初等數(shù)論與中學(xué)數(shù)學(xué)競賽課件

初等數(shù)論與中學(xué)數(shù)學(xué)競賽數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院陳國慧初等數(shù)論與中學(xué)數(shù)學(xué)競賽數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院陳國慧一、數(shù)論概述

人類從學(xué)會計數(shù)開始就一直和自然數(shù)打交道了，后來由于實踐的需要，數(shù)的概念進一步擴充，自然數(shù)被叫做正整數(shù)，而把它們的相反數(shù)叫做負整數(shù)，介于正整數(shù)和負整數(shù)中間的中性數(shù)叫做0。它們合起來叫做整數(shù)。（注：現(xiàn)在，自然數(shù)的概念有了改變，包括正整數(shù)和0）。

對于整數(shù)可以施行加、減、乘、除四種運算，叫做四則運算。其中加法、減法和乘法這三種運算，在整數(shù)范圍內(nèi)可以毫無阻礙地進行。一、數(shù)論概述人類從學(xué)會計數(shù)開始就一直和自然數(shù)打交道了2數(shù)論概述也就是說，任意兩個或兩個以上的整數(shù)相加、相減、相乘的時候，它們的和、差、積仍然是一個整數(shù)。但整數(shù)之間的除法在整數(shù)范圍內(nèi)并不一定能夠無阻礙地進行。人們在對整數(shù)進行運算的應(yīng)用和研究中，逐步熟悉了整數(shù)的特性。比如，整數(shù)膚淺地劃分可分為兩大類—奇數(shù)和偶數(shù)（通常被稱為單數(shù)、雙數(shù)）；深刻地劃分可以分為素數(shù)，合數(shù)，“1”等。

數(shù)論概述也就是說，任意兩個或兩個以上的整數(shù)相加、相減、相乘的3數(shù)論概述

數(shù)論這門學(xué)科最初就是從研究整數(shù)開始的，所以叫做整數(shù)論。后來整數(shù)論又進一步發(fā)展，就叫做數(shù)論了。確切的說，數(shù)論就是一門研究整數(shù)性質(zhì)的學(xué)科。

數(shù)論這一數(shù)學(xué)分支，歷史悠久，而且有著強大的生命力。數(shù)論問題敘述簡明，“很多數(shù)論問題可以從經(jīng)驗中歸納出來，并且僅用三言兩語就能向一個行外人解釋清楚，但要證明它卻遠非易事”.數(shù)論概述 數(shù)論這門學(xué)科最初就是從研究整數(shù)開始的，所以叫做4數(shù)論的發(fā)展簡況自古以來，數(shù)學(xué)家對于整數(shù)性質(zhì)的研究一直十分重視，但是直到十九世紀(jì)，這些研究成果還只是孤立地記載在各個時期的算術(shù)著作中，也就是說還沒有形成完整統(tǒng)一的學(xué)科。我國古代，許多著名的數(shù)學(xué)著作中都有關(guān)于數(shù)論內(nèi)容的論述，比如求最大公約數(shù)、勾股數(shù)組、某些不定方程整數(shù)解的問題等等。在國外，古希臘時代的數(shù)學(xué)家對于數(shù)論中一個最基本的問題——整除性問題就有系統(tǒng)的研究，關(guān)于質(zhì)數(shù)、合數(shù)、因數(shù)、倍數(shù)等一系列概念也已經(jīng)被提出來應(yīng)用了。數(shù)論的發(fā)展簡況自古以來，數(shù)學(xué)家對于整數(shù)性質(zhì)的研究一直十分重視5后來的各個時代的數(shù)學(xué)家也都對整數(shù)性質(zhì)的研究做出過重大的貢獻，使數(shù)論的基本理論逐步得到完善。在整數(shù)性質(zhì)的研究中，人們發(fā)現(xiàn)質(zhì)數(shù)是構(gòu)成正整數(shù)的基本“材料”，要深入研究整數(shù)的性質(zhì)就必須研究質(zhì)數(shù)的性質(zhì)。因此關(guān)于質(zhì)數(shù)性質(zhì)的有關(guān)問題，一直受到數(shù)學(xué)家的關(guān)注。到了十八世紀(jì)末，歷代數(shù)學(xué)家積累的關(guān)于整數(shù)性質(zhì)零散的知識已經(jīng)十分豐富了，把它們整理加工成為一門系統(tǒng)的學(xué)科的條件已經(jīng)完全成熟了。后來的各個時代的數(shù)學(xué)家也都對整數(shù)性質(zhì)的研究做出過重大的貢獻，6 德國數(shù)學(xué)家高斯集中前人的大成，寫了一本書叫做《算術(shù)探討》，1800年寄給了法國科學(xué)院，但是法國科學(xué)院拒絕了高斯的這部杰作，高斯只好在1801年自己發(fā)表了這部著作。這部書開始了現(xiàn)代數(shù)論的新紀(jì)元。在《算術(shù)探討》中，高斯把過去研究整數(shù)性質(zhì)所用的符號標(biāo)準(zhǔn)化了，把當(dāng)時現(xiàn)存的定理系統(tǒng)化并進行了推廣，把要研究的問題和已知的方法進行了分類，還引進了新的方法。 德國數(shù)學(xué)家高斯集中前人的大成，寫了一本書叫做《算術(shù)探討》，7數(shù)論的基本內(nèi)容數(shù)論形成了一門獨立的學(xué)科后，隨著數(shù)學(xué)其他分支的發(fā)展，研究數(shù)論的方法也在不斷發(fā)展。如果按照研究方法來說，可以分成初等數(shù)論、解析數(shù)論、代數(shù)數(shù)論和幾何數(shù)論四個部分。初等數(shù)論是數(shù)論中不求助于其他數(shù)學(xué)學(xué)科的幫助，只依靠初等的方法來研究整數(shù)性質(zhì)的分支。比如中國古代有名的“中國剩余定理”，就是初等數(shù)論中很重要的內(nèi)容。數(shù)論的基本內(nèi)容數(shù)論形成了一門獨立的學(xué)科后，隨著數(shù)學(xué)其他分支的8關(guān)于“中國剩余定理”: 公元4-5世紀(jì)之交的《孫子算經(jīng)》中有一個有趣的問題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二；五五數(shù)之剩三；七七數(shù)之剩二。問：物幾何？”秦九韶對同余方程組進行了系統(tǒng)的理論研究，在《數(shù)書九章》中創(chuàng)立了稱之為大衍求一術(shù)的一整套算法，即把上述問題的解法推廣至盛譽中外的“中國剩余定理”-----孫子定理。關(guān)于“中國剩余定理”:9

解析數(shù)論是使用數(shù)學(xué)分析作為工具來解決數(shù)論問題的分支。數(shù)學(xué)分析是以函數(shù)作為研究對象的、在極限概念的基礎(chǔ)上建立起來的數(shù)學(xué)學(xué)科。用數(shù)學(xué)分析來解決數(shù)論問題是由歐拉奠基的，俄國數(shù)學(xué)家車比雪夫等也對它的發(fā)展做出過貢獻。解析數(shù)論是解決數(shù)論中艱深問題的強有力的工具。比如，對于“質(zhì)數(shù)有無限多個”這個命題，歐拉給出了解析方法的證明，其中利用了數(shù)學(xué)分析中有關(guān)無窮級數(shù)的若干知識。解析數(shù)論是使用數(shù)學(xué)分析作為工具來解決數(shù)論問題的分支。10

二十世紀(jì)三十年代，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家維諾格拉多夫創(chuàng)造性的提出了“三角和方法”，這個方法對于解決某些數(shù)論難題有著重要的作用。我國數(shù)學(xué)家陳景潤在解決“哥德巴赫猜想”問題中使用的是解析數(shù)論中的篩法。 二十世紀(jì)三十年代，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家維諾格拉多夫創(chuàng)造性的提出了“三11代數(shù)數(shù)論是把整數(shù)的概念推廣到代數(shù)整數(shù)的一個分支。數(shù)學(xué)家把整數(shù)概念推廣到一般代數(shù)數(shù)域上去，相應(yīng)地也建立了素整數(shù)、可除性等概念。幾何數(shù)論是由德國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家閔可夫斯基等人開創(chuàng)和奠基的。幾何數(shù)論研究的基本對象是“空間格網(wǎng)”。什么是空間格網(wǎng)呢？在給定的直角坐標(biāo)系上，坐標(biāo)全是整數(shù)的點，叫做整點；全部整點構(gòu)成的組就叫做空間格網(wǎng)。空間格網(wǎng)對幾何學(xué)和結(jié)晶學(xué)有著重大的意義。由于幾何數(shù)論涉及的問題比較復(fù)雜，必須具有相當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)基礎(chǔ)才能深入研究。代數(shù)數(shù)論是把整數(shù)的概念推廣到代數(shù)整數(shù)的一個分支。數(shù)學(xué)家把整數(shù)12數(shù)論是一門高度抽象的數(shù)學(xué)學(xué)科，長期以來，它的發(fā)展處于純理論的研究狀態(tài)，它對數(shù)學(xué)理論的發(fā)展起到了積極的作用。但對于大多數(shù)人來講并不清楚它的實際意義。由于近代計算機科學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展，數(shù)論得到了廣泛的應(yīng)用。比如在計算方法、代數(shù)編碼、組合論等方面都廣泛使用了初等數(shù)論范圍內(nèi)的許多研究成果；有文獻報道，現(xiàn)在有些國家應(yīng)用“孫子定理”來進行測距，用原根和指數(shù)來計算離散傅立葉變換等。數(shù)論是一門高度抽象的數(shù)學(xué)學(xué)科，長期以來，它的發(fā)展處于純理論的13此外，數(shù)論的許多比較深刻的研究成果也在近似分析、差集合、快速變換等方面得到了應(yīng)用。特別是現(xiàn)在由于計算機的發(fā)展，用離散量的計算去逼近連續(xù)量而達到所要求的精度已成為可能。數(shù)論在數(shù)學(xué)中的地位是獨特的，高斯曾經(jīng)說過“數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后，數(shù)論是數(shù)學(xué)中的皇冠”。因此，數(shù)學(xué)家都喜歡把數(shù)論中一些懸而未決的疑難問題，叫做“皇冠上的明珠”，以鼓勵人們?nèi)ァ罢　薄Ｏ旅婧喴谐鰩最w“明珠”：費爾馬大定理、孿生素數(shù)問題、歌德巴赫猜想、圓內(nèi)整點問題、完全數(shù)問題……此外，數(shù)論的許多比較深刻的研究成果也在近似分析、差集合、快速14費爾馬大定理：起源于三百多年前，挑戰(zhàn)人類3個世紀(jì)，多次震驚全世界，耗盡人類眾多最杰出大腦的精力，也讓千千萬萬業(yè)余者癡迷。終于在1994年被安德魯·懷爾斯攻克。古希臘的丟番圖寫過一本著名的“算術(shù)”，經(jīng)歷中世紀(jì)的愚昧黑暗到文藝復(fù)興的時候，“算術(shù)”的殘本重新被發(fā)現(xiàn)研究。1637年，法國業(yè)余大數(shù)學(xué)家費爾馬（PierredeFremat）在“算術(shù)”的關(guān)于勾股數(shù)問題的頁邊上，寫下猜想：a^n+b^n=c^n是不可能的（這里n大于2；a，b，c，n都是非零整數(shù))。此猜想后來就稱為費爾馬大定理。費爾馬大定理：起源于三百多年前，挑戰(zhàn)人類3個世紀(jì)，多次震驚全15

費爾馬還寫道“我對此有絕妙的證明，但此頁邊太窄寫不下”。一般公認，他當(dāng)時不可能有正確的證明。猜想提出后，經(jīng)歐拉等數(shù)代天才努力，200年間只解決了n＝3,4,5,7四種情形。1847年，庫木爾創(chuàng)立“代數(shù)數(shù)論”這一現(xiàn)代重要學(xué)科，對許多n（例如100以內(nèi)）證明了費爾馬大定理，是一次大飛躍。

費爾馬還寫道“我對此有絕妙的證明，但此頁邊太窄寫不下”。一16

歷史上費爾馬大定理高潮迭起，傳奇不斷。其驚人的魅力，曾在最后時刻挽救自殺青年于不死。他就是德國的沃爾夫斯克勒，他后來為費爾馬大定理設(shè)懸賞10萬馬克（相當(dāng)于現(xiàn)在160萬美元多），期限1908－2007年。無數(shù)人耗盡心力，空留浩嘆。最現(xiàn)代的電腦加數(shù)學(xué)技巧，驗證了400萬以內(nèi)的N，但這對最終證明無濟于事。1983年德國的法爾廷斯證明了：對任一固定的n，最多只有有限多個a，b，c振動了世界，獲得費爾茲獎（數(shù)學(xué)界最高獎）。 歷史上費爾馬大定理高潮迭起，傳奇不斷。其驚人的魅力，曾在最17歷史的新轉(zhuǎn)機發(fā)生在1986年夏，貝克萊·瑞波特證明了:費爾馬大定理包含在“谷山豐—志村五朗猜想”之中。童年就癡迷于此的懷爾斯，聞此立刻潛心于頂樓書房7年，曲折卓絕，匯集了20世紀(jì)數(shù)論所有的突破性成果。終于在1993年6月23日劍橋大學(xué)牛頓研究所的“世紀(jì)演講”最后，宣布證明了費爾馬大定理。立刻震動世界，普天同慶。不幸的是，數(shù)月后逐漸發(fā)現(xiàn)此證明有漏洞，一時更成世界焦點。歷史的新轉(zhuǎn)機發(fā)生在1986年夏，貝克萊·瑞波特證明了:費爾馬18這個證明體系是千萬個深奧數(shù)學(xué)推理連接成千個最現(xiàn)代的定理、事實和計算所組成的千百回轉(zhuǎn)的邏輯網(wǎng)絡(luò)，任何一環(huán)節(jié)的問題都會導(dǎo)致前功盡棄。懷爾斯絕境搏斗，毫無出路。1994年9月19日，星期一的早晨，懷爾斯在思維的閃電中突然找到了迷失的鑰匙：解答原來就在廢墟中！他熱淚奪眶而出。懷爾斯的歷史性長文“模橢圓曲線和費爾馬大定理”1995年5月發(fā)表在美國《數(shù)學(xué)年刊》第142卷，實際占滿了全卷，共五章，130頁。1997年6月27日，懷爾斯獲得沃爾夫斯克勒10萬馬克懸賞大獎。離截止期10年，圓了歷史的夢。他還獲得沃爾夫獎(1996.3），美國國家科學(xué)家院獎（1996.6），費爾茲特別獎（1998.8）。這個證明體系是千萬個深奧數(shù)學(xué)推理連接成千個最現(xiàn)代的定理、事實19孿生素數(shù)問題：

孿生素數(shù)是指一對素數(shù)，它們之間相差2。例如3和5，5和7，11和13，10016957和10016959等等都是孿生素數(shù)。孿生素數(shù)猜想，即是否存在無窮多對孿生素數(shù)，是數(shù)論中未解決的一個重要問題。 哈代-李特爾伍德猜想（Hardy-Littlewoodconjecture）是孿生素數(shù)猜想的一個增強形式，猜測孿生素數(shù)的分布與素數(shù)定理中描述的素數(shù)分布規(guī)律相類似。1900年希爾伯特在國際數(shù)學(xué)家大會上說有了素數(shù)公式，哥德巴赫猜想和孿生素數(shù)猜想都可以得到解決。孿生素數(shù)問題： 孿生素數(shù)是指一對素數(shù)，它們之間相差2。例如320素數(shù)定理素數(shù)定理描述素數(shù)的大致分布情況。素數(shù)的出現(xiàn)規(guī)律一直困惑著數(shù)學(xué)家。一個個地看，素數(shù)在正整數(shù)中的出現(xiàn)沒有什么規(guī)律?？墒强傮w地看，素數(shù)的個數(shù)竟然有規(guī)可循。對正實數(shù)x，定義π(x) 為不大于x的素數(shù)個數(shù)。數(shù)學(xué)家找到了一些函數(shù)來估計π(x)的增長。以下是第一個這樣的估計。π(x)≈x/lnx其中l(wèi)nx為x的自然對數(shù)。上式的意思是當(dāng)x趨近∞，π(x)和x/lnx的比趨近1.（注：該結(jié)果為高斯所發(fā)現(xiàn)）。素數(shù)定理素數(shù)定理描述素數(shù)的大致分布情況。素數(shù)的出現(xiàn)規(guī)律一直21歌德巴赫猜想：哥德巴赫猜想的由來1729年~1764年，哥德巴赫與歐拉保持了長達三十五年的書信往來。在1742年6月7日給歐拉的信中，哥德巴赫提出了一個命題。他寫道："我的問題是這樣的：隨便取某一個奇數(shù)，比如77，可以把它寫成三個素數(shù)之和：77=53+17+7；再任取一個奇數(shù)，比如461，461=449+7+5，也是三個素數(shù)之和，461還可以寫成257+199+5，仍然是三個素數(shù)之和。這樣，我發(fā)現(xiàn)：任何大于5的奇數(shù)都是三個素數(shù)之和。歌德巴赫猜想：哥德巴赫猜想的由來22歌德巴赫猜想：但這怎樣證明呢？雖然做過的每一次試驗都得到了上述結(jié)果，但是不可能把所有的奇數(shù)都拿來檢驗，需要的是一般的證明，而不是個別的檢驗。"歐拉回信說：“這個命題看來是正確的”。但是他也給不出嚴(yán)格的證明。同時歐拉又提出了另一個命題：任何一個大于2的偶數(shù)都是兩個素數(shù)之和，但是這個命題他也沒能給予證明。不難看出，哥德巴赫的命題是歐拉命題的推論。歌德巴赫猜想：但這怎樣證明呢？雖然做過的每一次試驗都得到了上23歌德巴赫猜想事實上，任何一個大于5的奇數(shù)都可以寫成如下形式：2N+1=3+2(N-1)，其中2(N-1)≥4。若歐拉的命題成立， 則偶數(shù)2N可以寫成兩個素數(shù)之和，于是奇數(shù)2N+1可以寫成三個素數(shù)之和，從而，對于大于5的奇數(shù)，哥德巴赫的猜想成立。但是哥德巴赫的命題成立并不能保證歐拉命題的成立。因而歐拉的命題比哥德巴赫的命題要求更高。 現(xiàn)在通常把這兩個命題統(tǒng)稱為哥德巴赫猜想。即1.每個不小于6的偶數(shù)都可以表示為兩個奇素數(shù)之和；2.每個不小于9的奇數(shù)都可以表示為三個奇素數(shù)之和。歌德巴赫猜想事實上，任何一個大于5的奇數(shù)都可以寫成如下形式：24中國數(shù)學(xué)家的貢獻

華羅庚是中國最早從事哥德巴赫猜想的數(shù)學(xué)家。1936～1938年，他赴英國劍橋大學(xué)留學(xué)，在哈代的指導(dǎo)下從事數(shù)論研究，并開始研究哥德巴赫猜想，取得了很好的成果，證明了對于“幾乎所有”的偶數(shù)，猜想（1）都是正確的。1950年，華羅庚從美國回國，在中科院數(shù)學(xué)研究所組織數(shù)論研究討論班，選擇哥德巴赫猜想作為討論的主題，倡議并指導(dǎo)他的一些學(xué)生研究這一問題。中國數(shù)學(xué)家的貢獻 華羅庚是中國最早從事哥德巴赫猜想的數(shù)學(xué)家。25

他曾對學(xué)生們說：“我并不是要你們在這個問題上作出成果來。我的著眼點是哥德巴赫猜想跟解析數(shù)論中所有的重要方法都有聯(lián)系，以哥德巴赫猜想為主題來學(xué)習(xí)，將可以學(xué)會解析數(shù)論中所有的重要方法……哥德巴赫猜想真是美極了，現(xiàn)在還沒有一個方法可以解決它?！眳⒓舆@個數(shù)論討論班的學(xué)生有王元、潘承洞和陳景潤等。 他曾對學(xué)生們說：“我并不是要你們在這個問題上作出成果來。我26出乎華羅庚的意料，學(xué)生們在哥德巴赫猜想的證明上取得了相當(dāng)好的成績。1956年，王元證明了“3＋4”；同年，原蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家阿·維諾格拉朵夫證明了“3＋3”；1957年，王元又證明了“2＋3”；潘承洞于1962年證明了“1＋5”；1963年，潘承洞、巴爾巴恩與王元又都證明了“1＋4”；1966年，陳景潤在對篩法作了新的重要改進后，證明了“1＋2”。出乎華羅庚的意料，學(xué)生們在哥德巴赫猜想的證明上取得了相當(dāng)好的27

1974年，由英國數(shù)學(xué)家哈勃斯坦和西德數(shù)學(xué)家李希特合著的《篩法》一書出版，書中以“陳氏定理”作為最后一章的標(biāo)題。書中寫道：“我們本章的目的是為了證明陳景潤下面的驚人定理，我們在前10章已經(jīng)付印時才注意到這一結(jié)果。從篩法的任何方面來說，它都是光輝的頂點?！比A羅庚曾對王元說：“在我的學(xué)生的工作中，最使我感動的是‘1＋2’。 1974年，由英國數(shù)學(xué)家哈勃斯坦和西德數(shù)學(xué)家李希特合著的《28初等數(shù)論與中學(xué)教學(xué)

在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，初等數(shù)論的知識和思想方法是常見的。在《普通高中·數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中，初等數(shù)論初步是作為選修課程系列4的一個專題，教師在日常教學(xué)中要給予足夠的重視。隨著新課程改革的逐步深入，初等數(shù)論知識和思想方法，一方面出現(xiàn)在日常教學(xué)中，另一方面是以競賽的形式出現(xiàn)的，后者更為突出。對于前者《課標(biāo)》是這樣要求的，該專題是為對數(shù)學(xué)有興趣和希望進一步提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的學(xué)生而設(shè)置的，所涉及的內(nèi)容反映了某些重要的數(shù)學(xué)思想方法，有助于學(xué)生進一步打好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，提高應(yīng)用意識，有助于學(xué)生終身的發(fā)展，有助于擴展學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，有助于提高學(xué)生對數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值、文化價值的認識。初等數(shù)論與中學(xué)教學(xué)在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，初等數(shù)論的知29初等數(shù)論與中學(xué)教學(xué)對于后者，初等數(shù)論在奧林匹克競賽中占有愈來愈重要的地位，對提高中學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)很有幫助。有人說：“用以發(fā)現(xiàn)天才，在初等數(shù)學(xué)中再也沒有比數(shù)論更好的課程了。任何學(xué)生，如能把當(dāng)今任何一本數(shù)論教材中的習(xí)題做出，就應(yīng)當(dāng)受到鼓勵，并勸他將來從事數(shù)學(xué)方面的工作。”所以在國內(nèi)外各級各類的數(shù)學(xué)競賽中，數(shù)論問題總是占有相當(dāng)大的比重。初等數(shù)論與中學(xué)教學(xué)對于后者，初等數(shù)論在奧林匹克競賽中占有愈來30初等數(shù)論與中學(xué)教學(xué)

致力于數(shù)學(xué)競賽的教師而言，必須明確數(shù)論的基本結(jié)構(gòu)，它包括整除理論，同余理論和不定方程。

整除理論是初等數(shù)論的基礎(chǔ)，它是在帶余除法的基礎(chǔ)上建立起來的，整除理論的中心內(nèi)容是算術(shù)基本定理和最大公因數(shù)理論。同余理論是初等數(shù)論的核心，它是數(shù)論所特有的思想、概念與方法。從歷史來看，求解不定方程是推進數(shù)論發(fā)展的最重要的課題，它是建立在整除理論和同余理論上來進行求解的。初等數(shù)論與中學(xué)教學(xué)致力于數(shù)學(xué)競賽的教師而言，必須明確31

整除理論——因數(shù)和倍數(shù)定義設(shè)a,b為整數(shù)，a≠0.若有一整數(shù)q,使得b=aq,則稱a是b的因數(shù)為是a的倍數(shù);并稱a整除b,記為a|b,可形式地表示為:a|b:=(q)(b=aq)若a不能整除b，記為a\b.若b=aq,而a既非b又非1,則稱a是b的真因數(shù).整除理論——因數(shù)和倍數(shù)定義設(shè)a,b為整數(shù)，a≠0.若32因數(shù)和倍數(shù)關(guān)于整除，顯然有下列定理：定理①對所有a,1|a.②對所有a,a|0.③對所有a,a|a.④若a|b且b|c,則a|c.⑤若a|b,則對任意的c,有ac|bc.⑥若ac|bc且c≠0,則a|b.因數(shù)和倍數(shù)關(guān)于整除，顯然有下列定理：33因數(shù)和倍數(shù)⑦若a|b且a|c,則對任意的m,n,有a|(bm+cn).⑧若a|b,則b=0或|a|≤|b|,其中|a|是a的絕對值,當(dāng)a≥0時|a|=a;當(dāng)a＜0時|a|=-a.⑨若a|b,則(-a)|b,a|(-b),(-a)|(-b),|a|||b|.證明只證明⑦,余下不難證明.⑦因為a|b且a|c,故b=aq1和c=aq2.于是,bm+cn=a(q1m+q2n),所以,a|(bm+cn).因數(shù)和倍數(shù)⑦若a|b且a|c,則對任意的m,n,有34因數(shù)和倍數(shù)定理

若a是b的真因數(shù),則1＜|a|＜|b|.定理

若a為是整數(shù),且|a|＜|b|,|b|||a|,則

a=0.證明因為|b|||a|,故有整數(shù)q,使得|a|=|b|q.若|a|=0,則a=0.若|a|>0,則由于0<|a|<|b|和|a|=|b|q,有q≥0.若q>0,則由q是整數(shù)而有q≥1.由|a|=|b|和q≥1有|a|>|b|,這與|a|<|b|矛盾,故q=0;若q=0和|a|=|b|q有a=0.因數(shù)和倍數(shù)定理若a是b的真因數(shù),則1＜|a|35因數(shù)和倍數(shù)定理(帶余除法)若a為是二個整數(shù),b≠0,則唯一存在兩個整數(shù)q和r,使得下式成立:a=bq+r,0≤r<|b|.因數(shù)和倍數(shù)定理(帶余除法)若a為是二個整數(shù),b≠0,則唯一36素數(shù)和合數(shù)在正整數(shù)中,1只能被它本身整除.任何大于1的整數(shù)都至少能被1和它本身整除．定義一個大于1且只能被1和它本身整除的整數(shù),稱為素數(shù);否則,稱為合數(shù).由該定義可知，正整數(shù)集合可分三類:素數(shù)、合數(shù)和1.素數(shù)常用p或p1,p2…,來表示.素數(shù)和合數(shù)在正整數(shù)中,1只能被它本身整除.任何大于1的整37最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)定義設(shè)al,a2,…,an和d都是正整數(shù),n≥2.若d|ai,1≤i≤n,則稱d是al,a2,…,an.的公因數(shù).在公因數(shù)中最大的那一個數(shù),稱為al,a2,…,an的最大公因數(shù),記為gcd{al,a2,…,an}.(greatestcommondivisor)或者(al,a2,…,an).若gcd(al,a2,…,an)=1,稱al,a2,…,an是互素的.最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)定義設(shè)al,a2,…,an和d都是正38最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)定理設(shè)a和b都是正整數(shù),且a>b,a=bq+r0<r<b其中q和r都是正整數(shù).則:①a和b的任一公因數(shù)也是b和r的公因數(shù)；②b和r的任一公因數(shù)也是a和b的公因數(shù)；③(a,b)=(b,r);④若(a,b)=d,則(a|d,b|d)=1.最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)定理設(shè)a和b都是正整數(shù),且a>b,39整數(shù)分解唯一性定理定理(整數(shù)分解唯一性定理)每個大于1的正整數(shù)a均可分解成有限個素數(shù)之積,并且若不計素因數(shù)的次序,其分解是唯一的.證明先證分解式的存在性.若a=2,則2為素數(shù),從而2即所求分解式.現(xiàn)在假設(shè)小于a的每個正整數(shù)均可分解成有限個素數(shù)之積.考慮a,若a是素數(shù),則證畢.否則a便有真因數(shù)d,而a=cd,其中c和d均是大于1的正整數(shù),并且c和d均小于a.由歸納假設(shè),c和d均有分解式c=p1p2…pk和d=q1q2…ql,其中p1,p2,…,pk,ql,q2,…,ql均是素數(shù).因此a=cd=p1p2…,pkql…ql;即為所求的分解式．整數(shù)分解唯一性定理定理(整數(shù)分解唯一性定理)每個大于1的正40整數(shù)分解唯一性定理再證唯一性.當(dāng)a=2時,分解式顯然是唯一的.現(xiàn)設(shè)比a小的正整數(shù)其分解式均是唯一的.考慮正整數(shù)a,假設(shè)a有兩個分解式a=plp2…pk和a=q1q2…ql,其中pl,p2,…,pk和q1,q2,…,ql都是素數(shù).于是p1|q1q2…ql,根據(jù)定理7.4.7知必有一qi,,使得p1|qi.不妨令i=1,即p1|q1,顯然p1=q1.令a’=a/p1,則a’=p2p3…pk,a’＝q2q2…ql.若a’=1,則a=p1=q1,即a’的分解式唯一.若a’＞1,注意到a’<a,從而由歸納假設(shè)知,a’的分解式是唯一的.因此k=l,并且p1=q1,…,pk=qk,再由p1=ql,知a分解式也是唯一的.整數(shù)分解唯一性定理再證唯一性.當(dāng)a=2時,分解式顯然是唯41整數(shù)分解唯一性定理若將n的分解式中相同素因數(shù)合并為它的冪數(shù),則任意大于1的整數(shù)a只能分解成一種形式:

,n≥1,其中p1,p2,…,pn是互不相同的素數(shù),al,a2,…,an是正整數(shù).并稱(1)

是a的標(biāo)準(zhǔn)分解式.整數(shù)分解唯一性定理若將n的分解式中相同素因數(shù)合并為它的冪數(shù)42函數(shù)[x]與{x}定義設(shè)x是實數(shù)，以[x]表示不超過x的最大整數(shù)，稱它為x的整數(shù)部分，又稱{x}=x-[x]為x的小數(shù)部分。函數(shù)[x]與{x}定義設(shè)x是實數(shù)，以[x]表示不超過x的43函數(shù)[x]與{x}函數(shù)[x]與{x}44函數(shù)[x]與{x}函數(shù)[x]與{x}45不定方程不定方程 ：未知數(shù)個數(shù)多于方程個數(shù)，且對解有一定限制（比如要求解為正整數(shù)等）的方程。是數(shù)論中最古老的分支之一。古希臘的丟番圖早在公元3世紀(jì)就開始研究不定方程，因此常稱不定方程為丟番圖方程。不定方程不定方程 ：46

研究不定方程要解決三個問題：①判斷何時有解。②有解時決定解的個數(shù)。③求出所有的解。中國是研究不定方程最早的國家，公元初的五家共井問題就是一個不定方程組問題，公元5世紀(jì)的《張丘建算經(jīng)》中的百雞問題標(biāo)志中國對不定方程理論有了系統(tǒng)研究。秦九韶的大衍求一術(shù)將不定方程與同余理論聯(lián)系起來。百雞問題說：“雞翁一，直錢五，雞母一，直錢三，雞雛三，直錢一。百錢買百雞，問雞翁、母、雛各幾何？”。設(shè)x，y，z分別表雞翁、母、雛的個數(shù)，則此問題即為不定方程組的非負整數(shù)解x，y，z，這是一個三元不定方程組問題。研究不定方程要解決三個問題：①判斷何時有解。47

不定方程問題的常見類型（1）求不定方程的解；（2）判定不定方程是否有解； （3）判定不定方程的解的個數(shù)（有限個還是無限個）。 不定方程問題的常見類型48

解不定方程問題常用的解法（1）代數(shù)恒等變形：如因式分解、配方、換元等；（2）不等式估算法：利用不等式等方法，確定出方程中某些變量的范圍，進而求解；（3）同余法：對等式兩邊取特殊的模（如奇偶分析），縮小變量的范圍或性質(zhì)，得出不定方程的整數(shù)解或判定其無解；（4）構(gòu)造法：構(gòu)造出符合要求的特解，或構(gòu)造一個求解的遞推式，證明方程有無窮多解；（5）無窮遞推法。 一些特殊方程的求解方法 解不定方程問題常用的解法49同余理論定義給定一正整數(shù)m,若用m去除兩個整數(shù)a和b所得余數(shù)相同,則稱a為對模m同余,記作ab(modm);若余數(shù)不同,則稱a為對模m不同余,記作ab(modm).顯然，a0(modm)iffm|a.由同余的定義,可得下列簡單性質(zhì):①自反性:aa(modm).②對稱性:若ab(modm),則ba(modm).③傳遞性:若ab(modm),bc(modm),則:ac(modm).可見,同余關(guān)系是等價關(guān)系.同余理論定義給定一正整數(shù)m,若用m去除兩個整數(shù)a和b所50同余理論定理整數(shù)a,b對模m同余，若m|(a-b),

即:ab(modm),若m|(a-b).證明設(shè)ab(modm),則a=mq1+r,b=mq2+r,0≤r<m.故(a-b)=m(q1-q2),m|(a-b).反之,設(shè)a=mq1+r1,b=mq2+r2,0<r1≤m,0<r2≤m,m|(a-b).于是,m|(a-b)=m(ql-q2)+(rl-r2),故:m|(r1-r2).又因|r1-r2|<m,得r1=r2.同余理論定理整數(shù)a,b對模m同余，若m|(a-b),51同余理論由定理可知,同余又可定義如下:若m|(a-b),則稱a為對模m同余.定理若ab(modm),cd(modm),則:①ax+cybx+dy(modm),其中x和y為任給整數(shù).②acbd(modm).③an

bn(modm),其中n＞0.④f(a)f(b)(modm),其中f(x)為任給的一個整系數(shù)多項式.同余理論由定理可知,同余又可定義如下:52同余理論證明①因為m|(a-b),m|(c-d),故有m|x(a-b)+y(c-d)=(ax+cy)-(bx+dy).②由m|(a-b)+b(c-d)=ac-bd立即可得.③由于a-b=mq,其中q是一整數(shù),因此:an=(b+mq)n=bn+Cn1bn-1(mq)1+…+Cnn-1b1(mq)n-1+(mq)n=bn+mq,其中:q1是一整數(shù).所以,anbn(modm).④由①和③可證.同余理論證明53同余式定義和基本性質(zhì)定理正整數(shù)a能被9整除，若9整除a的十進制表示各數(shù)字的和．則由10i1(mod9)(i=1,2,…,n)和定理可得:

同余式定義和基本性質(zhì)定理正整數(shù)a能被9整除，若9整除a54同余理論定理若ac=bc(modm),(c,m)=d,則ab(mod(m/d))證明因為m|c(a-b),于是(m/d)|((a-b)(c/d)),又因為(c,m)=d,則有((c/d,m/d)=1,因此由定理7.4.2知,(m/d)|(a-b),即:ab(mod(m/d)).顯然,由本定理可得如下推論.推論若ac=bc(modm),(c,m)=1,則:ab(modm).同余理論定理若ac=bc(modm),(c,m)=d,55同余理論定理①若ab(modm),且d|m,則:ab(modm).③若ab(modm),則(a,m)=(b,m).③ab(modmi),(1≤i≤n),iffab(mod[m1,m2,…,mn]).證明只給出③的證明,①和②讀者完成.③必要性:由①知,是成立的.充分性:若ab(modmi),1≤i≤n,則:mi|(a-b),1≤i≤n,即(a-b)是m1,m2,…,mn的公倍數(shù),從而也是[m1,m2,…,mn]的倍數(shù),因此:ab(mod[m1,m2,…,mn]).同余理論定理56不定方程不定方程57以下題目選自1998年～2008年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題、初一、初二數(shù)學(xué)希望杯競賽試題（部分）以下題目選自1998年～2008年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題、初一58有關(guān)整除的問題有關(guān)整除的問題59有關(guān)整除的問題有關(guān)整除的問題60有關(guān)整除的問題有關(guān)整除的問題61有關(guān)整除的問題解：設(shè)這11個連續(xù)奇數(shù)為：2n+1，2n+3，2n+5，…，2n+21．則 (2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+…+(2n+21)=1991． 即11(2n+11)=1991．解得n=85．∴第六個數(shù)是2×85+11=181．有關(guān)整除的問題解：設(shè)這11個連續(xù)奇數(shù)為：2n+1，2n+3，62有關(guān)整除的問題（競賽題4）.某自然數(shù)的平方是一個四位數(shù)，千位數(shù)字是4，個位數(shù)字是5，這個數(shù)是______．解：由條件知，這個自然數(shù)只能是兩位數(shù)，其個位數(shù)字必定是5，它的十位數(shù)字可能是6或7。經(jīng)驗算，75的平方等于5625，65的平方等于4225．所以，這個數(shù)為65．有關(guān)整除的問題（競賽題4）.某自然數(shù)的平方是一個四位數(shù)，千位63（競賽題5）.一個自然數(shù)n減去59之后是一個完全平方數(shù)，加上30之后仍是一個完全平方數(shù)，則n=_____．有關(guān)整除的問題（競賽題5）.一個自然數(shù)n減去59之后是一個完全平方數(shù)，加上64有關(guān)整除的問題（競賽題6）.已知a，b，c，d是四個兩兩不等的正整數(shù)，它們的乘積abcd=1995，則a+b+c+d的最大值是_____．解：abcd=1995=3·5·7·19=1·3·5·(7·19)令a=1，b=3，c=5，d=133∴a+b+c+d=142為最大．有關(guān)整除的問題（競賽題6）.已知a，b，c，d是四個兩兩不等65有關(guān)整除的問題（2005年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽決賽試卷）：從自然數(shù)1，2，3…，354中任取178個數(shù)，試證：其中必有兩個數(shù)，它們的差是177．證明：從1到354的自然數(shù)中，任取178個數(shù)．由于任何數(shù)被177除，余數(shù)只能是0，1，2，…，176這177種之一． 因而178個數(shù)中，至少有兩個數(shù)a，b的余數(shù)相同，也即至少有兩個數(shù)a，b之差是177的倍數(shù)，即a-b=k×177． 又因1~354中，任兩數(shù)之差小于2×177=354．所以兩個不相等的數(shù)a，b之差必為177．即a-b=177． ∴從自然數(shù)1，2，3，…，354中任取178個數(shù)，其中必有兩個數(shù)，它們的差是177．有關(guān)整除的問題（2005年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽決賽試卷）：66二、函數(shù)[x]與{x}定義1設(shè)x是實數(shù)，以[x]表示不超過x的最大整數(shù)，稱它為x的整數(shù)部分，又稱{x}=x[x]為x的小數(shù)部分。二、函數(shù)[x]與{x}67有關(guān)取整函數(shù)的問題有關(guān)取整函數(shù)的問題68有關(guān)取整函數(shù)的問題有關(guān)取整函數(shù)的問題69有關(guān)取整函數(shù)的問題有關(guān)取整函數(shù)的問題70有關(guān)取整函數(shù)的問題有關(guān)取整函數(shù)的問題71初等數(shù)論與中學(xué)數(shù)學(xué)競賽課件72有關(guān)同余的問題有關(guān)同余的問題73有關(guān)同余的問題有關(guān)同余的問題74有關(guān)同余的問題有關(guān)同余的問題75有關(guān)同余的問題有關(guān)同余的問題76有關(guān)同余的問題有關(guān)同余的問題77方程的整數(shù)解問題方程的整數(shù)解問題78方程的整數(shù)解問題方程的整數(shù)解問題79方程的整數(shù)解問題方程的整數(shù)解問題80作業(yè)找出整數(shù)能被37，101整除的判別條件，并加以證明。作業(yè)找出整數(shù)能被37，101整除的判別條件，并加以證明。81初等數(shù)論與中學(xué)數(shù)學(xué)競賽數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院陳國慧初等數(shù)論與中學(xué)數(shù)學(xué)競賽數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院陳國慧一、數(shù)論概述

人類從學(xué)會計數(shù)開始就一直和自然數(shù)打交道了，后來由于實踐的需要，數(shù)的概念進一步擴充，自然數(shù)被叫做正整數(shù)，而把它們的相反數(shù)叫做負整數(shù)，介于正整數(shù)和負整數(shù)中間的中性數(shù)叫做0。它們合起來叫做整數(shù)。（注：現(xiàn)在，自然數(shù)的概念有了改變，包括正整數(shù)和0）。

對于整數(shù)可以施行加、減、乘、除四種運算，叫做四則運算。其中加法、減法和乘法這三種運算，在整數(shù)范圍內(nèi)可以毫無阻礙地進行。一、數(shù)論概述人類從學(xué)會計數(shù)開始就一直和自然數(shù)打交道了83數(shù)論概述也就是說，任意兩個或兩個以上的整數(shù)相加、相減、相乘的時候，它們的和、差、積仍然是一個整數(shù)。但整數(shù)之間的除法在整數(shù)范圍內(nèi)并不一定能夠無阻礙地進行。人們在對整數(shù)進行運算的應(yīng)用和研究中，逐步熟悉了整數(shù)的特性。比如，整數(shù)膚淺地劃分可分為兩大類—奇數(shù)和偶數(shù)（通常被稱為單數(shù)、雙數(shù)）；深刻地劃分可以分為素數(shù)，合數(shù)，“1”等。

數(shù)論概述也就是說，任意兩個或兩個以上的整數(shù)相加、相減、相乘的84數(shù)論概述

數(shù)論這門學(xué)科最初就是從研究整數(shù)開始的，所以叫做整數(shù)論。后來整數(shù)論又進一步發(fā)展，就叫做數(shù)論了。確切的說，數(shù)論就是一門研究整數(shù)性質(zhì)的學(xué)科。

數(shù)論這一數(shù)學(xué)分支，歷史悠久，而且有著強大的生命力。數(shù)論問題敘述簡明，“很多數(shù)論問題可以從經(jīng)驗中歸納出來，并且僅用三言兩語就能向一個行外人解釋清楚，但要證明它卻遠非易事”.數(shù)論概述 數(shù)論這門學(xué)科最初就是從研究整數(shù)開始的，所以叫做85數(shù)論的發(fā)展簡況自古以來，數(shù)學(xué)家對于整數(shù)性質(zhì)的研究一直十分重視，但是直到十九世紀(jì)，這些研究成果還只是孤立地記載在各個時期的算術(shù)著作中，也就是說還沒有形成完整統(tǒng)一的學(xué)科。我國古代，許多著名的數(shù)學(xué)著作中都有關(guān)于數(shù)論內(nèi)容的論述，比如求最大公約數(shù)、勾股數(shù)組、某些不定方程整數(shù)解的問題等等。在國外，古希臘時代的數(shù)學(xué)家對于數(shù)論中一個最基本的問題——整除性問題就有系統(tǒng)的研究，關(guān)于質(zhì)數(shù)、合數(shù)、因數(shù)、倍數(shù)等一系列概念也已經(jīng)被提出來應(yīng)用了。數(shù)論的發(fā)展簡況自古以來，數(shù)學(xué)家對于整數(shù)性質(zhì)的研究一直十分重視86后來的各個時代的數(shù)學(xué)家也都對整數(shù)性質(zhì)的研究做出過重大的貢獻，使數(shù)論的基本理論逐步得到完善。在整數(shù)性質(zhì)的研究中，人們發(fā)現(xiàn)質(zhì)數(shù)是構(gòu)成正整數(shù)的基本“材料”，要深入研究整數(shù)的性質(zhì)就必須研究質(zhì)數(shù)的性質(zhì)。因此關(guān)于質(zhì)數(shù)性質(zhì)的有關(guān)問題，一直受到數(shù)學(xué)家的關(guān)注。到了十八世紀(jì)末，歷代數(shù)學(xué)家積累的關(guān)于整數(shù)性質(zhì)零散的知識已經(jīng)十分豐富了，把它們整理加工成為一門系統(tǒng)的學(xué)科的條件已經(jīng)完全成熟了。后來的各個時代的數(shù)學(xué)家也都對整數(shù)性質(zhì)的研究做出過重大的貢獻，87 德國數(shù)學(xué)家高斯集中前人的大成，寫了一本書叫做《算術(shù)探討》，1800年寄給了法國科學(xué)院，但是法國科學(xué)院拒絕了高斯的這部杰作，高斯只好在1801年自己發(fā)表了這部著作。這部書開始了現(xiàn)代數(shù)論的新紀(jì)元。在《算術(shù)探討》中，高斯把過去研究整數(shù)性質(zhì)所用的符號標(biāo)準(zhǔn)化了，把當(dāng)時現(xiàn)存的定理系統(tǒng)化并進行了推廣，把要研究的問題和已知的方法進行了分類，還引進了新的方法。 德國數(shù)學(xué)家高斯集中前人的大成，寫了一本書叫做《算術(shù)探討》，88數(shù)論的基本內(nèi)容數(shù)論形成了一門獨立的學(xué)科后，隨著數(shù)學(xué)其他分支的發(fā)展，研究數(shù)論的方法也在不斷發(fā)展。如果按照研究方法來說，可以分成初等數(shù)論、解析數(shù)論、代數(shù)數(shù)論和幾何數(shù)論四個部分。初等數(shù)論是數(shù)論中不求助于其他數(shù)學(xué)學(xué)科的幫助，只依靠初等的方法來研究整數(shù)性質(zhì)的分支。比如中國古代有名的“中國剩余定理”，就是初等數(shù)論中很重要的內(nèi)容。數(shù)論的基本內(nèi)容數(shù)論形成了一門獨立的學(xué)科后，隨著數(shù)學(xué)其他分支的89關(guān)于“中國剩余定理”: 公元4-5世紀(jì)之交的《孫子算經(jīng)》中有一個有趣的問題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二；五五數(shù)之剩三；七七數(shù)之剩二。問：物幾何？”秦九韶對同余方程組進行了系統(tǒng)的理論研究，在《數(shù)書九章》中創(chuàng)立了稱之為大衍求一術(shù)的一整套算法，即把上述問題的解法推廣至盛譽中外的“中國剩余定理”-----孫子定理。關(guān)于“中國剩余定理”:90

解析數(shù)論是使用數(shù)學(xué)分析作為工具來解決數(shù)論問題的分支。數(shù)學(xué)分析是以函數(shù)作為研究對象的、在極限概念的基礎(chǔ)上建立起來的數(shù)學(xué)學(xué)科。用數(shù)學(xué)分析來解決數(shù)論問題是由歐拉奠基的，俄國數(shù)學(xué)家車比雪夫等也對它的發(fā)展做出過貢獻。解析數(shù)論是解決數(shù)論中艱深問題的強有力的工具。比如，對于“質(zhì)數(shù)有無限多個”這個命題，歐拉給出了解析方法的證明，其中利用了數(shù)學(xué)分析中有關(guān)無窮級數(shù)的若干知識。解析數(shù)論是使用數(shù)學(xué)分析作為工具來解決數(shù)論問題的分支。91

二十世紀(jì)三十年代，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家維諾格拉多夫創(chuàng)造性的提出了“三角和方法”，這個方法對于解決某些數(shù)論難題有著重要的作用。我國數(shù)學(xué)家陳景潤在解決“哥德巴赫猜想”問題中使用的是解析數(shù)論中的篩法。 二十世紀(jì)三十年代，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家維諾格拉多夫創(chuàng)造性的提出了“三92代數(shù)數(shù)論是把整數(shù)的概念推廣到代數(shù)整數(shù)的一個分支。數(shù)學(xué)家把整數(shù)概念推廣到一般代數(shù)數(shù)域上去，相應(yīng)地也建立了素整數(shù)、可除性等概念。幾何數(shù)論是由德國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家閔可夫斯基等人開創(chuàng)和奠基的。幾何數(shù)論研究的基本對象是“空間格網(wǎng)”。什么是空間格網(wǎng)呢？在給定的直角坐標(biāo)系上，坐標(biāo)全是整數(shù)的點，叫做整點；全部整點構(gòu)成的組就叫做空間格網(wǎng)?？臻g格網(wǎng)對幾何學(xué)和結(jié)晶學(xué)有著重大的意義。由于幾何數(shù)論涉及的問題比較復(fù)雜，必須具有相當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)基礎(chǔ)才能深入研究。代數(shù)數(shù)論是把整數(shù)的概念推廣到代數(shù)整數(shù)的一個分支。數(shù)學(xué)家把整數(shù)93數(shù)論是一門高度抽象的數(shù)學(xué)學(xué)科，長期以來，它的發(fā)展處于純理論的研究狀態(tài)，它對數(shù)學(xué)理論的發(fā)展起到了積極的作用。但對于大多數(shù)人來講并不清楚它的實際意義。由于近代計算機科學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展，數(shù)論得到了廣泛的應(yīng)用。比如在計算方法、代數(shù)編碼、組合論等方面都廣泛使用了初等數(shù)論范圍內(nèi)的許多研究成果；有文獻報道，現(xiàn)在有些國家應(yīng)用“孫子定理”來進行測距，用原根和指數(shù)來計算離散傅立葉變換等。數(shù)論是一門高度抽象的數(shù)學(xué)學(xué)科，長期以來，它的發(fā)展處于純理論的94此外，數(shù)論的許多比較深刻的研究成果也在近似分析、差集合、快速變換等方面得到了應(yīng)用。特別是現(xiàn)在由于計算機的發(fā)展，用離散量的計算去逼近連續(xù)量而達到所要求的精度已成為可能。數(shù)論在數(shù)學(xué)中的地位是獨特的，高斯曾經(jīng)說過“數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后，數(shù)論是數(shù)學(xué)中的皇冠”。因此，數(shù)學(xué)家都喜歡把數(shù)論中一些懸而未決的疑難問題，叫做“皇冠上的明珠”，以鼓勵人們?nèi)ァ罢　薄Ｏ旅婧喴谐鰩最w“明珠”：費爾馬大定理、孿生素數(shù)問題、歌德巴赫猜想、圓內(nèi)整點問題、完全數(shù)問題……此外，數(shù)論的許多比較深刻的研究成果也在近似分析、差集合、快速95費爾馬大定理：起源于三百多年前，挑戰(zhàn)人類3個世紀(jì)，多次震驚全世界，耗盡人類眾多最杰出大腦的精力，也讓千千萬萬業(yè)余者癡迷。終于在1994年被安德魯·懷爾斯攻克。古希臘的丟番圖寫過一本著名的“算術(shù)”，經(jīng)歷中世紀(jì)的愚昧黑暗到文藝復(fù)興的時候，“算術(shù)”的殘本重新被發(fā)現(xiàn)研究。1637年，法國業(yè)余大數(shù)學(xué)家費爾馬（PierredeFremat）在“算術(shù)”的關(guān)于勾股數(shù)問題的頁邊上，寫下猜想：a^n+b^n=c^n是不可能的（這里n大于2；a，b，c，n都是非零整數(shù))。此猜想后來就稱為費爾馬大定理。費爾馬大定理：起源于三百多年前，挑戰(zhàn)人類3個世紀(jì)，多次震驚全96

費爾馬還寫道“我對此有絕妙的證明，但此頁邊太窄寫不下”。一般公認，他當(dāng)時不可能有正確的證明。猜想提出后，經(jīng)歐拉等數(shù)代天才努力，200年間只解決了n＝3,4,5,7四種情形。1847年，庫木爾創(chuàng)立“代數(shù)數(shù)論”這一現(xiàn)代重要學(xué)科，對許多n（例如100以內(nèi)）證明了費爾馬大定理，是一次大飛躍。

費爾馬還寫道“我對此有絕妙的證明，但此頁邊太窄寫不下”。一97

歷史上費爾馬大定理高潮迭起，傳奇不斷。其驚人的魅力，曾在最后時刻挽救自殺青年于不死。他就是德國的沃爾夫斯克勒，他后來為費爾馬大定理設(shè)懸賞10萬馬克（相當(dāng)于現(xiàn)在160萬美元多），期限1908－2007年。無數(shù)人耗盡心力，空留浩嘆。最現(xiàn)代的電腦加數(shù)學(xué)技巧，驗證了400萬以內(nèi)的N，但這對最終證明無濟于事。1983年德國的法爾廷斯證明了：對任一固定的n，最多只有有限多個a，b，c振動了世界，獲得費爾茲獎（數(shù)學(xué)界最高獎）。 歷史上費爾馬大定理高潮迭起，傳奇不斷。其驚人的魅力，曾在最98歷史的新轉(zhuǎn)機發(fā)生在1986年夏，貝克萊·瑞波特證明了:費爾馬大定理包含在“谷山豐—志村五朗猜想”之中。童年就癡迷于此的懷爾斯，聞此立刻潛心于頂樓書房7年，曲折卓絕，匯集了20世紀(jì)數(shù)論所有的突破性成果。終于在1993年6月23日劍橋大學(xué)牛頓研究所的“世紀(jì)演講”最后，宣布證明了費爾馬大定理。立刻震動世界，普天同慶。不幸的是，數(shù)月后逐漸發(fā)現(xiàn)此證明有漏洞，一時更成世界焦點。歷史的新轉(zhuǎn)機發(fā)生在1986年夏，貝克萊·瑞波特證明了:費爾馬99這個證明體系是千萬個深奧數(shù)學(xué)推理連接成千個最現(xiàn)代的定理、事實和計算所組成的千百回轉(zhuǎn)的邏輯網(wǎng)絡(luò)，任何一環(huán)節(jié)的問題都會導(dǎo)致前功盡棄。懷爾斯絕境搏斗，毫無出路。1994年9月19日，星期一的早晨，懷爾斯在思維的閃電中突然找到了迷失的鑰匙：解答原來就在廢墟中！他熱淚奪眶而出。懷爾斯的歷史性長文“模橢圓曲線和費爾馬大定理”1995年5月發(fā)表在美國《數(shù)學(xué)年刊》第142卷，實際占滿了全卷，共五章，130頁。1997年6月27日，懷爾斯獲得沃爾夫斯克勒10萬馬克懸賞大獎。離截止期10年，圓了歷史的夢。他還獲得沃爾夫獎(1996.3），美國國家科學(xué)家院獎（1996.6），費爾茲特別獎（1998.8）。這個證明體系是千萬個深奧數(shù)學(xué)推理連接成千個最現(xiàn)代的定理、事實100孿生素數(shù)問題：

孿生素數(shù)是指一對素數(shù)，它們之間相差2。例如3和5，5和7，11和13，10016957和10016959等等都是孿生素數(shù)。孿生素數(shù)猜想，即是否存在無窮多對孿生素數(shù)，是數(shù)論中未解決的一個重要問題。 哈代-李特爾伍德猜想（Hardy-Littlewoodconjecture）是孿生素數(shù)猜想的一個增強形式，猜測孿生素數(shù)的分布與素數(shù)定理中描述的素數(shù)分布規(guī)律相類似。1900年希爾伯特在國際數(shù)學(xué)家大會上說有了素數(shù)公式，哥德巴赫猜想和孿生素數(shù)猜想都可以得到解決。孿生素數(shù)問題： 孿生素數(shù)是指一對素數(shù)，它們之間相差2。例如3101素數(shù)定理素數(shù)定理描述素數(shù)的大致分布情況。素數(shù)的出現(xiàn)規(guī)律一直困惑著數(shù)學(xué)家。一個個地看，素數(shù)在正整數(shù)中的出現(xiàn)沒有什么規(guī)律?？墒强傮w地看，素數(shù)的個數(shù)竟然有規(guī)可循。對正實數(shù)x，定義π(x) 為不大于x的素數(shù)個數(shù)。數(shù)學(xué)家找到了一些函數(shù)來估計π(x)的增長。以下是第一個這樣的估計。π(x)≈x/lnx其中l(wèi)nx為x的自然對數(shù)。上式的意思是當(dāng)x趨近∞，π(x)和x/lnx的比趨近1.（注：該結(jié)果為高斯所發(fā)現(xiàn)）。素數(shù)定理素數(shù)定理描述素數(shù)的大致分布情況。素數(shù)的出現(xiàn)規(guī)律一直102歌德巴赫猜想：哥德巴赫猜想的由來1729年~1764年，哥德巴赫與歐拉保持了長達三十五年的書信往來。在1742年6月7日給歐拉的信中，哥德巴赫提出了一個命題。他寫道："我的問題是這樣的：隨便取某一個奇數(shù)，比如77，可以把它寫成三個素數(shù)之和：77=53+17+7；再任取一個奇數(shù)，比如461，461=449+7+5，也是三個素數(shù)之和，461還可以寫成257+199+5，仍然是三個素數(shù)之和。這樣，我發(fā)現(xiàn)：任何大于5的奇數(shù)都是三個素數(shù)之和。歌德巴赫猜想：哥德巴赫猜想的由來103歌德巴赫猜想：但這怎樣證明呢？雖然做過的每一次試驗都得到了上述結(jié)果，但是不可能把所有的奇數(shù)都拿來檢驗，需要的是一般的證明，而不是個別的檢驗。"歐拉回信說：“這個命題看來是正確的”。但是他也給不出嚴(yán)格的證明。同時歐拉又提出了另一個命題：任何一個大于2的偶數(shù)都是兩個素數(shù)之和，但是這個命題他也沒能給予證明。不難看出，哥德巴赫的命題是歐拉命題的推論。歌德巴赫猜想：但這怎樣證明呢？雖然做過的每一次試驗都得到了上104歌德巴赫猜想事實上，任何一個大于5的奇數(shù)都可以寫成如下形式：2N+1=3+2(N-1)，其中2(N-1)≥4。若歐拉的命題成立， 則偶數(shù)2N可以寫成兩個素數(shù)之和，于是奇數(shù)2N+1可以寫成三個素數(shù)之和，從而，對于大于5的奇數(shù)，哥德巴赫的猜想成立。但是哥德巴赫的命題成立并不能保證歐拉命題的成立。因而歐拉的命題比哥德巴赫的命題要求更高。 現(xiàn)在通常把這兩個命題統(tǒng)稱為哥德巴赫猜想。即1.每個不小于6的偶數(shù)都可以表示為兩個奇素數(shù)之和；2.每個不小于9的奇數(shù)都可以表示為三個奇素數(shù)之和。歌德巴赫猜想事實上，任何一個大于5的奇數(shù)都可以寫成如下形式：105中國數(shù)學(xué)家的貢獻

華羅庚是中國最早從事哥德巴赫猜想的數(shù)學(xué)家。1936～1938年，他赴英國劍橋大學(xué)留學(xué)，在哈代的指導(dǎo)下從事數(shù)論研究，并開始研究哥德巴赫猜想，取得了很好的成果，證明了對于“幾乎所有”的偶數(shù)，猜想（1）都是正確的。1950年，華羅庚從美國回國，在中科院數(shù)學(xué)研究所組織數(shù)論研究討論班，選擇哥德巴赫猜想作為討論的主題，倡議并指導(dǎo)他的一些學(xué)生研究這一問題。中國數(shù)學(xué)家的貢獻 華羅庚是中國最早從事哥德巴赫猜想的數(shù)學(xué)家。106

他曾對學(xué)生們說：“我并不是要你們在這個問題上作出成果來。我的著眼點是哥德巴赫猜想跟解析數(shù)論中所有的重要方法都有聯(lián)系，以哥德巴赫猜想為主題來學(xué)習(xí)，將可以學(xué)會解析數(shù)論中所有的重要方法……哥德巴赫猜想真是美極了，現(xiàn)在還沒有一個方法可以解決它。”參加這個數(shù)論討論班的學(xué)生有王元、潘承洞和陳景潤等。 他曾對學(xué)生們說：“我并不是要你們在這個問題上作出成果來。我107出乎華羅庚的意料，學(xué)生們在哥德巴赫猜想的證明上取得了相當(dāng)好的成績。1956年，王元證明了“3＋4”；同年，原蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家阿·維諾格拉朵夫證明了“3＋3”；1957年，王元又證明了“2＋3”；潘承洞于1962年證明了“1＋5”；1963年，潘承洞、巴爾巴恩與王元又都證明了“1＋4”；1966年，陳景潤在對篩法作了新的重要改進后，證明了“1＋2”。出乎華羅庚的意料，學(xué)生們在哥德巴赫猜想的證明上取得了相當(dāng)好的108

1974年，由英國數(shù)學(xué)家哈勃斯坦和西德數(shù)學(xué)家李希特合著的《篩法》一書出版，書中以“陳氏定理”作為最后一章的標(biāo)題。書中寫道：“我們本章的目的是為了證明陳景潤下面的驚人定理，我們在前10章已經(jīng)付印時才注意到這一結(jié)果。從篩法的任何方面來說，它都是光輝的頂點。”華羅庚曾對王元說：“在我的學(xué)生的工作中，最使我感動的是‘1＋2’。 1974年，由英國數(shù)學(xué)家哈勃斯坦和西德數(shù)學(xué)家李希特合著的《109初等數(shù)論與中學(xué)教學(xué)

在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，初等數(shù)論的知識和思想方法是常見的。在《普通高中·數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中，初等數(shù)論初步是作為選修課程系列4的一個專題，教師在日常教學(xué)中要給予足夠的重視。隨著新課程改革的逐步深入，初等數(shù)論知識和思想方法，一方面出現(xiàn)在日常教學(xué)中，另一方面是以競賽的形式出現(xiàn)的，后者更為突出。對于前者《課標(biāo)》是這樣要求的，該專題是為對數(shù)學(xué)有興趣和希望進一步提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的學(xué)生而設(shè)置的，所涉及的內(nèi)容反映了某些重要的數(shù)學(xué)思想方法，有助于學(xué)生進一步打好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，提高應(yīng)用意識，有助于學(xué)生終身的發(fā)展，有助于擴展學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，有助于提高學(xué)生對數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值、文化價值的認識。初等數(shù)論與中學(xué)教學(xué)在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，初等數(shù)論的知110初等數(shù)論與中學(xué)教學(xué)對于后者，初等數(shù)論在奧林匹克競賽中占有愈來愈重要的地位，對提高中學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)很有幫助。有人說：“用以發(fā)現(xiàn)天才，在初等數(shù)學(xué)中再也沒有比數(shù)論更好的課程了。任何學(xué)生，如能把當(dāng)今任何一本數(shù)論教材中的習(xí)題做出，就應(yīng)當(dāng)受到鼓勵，并勸他將來從事數(shù)學(xué)方面的工作?！彼栽趪鴥?nèi)外各級各類的數(shù)學(xué)競賽中，數(shù)論問題總是占有相當(dāng)大的比重。初等數(shù)論與中學(xué)教學(xué)對于后者，初等數(shù)論在奧林匹克競賽中占有愈來111初等數(shù)論與中學(xué)教學(xué)

致力于數(shù)學(xué)競賽的教師而言，必須明確數(shù)論的基本結(jié)構(gòu)，它包括整除理論，同余理論和不定方程。

整除理論是初等數(shù)論的基礎(chǔ)，它是在帶余除法的基礎(chǔ)上建立起來的，整除理論的中心內(nèi)容是算術(shù)基本定理和最大公因數(shù)理論。同余理論是初等數(shù)論的核心，它是數(shù)論所特有的思想、概念與方法。從歷史來看，求解不定方程是推進數(shù)論發(fā)展的最重要的課題，它是建立在整除理論和同余理論上來進行求解的。初等數(shù)論與中學(xué)教學(xué)致力于數(shù)學(xué)競賽的教師而言，必須明確112

整除理論——因數(shù)和倍數(shù)定義設(shè)a,b為整數(shù)，a≠0.若有一整數(shù)q,使得b=aq,則稱a是b的因數(shù)為是a的倍數(shù);并稱a整除b,記為a|b,可形式地表示為:a|b:=(q)(b=aq)若a不能整除b，記為a\b.若b=aq,而a既非b又非1,則稱a是b的真因數(shù).整除理論——因數(shù)和倍數(shù)定義設(shè)a,b為整數(shù)，a≠0.若113因數(shù)和倍數(shù)關(guān)于整除，顯然有下列定理：定理①對所有a,1|a.②對所有a,a|0.③對所有a,a|a.④若a|b且b|c,則a|c.⑤若a|b,則對任意的c,有ac|bc.⑥若ac|bc且c≠0,則a|b.因數(shù)和倍數(shù)關(guān)于整除，顯然有下列定理：114因數(shù)和倍數(shù)⑦若a|b且a|c,則對任意的m,n,有a|(bm+cn).⑧若a|b,則b=0或|a|≤|b|,其中|a|是a的絕對值,當(dāng)a≥0時|a|=a;當(dāng)a＜0時|a|=-a.⑨若a|b,則(-a)|b,a|(-b),(-a)|(-b),|a|||b|.證明只證明⑦,余下不難證明.⑦因為a|b且a|c,故b=aq1和c=aq2.于是,bm+cn=a(q1m+q2n),所以,a|(bm+cn).因數(shù)和倍數(shù)⑦若a|b且a|c,則對任意的m,n,有115因數(shù)和倍數(shù)定理

若a是b的真因數(shù),則1＜|a|＜|b|.定理

若a為是整數(shù),且|a|＜|b|,|b|||a|,則

a=0.證明因為|b|||a|,故有整數(shù)q,使得|a|=|b|q.若|a|=0,則a=0.若|a|>0,則由于0<|a|<|b|和|a|=|b|q,有q≥0.若q>0,則由q是整數(shù)而有q≥1.由|a|=|b|和q≥1有|a|>|b|,這與|a|<|b|矛盾,故q=0;若q=0和|a|=|b|q有a=0.因數(shù)和倍數(shù)定理若a是b的真因數(shù),則1＜|a|116因數(shù)和倍數(shù)定理(帶余除法)若a為是二個整數(shù),b≠0,則唯一存在兩個整數(shù)q和r,使得下式成立:a=bq+r,0≤r<|b|.因數(shù)和倍數(shù)定理(帶余除法)若a為是二個整數(shù),b≠0,則唯一117素數(shù)和合數(shù)在正整數(shù)中,1只能被它本身整除.任何大于1的整數(shù)都至少能被1和它本身整除．定義一個大于1且只能被1和它本身整除的整數(shù),稱為素數(shù);否則,稱為合數(shù).由該定義可知，正整數(shù)集合可分三類:素數(shù)、合數(shù)和1.素數(shù)常用p或p1,p2…,來表示.素數(shù)和合數(shù)在正整數(shù)中,1只能被它本身整除.任何大于1的整118最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)定義設(shè)al,a2,…,an和d都是正整數(shù),n≥2.若d|ai,1≤i≤n,則稱d是al,a2,…,an.的公因數(shù).在公因數(shù)中最大的那一個數(shù),稱為al,a2,…,an的最大公因數(shù),記為gcd{al,a2,…,an}.(greatestcommondivisor)或者(al,a2,…,an).若gcd(al,a2,…,an)=1,稱al,a2,…,an是互素的.最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)定義設(shè)al,a2,…,an和d都是正119最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)定理設(shè)a和b都是正整數(shù),且a>b,a=bq+r0<r<b其中q和r都是正整數(shù).則:①a和b的任一公因數(shù)也是b和r的公因數(shù)；②b和r的任一公因數(shù)也是a和b的公因數(shù)；③(a,b)=(b,r);④若(a,b)=d,則(a|d,b|d)=1.最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)定理設(shè)a和b都是正整數(shù),且a>b,120整數(shù)分解唯一性定理定理(整數(shù)分解唯一性定理)每個大于1的正整數(shù)a均可分解成有限個素數(shù)之積,并且若不計素因數(shù)的次序,其分解是唯一的.證明先證分解式的存在性.若a=2,則2為素數(shù),從而2即所求分解式.現(xiàn)在假設(shè)小于a的每個正整數(shù)均可分解成有限個素數(shù)之積.考慮a,若a是素數(shù),則證畢.否則a便有真因數(shù)d,而a=cd,其中c和d均是大于1的正整數(shù),并且c和d均小于a.由歸納假設(shè),c和d均有分解式c=p1p2…pk和d=q1q2…ql,其中p1,p2,…,pk,ql,q2,…,ql均是素數(shù).因此a=cd=p1p2…,pkql…ql;即為所求的分解式．整數(shù)分解唯一性定理定理(整數(shù)分解唯一性定理)每個大于1的正121整數(shù)分解唯一性定理再證唯一性.當(dāng)a=2時,分解式顯然是唯一的.現(xiàn)設(shè)比a小的正整數(shù)其分解式均是唯一的.考慮正整數(shù)a,假設(shè)a有兩個分解式a=plp2…pk和a=q1q2…ql,其中pl,p2,…,pk和q1,q2,…,ql都是素數(shù).于是p1|q1q2…ql,根據(jù)定理7.4.7知必有一qi,,使得p1|qi.不妨令i=1,即p1|q1,顯然p1=q1.令a’=a/p1,則a’=p2p3…pk,a’＝q2q2…ql.若a’=1,則a=p1=q1,即a’的分解式唯一.若a’＞1,注意到a’<a,從而由歸納假設(shè)知,a’的分解式是唯一的.因此k=l,并且p1=q1,…,pk=qk,再由p1=ql,知a分解式也是唯一的.整數(shù)分解唯一性定理再證唯一性.當(dāng)a=2時,分解式顯然是唯122整數(shù)分解唯一性定理若將n的分解式中相同素因數(shù)合并為它的冪數(shù),則任意大于1的整數(shù)a只能分解成一種形式:

,n≥1,其中p1,p2,…,pn是互不相同的素數(shù),al,a2,…,an是正整數(shù).并稱(1)

是a的標(biāo)準(zhǔn)分解式.整數(shù)分解唯一性定理若將n的分解式中相同素因數(shù)合并為它的冪數(shù)123函數(shù)[x]與{x}定義設(shè)x是實數(shù)，以[x]表示不超過x的最大整數(shù)，稱它為x的整數(shù)部分，又稱{x}=x-[x]為x的小數(shù)部分。函數(shù)[x]與{x}定義設(shè)x是實數(shù)，以[x]表示不超過x的124函數(shù)[x]與{x}函數(shù)[x]與{x}125函數(shù)[x]與{x}函數(shù)[x]與{x}126不定方程不定方程 ：未知數(shù)個數(shù)多于方程個數(shù)，且對解有一定限制（比如要求解為正整數(shù)等）的方程。是數(shù)論中最古老的分支之一。古希臘的丟番圖早在公元3世紀(jì)就開始研究不定方程，因此常稱不定方程為丟番圖方程。不定方程不定方程 ：127

研究不定方程要解決三個問題：①判斷何時有解。②有解時決定解的個數(shù)。③求出所有的解。中國是研究不定方程最早的國家，公元初的五家共井問題就是一個不定方程組問題，公元5世紀(jì)的《張丘建算經(jīng)》中的百雞問題標(biāo)志中國對不定方程理論有了系統(tǒng)研究。秦九韶的大衍求一術(shù)將不定方程與同余理論聯(lián)系起來。百雞問題說：“雞翁一，直錢五，雞母一，直錢三，雞雛三，直錢一。百錢買百雞，問雞翁、母、雛各幾何？”。設(shè)x，y，z分別表雞翁、母、雛的個數(shù)，則此問題即為不定方程組的非負整數(shù)解x，y，z，這是一個三元不定方程組問題。研究不定方程要解決三個問題：①判斷何時有解。128

不定方程問題的常見類型（1）求不定方程的解；（2）判定不定方程是否有解； （3）判定不定方程的解的個數(shù)（有限個還是無限個）。 不定方程問題的常見類型129

解不定方程問題常用的解法（1）代數(shù)恒等變形：如因式分解、配方、換元等；（2）不等式估算法：利用不等式等方法，確定出方程中某些變量的范圍，進而求解；（3）同余法：對等式兩邊取特殊的模（如奇偶分析），縮小變量的范圍或性質(zhì)，得出不定方程的整數(shù)解或判定其無解；（4）構(gòu)造法：構(gòu)造出符合要求的特解，或構(gòu)造一個求解的遞推式，證明方程有無窮多解；（5）無窮遞推法。 一些特殊方程的求解方法 解不定方程問題常用的解法130同余理論定義給定一正整數(shù)m,若用m去除兩個整數(shù)a和b所得余數(shù)相同,則稱a為對模m同余,記作ab(modm);若余數(shù)不同,則稱a為對模m不同余,記作ab(modm).顯然，a0(modm)iffm|a.由同余的定義,可得下列簡單性質(zhì):①自反性:aa(modm).②對稱性:若ab(modm),則ba(modm).③傳遞性:若ab(modm),bc(modm),則:ac(modm).可見,同余關(guān)系是等價關(guān)系.同余理論定義給定一正整數(shù)m,若用m去除兩個整數(shù)a和b所131同余理論定理整數(shù)a,b對模m同余，若m|(a-b),

即:ab(modm),若m|(a-b).證明設(shè)ab(modm),則a=mq1+r,b=mq2+r,0≤r<m.故(a-b)=m(q1-q2),m|(a-b).反之,設(shè)a=mq1+r1,b=mq2+r2,0<r1≤m,0<r2≤m,m|(a-b).于是,m|(a-b)=m(ql-q2)+(rl-r2),故:m|(r1-r2).又因|r1-r2|<m,得r1=r2.同余理論定理整數(shù)a,b對模m同余，若m|(a-b),132同余理論