考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)強(qiáng)化習(xí)題-相似與相似對角化_第1頁
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2023考研已經(jīng)拉開序幕,很多考生不知道如何選擇適合自己的考研復(fù)習(xí)資料。中公考研輔導(dǎo)老師為考生準(zhǔn)備了【線性代數(shù)-相似與相似對角化知識點(diǎn)講解和習(xí)題】,希望可以助考生一臂之力。同時(shí)中公考研特為廣大學(xué)子推出考研集訓(xùn)營、專業(yè)課輔導(dǎo)、精品網(wǎng)課、vip1對1等課程,針對每一個(gè)科目要點(diǎn)進(jìn)行深入的指導(dǎo)分析,歡迎各位考生了解咨詢。模塊九相似與相似對角化Ⅰ經(jīng)典習(xí)題一.相似矩陣1、下列矩陣中,和相似的是()(A)(B)(C)(D)2、設(shè)均為階矩陣,可逆且A~B,則下列命題中①AB~BA②A2~B2正確的有()個(gè).(A)(B)(C)(D)二.相似對角化的條件3、下列矩陣中,不能相似對角化的是()(A)(B)(C)(D)4、已知三階矩陣的特征值為,則下列結(jié)論中不正確的是()(A)矩陣是不可逆的(B)矩陣的主對角元素之和為(C)所對應(yīng)的特征向量正交(D)的基礎(chǔ)解系由一個(gè)向量構(gòu)成5、設(shè)階方陣,且對,則()(A)(B)相似(C)合同(D)同時(shí)可相似對角化或不可相似對角化6、設(shè)為階方陣,滿足,證明:(1);(2)矩陣可以相似對角化.7、設(shè)為三階方陣,為三維線性無關(guān)列向量組,且有,.(1)求的全部特征值;(2)是否可對角化?8、已知三階矩陣的特征值為,設(shè)()(A)1(B)2(C)3(D)不能確定三.相似對角化中與的計(jì)算9、已知是矩陣屬于特征值的特征向量,是矩陣屬于特征值的特征向量,那么矩陣不能是()(A)(B)(C)(D)10、已知,其中,求______________.11、已知矩陣與相似:(1)求與;(2)求一個(gè)滿足的可逆矩陣12、設(shè)矩陣.問當(dāng)為何值時(shí),存在可逆矩陣,使得為對角矩陣?并求出和相應(yīng)的對角矩陣.13、設(shè)矩陣,已知有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量,是的二重特征值.試求可逆矩陣,使得為對角矩陣.14、設(shè)矩陣與相似,其中.(1)求和的值;(2)求可逆矩陣,使.四.的計(jì)算15、已知、為三階矩陣,滿足,,齊次方程組有非零解,(1)求的值;(2)求可逆矩陣,使為對角矩陣;(3)求秩;(4)計(jì)算行列式;(5)求五.對實(shí)對稱矩陣性質(zhì)的考查16、設(shè)階實(shí)對稱矩陣,則()(A)個(gè)特征向量兩兩正交(B)個(gè)特征向量組成單位正交向量組(C)重特征值(D)重特征值17、設(shè)二階實(shí)對稱矩陣的一個(gè)特征值,屬于的特征向量為,若,則______________.18、設(shè)三階實(shí)對稱矩陣的特征值為,對應(yīng)于的特征向量為,求.六.實(shí)對稱矩陣的正交相似對角化19、設(shè)是階矩陣,且有個(gè)相互正交的特征向量,證明是實(shí)對稱矩陣20、設(shè)三階對稱矩陣A的特征值為,是A的屬于特征值的特征向量,記(1)驗(yàn)證是矩陣B的特征向量,并求B的全部特征值與其對應(yīng)的特征向量;(2)求矩陣B七.綜合21、階實(shí)對稱矩陣,且滿足條件.(1)求的全部特征值.(2)當(dāng)為何值時(shí),矩陣為正定矩陣,其中階單位矩陣.Ⅱ參考答案一.相似矩陣1、【答案】(C)【解析】:(A)中,,故和不相似.(B)中,,故和不相似.(D)中,的特征值為,的特征值為,故和不相似.由排除法可知:只有(C)中矩陣和可能相似.事實(shí)上,在(C)中,和的特征值均為,由于和均可相似對角化,也即和均相似于,故和相似.故選(C)2、【答案】(D)【解析】:由于,可知:存在可逆矩陣,使得.故,可知、、.又由于可逆,可知,故.故正確的命題有個(gè),選(D)二.相似對角化的條件3、【答案】(D)【解析】:(A)中矩陣為實(shí)對稱矩陣,可以相似對角化.(B)中矩陣有三個(gè)互不相同的特征值:,可以相似對角化.(C)中矩陣特征值為,由于該矩陣秩為,可知其二重特征值有兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量,故可以相似對角化.(D)矩陣特征值為,令該矩陣為,,,可知其二重特征值只有一個(gè)線性無關(guān)的特征向量,故不可以相似對角化.故選(D).4、【答案】:(C)【分析】:注意本題是找不正確的答案.根據(jù)特征值與行列式的關(guān)系及特征值的性質(zhì)應(yīng)知A,B正確,而的非零解對應(yīng)的是零特征值的特征向量.【解析】:根據(jù),,知(A),(B)正確;而是單根,因此,即的基礎(chǔ)解系只由一個(gè)線性無關(guān)解向量構(gòu)成,可知(D)也正確.因此唯一可能不正確的選項(xiàng)是(C).事實(shí)上,由于沒有限定為實(shí)對稱矩陣,故不同特征值的特征向量不一定正交.故選(C).【評注】:特征值的重?cái)?shù)與矩陣的秩的關(guān)系:由于矩陣的重特征值最多只能有個(gè)線性無關(guān)的特征向量,故假設(shè)為矩陣的重特征值,則,也即.有兩種情況可以確定:一是當(dāng)矩陣可相似對角化時(shí),必有;二是當(dāng)為單特征值時(shí),由于,又由于矩陣不滿秩,故.本題在確定的基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)時(shí),用到了上述結(jié)論:由于是單特征值,故5、【答案】:(A)【解析】:由知,具有相同特征值,而的特征值為,所以故(A)是正確的.對于(B),(C),(D),可以通過舉反例予以排除.例如,則的特征多項(xiàng)式相同,但不相似,否則,矛盾,故可以排除(B).同時(shí),由于矩陣不可相似對角化,故可排除(D).最后,由于合同矩陣是在實(shí)對稱矩陣的范圍內(nèi)討論,可知(C)不正確.故唯一正確的選項(xiàng)是(A)6、【證明】:(1)由可得,故有.又由于.可知.(2)由于,可知矩陣的特征值必滿足,也即的特征值只能為或.由于矩陣可相似對角化的充要條件是有個(gè)線性無關(guān)的特征向量,故考慮和的特征向量.由于和的特征向量分別為和的解,它們的基礎(chǔ)解系中分別含有和個(gè)解向量.也即特征值有個(gè)線性無關(guān)的特征向量;特征值有個(gè)線性無關(guān)的特征向量.而,可知有個(gè)線性無關(guān)的特征向量.故矩陣可以相似對角化.7、【解析】:⑴由已知得,,,,又因?yàn)榫€性無關(guān),所以,,.所以-1,2是的特征值.是相應(yīng)的特征向量.又由線性無關(guān),得也線性無關(guān),所以-1是矩陣的二重特征值,即的全部特征值為-1,-1,2.⑵由線性無關(guān)可證明線性無關(guān),即矩陣有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量,所以矩陣可相似對角化.【評注】:對于抽象的矩陣,經(jīng)常利用定義與性質(zhì)討論其特征值與特征向量問題8、【答案】:(A)【解析】:因?yàn)榫仃囉腥齻€(gè)不同的特征值,所以必能相似對角化,則有.那么,即.因此.故應(yīng)選(A)三.相似對角化中與的計(jì)算9、【答案】:(D)【解析】:若則有即即可見是矩陣屬于特征值的特征向量,又因矩陣可逆,因此,線性無關(guān).若是屬于特征值的特征向量,則仍是屬于特征值的特征向量,故(A)正確.若是屬于特征值的特征向量,則仍是屬于特征值的特征向量.本題中,是屬于的線性無關(guān)的特征向量,故仍是的特征向量,并且線性無關(guān),故(B)正確.關(guān)于(C),因?yàn)榫堑奶卣飨蛄?,所以誰在前誰在后均正確.即(C)正確.由于是不同特征值的特征向量,因此不再是矩陣的特征向量,故(D)錯(cuò)誤.【評注】:相似對角化中,只要有的對角元是矩陣的個(gè)特征值,的列向量是與中特征值對應(yīng)的個(gè)線性無關(guān)的特征向量,所得的與就能滿足等式10、【答案】:【解析】:由于知,有3個(gè)不同的特征值1,2,3.所以,其中.故.【評注】:當(dāng)矩陣可相似對角化時(shí),由于在式中,對角矩陣的對角元均為的特征值,可逆矩陣的列向量為特征值對應(yīng)的特征向量.因此,只要知道了矩陣所有的特征值、特征向量,就可以利用等式求出,這是考點(diǎn)相似對角化下的一個(gè)重要的命題思路.11、【解析】:(1)的特征值為.由與相似,則的特征值為.故.(2)分別求出的對應(yīng)于特征值的線性無關(guān)的特征向量為.令可逆矩陣,則.12、【解析】:則的特征值為.矩陣與對角矩陣相似屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為兩個(gè).此時(shí),屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量;屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量.令可逆矩陣,則13、【解析】:有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量,則能對角化.又是的二重特征值,則屬于有兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量,故.此時(shí).由為的另一特征值.屬于的線性無關(guān)的特征向量;屬于的線性無關(guān)的特征向量.令.14、【解析】:(1)的特征值為;有特征值.與相似,則與有相同的特征值,故.又.(2)的對應(yīng)于特征值的特征向量分別為,令可逆矩陣,則.四.的計(jì)算15、【解析】,因?yàn)?,所以所以?1特征值,且其重?cái)?shù)至少是2重,因?yàn)橛蟹橇憬?,所以?特征值,且其重?cái)?shù)至少是1重,又因?yàn)闉槿A矩陣,所以-1是二重特征值,0為1重特征值,由于是對稱矩陣一定可對角化,所以。因?yàn)椋遥?。五.對?shí)對稱矩陣性質(zhì)的考查16、【答案】:(C)【解析】:實(shí)對稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量正交,但未必兩兩正交;個(gè)特征向量未必是單位正交向量組,故(A),(B)均不正確.由于實(shí)對稱矩陣必可對角化,的屬于重特征值的線性無關(guān)的特征向量必有個(gè),故.故本題應(yīng)選(C)17、【答案】:【分析】:求出所有的特征值特征向量即可.【解析】:設(shè)矩陣的特征值為和,對應(yīng)的特征向量分別為和.因?yàn)闉閷?shí)對稱矩陣,則存在正交矩陣,使得,其中.由于相似矩陣的行列式相等,所以所以.又實(shí)對稱矩陣的不同特征值對應(yīng)的特征向量正交,于是可得此方程組的基礎(chǔ)解系為.將對應(yīng)的特征向量單位化.令矩陣,則18、【解析】:設(shè)對應(yīng)于特征值的特征向量為,則與正交,即,其基礎(chǔ)解系為.令可逆矩陣,則,故六.實(shí)對稱矩陣的正交相似對角化19、【分析】:個(gè)相互正交的特征向量必線性無關(guān),可知可對角化,并且可用正交變換化這對角矩陣.【證明】設(shè)個(gè)相互正交的特征向量分別為,其對應(yīng)的特征值分別為,將單位正交化,記為,則用為的特征向量,令,則為正交矩陣,且故有所以有即是實(shí)對稱矩陣20、【解析】(1)因?yàn)槿A對稱矩陣A的特征值為且所以B的特征值為4,-2,-2。是A屬于2的特征向量,所以也是B屬于4的特征向量,因?yàn)锳是對稱矩陣,所以B也是對稱矩陣,所以對于B矩陣屬于-2的特征向量與屬于4的特征向量正交。對于B屬于4的特征向量為,屬于-2的特征向量為,其中為非零任意常數(shù),是不全為零的任意常數(shù)。(2)通過正交化單位化找到實(shí)現(xiàn)對角化的正

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