高等數(shù)學上機教學的課件

《高等數(shù)學》

—上機教學（三）微分方程求解上機目的上機內(nèi)容MATLAB2、學會用Matlab求微分方程的數(shù)值解.上機軟件1、學會用Matlab求簡單微分方程的解析解.1、求簡單微分方程的解析解.4、上機作業(yè).2、求微分方程的數(shù)值解.3、數(shù)學建模實例.1、微分方程的解析解求微分方程（組）的解析解命令:dsolve(‘方程1’,‘方程2’,…‘方程n’,‘初始條件’,‘自變量’)

結(jié)果：u=tan(t+c1)例如求下例微分方程的特解。

在Matlab命令窗口中輸入：y=dsolve('Dy=exp(x)','y(0)=exp(1)','x')輸出結(jié)果為：y=exp(x)-1+exp(1)如想畫出函數(shù)在自變量x在區(qū)間[-10,10]的函數(shù)圖像，可在命令窗口中輸入：ezplot(y,[-10,10])解輸入命令:y=dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x')結(jié)果為:y=3*exp(-2*x)*sin(5*x)作圖命令：ezplot(y,[1.0,4])解輸入命令：[x,y,z]=dsolve('Dx=2*x-3*y+3*z','Dy=4*x-5*y+3*z','Dz=4*x-4*y+2*z','t');x=simple(x)%將x化簡y=simple(y)z=simple(z)運行結(jié)果為：x=(c1-c2+c3+c2e-3t-c3e-3t)e2t,y=-c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2t,z=(-c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)e2t.2、微分方程的數(shù)值解（一）常微分方程數(shù)值解的定義在生產(chǎn)和科研中所處理的微分方程往往很復雜且大多得不出一般解.而在實際上對初值問題，一般是要求得到解在若干個點上滿足規(guī)定精確度的近似值，或者得到一個滿足精確度要求的便于計算的表達式.因此，研究常微分方程的數(shù)值解法是十分必要的.（二）建立數(shù)值解法的一些途徑1、用差商代替導數(shù)若步長h較小，則有故有公式：此即歐拉法.2、使用數(shù)值積分對方程y’=f(x,y),兩邊由xi到xi+1積分，并利用梯形公式，有：實際應(yīng)用時，與歐拉公式結(jié)合使用：此即改進的歐拉法.故有公式：3、使用泰勒公式以此方法為基礎(chǔ)，有龍格-庫塔法、線性多步法等方法.4、數(shù)值公式的精度當一個數(shù)值公式的截斷誤差可表示為O（hk+1）時（k為正整數(shù)，h為步長），稱它是一個k階公式.k越大，則數(shù)值公式的精度越高.歐拉法是一階公式，改進的歐拉法是二階公式.

龍格-庫塔法有二階公式和四階公式.

線性多步法有四階阿達姆斯外插公式和內(nèi)插公式.（三）用Matlab軟件求常微分方程的數(shù)值解[t，x]=solver（’f’,ts,x0,options）ode45ode23ode113ode15sode23s由待解方程寫成的m-文件名ts=[t0，tf]，t0、tf為自變量的初值和終值函數(shù)的初值ode23：組合的2/3階龍格-庫塔-芬爾格算法ode45：運用組合的4/5階龍格-庫塔-芬爾格算法自變量值函數(shù)值用于設(shè)定誤差限(缺省時設(shè)定相對誤差10-3,絕對誤差10-6),命令為：options=odeset（’reltol’,rt,’abstol’,at）,rt，at：分別為設(shè)定的相對誤差和絕對誤差.1、在解n個未知函數(shù)的方程組時，x0和x均為n維向量，m-文件中的待解方程組應(yīng)以x的分量形式寫成.2、使用Matlab軟件求數(shù)值解時，高階微分方程必須等價地變換成一階微分方程組.注意:解:令y1=x，y2=y1’1、建立m-文件vdp1000.m如下：functiondy=vdp1000(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=1000*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1);

2、取t0=0，tf=3000，在matlab主命令窗口中輸入命令：[T,Y]=ode15s('vdp1000',[03000],[20]);plot(T,Y(:,1),'-')3、結(jié)果如圖：解1、建立m-文件rigid.m如下：functiondy=rigid(t,y)dy=zeros(3,1);dy(1)=y(2)*y(3);dy(2)=-y(1)*y(3);dy(3)=-0.51*y(1)*y(2);2、取t0=0，tf=12，輸入命令：[T,Y]=ode45('rigid',[012],[011]);plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'*',T,Y(:,3),'+')3、結(jié)果如圖：圖中，y1的圖形為實線，y2的圖形為“*”線，y3的圖形為“+”線.（一）導彈追蹤問題設(shè)位于坐標原點的甲艦向位于x軸上點A(1,0)處的乙艦發(fā)射導彈，導彈頭始終對準乙艦.如果乙艦以最大的速度v0(是常數(shù))沿平行于y軸的直線行駛，導彈的速度是5v0，求導彈運行的曲線方程.又乙艦行駛多遠時，導彈將它擊中？解法一：（解析法）3、數(shù)學建模實例由(1),(2)消去t整理得模型:解法二：(數(shù)值解)1.建立m-文件eq1.m

functiondy=eq1(x,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=1/5*sqrt(1+y(2)^2)/(1-x);2.取x0=0;xf=0.9999，建立主程序ff6.m如下：

x0=0;xf=0.9999;[x,y]=ode15s('eq1',[x0xf],[00]);plot(x,y(:,1),'b.')holdon;y=0:0.01:2;plot(1,y,'r*')

結(jié)論:導彈大致在（1，0.2）處擊中乙艦.令y1=y,y2=y1’，將方程（3）化為一階微分方程組.解法三：(建立參數(shù)方程求數(shù)值解)設(shè)時刻t乙艦的坐標為(X(t)，Y(t))，導彈的坐標為(x(t)，y(t)).3．因乙艦以速度v0沿直線x=1運動，設(shè)v0=1，則w=5，X=1，Y=t4.解導彈運動軌跡的參數(shù)方程(1)建立m-文件eq2.m如下：

functiondy=eq2(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=5*(1-y(1))/sqrt((1-y(1))^2+(t-y(2))^2);dy(2)=5*(t-y(2))/sqrt((1-y(1))^2+(t-y(2))^2);（2）取t0=0，tf=2，建立主程序chase2.m如下：

[t,y]=ode45('eq2',[02],[00]);Y=0:0.01:2;plot(1,Y,'-')holdon;plot(y(:,1),y(:,2),'*')5.結(jié)果見圖1導彈大致在（1，0.2）處擊中乙艦，與前面的結(jié)論一致.圖1圖2在chase2.m中，按二分法逐步修改tf，即分別取tf=1，0.5,0.25,…,直到tf=0.21時，得圖2.結(jié)論：時刻t=0.21時，導彈在（1，0.21）處擊中乙艦.4、上機作業(yè)（三）3.