數(shù)學(xué)建模協(xié)會講座

教學(xué)目標

培養(yǎng)“翻譯”能力

培養(yǎng)用數(shù)學(xué)思想方法的綜合應(yīng)用分析能力

培養(yǎng)想象力發(fā)展觀察力，形成洞察力

培養(yǎng)交流與表達的能力

熟練使用技術(shù)手段

科技論文寫作能力

第1頁，共25頁。1

汽車剎車距離美國的某些司機培訓(xùn)課程中的駕駛規(guī)則：背景與問題正常駕駛條件下,車速每增10英里/小時，后面與前車的距離應(yīng)增一個車身的長度。實現(xiàn)這個規(guī)則的簡便辦法是“2秒準則”：后車司機從前車經(jīng)過某一標志開始默數(shù)2秒鐘后到達同一標志，而不管車速如何判斷“2秒準則”與“車身”規(guī)則是否一樣；建立數(shù)學(xué)模型，尋求更好的駕駛規(guī)則。第2頁，共25頁。問題分析常識：剎車距離與車速有關(guān)10英里/小時(16公里/小時)車速下2秒鐘行駛29英尺(9米)>>車身的平均長度15英尺(=4.6米)“2秒準則”與“10英里/小時加一車身”規(guī)則不同剎車距離反應(yīng)時間司機狀況制動系統(tǒng)靈活性制動器作用力、車重、車速、道路、氣候……最大制動力與車質(zhì)量成正比，使汽車作勻減速運動。車速常數(shù)反應(yīng)距離制動距離常數(shù)第3頁，共25頁。假設(shè)與建模1.剎車距離d等于反應(yīng)距離d1與制動距離d2之和2.反應(yīng)距離d1與車速v成正比3.剎車時使用最大制動力F，F(xiàn)作功等于汽車動能的改變;Fd2=mv2/2F

mt1為反應(yīng)時間且F與車的質(zhì)量m成正比第4頁，共25頁。反應(yīng)時間t1的經(jīng)驗估計值為0.75秒?yún)?shù)估計利用交通部門提供的一組實際數(shù)據(jù)擬合k模型最小二乘法k=0.06計算剎車距離、剎車時間車速(英里/小時)(英尺/秒)實際剎車距離（英尺）計算剎車距離（英尺）剎車時間（秒）2029.342（44）39.01.53044.073.5（78）76.61.84058.7116（124）126.22.15073.3173（186）187.82.56088.0248（268）261.43.070102.7343（372）347.13.680117.3464（506）444.84.3第5頁，共25頁?！?秒準則”應(yīng)修正為“t秒準則”模型車速(英里/小時)剎車時間（秒）201.5301.8402.1502.5603.0703.6804.3車速（英里/小時）0~1010~4040~6060~80t（秒）1234第6頁，共25頁?，F(xiàn)實世界中普遍存在著優(yōu)化問題靜態(tài)優(yōu)化問題指最優(yōu)解是數(shù)(不是函數(shù))建立靜態(tài)優(yōu)化模型的關(guān)鍵之一是根據(jù)建模目的確定恰當(dāng)?shù)哪繕撕瘮?shù)

求解靜態(tài)優(yōu)化模型一般用微分法靜態(tài)優(yōu)化模型第7頁，共25頁。2存貯模型問題配件廠為裝配線生產(chǎn)若干種產(chǎn)品，輪換產(chǎn)品時因更換設(shè)備要付生產(chǎn)準備費，產(chǎn)量大于需求時要付貯存費。該廠生產(chǎn)能力非常大，即所需數(shù)量可在很短時間內(nèi)產(chǎn)出。已知某產(chǎn)品日需求量100件，生產(chǎn)準備費5000元，貯存費每日每件1元。試安排該產(chǎn)品的生產(chǎn)計劃，即多少天生產(chǎn)一次（生產(chǎn)周期），每次產(chǎn)量多少，使總費用最小。要求不只是回答問題，而且要建立生產(chǎn)周期、產(chǎn)量與需求量、準備費、貯存費之間的關(guān)系。第8頁，共25頁。問題分析與思考

每天生產(chǎn)一次，每次100件，無貯存費，準備費5000元。日需求100件，準備費5000元，貯存費每日每件1元。

10天生產(chǎn)一次，每次1000件，貯存費900+800+…+100=4500元，準備費5000元，總計9500元。

50天生產(chǎn)一次，每次5000件，貯存費4900+4800+…+100=122500元，準備費5000元，總計127500元。平均每天費用950元平均每天費用2550元10天生產(chǎn)一次平均每天費用最小嗎?每天費用5000元第9頁，共25頁。這是一個優(yōu)化問題，關(guān)鍵在建立目標函數(shù)。顯然不能用一個周期的總費用作為目標函數(shù)目標函數(shù)——每天總費用的平均值周期短，產(chǎn)量小周期長，產(chǎn)量大問題分析與思考貯存費少，準備費多準備費少，貯存費多存在最佳的周期和產(chǎn)量，使總費用（二者之和）最小第10頁，共25頁。模型假設(shè)1.產(chǎn)品每天的需求量為常數(shù)r；2.每次生產(chǎn)準備費為c1,每天每件產(chǎn)品貯存費為c2；3.T天生產(chǎn)一次（周期）,每次生產(chǎn)Q件，當(dāng)貯存量為零時，Q件產(chǎn)品立即到來（生產(chǎn)時間不計）；建模目的設(shè)r,c1,c2已知，求T,Q

使每天總費用的平均值最小。4.為方便起見，時間和產(chǎn)量都作為連續(xù)量處理。第11頁，共25頁。模型建立0tq貯存量表示為時間的函數(shù)q(t)TQrt=0生產(chǎn)Q件，q(0)=Q,q(t)以需求速率r遞減，q(T)=0.一周期總費用每天總費用平均值（目標函數(shù)）離散問題連續(xù)化一周期貯存費為A=QT/2第12頁，共25頁。模型求解求T使模型分析模型應(yīng)用c1=5000,c2=1，r=100T=10(天),Q=1000(件),C=1000(元)回答問題第13頁，共25頁。經(jīng)濟批量訂貨公式（EOQ公式）每天需求量r，每次訂貨費c1,每天每件貯存費c2，用于訂貨、供應(yīng)、存貯情形不允許缺貨的存貯模型

問：為什么不考慮生產(chǎn)費用？在什么條件下才不考慮？T天訂貨一次(周期),每次訂貨Q件，當(dāng)貯存量降到零時，Q件立即到貨。第14頁，共25頁。允許缺貨的存貯模型AB0qQrT1t當(dāng)貯存量降到零時仍有需求r,出現(xiàn)缺貨，造成損失原模型假設(shè)：貯存量降到零時Q件立即生產(chǎn)出來(或立即到貨)現(xiàn)假設(shè)：允許缺貨,每天每件缺貨損失費c3,缺貨需補足T一周期貯存費一周期缺貨費周期T,t=T1貯存量降到零一周期總費用第15頁，共25頁。每天總費用平均值（目標函數(shù)）一周期總費用求T,Q使為與不允許缺貨的存貯模型相比，T記作T’,Q記作Q’第16頁，共25頁。不允許缺貨模型記允許缺貨模型不允許缺貨第17頁，共25頁。允許缺貨模型0qQrT1tT注意：缺貨需補足Q~每周期初的存貯量R每周期的生產(chǎn)量R（或訂貨量）Q~不允許缺貨時的產(chǎn)量(或訂貨量)第18頁，共25頁。3生豬的出售時機飼養(yǎng)場每天投入4元資金，用于飼料、人力、設(shè)備，估計可使80千克重的生豬體重增加2公斤。問題市場價格目前為每千克8元，但是預(yù)測每天會降低0.1元，問生豬應(yīng)何時出售。如果估計和預(yù)測有誤差，對結(jié)果有何影響。分析投入資金使生豬體重隨時間增加，出售單價隨時間減少，故存在最佳出售時機，使利潤最大第19頁，共25頁。求t使Q(t)最大10天后出售，可多得利潤20元建模及求解生豬體重w=80+rt出售價格p=8-gt銷售收入R=pw資金投入C=4t利潤Q=R-C=pw-C估計r=2，若當(dāng)前出售，利潤為80×8=640（元）t天出售=10Q(10)=660>640g=0.1第20頁，共25頁。敏感性分析研究r,g變化時對模型結(jié)果的影響估計r=2，g=0.1設(shè)g=0.1不變t對r的（相對）敏感度生豬每天體重增加量r增加1%，出售時間推遲3%。rt第21頁，共25頁。敏感性分析估計r=2，g=0.1研究r,g變化時對模型結(jié)果的影響設(shè)r=2不變t對g的（相對）敏感度生豬價格每天的降低量g增加1%，出售時間提前3%。gt第22頁，共25頁。強健性分析保留生豬直到利潤的增值等于每天的費用時出售由S(t,r)=3建議過一周后(t=7)重新估計,再作計算。研究r,g不是常數(shù)時對模型結(jié)果的影響w=80+rtw=w(t)p=8-gtp=p(t)若(10%),則（30%）每天利潤的增值每天投入的資金第23頁，共25頁。練習(xí)：梯子長度問題

問題:如圖所示,在一棟樓房的后面有一個很大的花園,在花園的邊上有一個緊靠著樓房的溫室,溫室伸入花園2米,高3米,在溫室的正上方是樓房的窗臺,現(xiàn)有一架7米長的梯子,我們能否將這架梯子的一端放在花園中,另一端靠在樓房的墻上,使得梯子不碰壞溫室棚?若否,問梯子至少應(yīng)為多長?第24頁，共25頁。內(nèi)容梗概教學(xué)目標。美國的某些司機培訓(xùn)課程中的駕駛規(guī)則：。后面與前車的距離應(yīng)增一個車身的長度。實現(xiàn)這個規(guī)則的簡便辦法是“2秒準則”：。后車司機從前車經(jīng)過某一標志開始默數(shù)。10英里/小時(16公里/小時)車速下2秒鐘行駛29英尺(9米)。>>車身的平均長度15英尺(=4.6米)?！?秒準則”與“10英里/小時加一車身”規(guī)則不同。制動器作用力、車重、車速、道路、氣候。3.剎車時使用最大制動力F，F(xiàn)作功等于汽車動能的改變。最小二乘法k=0.06。計算剎車距離、剎車時間。建立靜態(tài)優(yōu)化模型的關(guān)鍵之一是根據(jù)建模目的確定恰當(dāng)?shù)哪繕撕瘮?shù)。配件廠為裝配線生產(chǎn)若干種產(chǎn)品，輪換產(chǎn)品時因更換設(shè)。備要付生產(chǎn)準備費，產(chǎn)量大于需求