控制工程基礎-第三章控制系統(tǒng)分析方法

控制系統(tǒng)的分析第一步建立模型第二步分析控制性能

性系統(tǒng)的時域分析線性系統(tǒng)的時域分析時域分析性能高階系統(tǒng)的時域分實驗方第三章時域瞬態(tài)響應分分析控制系統(tǒng)的第一步是建立模型，數(shù)學模型一旦建立，第二步分析控制性實際上，控制系統(tǒng)的輸入信號常常是不知的，而是隨機的。很難用解析的方法表示。只有在一些特殊的情況下是預先知道的，可以用解析的方法或者曲線表示。例如，切削機床的自動控制的例子。在分析和設計控制系統(tǒng)時，對各種控制系統(tǒng)性能得有評判、比較的依據(jù)。這個依據(jù)也以通過對這些系統(tǒng)加上各種輸入信號，比較它們對特定的輸入信號的響應來建立。許多設計準則就建立在這些信號的基礎上，或者建立在系統(tǒng)對初始條件變（無任何試驗信號）的基礎上，因為系統(tǒng)對典型試驗信號的響應特性，與系統(tǒng)對實際輸入信號的響應特性之間，存在著一定的關系；所以采用試驗信號來評價系統(tǒng)性能是合理的。瞬時響應和穩(wěn)態(tài)響應TransientResponse&Steady_state在典型輸入信號作用下，任何一個控制系統(tǒng)的時間響應1瞬態(tài)響應指系統(tǒng)從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應過程。由于實際控制系統(tǒng)具2穩(wěn)態(tài)響應是指t趨近于無窮大時，系統(tǒng)的輸出狀態(tài)，表征系統(tǒng)輸出量最絕對穩(wěn)定性，相對穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)誤AbsoluteStabilityRelativeStability,Steady_stateError在設計控制系統(tǒng)時，我們能夠根據(jù)元件的性能，估算出系統(tǒng)的動態(tài)特性?？刂葡到y(tǒng)動態(tài)特性中，最重要的是絕對穩(wěn)定性，即系統(tǒng)是穩(wěn)定的，還是不穩(wěn)定的。如果控制系統(tǒng)沒有受到任何擾動，或輸入信號的作用，系統(tǒng)的輸出量保持在某一狀態(tài)上，控制系統(tǒng)便處于平衡狀態(tài)。如果線性定?？刂葡到y(tǒng)受到擾動量的作用后，輸出量最終又返回到它的平衡狀態(tài)，那么，這種系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如果線性定?？刂葡到y(tǒng)受到擾動量作用后，輸出量顯現(xiàn)為持續(xù)的振蕩過程或輸出量地偏離其平衡狀態(tài)，那么系統(tǒng)便是不穩(wěn)定的。

穩(wěn)態(tài)特性：穩(wěn)態(tài)誤差是系3.1.1典型試驗信Typicaltest實際系統(tǒng)的輸入信號不可知典型試驗信號的響應與系統(tǒng)的實際響應，存在某種關電壓試驗信號是時間的簡單函數(shù)，便于分析（單位）階躍函數(shù)（Stepfunction）突然受到恒定輸入作用或突然的擾動

t

室溫調節(jié)系統(tǒng)和（單位）斜坡函數(shù)（Rampfunction）

t如果控制系統(tǒng)的輸入量是隨時間逐步變化的函數(shù)，則斜坡時間函數(shù)是比較合適的（單位）加速度函數(shù)（Accelerationfunction）拋物

1t2

t（單位）脈沖函數(shù)（Impulse t正弦函數(shù)（Simusoidalfunction）Asinwt，當輸入作用具有周期性變化時通常運用階躍函數(shù)作為典型輸入作用信號，這樣可在一個統(tǒng)一的基礎上對各種控制系統(tǒng)的特性進行比較和研究。本章討論系統(tǒng)對正弦試驗信號響應，將在第四章頻域分析法）一階系統(tǒng)的時域分R

+

i(t)

其微分方程cU(t)c

duc(t)U

(t)

→Tc(t)c(t)r(t)

（a）

其中c(t)為電路輸出電壓，r(t)為電路輸入電壓，T=RC為時間常數(shù)。當初使條件為零時，其傳遞函數(shù)G(s)

C(s) （b）

TS1

這種系統(tǒng)實際上是一個非周期性的一階慣性環(huán)節(jié)。下面分別就不同的典型輸入信號，分析該一階系（c）

統(tǒng)的時域響應

G(s)

C(s) R(s) TS1一階系統(tǒng)的單位階躍響Unit-StepResponseofFirst-order因為單位階躍函數(shù)的拉氏變換

R(s)S

，則系統(tǒng)的輸出由下式可得G(s)

C(s)

TS

C(s)G(s)R(s)

TS1

1S

TS1對上式取拉氏反變換

1

t

t11T0Tt3-411T0Tt3-41響應曲線

t

時的斜率為T1，如果系統(tǒng)輸出響應的速度恒，則只要t＝T時，輸出c(t)到其終值110Tt3-4td

延遲時tr ts

上升時調整時tp和％不存lg[1-0tlg[1-0t

1e

兩邊取對數(shù)，(1T

1lge

為常數(shù)

圖3-5一階慣性環(huán)節(jié)識別曲一階系統(tǒng)的單位斜坡響Unit-rampResponseoffirst-order R(s)

TS

S22 11

1對上式求拉氏反變換，得1

T 因 e(t)r(t)c(t)T(1eT

所以一階系 單位斜坡信號的穩(wěn)態(tài)誤差

T上式表明：①一階系統(tǒng) 斜坡輸入號。穩(wěn)態(tài)時，輸入和輸出信號的變化率全相

②由于系統(tǒng)存在慣性 0從

0上升到1時，對應的輸出信號在數(shù)值

圖3-5一階系統(tǒng)的斜坡響要滯后于輸入信號一個常量T，這就是穩(wěn)態(tài)差產(chǎn)生的原因③減少時間常數(shù)T不僅可以加快瞬態(tài)響應的速度，還可減少系 斜坡信的穩(wěn)態(tài)誤差一階系統(tǒng)的單位脈沖響Unit-impulseresponseoffirst-order當輸入信號為理想單位脈沖函數(shù)時，R(s)＝1，輸出量的拉氏變換與系統(tǒng)傳遞函數(shù)相同，C(s)G(s)

TS1

這時相應的輸出稱為脈沖響應記作g(t g(t)

L

,其表達式

c(t) eT

t0t 重要0t 已知：¤¤

(t)

1(t)

[t

1¤由 xo1(t)1e¤

xot(t)t

Te1 xo(t)1， ，

e圖3-6單位脈沖響應曲

可知

(t)

dxo1(t)

(t)

dxot(t)一階系統(tǒng)的單位加速度r(t)

1t2

R(s) S

G(s)

TSC(s)G(s)R(s)

)1

A

C

1

T2 TTS1S1

S S

1

ST

S S

STc(t)

t2TtT2(1eT2

(te(t)r(t)c(t)TtT2(1

1T。上式表明 誤差隨時間推移而增大，直至無限大。因此，一階系統(tǒng)不能實現(xiàn)對加速度輸入函數(shù)表3-1一階系統(tǒng)對典型輸入信號的響微分輸入信輸入信輸出響傳遞函時頻(t)1 e (tT微分1TS1S1e tt1StTTe t1t21S t2TtT2(1eT t2 ysisandSteady-State ofSecond-order二階系統(tǒng)：凡以二階系統(tǒng)微分方程作為運動方程的控制系統(tǒng)二階系統(tǒng)的數(shù)學模隨動系統(tǒng)AServoSystem（位置控制系統(tǒng)）如圖3-6所示輸入電位 輸出電位

反饋信

ia

放大器 齒輪傳3-6輸入電位 輸出電位

反饋信

ia

放大器 齒輪傳 負3-6⑴該系統(tǒng)的任務：控制機械負載的位置。使其與參考位置相協(xié)調⑵工作原理：用一對電位計作系統(tǒng)的誤差測量裝置，它們可以將輸入和出位置信號，轉換為與位置成正比的電信號輸入電位計電刷臂的角位置r

，由控制輸入信號確定，角位置r就是系統(tǒng)的參考輸入量，而電刷臂上的電位與電刷臂的角位置成正比，輸電位計電刷臂的角位置 ，由輸出軸的位置確定輸入電位 輸出電位

反饋信

ia 電位

eKs

放大器 齒輪傳 負就是誤差信號

3-6Ks

橋式電位器的傳遞函該信號被增益常數(shù)為K輸出阻抗

的放大器放大，（K

應具有很高的輸入阻抗和很低放大器的輸出電壓作用到直流 的電樞 激磁繞組上加有固定電壓如果出現(xiàn)誤差信號， 就產(chǎn)生力矩以轉動輸出負載，并使誤差信號減少零(3)當激磁電流固定時，（3-產(chǎn)生的力矩（電磁轉距）(3)當激磁電流固定時，（3-M

M(s)CmIa

Cm

的轉矩系

ia

為電樞電對于電樞電

L:RLa

Kb

KAKse

電樞繞組的電感和電阻（3-(LaSRa)Ia(s)KAKSE(s)Kb Kb（3-

的反電勢常數(shù) 的力矩平衡方程為 :

的軸的角位移d2 fdt

M

(JS2

fS)(s)

M（3-J:為 負載和齒輪傳動裝置，折合到 軸上的組合轉動慣量（3-（3-f:為 負載和齒輪傳動裝置，折合到 軸上的粘性摩擦系數(shù)（3-

(s)1

i i3-7 i i3-7開環(huán)傳遞函數(shù)（即前向通路傳遞函數(shù)）因為反饋回路傳遞函數(shù)為(s)H

G(s)

mJS2

（3-E(s)

1 KbmS

LR)(JS

fS) 如果略去電樞電感

KK i

G(s)

S增K1KSKAC增

S(JS

F

S(JSF

S(F

S

（3-F

Cm

阻尼系數(shù)，由于 反電勢(K

的存在，增大了系統(tǒng)的粘性摩擦開環(huán)增開環(huán)增K

機電時間常Tm機電時間常不考慮負載力矩，隨動系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)簡化為

G(s) S(TmS

（3-不考慮負載力矩，隨動系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)簡化為

G(s)

S(TmS

（3-相應的閉環(huán)傳遞函

(s)c

G(s) r

1G(s) TS2S（3-m umOvershoot）：指響應的最大偏離量（3-m值之差的百分比， S2

S

S2 nn為了使研究的結果具有普遍意義，可將式（3-17）表示為如下標準形C(s)

G(s)

22 2nS22

（3-TT（3-TT

Tn TmTnn －自然頻率（或無阻尼自振角頻率 －阻尼比（相對阻尼系數(shù)nS2nS22S C(s)G(s)（3-n_nn －自然頻率（或無阻尼自振角頻率

－阻尼比（相對二階系統(tǒng)的標準形式，相應的方塊圖如

圖3-8標準形式的二階系統(tǒng)方示2二階系統(tǒng)的動態(tài)特性，可以用和n加以描述,二階系統(tǒng)的特征方程22 2

n

（3-

2

（3-二階系統(tǒng)的單位階躍響應Unit-StepResponseofSecond-Order阻尼比不同時的情1

稱為臨界阻

0

1 稱為欠阻1

稱為過阻

稱為零阻

稱為負阻

，兩個正實部的特征根,發(fā)01，閉環(huán)極點為共扼復根，位于左半S

，為兩個相等的實兩個相等 β0σ3-9

，虛軸上，瞬態(tài)響應變?yōu)榈确袂纷枘?0

1)二階系統(tǒng)的單位階躍響11

n

n11

jd

dn

阻尼振蕩頻1Xi(s)1

，由式（3-18）n nXO(s)G(s)Xi(s)

X

G(s) X S22S S

（3- （3-2222 (Sn d (Sn d22221

Sn

n22 22

n

(Sn

dndd1ddndd1dd21222dodx(t)1ent[cosod

t sint]

1

e

t

t 1111210011

（3-

1111不同ξ下的單位階躍響應曲穩(wěn)態(tài)分量為1，表明二階系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下，不存在穩(wěn)態(tài)位置誤差1瞬態(tài)分量為阻尼正弦振蕩項，其振蕩1

－阻尼振蕩頻包絡

1e

決定收斂速0

xo(t)1

t

（3-這是一條平均值為1的正、余弦形式等幅振蕩，其振蕩頻率為n由系統(tǒng)本身結構參數(shù)確定－故稱為無阻尼振蕩頻率臨界阻尼

1xi(t)

(s)S（3- （3-XO(s)

2(Sn 2

2 (Sn2

S臨界阻尼情況下的二階系統(tǒng)的單位階躍響應稱為臨界阻尼響xo

1ent

1ent(1t)

t（3-nn當（3-nn

時，二階系統(tǒng)的單位階躍響應是穩(wěn)態(tài)值為1的無超調單調上升過程dxo(t)

（3-（3-圖3-

過阻尼21

XO(s) (SS1)(SS2 S(nS(n2

[S(n2

21)][S( 2nnSA1

衰減 1 2 21( 2 2 21( 21)1

0 ξ

S13-10221( 221( 2

e(

21)nt

e(

2

t22221( 2（4）零阻尼

(3-(3-3-圖3-圖3-圖3-圖3- (5阻尼（ξ〈指數(shù)項變?yōu)檎笖?shù)，故隨時間時，其輸出x0t)→∞,即22100圖3-15表示了二階系統(tǒng)在不同 值單位階躍響應曲3.3.2二階系統(tǒng)的單位脈沖響G(3-(3-(3-(3-(3-(3-（3-（（3-圖3-16表示了二階系統(tǒng)在不同 值單位脈沖響應曲3.3.2二階系統(tǒng)的單位斜坡響（（3-（（3-（（3-（（3-（（3-（3-圖3-17欠阻尼二階系統(tǒng)單位斜坡響應曲（（3-（（3-（（3-（3-進行拉氏反變換，求得過阻尼狀態(tài)時的單位斜（3-（（3-（（3- 動態(tài)性能指入信號的誤差

動態(tài)性能指Mp10.9Mp10.90.02或0.10tt3-2td,tr,tp,Mpts（DelayTime）上升時間tr峰值時間tp（PeakTime）：響應曲線到過調量的第一個峰值所需要的時間

（RiseTime）短，響應速度快動態(tài)性能指 調節(jié)時間ts1

Mp

0.02

（Settling響應曲線達到并保范圍

t

⑤超調Mp%(%t Mp%

3-2td,tr,tp,Mpts

⑥振蕩次數(shù)N：在調整時內曲線振蕩的次數(shù)。即在tr或t評價系統(tǒng)的響應速度

內，系統(tǒng)單位階躍曲線穿穩(wěn)態(tài)值直線的次數(shù)之半tsMp

同時反映響應速度和阻尼程度的綜合性指標、N評價系統(tǒng)的阻尼程度，反映相對穩(wěn)定3.4.1二階系統(tǒng)階躍響應的性能指標二階系統(tǒng)一般

0.4~

其它的動態(tài)性能指標，有的可和n

精確表示

trtp,%有的很難用和n

準確表示，td,ts

,可采用近似算法二階系統(tǒng)瞬態(tài)響應性能指標計 nddd12 d12

1

圖3-20二階系統(tǒng)極點與參數(shù)的關①上升時

trxo(t)xo(t)1e1sin(dt1)xo(t)

1

（3-將xo(tr

代入上式中，

)1dtr1

tr

（3-其

11一定，即一定

tr

,響應速度越峰值時 t(3-

(3-(3-11tg 11tg(dt) dtp

0,,2,dtp 一定時

Td:有阻尼振蕩周當n為奇數(shù)時，出現(xiàn)正峰值；當n為偶數(shù)時出現(xiàn)負當n為奇數(shù)時，出現(xiàn)正峰值；當n為偶數(shù)時出現(xiàn)負峰值。根據(jù)峰值時間定義，應tp 121(3d2dd2③%orMp

sin(dt

1)1

sin

1(3-(3-%

h(tp)

當

%h(t%h(t)p 100% 12

%

%0.4

%1.5%

圖3-21最大超調量與阻尼比的關系最大超調量僅僅與阻尼比ξ有關，ξ越大，則σ%（Mp%)越?、苷{節(jié)時間tS

因 (3-52)(3-(3-(3-3所以ts3

時，欠阻尼二階系統(tǒng)進

5%的調節(jié)范圍。同當二階系統(tǒng)進

2%的誤差范圍時，調整時間為t

（3-由式(3—54)～(3—56另外，由調整時間ts的推導還可見，當ζ較大時，式(3—55)當ωn一定時，變化ζ求ts的極小值，可得當ζ＝0．707左右時，系統(tǒng)的單位階躍響應的調整時間最短，即響應最快。當ζ<0．707時，ζ愈小，則ts愈長；而當ζ>0．707時，ζ二階系統(tǒng)參數(shù)ξ、ωn和瞬態(tài)性能指標的若ξ不變 Mp不變，tp、tr、在一定的ξ下，ωn越大，振蕩頻率ωd越高，系統(tǒng)響應的平穩(wěn)性若ωn不變 tp、tr↓，Mp、ts（ξ較小時雖起始速度較快，但因振蕩激烈，衰減緩慢，快速性較差。因ξ值的選擇必須為了全面滿足全部性能指標的要求，折衷的辦法，即工程上認為取ξ=0.707，這時的Mp、tr、ts和N等都較令人滿意。（3-一階一階慣性環(huán)二階振蕩環(huán)高階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應各分量衰減的快慢由指數(shù)衰減系數(shù)pj和ξkωk決定。即系統(tǒng)極點在S平面左半部離虛軸越遠，則相應的分量衰減得越快，反之，系統(tǒng)極點在S平面左半部離虛軸越近，則相應的分量衰減得越慢。高階系統(tǒng)瞬態(tài)響應各