邊AB、CD、DA上,AH=\,聯(lián)結(jié)或(1)當(dāng)?shù)?1時(shí)，求證菱形仍組為正方形；(2)設(shè)加=x, 的面積為％寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出x的取值范圍；(3)當(dāng)％時(shí)，求/腌的度數(shù).3例12.已知：如圖，四邊形曲比的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為。(0,0),4(8,0),6(4,4),C(0,4),直線/：尸x+必保持與四邊形6146c的邊交于點(diǎn)〃、N(〃在折線［比'上，》在折線胸上).設(shè)四邊形物回在/右下方部分的面積為S,在/左上方部分的面積為S,記5=$一￡(5^0).(1)求NO45的大?。?2)當(dāng).伙及重合時(shí)，求/的解析式；(3)當(dāng)后0時(shí)，線段46上是否存在點(diǎn)兒使得S=0?若存在，求m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

(4)求S與〃的函數(shù)關(guān)系式.例13.在邊長(zhǎng)為4的正方形4及力中，點(diǎn)。是對(duì)角線〃'的中點(diǎn)，〃是對(duì)角線4c上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)、P作PRLCD于點(diǎn)F,作PE工PB交直線CD于點(diǎn)、E,設(shè)阱x,S^KE=y.(1)求證：D尺EF；(2)當(dāng)點(diǎn)一在線段40上時(shí)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍；(3)點(diǎn)尸在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中能否使△皈為等腰三角形?如果能，請(qǐng)直接寫(xiě)出必的長(zhǎng)；如果不能，請(qǐng)簡(jiǎn)單說(shuō)明理由.隨堂檢測(cè).如圖，直線y=-±x+4與y軸交于點(diǎn)4,與直線y=3*+±交于點(diǎn)6,且直線y=3x+33 5 5 5 5與x軸交于點(diǎn)G求△4回的面積..已知直線y=-x+2與x軸、y軸分別交于/點(diǎn)和6點(diǎn)，另一條直線y=Ax+爾/#0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，（1,0）,且把△加0分成兩部分.若△［必被分成的兩部分面積比為1：5,求“和6的值..直線y=-3x+6與坐標(biāo)軸分別交與點(diǎn)4、8兩點(diǎn)，點(diǎn)尸、0同時(shí)從。點(diǎn)出發(fā)，同時(shí)到達(dá)/4點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)停止.點(diǎn)。沿線段面運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)尸沿OfBfA運(yùn)動(dòng).（1）直接寫(xiě)出4、6兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)點(diǎn)0的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒，△〃圖的面積為S,求出S與1之間的函數(shù)關(guān)系；（3）當(dāng)5=竺時(shí)，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)，并直接寫(xiě)出以點(diǎn)0、P、。為頂點(diǎn)的平行四5邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)材的坐標(biāo).

.如圖，已知：過(guò)點(diǎn)1(8,0)、B(0,873)兩點(diǎn)的直線與直線y=7Ir交于點(diǎn)C,平行于y軸的直線,從原點(diǎn)。出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸向右平移，到C點(diǎn)時(shí)停止；/分別交線段及7、小于點(diǎn)心E,以龍為邊向左側(cè)作等邊△〃玨設(shè)△龍尸與△及力重疊部分的面積為S(平方單位)，直線)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒).(1)寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo)和t的取值范圍；(2)求s與t的函數(shù)關(guān)系式.第16講動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的面積問(wèn)題運(yùn)動(dòng)變化題是隨著圖形的某一元素的運(yùn)動(dòng)變化，導(dǎo)致問(wèn)題的結(jié)論改變或者保持不變的幾何題，它揭示了“運(yùn)動(dòng)”與“靜止”、“一般”與“特殊”的內(nèi)在聯(lián)系.解題的關(guān)鍵是分清幾何元素運(yùn)動(dòng)的方向和捷徑，注意在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中哪些是變量，哪些不是變量，通常要根據(jù)幾何元素所處的不同位置加以分類討論，同時(shí)，綜合運(yùn)用勾股定理、方程和函數(shù)等知識(shí)，本節(jié)課的內(nèi)容涉及三角形、特殊的四邊形的面積問(wèn)題.模塊一：面積計(jì)算的問(wèn)題知識(shí)精講本節(jié)主要是在函數(shù)背景下求三角形或四邊形的面積問(wèn)題，較復(fù)雜的題目可以采取“割補(bǔ)”的思想構(gòu)造較簡(jiǎn)單的圖形進(jìn)行求解.例題解析例1.（2018?上海八年級(jí)期中）一次函數(shù)y=-2x+m的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸（-2,3）,且與x軸、＞軸分別交于點(diǎn)A、8,求△408的面積.【答案】-4【詳解】先將點(diǎn)尸坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，可求出加值，再根據(jù)函數(shù)解析式求出力、6兩點(diǎn)坐標(biāo)即可求出AAOB的面積.解：將尸（一2,3）代入y=-2x+/n得，m=l,/.y=-2x-l.當(dāng)y=0時(shí)，x=-g，，點(diǎn)力坐標(biāo)為（一二，0）,2當(dāng)x=0時(shí)，y=-1,???點(diǎn)8坐標(biāo)為(0,-1),OA=~,OB=\.2：.S.n?=-OAOB=-x-x1=-.2 22 4例2.(2020?上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期中)一次函數(shù)丫=(加-2)/七22+〃的圖像丁隨x增大而減小，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(1,6).求(1)mn的值；(2)求該直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積及坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離.【答案】⑴mn=-9t(2)該直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為二.坐標(biāo)原點(diǎn)到2線的距離為得標(biāo).【分析】(1)由一次函數(shù)的定義和性質(zhì)列出方程和不等式求出m的值，代入A點(diǎn)坐標(biāo)，可求出n值；(2)由解析式可得丁軸截距與1軸截距，然后根據(jù)三角形面枳公式求解；利用勾股定理求出直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的斜邊長(zhǎng)，然后用等積法求解.【詳解】解：(1)???y=(x—2)/f吁2+〃是一次函數(shù)'?nr-2m-2=l即(w-3)(?n+1)=0解得班=3；叫二一1.又丁丁隨冗增大而減小*-m—2<0即〃2V2m=—1??一次函數(shù)解析式為：y=-3x+n代入點(diǎn)A(l,6)得6=-3+〃n=9.二一9(2)由(1)得：y=-3x+9y軸截距：b=9b9x軸截距：一7=一一-=3k-3■該直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積:Lb,_2=_Lx3x9=2■該直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積:Lb,_2=_Lx3x9=2該直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的斜邊長(zhǎng):S2+b2=v32+92=3\/10求b的值和點(diǎn)。的坐標(biāo);求b的值和點(diǎn)。的坐標(biāo);(2)在x軸上有一點(diǎn)。，使的面積為8,求。點(diǎn)的坐標(biāo);設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為〃.有S=Lx3Vi5x〃=N2 2/j=—Vioio?1.坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為奈何.【點(diǎn)睛】此題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵.例3.（2019?上海市閔行區(qū)七寶第二中學(xué)八年級(jí)期中）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，。為原點(diǎn)，點(diǎn)4的坐標(biāo)為（1,0）,點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,4）,直線。/〃x軸.點(diǎn)5與點(diǎn)4關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，直線y=x+b（b為常數(shù)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,且與直線CM相交于點(diǎn)O.(1)(3)在x軸的正半軸上是否存在一點(diǎn)尸，使得APOO為等腰三角形，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)【答案】⑴b=\,53,4)；(2)Q(3,0)或Q2(-5,O).⑶存在.[(5,0)或￡(6,0)或25【分析】（1）先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，由直線過(guò)點(diǎn)B,把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入解析式，可求得b的值；點(diǎn)D在直線CM上，其縱坐標(biāo)為4,利用求得的解析式確定該點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可：(2)過(guò)點(diǎn)。作。E_Lx軸，根據(jù)三角形面積公式求出BQ的長(zhǎng)，可得Q點(diǎn)坐標(biāo)；ZXPOD為等腰三角形，有三種情況：OP=OD,PD=OD,PD=PO,故需分情況討論，要求點(diǎn)P的坐標(biāo)，只要求出點(diǎn)P到原點(diǎn)0的距離即可；【詳解】解：(1)：8與A(1,O)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱8(-1,0)y=x+b過(guò)點(diǎn)5-l+b=0b=ly=x+l當(dāng)y=4時(shí)，x+l=4:,x=3：.0(3,4)Ab=l,0(3,4).(2)過(guò)點(diǎn)。作OE_Lx軸，垂足為E，則。E=4OE是在邊8Q上的高.S阻d《BQ?DE=8BQ=4.??在x軸上存在兩個(gè)。點(diǎn)滿足條件.即:2(3,0)或?yàn)?一5,0).(3)存在.OD=>j0C2+CD2="+3?=5①當(dāng)OP=O￡>時(shí)VOP=OD=5,0(0,0)A《(5,0)②當(dāng)尸￡)=0。時(shí)???PD=OD,DE±x：.￡>E是OP邊得中線???OE=PEvDElx,OD=5,DE=4OE—3aOP=6/.￡(6,0)③當(dāng)PZ）=P。時(shí)設(shè)P(a,0)???PD=POPD=a:在RtAPED中,PD=a,PE=a-3,DE=4=(a-3)2+4225解得：a=—625

^(―,0)6【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及等腰三角形的判定和性質(zhì)，注意分情況討論是解決本題的關(guān)鍵.例4.（2020?上海市位育實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)月考）如圖，直線4的解析式為y=-3x+3,且6與x軸交于點(diǎn)D,直線，2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,B,兩條直線交于點(diǎn)C,在直線八上存在一點(diǎn)P,使得4ADP的面積是4ADC面積的2倍，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)為.【分析】已知L的解析式，令y=0求出D點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)b的解析式為y=kx+b,由圖聯(lián)立方程組求出k,b的值，聯(lián)立方程組，求出交點(diǎn)C的坐標(biāo)，繼而可求出S.,△ADP與△ADC底邊都是AD,根據(jù)4ADP的面積是△ADC面積的2倍，可得點(diǎn)P的坐標(biāo).【詳解】由y=-3x+3,令y=0,得Tx+3=0,AD(1,0)；設(shè)宜線k的解析表達(dá)式為y=kx+b,3由兇象知：x=l,y=0；x=3,y=—,代入表達(dá)Ky=kx+b,24k+b=033k+b=--2k=2,t^一63?,?宜線L的解析表達(dá)式為y=7x~6；2y=-3x+3”6x=2,尸一3’AC(2,-3),VAD=3,

kADC△ADC高就是點(diǎn)C到直線AD的距離的2倍點(diǎn)kADC△ADC高就是點(diǎn)C到直線AD的距離的2倍點(diǎn)P縱坐標(biāo)是±6,綜上所述故填坐標(biāo)得出解析式是解題關(guān)鍵沿x軸向左移動(dòng)即C縱坐標(biāo)的絕對(duì)值=6,則P至！|AD距離=6,△ADP與AADC底邊都是AD,AADP的面積是4ADC面積的2倍【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)的性質(zhì)，三角形面積的計(jì)算等有關(guān)知識(shí)，利用圖象上點(diǎn)的軸分別交于A、B兩點(diǎn)，在>軸上有一點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)以每秒2個(gè)單位的速度（2020?上海市南匯第四中學(xué)八年級(jí)月考）(1)求A、3兩點(diǎn)的坐標(biāo)(2)求VCQM的面積S與”的移動(dòng)時(shí)間?(秒)之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)當(dāng)f何值時(shí)△。。知二人4。8,并求此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo).(4)當(dāng)，何值時(shí)VCOM的面積是aAOB一半，并求此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo).Q1-9r+—(0<r<4.5)【答案】(1)A(9,0)；【答案】(1)A(9,0)；(2)B(0,3)；(2)S=<%”.5)0),當(dāng)t=6,M(-3,0)；(1)"it—,\1(-.0)； M(- 0)4 2 4 2【分析】(1)對(duì)于L：y=-1x+3,令x=0可求出B點(diǎn)坐標(biāo)，令y=0可求出A點(diǎn)坐標(biāo);(2)分點(diǎn)M在原點(diǎn)左側(cè)和右側(cè)兩種情況，根據(jù)三角形的面積公式解答即可;(3)分點(diǎn)M在原點(diǎn)左側(cè)和右側(cè)兩種情況，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)列式求出t的值，進(jìn)而可求出點(diǎn)M的坐標(biāo);(4)根據(jù)三角形的面積公式列式求出0M的長(zhǎng)，進(jìn)而分點(diǎn)M在原點(diǎn)左側(cè)和右側(cè)兩種情況,可求出t的值及點(diǎn)M的坐標(biāo).【詳解】解：(1)當(dāng)x=0時(shí)，y=3,/.B(0,3).當(dāng)y=0時(shí)，0=-gX+3,x-9./.A(9,0)；(2)9+2=4.5秒,當(dāng)點(diǎn)M在原點(diǎn)右側(cè)時(shí)，即0<tW4.5時(shí)，由題意得，0M=9-2t,TOC\o"1-5"\h\zI O1：.S=-OMOC=-(9-2t}x9=-9t+—.2V7 2當(dāng)點(diǎn)M在原點(diǎn)左側(cè)時(shí)，即t>4.5時(shí)，由題意得，0M=2t-9,1 Q1：.S=-OMOC=-(2t-9)x9=9t--,2V' 2Q1-9r+—Q1-9r+—(0<r<4.5)9r-y(r>4.5)(3)當(dāng)點(diǎn)M在原點(diǎn)右側(cè)時(shí)，即0WtW4.5時(shí),???0M二OB,A9-2t=3,At=3,A0M=9-6=3,AM(3,0)；當(dāng)點(diǎn)M在原點(diǎn)左側(cè)時(shí)，即l>4.5時(shí)，,?/\COM^/\AOB..".OM=OB,；.2t-9=3,t=6,A0M=12-9=3,AM(-3,0)；綜上可知，當(dāng)t=3,M(3,0),當(dāng)t=6,M(-3,0)；TOC\o"1-5"\h\z1八八 1 -27(4)Saa(hi--OA-OB=-x9x3=—，2 2 2..1,S(uv--SziAIlH,21 1 127：.-OMOC=-OMx9=-x——，2 2 2232當(dāng)點(diǎn)M在原點(diǎn)右側(cè)時(shí)，39-2t=-,2+」5?L-t4此時(shí)m(3,o)；2當(dāng)點(diǎn)M在原點(diǎn)左側(cè)時(shí)，32t—9二一，2.t,21413此時(shí)M(一一,0),2綜上可知，當(dāng)1=?，M（一,0）；當(dāng)1=二~,M（ ,0）.4 2 4 2【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，三角形的面積，全等三角形的性質(zhì)，以及分類討論的數(shù)學(xué)思想，分類討論是解答本題的關(guān)鍵.例6.（2019?上海嘉定區(qū)?上外附中八年級(jí)月考）如圖，已知一次函數(shù)y=kx+3的圖形經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1,m）,與x軸、y軸分別相交于B、C兩點(diǎn)，且NAB0=45°,設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3,0）（1）求m的值；（2）聯(lián)結(jié)CD、AD,求4ACD的面積；3【答案】（1）m=4；（2）S^ACD=3；（3）點(diǎn)E的坐標(biāo)為（］，。）或（6,0）.【分析】（1）求出點(diǎn)B坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式即可解決問(wèn)題：（2）根據(jù)S^cz）進(jìn)行計(jì)算即可；（3）分點(diǎn)E在點(diǎn)D左側(cè)和點(diǎn)E在點(diǎn)D右側(cè)兩種情況，分別求出直線CEi和直線CE?的解析式即可得到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)E的坐標(biāo).【詳解】解：（1）???一次函數(shù)y=kx+3的圖象與x軸、y軸分別相交于B、C兩點(diǎn)，ZABO=45°,**?0B=0C=3,AB(-3,0),將B(-3,0)代入y=kx+3得:0=-3k+3,解得：k=l,

，直線BC的解析式為：y=x+3,當(dāng)x=l時(shí)，y=x+3=4,.'.m=4；(2)VB(-3,0),C(0,3),D(3,0),A(1,4),ABD=6,^.sACD=SABD-SBCD=-^b4--^3=3；(3)如圖所示，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)D左側(cè)時(shí)，???NADC=NE￡D,???AD〃CE”設(shè)直線AD的解析式為：y=kix+b(k^O),代入A(1,4),D(3,0)代入A(1,4),D(3,0)得:4=4+人化=-2。=3e解得：U=6直線AD的解析式為：y=-2x+6,故設(shè)直線CEi的解析式為：y=-2x+c,代入C(0,3)得：c=3,???直線CEi的解析式為：y=-2x+3,3當(dāng)y=0時(shí)，解得：x=一,2.3..B)(一,0)；2當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)D右側(cè)時(shí)，AD與CE?交于點(diǎn)F,Vzadc=ze2cd,Z.FC=FD,V0B=0D=3,ZAB0=45°,AZCDB=45°,AZACD=45°+45°=90°,BPZACF+ZFCD=90°,VZCAF+ZFDC=90°,，NACF=NCAF,AFC=FA,???F為線段AD的中點(diǎn),...點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2,2）,設(shè)直線CE?的解析式為：y=k2x+3,代入F（2,2）得：2=2&+3,解得：&=一（，直線CE?的解析式為：y=-1x+3,當(dāng)y=0時(shí)，解得：x=6,.,.Ea（6,0）,【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)與幾何綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，-次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形面積計(jì)算以及等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握待定系數(shù)法，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想是解答本題的關(guān)鍵.例7..（2019?上海市市西初級(jí)中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4—6,0）,B（T,3）,邊AB上有一點(diǎn)尸（6,2）,點(diǎn)C，。分別在邊04,OBL,聯(lián)結(jié)（1）求直線A8的解析式及點(diǎn)P的坐標(biāo);

(2當(dāng)CQ=BQ時(shí)，求出點(diǎn)。的坐標(biāo):(3)在(2)的條件下，點(diǎn)R在射線上，SMBO=S^BO,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)R的坐標(biāo).3 14【答案】(1)直線AB解析式為y=-x+9,P點(diǎn)坐標(biāo)為(-一，2)(2)C點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,2 30)(3)R(2,-6).【分析】(1)由A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線AB的解析式，再把P點(diǎn)坐標(biāo)代入直線解析式可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；(2)由條件可證明△BPQgZXCDQ,可證得四邊形BDCP為平行四邊形，由B、P的坐標(biāo)可求得BP的長(zhǎng)，則可求得CD的長(zhǎng)，利用平行線分線段成比例可求得0C的長(zhǎng)，則可求得C的坐標(biāo)：(3)由條件可知AR〃B0,故可先求出直線OB,BC的解析式，再根據(jù)直線平行求出AR的解析式，聯(lián)立直線AR、BC即可求出R點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】(1)設(shè)直線AB解析式的y=kx+b,把A把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得〈—4k+b=3-6k+b=0L3解得｛~2,[b=93直線AB解析式為y=-x+9,2,/P(見(jiàn)2)在直線AB上,TOC\o"1-5"\h\z3 14.*.2=m+9,解得m= ,2 314；.P點(diǎn)坐標(biāo)為(-一，2)；3(2),:CDHAB、.\ZPBQ=ZDCQ,在△PBQ和中[NPBQ=ZDCQ?CQ=BQNPQB=4DQC

?BP=CD四邊形BDCP為平行四邊形8(T3),0A=6,CD〃AB,△COD^AAOBc點(diǎn)坐標(biāo)為?BP=CD四邊形BDCP為平行四邊形8(T3),0A=6,CD〃AB,△COD^AAOBc點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)A和點(diǎn)R到BO的距離相等1.BO/7AR宜線B0的解析式為設(shè)直線AR的解析式為△PBQ^ADCQ(ASA),設(shè)直線B0的解析式為y=nx,把B(-4,3)代入得3=-4n,解得AABO~3把A(-6,0)代入得0=--X(-6)+e4解得e=~—23 9，直線AR的解析式為y=--x--,42設(shè)直線BC解析式為y=px+q,\-4k+b=3 L=--把C、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得〈…,八，解得〈 2,-2k+b=O , .' [p=-3一3直線AB解析式為y=—x~3,2y=—x-3I 2x=2解得《 ,y=-6AR（2,-6）.【點(diǎn)睛】本題為一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟知待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式.例8.（2020?上海嘉定區(qū)?八年級(jí)期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知一次函數(shù)4的圖像與x軸、＞軸分別相交于點(diǎn)4、B,且與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為6.（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)A與點(diǎn)3的坐標(biāo)（用含力的代數(shù)式表示）；（2）求b的值；4（3）如果一次函數(shù)y= +b的圖像經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2,m）,其中桃＞0,試用含m的代數(shù)式表示△ABC的面積.3【答案】(1)A(-/?,0)；3(0,加 (2)±4 (3)-zn+1024【分析】(1)由一次函數(shù)y=-§x+力的圖象與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B,令y二。求出x,得到A點(diǎn)坐標(biāo)：令x=0,求出y,得到B點(diǎn)坐標(biāo)；4(2)根據(jù)-次函數(shù)y= +的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為6列出方程,即可求出b的值；4(3)根據(jù)一次函數(shù)y=-§x+力的圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，得出b=-4,確定A(-3,3 30),B(0,-4).利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，再求出D(0,-m),那么BD=-m+4,再根據(jù)S^xSaabd+S△阪，即可求解.4【詳解】解：(1)???一次函數(shù)y=-§x+b的圖象與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B,TOC\o"1-5"\h\z4 3 3???當(dāng)y:0時(shí)，一一x+b=0,解得x二一b,則A(-b,0),3 4 4當(dāng)x=0時(shí)，y=b,則B(0,b)；故A(gb,0)：3(0,6)；41 13-SAOB=-OAOB=--b\b\=6△a。。2 24???從=16，b=±4；?.?函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)二、三、四象限，b=-4,4 .y=——x-4.一3A(-3,0),8(0T).設(shè)直線AC的解析式為丁=履+乙解得3設(shè)直線AC與y軸交于點(diǎn)D，則D(O,-W).3BD=-m+4513 3S“bc=了(丁+4)?(3+2)=”+10.【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積，一次函數(shù)的性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式.例9.(2020?上海金山區(qū)?八年級(jí)期中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)y=kx(k^O)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(l,|),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,6).(1)求女的值；(2)求AQ4B的面積；(3)若點(diǎn)。(不與點(diǎn)A重合)在此正比例函數(shù)>=履儀/0)圖像上，且點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為a,求AABC的面積.(用。的代數(shù)式表示)【答案】⑴A)；⑵SAOAB=-：(3)S3c=大”；或S%c=7一二?！痉治觥?1)利用待定系數(shù)法求發(fā)的值;

（2）求直線他的解析式，從而求得Z?點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用三角形面積公式求解；（3）過(guò)點(diǎn)C做㈤_(kāi)了軸，交48于點(diǎn)、E,求得直線"的解析式，從而求得瓦點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用三角形面積公式求解【詳解】解：（D將代入正比例函數(shù)y=依仕HO）中得：k=~（2）設(shè)直線切的解析式為N= 將12,6）代入，得：2/77=6,解得：777=3，直線他的解析式為：y=3x過(guò)點(diǎn)4作在，x軸，交第于點(diǎn)力???仍3」=』22c 1 5^AOAB=2^X24D=~（3）山題意可得：C點(diǎn)坐標(biāo)為過(guò)點(diǎn)。做必、_Ly軸，交AB于點(diǎn)、E711k]=2b=711k]=2b=—5k,+b=—2,解得：＜2"+b=6二直線的解析式為：y^-x-52￡點(diǎn)坐標(biāo)為1百4+jpg。

：.EC=10 Q116--：.EC=10 Q116--—Cl11【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)與幾何綜合，掌握一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合思想解題是關(guān)鍵.3例10.(2019?上海市西延安中學(xué)八年級(jí)期中)已知一次函數(shù)y=--x+6的圖象與坐標(biāo)軸交丁A、B點(diǎn)(如圖)，AE平分NBA0,交x軸于點(diǎn)E(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)求直線AE的表達(dá)式；(3)過(guò)點(diǎn)B作BFLAE,垂足為F,連接0F,試判斷△OFB的形狀，并求△OFB的面積.【答案】(1)B(8,0)；(2)直線AE的表達(dá)式為y=-2x+6：(3)/XOFB為等腰三角形，SA3【分析】(1)對(duì)，一次函數(shù)y=-：x+6,令y=0和x=0求出對(duì)應(yīng)的x與y的值，確定出0A及0B的長(zhǎng)，即可確定出B的坐標(biāo)：(2)由(1)得出A的坐標(biāo)，利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)，過(guò)E作EG垂直于AB,由AE為

角平分線，利用角平分線定理得到EO=EG,利用HL可得出直角三角形AOE與直角三角形AGE全等，可得出AO=AG,設(shè)OE=EG=x,由OB-OE表示出EB,由AB-AG=AB-AO表示出BG,在直角三角形BEG中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出0E的長(zhǎng)，得出E的坐標(biāo)，設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b(kWO),將A和E的坐標(biāo)代入，得到關(guān)于k與b的方程組，求出方程組的解得到k與b的值，即可得到直線AE的解析式；(3)延長(zhǎng)BF與y軸交于K點(diǎn)，由AF為角平分線得到一對(duì)角相等，再由AF與BF垂直得到一對(duì)直角相等，以及AF為公共邊，利用ASA得出三角形AKF與三角形ABF全等，可得出AK=AB,利用三線合一得到F為BK的中點(diǎn)，在直角三角形OBK中，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半得到OF為BK的一半，即OF=BF,過(guò)F作FH垂直于x軸于H點(diǎn)，利用三線合一得到H為0B的中點(diǎn)，由0B的長(zhǎng)求出0H的長(zhǎng)，即為F的橫坐標(biāo)，將求出的橫坐標(biāo)代入直線AE解析式中求出對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)，即為HF的長(zhǎng)，以0B為底，F(xiàn)H為高，利用三角形的面積公式即可求出三角形BOF的面積；3【詳解】(1)對(duì)于y=--x+6,4當(dāng)x=0時(shí)，y=6；當(dāng)y=0時(shí)，x=8,.\0A=6,0B=8,在RtZsAOB中，根據(jù)勾股定理得：AB=1O,則A(0,6),B(8,0)；(2)過(guò)點(diǎn)E作EGLAB,垂足為G,.?AE平分NBAO,EO±AO,EGXAG,.\EG=OE,AE=AE在RtZiAOE和RtZ\AGE中，(EO=EGARtAAOE^RtAAGE(HL),，AG=AO,設(shè)OE=EG=x,則有BE=8-x,BG=AB-AG=10-6=4,在RtZ\BEG中，EG=x,BG=4,BE=8-x,根據(jù)勾股定理得:x2+42=(8-x)4解得：x=3,

：.E(3,0),設(shè)宜線AE的表達(dá)式為y=kx+b(kWO),將A(0,6),E(3,0)將A(0,6),E(3,0)代入y=kx+b得:h=6? 僅=一2人0、解得丘=6則直線AE的表達(dá)式為y=-2x+6；⑶延長(zhǎng)BF交y軸于點(diǎn)K,TAE平分NBAO,NKAF=/BAF,又BF_LAE,ZAFK=ZAFB=90°VAF=AF.,.△AFK^AAFB,；.FK=FB,即F為KB的中點(diǎn)，又,??△BOK為直角三角形，；.0F=—BK=BF,2.'.△OHB為等腰三角形，過(guò)點(diǎn)F作FHLOB,垂足為H(如圖所示)，VOF=BF,FH±OB,；.0H=BH=4,???F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4,設(shè)F(4,y),將F(4,y)代入y=-2x+6,得：y=-2,FH=|-2|=2,則Saab尸—OB?FH=—X8X2=8.2 2

例11.如圖，已知直線/：y=-2x+2與x軸、y軸分別交于點(diǎn)員C,將直線片x向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到直線為，點(diǎn)0是直線必與y軸的交點(diǎn)，求四邊形必物的面積.【解析】由題意可得：直線力的解析式為y=x+l?.?點(diǎn)。是直線處與y軸的交點(diǎn)， A0(0,1).?..直線/：y=-2x+2與x軸、y軸分別交于點(diǎn)反C,(1,0),C(0,2).S四邊形PQ0B=S&8B_S&CPQ=-x2xl--xlx—=^.【總結(jié)】考察四邊形面積的求法，不規(guī)則圖形的面積用割補(bǔ)法來(lái)解決.1例12.如圖，已知直線1層y=x+2與直線曲：y=-x交于點(diǎn)4與直線仍：y=3x交于點(diǎn)6兩點(diǎn).求△力必的面積.

【難度】★★【答案】4.y=x+2 (3【解析】令.=3，解得：1；__；，則A(-3，-l).令《 ，解得：,，則8(1,3).Iy=3x [y=3設(shè)宜線46與8軸相交于G則。(-2,0),S&OAB=S^OAC+S&OCB=-x2x3+—x2xl=4.【總結(jié)】考察三角形面積的求法,不能直接求面積則用割補(bǔ)法來(lái)解決，注意交點(diǎn)坐標(biāo)的求法.例13.如圖，已知直線y=x+3的圖像與x軸、y軸分別交于4、6兩點(diǎn)，直線/經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，與線段46交于點(diǎn)C,把△4切的面積分為2：1兩部分，求直線/的解析式.【難度】★★【答案】y=_2x或y=j.【解析】,??直線y=工+3的圖像與*軸、y軸分別交于力、B兩點(diǎn)、,：.A(-3,0),B(0,3),? 1 9,*S&OAB=TX3X3=—.時(shí)，當(dāng)S&OBC

時(shí)，點(diǎn)在直線48上，2),則直線/的解析式為：y=-2x；當(dāng)S&OBC=5S4OBA時(shí)?1 1O則5*3*%=一X耳，則yc=l，點(diǎn)在直線上，C(-2,1),則直線，的解析式為：y=--x.2綜上直線/的解析式為y=-2x或產(chǎn)-白.【總結(jié)】考察面積的求法，本題中要注意分類討論.例14.如圖，已知，在矩形4顆中，AB=10,除12,四邊形的7/的三個(gè)頂點(diǎn)反F、〃分別在矩形4靦邊4氏BC、為上，AE=2.(1)如圖1,當(dāng)四邊形加加為正方形時(shí)，求的面積；(2)如圖2,當(dāng)四邊形雨W(2)如圖2,當(dāng)四邊形雨W為菱形，且於a示):，B F圖1【難度】★★★【解析】(1)過(guò)點(diǎn)G作于〃BFM ,圖1:四邊形用心〃為正方形時(shí)，ZAEH+ABL時(shí)，求△砒'的面積.(用含a的代數(shù)式表4, H一 .B F C圖2F M c圖2獷=90°■:ZAEH+ZA7/￡=90°,ZAHE=ZBEFVZAHE=ZBEF,ZA=NB,EH=EF,：./\AHE^/\BEF同理可知：AMFGgABEF：.GM=BF=AE=2:.FC=BC-BF=1。，則Sagfc=10；(2)過(guò)點(diǎn)61作GMLBC于M,連接HF'：AD//BC,：.ZAHF=ZMFH'：EH//FG,：.NEHF=NGFHZAHE=ZMFGVZAHE=ZMFG,NA=NGMF,EH=GF,：./\AHE^/\MFG：.GM=AE=25ACFC=|FC-GA/=^(12-a)x2=12-a.【總結(jié)】本題主要考察菱形、正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì).例15.如圖1,正方形的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)4(0,1)和點(diǎn)〃在y軸正半軸上，點(diǎn)氏C在第一象限，一次函數(shù)尸履+2的圖像/交/〃、必分別于區(qū)F.(1)若△龍尸與△及方的面積比為1：2,求A的值；(2)聯(lián)結(jié)BE,當(dāng)旗平分/砌時(shí)，求衣的值.【難度】★★★【答案】(1)4=1；(2)k=2.【解析】(1)；正方形眼力的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)4(0,1)和點(diǎn)〃在y軸正半軸上，點(diǎn)從C在第一-象限，，8(2,1),C(2,3),。(0,3).,一次函數(shù)y=〃x+2的圖像/交47、5分別于仄凡 :.E(0,2).設(shè)尸(0，3),?.?△奶'與Abt尸的面積比為1：2,,—ml .-- =—?解得：m=1. F(.1(3)—x(2-/n)x22XI,3)在直線尸Ax+2上，：.k=\x(2)延長(zhǎng)BE交成的延長(zhǎng)線于H,BE平分乙FBA,：.ZFBE=ZABE'：CD//AB,：.ZH=ZABE,AZW=Z.FBE,/.FB=HF,脛1,DE=\,：.AE=DE,:AE=DE,ZHDE=ZBAE,ZHED=ZBEA:.△HEgABEA：.HD=AB^2, 3)設(shè)F5,3)'：FB=HF,；.J(〃一2)2+2?=〃+2,解得：〃=g,AH-.3)23)在直線尸〃x+2上，2:.k=2.【總結(jié)】考察等腰三角形的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間的距離公式的運(yùn)用，注意點(diǎn)的坐標(biāo)與解析式的關(guān)系.例16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)尸2*+12的圖像分別交x軸、y軸于4、6兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)｛的直線交y軸正半軸于點(diǎn)機(jī)且點(diǎn)歷為線段施的中點(diǎn).(1)求直線4〃的表達(dá)式：(2)試在直線4〃上找一點(diǎn)只使得心朋=84胸請(qǐng)求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)：(3)若點(diǎn)"為坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使以4、B、M、〃為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形?若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)”的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【難度】★★★【答案】（1）y=x+6；（2）尸（6,12）或尸（一18,-12）；〃（一12,0）或〃（一6,18）或〃（一9，—）.5 5【解析】(1)I?函數(shù)y=2x+12的圖像分別交x軸、y軸于/I、8兩點(diǎn),.,.y4(-6,0),8(0,12):點(diǎn)〃為線段如的中點(diǎn)， AMO,6),則直線AM的表達(dá)式為y=x+6；(2)當(dāng)點(diǎn)/在41/的延長(zhǎng)線上時(shí)；2撇，=84，J.OP//AB,則可知直線利的表達(dá)式為y=2x.?.?尸在宜線/上，.?.令[ ,解得：[”=6,.?/(6,12)；[y=x+6 [y=12當(dāng)戶在4V的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)尸點(diǎn)作RVJ_仍，垂足為〃設(shè)P(n,n+&? =S^BPN- 一$梯形AONP，m一九」例，〃=—18,g.（-〃一6、6-〃）-gx6xl2-gx（6-〃-6）x（-〃-6）〃=—18,則戶（一18,-12）.(3)存在點(diǎn)//,使以/、B、M、〃為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形.若以用/為底，8M為腰,過(guò)點(diǎn)6作4V的平行線，當(dāng)點(diǎn)〃(一/2,0)時(shí)，以4、B、M、H為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形；若以網(wǎng)為底,4V為腰，過(guò)點(diǎn)/作以/的平行線，當(dāng)點(diǎn)〃(-6, 18)時(shí)，以爾B、M、H為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形：若以46為底，即為腰，過(guò)點(diǎn)”作四的平行線，當(dāng)點(diǎn)〃(-9,竺)時(shí)，以A、8、M5 5〃為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形.【總結(jié)】本題綜合性較強(qiáng)，本題一方面考察面積的確定，另一方面考察等腰梯形的性質(zhì)和分類討論.例17.如圖1,已知直角坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)1(2,0),一是函數(shù)y=x(*>0)圖像上一點(diǎn)，PQA.AP交y軸正半軸于點(diǎn)Q.(1)試證明：AP=P(h(2)設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為a,點(diǎn)。的縱坐標(biāo)為b,那么。關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式是一(3)當(dāng)以.時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).3【難度】★★★【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)b=2a—2；【解析】(1)過(guò)〃作x軸、y軸的垂線，垂足分別為從T,??〃是函數(shù)y=*(x>0)圖像上一點(diǎn):,PH=PT,PHLPTPQLAP,：,ZAPH=ZQPT:ZAPH=ZQPT,PH=PT,ZAHP=NQTP：.APHA^APTQ:?AP=P@(2)由(1)可得：AH=2-a=TQ.,OQ+TQ=OT=OH，?b+2—a=a,。=2a—2；(3)設(shè)P(a,a)911977^^AOQ=^OA°Q=2a-2'5aapo=2=。--2。+2,

【總結(jié)】本題主要考察全等的運(yùn)用，及三角形面積的求法,注意利用面積公式確定點(diǎn)的坐標(biāo).模塊二：與面積相關(guān)的函數(shù)解析式知識(shí)精講本節(jié)主要研究點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)的背景下，產(chǎn)生的面積與動(dòng)點(diǎn)之間的關(guān)系，關(guān)鍵點(diǎn)是找出決定這個(gè)面積變化的幾個(gè)量是怎樣變化的，重點(diǎn)在于思維能力的培養(yǎng)，難度較大.例題解析例1.如圖，矩形460中，E,182,"是應(yīng)的中點(diǎn)，點(diǎn)。在矩形的邊上沿AfCf”運(yùn)動(dòng),試寫(xiě)出△加次的面積y與點(diǎn)尸經(jīng)過(guò)的路程x之間的函數(shù)關(guān)系，寫(xiě)出定義域，并畫(huà)出函數(shù)圖像.【難度】★★【解析】當(dāng)〃在居上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即0<x41,y=s4apm=萬(wàn),ap=x；當(dāng)?shù)对诜干线\(yùn)動(dòng)時(shí)，即1VXK3,?S4apm=S梯形abcm-S^abp-S^pCM,TOC\o"1-5"\h\z3-x x5 = 1—4 4 47當(dāng)一在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即3<x4‘，2y=s^apm=~y=s^apm=~xx2=ZJ2函數(shù)圖像如由圖所示.【總結(jié)】本題主要考察面積與動(dòng)點(diǎn)的結(jié)合，注意進(jìn)行討論.例2.如圖，在梯形46（力中，AD//BC,AB=CD^AD=^cm,BC=Ucm,點(diǎn)〃從點(diǎn)〃出發(fā)沿加邊以每秒1腐的速度移動(dòng)，點(diǎn)0從點(diǎn)6出發(fā)沿肉邊以每秒2c〃的速度移動(dòng)（當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)4時(shí)，點(diǎn)尸與點(diǎn)。同時(shí)停止移動(dòng)），假設(shè)點(diǎn)/移動(dòng)的時(shí)間為x（秒），四邊形46/的面積為yCem）.（1）求y關(guān)于”的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出它的定義域；（2）在移動(dòng)的過(guò)程中，求四邊形力質(zhì)的面積與四邊形0C"的面積相等時(shí)x的值：（3）在移動(dòng)過(guò)程中，是否存在“使得國(guó)=48,若存在，求出所有的x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【難度】★★【答案】(1)y=2x+10(04x45)；x=3；(3)x=— =—.3 3【解析】(1)作AELBC于E,DF1BC于F,■:AB—CD=AD=5cm,BC=11cm,:.BE=C0則AE=4.VDP=x,BQ=2x,/.y=-x(5-x+2x)x4=2x+10(04x45);(2)當(dāng)四邊形/f戚的面積與四邊形M方的面積相等時(shí)，四邊形力酰的面積等于四邊形4;8的面積的一半，/.2x+10=-xlx(5+ll)x4,解得：x=3；'：PQ=AB,AD//BC,

/.四邊形力酰為平行四邊形或等腰梯形.當(dāng)四邊形1即為平行四邊形時(shí)，則5-x=2x1解得：x=—：3當(dāng)四邊形48”為等腰梯形時(shí)，則四邊形能力為平行四邊形,?*-x=11—2x.解得：x=U:綜上所述，當(dāng)尸0=/8時(shí)，*的值為2或U.3 3【總結(jié)】本題主要考察動(dòng)點(diǎn)背景下的平行四邊形和等腰梯形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用.例3.已知：如圖1,在線段4￡的同側(cè)作正方形］頗和正方形成(止連結(jié)反7并延長(zhǎng)交47于點(diǎn)作網(wǎng)U/8垂足為兒MN交.BD千P.設(shè)正方形松力的邊長(zhǎng)為1.(1)證明：ACM(運(yùn)2NBP；(2)沒(méi)BE=x,四邊形M況V的面積為m求y關(guān)于”的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出定義域：(3)如果按照題設(shè)方法作出的四邊形6G”是菱形，求助的長(zhǎng).ANBE【難度】★★★【解析】(1),:正方形4%力和正方形BEFG,：.ZABD=45°,ZBEG=45°VCM//BE,：.NCMG=ZBEG=45°,:正方形ABC。，MNLAB,：.四邊形成加'是矩形，/.CM=NB.?/CM=NB,NC="NB,NCMG=NPBN:.△CMG^RNBP；(2),：正方形BEFG,BE=x,：.BG=BE=x,，CG=l-x,?**y=—(1+x)(l—x)=—-W—(0<x<1)s(3)由已知可得：朗V〃比'，訛'〃如，四邊形防仍是平行四邊形.要使四邊形6G仍是菱形，則BG=MG,

x=V2(l—x)(解得：x=2—5/2.，當(dāng)8E=2-五時(shí)，四邊形比仍是菱形.【總結(jié)】本題考察正方形的性質(zhì)和動(dòng)點(diǎn)背景的下面積問(wèn)題，解題時(shí)注意認(rèn)真分析題目中的條件.例4.已知：在梯形465中，AD//BC,/6=90°,Aff=SC=4,點(diǎn)￡■在邊四上，CE=CD.(1)如圖1,當(dāng)/靦為銳角時(shí)，設(shè)47=x,火的面積為必求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域；(3)當(dāng)必=5時(shí)，求△儂的面積.【難度】★★★【答案】(1)y=--x2+4x(0<x<4)；(2)1或”.2 2 2【解析】(1)過(guò)，作以U〃交/〃延長(zhǎng)線于6'：AD//BC,ZZ?=90°,...四邊形的是正方形.'：CE=CD,BC=CF,:.IXBC曜XFCD、：.DF=BE,:AD=x,：.DF=4-x,：.BE=4-x??y=s梯形.CD—S'QE~S^BEC=；(x+4)x4-g?x?x-；x4x(4-x)=--jT+4x?定義域?yàn)椋?<x<4：2(2)當(dāng)/版為銳角時(shí),時(shí)，CFA，由勾股定理可得：。/=3,則A0=1TOC\o"1-5"\h\z代入解析式中可得：y=-；' 2當(dāng)為鈍角時(shí)，易知￡>F=BE=3.**S.CDE=S樣彩ABCD-S^BCE-S、ADE=1x(4+7)x4--x3x4--x1x72 2 225= .2綜上所述，△以應(yīng)的面積為2或”.2 2【總結(jié)】考察全等三角形的構(gòu)造和正方形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，第(2)問(wèn)要注意分類討論.例5.如圖1,四邊形的比'是矩形，點(diǎn)/、C的坐標(biāo)分別為(3,0),(0,1),點(diǎn)〃是線段優(yōu)上的動(dòng)點(diǎn)(與端點(diǎn)6、C不重合)，過(guò)點(diǎn)〃作直線y=-Lx+m交折線》6于點(diǎn)￡.2(1)當(dāng)點(diǎn)￡恰為的中點(diǎn)時(shí)，求)的值；(2)當(dāng)點(diǎn)￡在線段OA上，記△〃比的面積為y,求y與卬的函數(shù)關(guān)系式并寫(xiě)出定義域；(3)當(dāng)點(diǎn)￡在線段曲上時(shí)，若矩形曲回關(guān)于直線龍的對(duì)稱圖形為四邊形0464,試判斷四邊形Q45G與矩形物笈的重疊部分的面積是否發(fā)生變化，若不變，寫(xiě)出該重疊部分的面積：若改變，寫(xiě)出重疊部分面積S關(guān)于小的函數(shù)關(guān)系式.【解析】?..四邊形以6C是矩形，點(diǎn)4、C的坐標(biāo)分別為(3,0),(0,1),：.B(3,1).(2)當(dāng)點(diǎn)少恰為18中點(diǎn)時(shí)，則￡(3,1)2,點(diǎn)七在直線y=-'x+/"上， ，代入￡點(diǎn)坐標(biāo)，可得：m=2；2(3)當(dāng)點(diǎn)￡在線段曲上，?直線y=-Lx+m交折線于點(diǎn)工￡(2加，0),TOC\o"1-5"\h\z" 23y=—?2m\—m(l</n<—)；2(4)設(shè)與龍相交于點(diǎn)也以與64相交于點(diǎn)M則四邊形445G與矩形而的的重疊部分的面積為四邊形〃%V的面積.'：DM/7NE,DN〃ME,，四邊形。物V是平行四邊形,:ZMED=ZNED,ZMDE=dED,/.ZA/ED=ZNED,MD=ME，：.四邊形〃歸V是菱形過(guò)。作。/LLO4,垂足為//,設(shè)菱形以￡V的邊長(zhǎng)為a,：D(2m-2,1),E(2m,0), ：.DH=\,HE=2tn-(2m-l)=2,/.NH=\EN-EH\=\a-2\,在直角△掰、，中，a2=(2-a)2+12,解得：a=-二菱形。怙V的面積為：-xl=-.4 4【總結(jié)】本題綜合性較強(qiáng)，一方面考查面積與動(dòng)點(diǎn)的結(jié)合，另一方面考查面積的定值，注意進(jìn)行分析.例6.如圖1,在正方形4崎中，點(diǎn)￡在邊圈上(點(diǎn)￡與點(diǎn)4、8不重合)，過(guò)點(diǎn)K作A7_LDE,房與邊附相交于點(diǎn)“與邊力的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G.(1)當(dāng)6是48中點(diǎn)時(shí)，求證“'=跖(2)當(dāng)￡在邊45上移動(dòng)時(shí)，觀察麻AG、四之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系?并證明你所得到的結(jié)論；(5)聯(lián)結(jié)力如果正方形的邊長(zhǎng)為2,設(shè)4￡=x,△函的面積為y,求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域.【難度】★★★【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)BF+AG=AE-,y=-x2+2(0<x<2).2【解析】(1)當(dāng)￡是力〃中點(diǎn)時(shí)，AE=BE■:AE=BE,ZBEF=ZAEG,/FAG=/B：.AEAG^AEBF：.AG=BFBF+AG=AE過(guò)點(diǎn)、F作F/LLDA,垂足為〃，則四邊形/冊(cè)/是矩形：.FH=AB=AD?：DE工FG,：.ZG=900-ZADE=ZDEA■:FH=AD,NG=ZDE4,ZA=ZG:?△FHGg^DAE,:,GH=AE,即H4+AG=AE?:BF=HA,：.3F+AG=AE；(3)由(2)可得：FG=DE：.FG=DE=7x2+42Ay=17x2+42-Vx2+42=-x2+2(0<x<2)2 2

【總結(jié)】本題主要考察正方形背景下的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，注意對(duì)常見(jiàn)輔助線的添加以及線段間的轉(zhuǎn)化.例7.如圖1,梯形四勿中，AD//BC,Z5=90°,4)=18,比‘=21.點(diǎn)戶從點(diǎn)4出發(fā)沿以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)〃勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。從點(diǎn)C沿紡以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)6勻速運(yùn)動(dòng).點(diǎn)R0同時(shí)出發(fā)，其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.(1)當(dāng)四=10時(shí)，設(shè)力、氏Q、一四點(diǎn)構(gòu)成的圖形的面積為S,求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出定義域；(2)設(shè)反F為AB、5的中點(diǎn)，求四邊形必明是平行四邊形時(shí)力的值.【難度】★★★(2)【答案】(1)S=105-5r(04/410.5)；(2)【解析】(1)由題意可得：AP^tfC02f,則S=gxG+21-2f)xl0=105-5r(0<Z<10.5);(2)過(guò)點(diǎn)〃作做1及7于〃，取面的中點(diǎn)G,則四邊形/眼是矩形.備用圖備用圖:尸是龍的中點(diǎn)，G是47的中點(diǎn)，，=2'：ADUBC,NQ90°,AD=18,BC=2\.?.孫21T8=3,CG=-CH=-2 23..QG^QC-GC=2t--,:四邊形必初''是平行四邊形，；.PE=QF"：AE^FG=-AB,NA="GQ=90，4AE2△GFQ,：.QG=AP3即當(dāng)四邊形小'。下是平行四邊形時(shí)，f的值為士.2【總結(jié)】本題一方面考察梯形背景下的動(dòng)點(diǎn)結(jié)合，另一方面考察中位線及平行四邊形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，注意認(rèn)真分析.例8.如圖1,在菱形4收力中，NQ45°, 左右作平行移動(dòng)的正方形加第的兩個(gè)頂點(diǎn)尺G始終在邊附上.當(dāng)點(diǎn)G到邊6c中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)￡恰好在邊加上.(1)如圖1,求正方形祗H的邊長(zhǎng)：(2)設(shè)點(diǎn)6與點(diǎn)尸的距離為x,在正方形明第作平行移動(dòng)的過(guò)程中，正方形EFGH與菱形力四重疊部分的面積為y,求y與＞的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出它的定義域；(3)聯(lián)結(jié)加、HC,當(dāng)△破'是等腰三角形時(shí)，求郎的長(zhǎng).BFGC【難度】★★★【解析】(1)當(dāng)點(diǎn)。到邊8c中點(diǎn)時(shí)，BG=2,：N445°,正方形的7/的兩個(gè)頂點(diǎn)KG始終在邊6。上.:.BF=EF=FG,:BG=2,：.FG=\,即正方形周郎的邊長(zhǎng)為1；(2)當(dāng)0cx41時(shí)，y=1 ―=―-x2+x+—>2 2 2當(dāng)I<x43時(shí)，y=l；(3)當(dāng)FH=HCB,"：HGLCF,:.FG=CG=\,：.BF=BC-GC-FG=4-l-1=2^當(dāng)FC=HCa,"：FC=FG+CG=\+CG,HC=ylGH2+GC2=>J\+GC2A1+GC=VGC2+1,解得：GC=0,:.BF=BC—GC—FG=4—l—0=3；當(dāng)/H=FC時(shí),則“'二四，此時(shí)綜上所述，當(dāng)伍是等腰三角形時(shí)，8尸的長(zhǎng)為2或3或4-夜.【總結(jié)】本題主要考察平行四邊形與正方形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，解題時(shí)注意對(duì)等腰三角形要

進(jìn)行分類討論.例9.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形6Mse是矩形，加0,4),<7(5,0),點(diǎn)〃是y軸正半軸上一點(diǎn)，將四邊形的肉沿著過(guò)點(diǎn)〃的直線翻折，使得點(diǎn)。落在線段16上的點(diǎn)￡處.過(guò)點(diǎn)￡作y軸的平行線與x軸交于點(diǎn)M折痕與直線可交于點(diǎn)〃，聯(lián)結(jié)DE、OM.設(shè)OD=t,MN=s.(1)試判斷四邊形的形狀，并證明；(2)當(dāng)點(diǎn)〃在線段的上時(shí)，求s關(guān)于t的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域：(3)用含t的代數(shù)式表示四邊形以必與矩形曲比'重疊部分的面積.【難度】★★★【解析】(1)四邊形故期是菱形.??將四邊形物比沿著過(guò)點(diǎn)〃的直線翻折，使得點(diǎn)。落在線段4夕上的點(diǎn)6處,ZODM=ZEDM,OD=DE. ,:EM//OD,：.NODM="ME,：.ZEDM=ZDME, DE=EM,,:OD=DE,：.OO=EM.：EM//OD,：.四邊形及MV是平行四邊形，/DE=EM，，平行四邊形歇加是菱形；(2)由(1)可得：OgEM=t,￡V=C14=4, s=4—t(2<f<4)；(3)當(dāng)點(diǎn)〃在線段辦上時(shí)，VOD=OM=ED=EM=t,EV=4,4-t=sON=y/OM2-MN2= =V8/-16=2y2t-4：.四邊形與矩形。重疊部分面積為：ODON=t-2j2r-4=2心-4；當(dāng)點(diǎn)〃在線段以延長(zhǎng)上時(shí)(如圖所示),

VAD^t-4,BD=t.AE=dBD2-Ab1={(-4)2_產(chǎn)=2j2t-4,，四邊形￡次加與矩形重疊部分面積為：AEOA=2x/2r-4x4=842t-4,綜上所述，四邊形￡沙加與矩形—重疊部分的面積為2rj2r-4或842"4.【總結(jié)】本題主要考察菱形的判定方法和性質(zhì)的綜合運(yùn)用，解題時(shí)注意進(jìn)行分析.例10.已知：如圖1,梯形4%力中，AD//BC,N4=90°,NU45°,AB=AD=4.￡是直線上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)陽(yáng)過(guò)點(diǎn)E作EKL8E交直線Q)于點(diǎn)E聯(lián)結(jié)品(1)若點(diǎn)￡是線段4〃上一點(diǎn)(與點(diǎn)點(diǎn)〃不重合)，(如圖1所示)①求證：BE=EF\②設(shè)淅人△財(cái)?shù)拿娣e為y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出此函數(shù)的定義域；(2)直線［〃上是否存在一點(diǎn)E,使△比尸是△?!緲面積的3倍，若存在，直接寫(xiě)出龐的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【難度】★★★【解析】(1)①在初上截取AG^AE,連接EG,VZ/1=90o,AG=AE,：.ZAGE=ZA￡G=45°,

ZBGE=135°'：AD//BC,ZC=45",ZD=135°,，NBGE=ND'JAG^AE,AB=AD,:.ED=BGVZJ=90°,EFLBE,：.ZABE=ZDEF'：ED=BG,^BGE=ND,ZABE=ZDEF：.ABGE^AEDF,:.BE=EF；②?：DE=x,：.AE^4-x,VZ^=90°,/.BE=>IaE2+AB2=7（4-x）2+42,"：BE=EF,：.yJbEEF」J（4_x）2+42 二.二8x+32（0<x<4）.（2）①當(dāng)點(diǎn)￡在線段4?上時(shí)，75^8￡=^xABxAE=lx4x（4-x）=8-2x,又2曲=32也,/.3x（8-2x）=X-8x+32,解得：x=-2±26（負(fù)值舍去），/.DE=-2+2y/5：②當(dāng)點(diǎn)/在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，延長(zhǎng)砌到G,使得舲比；連接仇;,則而'是等腰直角三角形.同（1）可證△%修△瓦方：.BE=EF,S??=-xBExEF=-xBE2=-\JaB2+AE2=-J42+（x-4）2=-&-8x+32,-BEF2 2 2 2 2Sz\ABE=gx4x（x-4）=2x-8,乂S皿=35收，二3x（2x_8）=x-8x+32,解得：、=10±2石，

D￡=10±275:③當(dāng)點(diǎn)f在線段4〃延長(zhǎng)線上時(shí)，延長(zhǎng)48到G,使得仇=%連接a7,則△力龍是等腰宜角三角形.同（1）可證△兆國(guó)△的；：.BE=EF,S*ef=-xBExEF=-xBE2=->JAB2+AE2=-^4-2+（x+4）2=-&+8x+32,75aabe=^x4x（x+4）=2x+8,又S.bef=3S.abe，3x（2x+8）=V+^'+32,解得：x=2±2石（負(fù)值舍去），DE=2+2加s綜上所述，當(dāng)△龍尸是△月比,面積的3倍時(shí)，〃上的長(zhǎng)為-2+2宕或10±2石或2+2技【總結(jié)】本題綜合性較強(qiáng)，主要考察全等三角形的構(gòu)造方法和梯形的性質(zhì)運(yùn)用，注意對(duì)點(diǎn)在宜線上的準(zhǔn)確理解，要分多種情況進(jìn)行討論.例11.如圖，已知正方形4比。的邊長(zhǎng)為3,菱形趴用的三個(gè)頂點(diǎn)區(qū)G、"分別在正方形的邊M、CD、的上，四三1,聯(lián)結(jié)CF.(1)當(dāng)如=1時(shí)，求證菱形猷W為正方形；(2)設(shè)加=x,△?%的面積為y,寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出x的取值范圍；(3)當(dāng)戊7=白后時(shí)，求/頌'的度數(shù).3【難度】★★★【解析】（1）當(dāng)加=1時(shí)，"：AH=\,：.DG=AH:菱形EFGH,:.HG=HE,VZA=ZD=90,：.4HDG絲AEAH,：.ADHG=ZAEH'：ZAHE+ZAEH=90°,二ZAHE+NDHG=90°.；.NGHE=90°菱形M第是正方形；（2）聯(lián)結(jié)GE,過(guò)尸作FM1DC交芯的延長(zhǎng)線手機(jī)/CD//AB,：.NCGE=ZAEG,:FG〃HE,：.ZFGE=ZHEG,AZFGC=ZHEAVZFGC=ZHEA^NA=NM,FG=HE,：.△力成也△，仍&AHA=FM=l,i ai?y=-xl?(3—x)=———x(0<x<3):(3),??正方形/靦的邊長(zhǎng)為3,AH=\,，游2.當(dāng)加時(shí)，GH=』DH?+DG。=/2+仁6)=172?,:.HE=-42\，/.AE=JHE?-HA2=-a/3.3 3過(guò)G做GNIAB￥N,：DG=+g'AE=-y[3,:.NE=B,3 3 3GE=JgN?+硒2=1+住)=三后, :.GH=GE=HE，.?.△￡67/是等邊三角形，AZGHE=60°.【總結(jié)】本題主要考察正方形的性質(zhì)及全等三角形的綜合運(yùn)用，注意輔助線的合理添加.例12.已知：如圖，四邊形力犯的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為0(0,0),力(8,0),6(4,4),<7(0,4),直線/：尸x+勿保持與四邊形。!阿的邊交于點(diǎn)以N("在折線]笫上，、在折線板上).設(shè)四邊形力留在/右下方部分的面積為S,在/左上方部分的面積為￡,記S=S-S(后0).(1)求N6M6的大小；(2)當(dāng)以N重合時(shí)，求/的解析式；(3)當(dāng)后0時(shí)，線段初上是否存在點(diǎn)兒使得S=0?若存在，求卬的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(4)求S與m的函數(shù)關(guān)系式.【難度】★★★【解析】(1)過(guò)方作軸，垂足為區(qū)則點(diǎn)￡(4,0)；8(4,4),/.BE=4,AE=4,應(yīng)'為等腰直角三角形，ZOAB=45°；(2)點(diǎn),以'只能重合到點(diǎn)C(0,4),此時(shí)帆=4,故宜線/的解析式為：尸才+4；(3)四邊形。18c的面積gx(4+8)x4=24.；直線/：y=x+w保持與四邊形fl46c邊交于點(diǎn)材、N,.?.△4。為等腰直角三角形.當(dāng)5=0時(shí)，則的面積為四邊形如胸的面積的一半.過(guò),V做x軸的垂線NH,則NH=AH=MH.設(shè)NH=a,則、々?2〃=/=12,2解得:a=2^3,:.A^(8-2>/3,2>/3),?.,點(diǎn)、、在直線7：尸x+加上,

(4)'：S=Sl&-/.w>4>/3-8.①當(dāng)46-8V"z<0時(shí),OM=-m?AM=8+m,經(jīng)過(guò)/(8,0),B(A,4)的直線解析式為：y=—x+8,8-6x= 解得：2解得：8+機(jī)y= " 2c1c8+桃8+機(jī)12“ ./cc/c?S.=-x2x x ——nr+4m+16,S2=24-51,,2 2 2 4/.S=5I-S2=251-24=-w2+8/n+8;②當(dāng)時(shí)，OM=m,CM=4-m,：.S2=1(4-w)2,S2=24-S,,；?S=S]-S2=24-2$=-m2+8m+8；綜上所述,—m2+8w+8(4>/3-8<zn<0)S=<2綜上所述,-m2+8/n+8(0<m<4)【總結(jié)】本題綜合性較強(qiáng)，主要考察圖形的運(yùn)動(dòng)，包含了一次函數(shù)的性質(zhì)及解析式的求法.解題時(shí)要注意從多個(gè)角度分析，特別要清楚動(dòng)點(diǎn)的移動(dòng)位置.例13.在邊長(zhǎng)為4的正方形力及力中，點(diǎn)。是對(duì)角線〃'的中點(diǎn)，戶是對(duì)角線“'上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PRLCD于點(diǎn)F,作砌"陽(yáng)交直線切于點(diǎn)瓦設(shè)好x,S^PCE=y.(1)求證：D聲EF；(2)當(dāng)點(diǎn)。在線段40上時(shí)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍；(3)點(diǎn)。在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中能否使△散?為等腰三角形?如果能，請(qǐng)直接寫(xiě)出印的長(zhǎng)；如果不能，請(qǐng)簡(jiǎn)單說(shuō)明理由.