空間直角坐標(biāo)系坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法

坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法空間直角坐標(biāo)系如果其原點不動，繞著某一個軸旋轉(zhuǎn)而構(gòu)成的新的坐標(biāo)系，這個過程就叫做坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)。在舊坐標(biāo)系中的坐標(biāo)與在旋轉(zhuǎn)后新坐標(biāo)系中的坐標(biāo)有一定的轉(zhuǎn)換關(guān)系，這種轉(zhuǎn)換關(guān)系可以用轉(zhuǎn)換矩陣來表示。如圖5.7,直角坐標(biāo)系XYZ，P點的坐標(biāo)為（x,y,z），其相應(yīng)的在XY平面，XZ平面，YZ平面分別為M（x,y,0），Q（x,0,z）和N（0,y,z）。由（時,0）由（時,0）圖5.7直角坐標(biāo)系XYZ設(shè)9表示第j軸的旋轉(zhuǎn)角度，Rj（9）表示繞第j軸的旋轉(zhuǎn)，其正方向是沿坐標(biāo)軸向原點看去的逆時針方向。很明顯當(dāng)j軸為旋轉(zhuǎn)軸時，它對應(yīng)的坐標(biāo)中的j分量是不變的。由于直角坐標(biāo)系是對稱的，下面我們以繞Z軸旋轉(zhuǎn)為例推導(dǎo)其旋轉(zhuǎn)變換矩陣，其它兩個軸推導(dǎo)和它是一樣的。設(shè)圖5.7的坐標(biāo)繞Z軸逆時針旋轉(zhuǎn)0角度，新坐標(biāo)為X'Y'Z'，如圖5.8所示：kNgy圖5.8坐標(biāo)繞Z軸逆時針旋轉(zhuǎn)0角度kNg由于坐標(biāo)中的z分量不變，我們可以簡化地在XY平面進行分分析，如圖5.9所示:圖5.9坐標(biāo)繞Z軸逆時針旋轉(zhuǎn)0角度的XY平面示意圖點MX和點MX,分別是M點在X軸和X軸的投影。如圖5.9（x=OM=OMcos/MOM=OMcos（甲-。）TOC\o"1-5"\h\z[y=mM*=OMsin/MOM=OMsin（甲一6）（5」）Jx，=OM=OMcos/MOM=OMcos甲[y，=mMx，=OMsin/MOM：=OMsin甲（5-2）把（5-1）式按照三角函數(shù)展開得：x=OMcos甲cos6+OMsin甲sin6[y=OMsin甲cos6+OMcos甲sin6（5-3）把（5-2）式代入（5-3）式得：x=x'cos6+y'sin6|y=-Xsin6+y'cos6（5-4）坐標(biāo)中的z分量不變，即z=z'這樣整個三維坐標(biāo)變換就可以寫成（用新坐標(biāo)表示舊坐標(biāo)）x=x'cos6+y'sin6<y=-x'sin6+y，cos6（55）z=Z把式（5-5）用一個坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換矩陣RZ（0）表示可以寫成:（5-6（5-6）（5-7）「X]「X']y=R(0)y'zZ_zcos0sin0R(0)=-sin0cos0Z00坐標(biāo)系X'Y'Z'是坐標(biāo)系XYZ繞Z軸逆時針旋轉(zhuǎn)0角度而來，從另一個角度來看，也可以說坐標(biāo)系XYZ是坐標(biāo)系X'Y'Z'繞Z'軸逆時針旋轉(zhuǎn)-0