《勾股定理》練習題及答案1

八年級上數(shù)學專題訓練一?勾股定理?典型題練習答案解析一、知識要點：1、勾股定理勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。也就是說：如果直角三角形的兩直角邊為a、b，斜邊為c，那么a2+b2=c2。公式的變形：a2=c2-b2，b2=c2-a2。2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三邊長分別是a，b，c，且滿足a2+b2=c2，那么三角形ABC是直角三角形。這個定理叫做勾股定理的逆定理.該定理在應(yīng)用時，同學們要注意處理好如下幾個要點：的條件：某三角形的三條邊的長度.②滿足的條件：最大邊的平方=最小邊的平方+中間邊的平方.③得到的結(jié)論：這個三角形是直角三角形，并且最大邊的對角是直角.④如果不滿足條件，就說明這個三角形不是直角三角形。3、勾股數(shù)滿足a2+b2=c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。注意：①勾股數(shù)必須是正整數(shù)，不能是分數(shù)或小數(shù)。②一組勾股數(shù)擴大一樣的正整數(shù)倍后，仍是勾股數(shù)。常見勾股數(shù)有：〔3，4，5

〕(5，12，13

)(

6，8，10

)

(

7，24，25

)

(

8，15，17

)(9，12，15

)

常用勾股數(shù)口訣記憶常見勾股數(shù)3，4，5：勾三股四弦五5，12，13：我要愛一生6，8，10：連續(xù)的偶數(shù)7，24，25：企鵝是二百五8，15，17：八月十五在一起特殊勾股數(shù)連續(xù)的勾股數(shù)只有3，4，5連續(xù)的偶數(shù)勾股數(shù)只有6，8，104、最短距離問題：主要運用的依據(jù)是兩點之間線段最短。二、考點剖析考點一：利用勾股定理求面積1、求陰影局部面積：〔1〕陰影局部是正方形；〔2〕陰影局部是長方形；〔3〕陰影局部是半圓．如圖，以Rt△ABC的三邊為直徑分別向外作三個半圓，試探索三個半圓的面積之間的關(guān)系．3、如下圖，分別以直角三角形的三邊向外作三個正三角形，其面積分別是S1、S2、S3，那么它們之間的關(guān)系是〔〕S1-S2=S3B.S1+S2=S3C.S2+S3<S1D.S2-S3=S1【類型題總結(jié)】〔a〕如圖〔1〕分別以直角三角形ABC三邊為直徑向外作三個半圓，其面積分別用表示S1、S2、S3那么它們有S2+S3=S1關(guān)系．〔b〕如圖〔2〕分別以直角三角形ABC三邊向外作三個正方形，其面積表示S1、S2、S3．那么它們有S2+S3=S1關(guān)系．〔c〕如圖〔3〕分別以直角三角形ABC三邊向外作三個正三角形，面積表示S1、S2、S3，那么它們有S2+S3=S1關(guān)系．并選擇其中一個命題證明．考點：勾股定理．專題：計算題．分析：〔a〕分別用AB、BC和AC表示出S1、S2、S3，然后根據(jù)AB2=AC2+BC2即可得出S1、S2、S3的關(guān)系；〔b〕分別用AB、BC和AC表示出S1、S2、S3，然后根據(jù)AB2=AC2+BC2即可得出S1、S2、S3的關(guān)系；〔c〕分別用AB、BC和AC表示出S1、S2、S3，然后根據(jù)AB2=AC2+BC2即可得出S1、S2、S3的關(guān)系．解答：解：〔1〕S3=πAC2，S2=πBC2S1=AB2∴S2+S3=S1．〔2〕S2+S3=S1…〔4分〕由三個四邊形都是正方形那么：∵S3=AC2，S2=BC2，S1=AB2，…〔8分〕∵三角形ABC是直角三角形，又∵AC2+BC2=AB2…〔10分〕∴S2+S3=S1．〔3〕S1=AB2S2=BC2S3=AC2∴S2+S3=S1．點評：此題主要涉及的知識點：三角形、正方形、圓的面積計算以及勾股定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理的公式，難度一般．四邊形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四邊形ABCD的面積。〔S=36〕5、在直線上依次擺放著七個正方形〔如圖4所示〕。斜放置的三個正方形的面積分別是1、2、3，正放置的四個正方形的面積依次是、〔此題為2021?慶陽中考題〕=_______4______?？键c：勾股定理；全等三角形的判定與性質(zhì)．專題：規(guī)律型．分析：運用勾股定理可知，每兩個相鄰的正方形面積和都等于中間斜放的正方形面積，據(jù)此即可解答．解答：解：觀察發(fā)現(xiàn)，∵AB=BE，∠ACB=∠BDE=90°，∴∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC+∠EBD=90°，∴∠BAC=∠EBD，∴△ABC≌△BDE〔AAS〕，∴BC=ED，∵AB2=AC2+BC2，∴AB2=AC2+ED2=S1+S2，即S1+S2=1，同理S3+S4=3．那么S1+S2+S3+S4=1+3=4．故答案為：4．點評：運用了全等三角形的判定以及性質(zhì)、勾股定理．注意發(fā)現(xiàn)兩個小正方形的面積和正好是之間的正方形的面積．考點二：在直角三角形中，兩邊求第三邊 1．在直角三角形中,假設(shè)兩直角邊的長分別為1cm，2cm，那么斜邊長為cm．2．〔易錯題、注意分類的思想〕直角三角形的兩邊長為3、2，那么另一條邊長的平方是5或13分析：直角三角形兩邊的長，但沒有明確是直角邊還是斜邊，因此分兩種情況討論：①2是直角邊，3是斜邊；②2、3均為直角邊；可根據(jù)勾股定理求出上述兩種情況下，第三邊的長．3、直角三角形兩直角邊長分別為5和12，求斜邊上的高．一個直角三角形的兩條直角邊長分別為5和12那么根據(jù)勾股定理斜邊為13

然后根據(jù)等面積法

×5×12=×13×高

高=60/134、把直角三角形的兩條直角邊同時擴大到原來的2倍，那么斜邊擴大到原來的〔〕A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍2+b2=c2;

另一直角三角形直角邊為2a、2b，那么根據(jù)勾股定理知斜邊為

即直角三角形兩直角邊同時擴大到原來的2倍，那么斜邊擴大到原來的2倍，應(yīng)選A.5、在Rt△ABC中，∠C=90°①假設(shè)a=5，b=12，那么c=___________；②假設(shè)a=15，c=25，那么b=___________；③假設(shè)c=61，b=60，那么a=__________；④假設(shè)a∶b=3∶4，c=10那么Rt△ABC的面積是=________。6、如果直角三角形的兩直角邊長分別為，2n〔n>1〕，那么它的斜邊長是〔D〕A、2n B、n+1 C、n2－1 D、7、在Rt△ABC中，a,b,c為三邊長，那么以下關(guān)系中正確的選項是〔〕A.B.C.8、Rt△ABC中，∠C=90°，假設(shè)a+b=14cm，c=10cm，那么Rt△ABC的面積是〔A〕A、24 B、36 C、48 D、60【解析】此題考察的是勾股定理，完全平方公式，直角三角形的面積公式要求Rt△ABC的面積，只需求出兩條直角邊的乘積．根據(jù)勾股定理，得a2+b2=c2=100．根據(jù)勾股定理就可以求出ab的值，進而得到三角形的面積．∵a+b=14∴〔a+b〕2=196∴2ab=196-〔a2+b2〕=96，那么Rt△ABC的面積是9、x、y為正數(shù)，且│x2-4│+〔y2-3〕2=0，如果以x、y的長為直角邊作一個直角三角形，那么以這個直角三角形的斜邊為邊長的正方形的面積為〔C．〕 A、5 B、25 C、7 D、15【解析】試題分析：此題可根據(jù)“兩個非負數(shù)相加和為0，那么這兩個非負數(shù)的值均為0〞解出x、y的值，然后運用勾股定理求出斜邊的長．斜邊長的平方即為正方形的面積．依題意得：，∴，斜邊長，所以正方形的面積．應(yīng)選C．考點：此題綜合考察了勾股定理與非負數(shù)的性質(zhì)點評：解這類題的關(guān)鍵是利用直角三角形，用勾股定理來尋求未知系數(shù)的等量關(guān)系．考點三：應(yīng)用勾股定理在等腰三角形中求底邊上的高1、如圖1所示，等腰中，，是底邊上的高，假設(shè)，求①AD的長；②ΔABC的面積．考點四：勾股數(shù)的應(yīng)用、利用勾股定理逆定理判斷三角形的形狀、最大、最小角的問題1、以下各組數(shù)據(jù)中的三個數(shù)，可作為三邊長構(gòu)成直角三角形的是〔〕A.4，5，6B.2，3，4C.11，12，13D.8，15，172、假設(shè)線段a，b，c組成直角三角形，那么它們的比為〔〕A、2∶3∶4 B、3∶4∶6 C、5∶12∶13 D、4∶6∶73、下面的三角形中：①△ABC中，∠C=∠A－∠B；②△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3；③△ABC中，a：b：c=3：4：5；④△ABC中，三邊長分別為8，15，17．其中是直角三角形的個數(shù)有〔D〕．A．1個B．2個C．3個D．4個4、假設(shè)三角形的三邊之比為，那么這個三角形一定是〔〕A.等腰三角形B.直角三角形5、a，b，c為△ABC三邊，且滿足(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，那么它的形狀為〔C〕A.直角三角形 B.等腰三角形6、將直角三角形的三條邊長同時擴大同一倍數(shù),得到的三角形是(C)A．鈍角三角形B.銳角三角形C.直角三角形D.等腰三角形7、假設(shè)△ABC的三邊長a,b,c滿足試判斷△ABC的形狀。a2+b2+c2+200=12a+16b+20c

〔a-6〕2+〔b-8〕2+(c-10)2-200+200=0

〔a-6〕2+〔b-8〕2+(c-10)2=0

那么a-6=0、b-8=0、c-10=0,得a=6、b=8、c=10,

a2+b2=c2,三角形是直角三角形。8、△ABC的兩邊分別為5,12，另一邊為奇數(shù)，且a+b+c是3的倍數(shù)，那么c應(yīng)為，此三角形為。考點：勾股定理的逆定理．分析：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系知，求得第三邊c應(yīng)滿足12-5=7＜c＜5+12=17，又因為這個數(shù)與a+b的和又是3的倍數(shù)，那么可求得此數(shù)，再根據(jù)直角三角形的判定方法判定三角形．解答：解：∵12-5=7＜c＜5+12=17，c又為奇數(shù)，∴滿足從7到17的奇數(shù)有9，11，13，15，∵與a+b的和又是3的倍數(shù)，∴a+b+c=30，∴c=13∵52+122=132，∴△ABC是直角三角形．點評：此題考察了由三角形的三邊關(guān)系確定第三邊的能力，還考察直角三角形的判定．隱含了整體的數(shù)學思想和正確運算的能力．9：求假設(shè)三角形三條邊的長分別是7,24,25，那么這個三角形的最大內(nèi)角是90度?？键c：勾股定理的逆定理．分析：根據(jù)三角形的三條邊長，由勾股定理的逆定理判定此三角形為直角三角形，那么可求得這個三角形的最大內(nèi)角度數(shù)．解答：解：∵三角形三條邊的長分別為7，24，25，∴72+242=252，∴這個三角形為直角三角形，最大角為90°．∴這個三角形的最大內(nèi)角是90度．點評：此題考察勾股定理的逆定理的應(yīng)用．判斷三角形是否為直角三角形，三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．〔2〕三角形三邊的比為1：：2，那么其最小角為30。

考點五:應(yīng)用勾股定理解決樓梯上鋪地毯問題1、某樓梯的側(cè)面視圖如圖3所示，其中米，，，因某種活動要求鋪設(shè)紅色地毯，那么在AB段樓梯所鋪地毯的長度應(yīng)為

〔

2+2

〕米

．分析：如何利用所學知識，把折線問題轉(zhuǎn)化成直線問題，是問題解決的關(guān)鍵。仔細觀察圖形，不難發(fā)現(xiàn)，所有臺階的高度之和恰好是直角三角形ABC的直角邊BC的長度，所有臺階的寬度之和恰好是直角三角形ABC的直角邊AC的長度，只需利用勾股定理，求得這兩條線段的長即可?？键c六、利用列方程求線段的長〔方程思想〕ABC１、小強想知道學校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地面還多1米，當他把繩子的下端拉開ABC設(shè)旗桿高度h(h+1)2=52+h2h=12旗桿高12米2、一架長的梯子，斜立在一豎起的墻上，梯子底端距離墻底〔如圖〕，如果梯子的頂端沿墻下滑，那么梯子底端將向左滑動米利用勾股定理計算原來墻高。222-22如圖，一個長為10米的梯子，斜靠在墻面上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8米，如果梯子的頂端下滑1米，那么，梯子底端的滑動距離大于〞1米，答:解:底端滑動大于1(1分)，理由:在Rt△ACB中，BC2+AC2=AB2，BC=(2分)

又∵AA′=1，

∴A′C=7，在Rt△A′CB′中，B′C=，(2分)

∴BB′=B′C-BC=-67-6=1，

∴底端滑動大于1m.(1分)4、在一棵樹10m高的B處，有兩只猴子，一只爬下樹走到離樹20m處的池塘A處；另外一只爬到樹頂D處后直接躍到A外，距離以直線計算，如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，試問這棵樹有多高？分析：如下圖，其中一只猴子從共30m，另一只猴子從也共走了30m。并且樹垂直于地面，于是此問題可化歸到直角三角形解決。解：如圖，設(shè)，由題意知中，，解之得答：這棵樹高15m?！军c撥】：此題的關(guān)鍵是依題意正確地畫出圖形，在此根底上，再運用勾股定理及方程的思想使問題得以解決。

6012014060120140B60AC第5題圖7AC=120-60=60BC=140-60=80AB=100mm如圖：有兩棵樹，一棵高8米，另一棵高2米，兩樹相距8米，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少飛了10米．從題目中找出直角三角形并利用勾股定理解答．

解：過點D作DE⊥AB于E，連接BD．

在Rt△BDE中，DE=8米，BE=8-2=6米．

根據(jù)勾股定理得BD=10米如圖18-15所示，某人到一個荒島上去探寶，在A處登陸后，往東走8km，又往北走2km，遇到障礙后又往西走3km，再折向北方走到5km處往東一拐，僅1km就找到了寶藏，問：登陸點〔A處〕到寶藏埋藏點〔B處〕的直線距離是多少？

解析：

試題分析：要求AB的長，需要構(gòu)造到直角三角形中．連接AB，作BC垂直于過A的水平線于C．在直角三角形ABC中，得AC=8-3+1=6，BC=5+2=7．再運用勾股定理計算即可．

過點B作BC⊥AC，垂足為C

觀察圖形可知AC=AF-MF+MC=8-3+1=6，BC=2+5=7

答：登陸點到寶藏埋藏點的直線距離是

考點：勾股定理的應(yīng)用

點評：解此類題目的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理直接求解．注意所求距離實際上就是AB的長．考點七：折疊問題1、如圖，有一張直角三角形紙片，兩直角邊AC=6，BC=8，將△ABC折疊，使點B與點A重合，折痕為DE，那么CD等于〔〕講完知識點梳理后作做問題延伸題〔舉一反三〕：BE的長？求折痕DE的長？A.B.C.D.解：由題意得DB=AD；

設(shè)CD=xcm，那么

AD=DB=〔8-x〕cm，

∵∠C=90°，

∴，

解得x=，即CD=cm．應(yīng)選C．知識點梳理1、翻折變換〔折疊問題〕2、等腰三角形的性質(zhì)3、勾股定理的性質(zhì)一、翻折變換〔折疊問題〕折疊問題〔翻折變換〕實質(zhì)上就是軸對稱變換．

2、折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱．對稱軸是對應(yīng)點的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．

3、對于折疊較為復(fù)雜的問題可以實際操作圖形的折疊，在畫圖時，畫出折疊前后的圖形，這樣便于找到圖形之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．

4、在矩形〔紙片〕折疊問題中，重合局部一般會是一個以折痕為底邊的等腰三角形

5、利用折疊所得到的直角和相等的邊或角，設(shè)要求的線段長為x，然后根據(jù)軸對稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適當?shù)闹苯侨切危\用勾股定理列出方程求解．等腰三角形的性質(zhì)定理：

1.等腰三角形的兩個底角相等〔簡寫成“等邊對等角〞〕。

2.等腰三角形的頂角的平分線，底邊上的中線，底邊上的高重合〔簡寫成“等腰三角形的三線合一〞垂直平分線到兩條腰的距離相等。

5.等腰三角形的一腰上的高與底邊的夾角等于頂角的一半。

6.等腰三角形底邊上任意一點到兩腰距離之和等于一腰上的高。

7.等腰三角形是軸對稱圖形，只有一條對稱軸，頂角平分線所在的直線是它的對稱軸，等邊三角形有三條對稱軸。

8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方。

9.等腰三角形中腰大于高。

10.等腰三角形底邊延長線上任意一點到兩腰距離之差等于一腰上的高。2、如下圖，△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分線交BC于M，交AB于N，假設(shè)AC=4，MB=2MC，求AB的長．解：連接AM

∵MN是AB的垂直平分線，∴△AMN≌△BMN，∴MA=MB，∠B=∠BAM

∵MB=2MC，∴MA=2MC，∴∠CAM=30°，即∠CMA=60°

∵∠CMA=∠B+∠BAM且∠B=∠BAM，∴∠B=30°，∴AB=2AC=16折疊矩形ABCD的一邊AD,點D落在BC邊上的點F處,AB=8CM,BC=10CM,求CF和EC。ABCEFD

解：由翻折的性質(zhì)可得：AD=AF=BC=10，

在Rt△ABF中可得：BF==6，

∴FC=BC-BF=4，

設(shè)CE=x，EF=DE=8-x，那么在Rt△ECF中，

EF2=EC2+CF2，即x2ABCEFD解析：根據(jù)翻折的性質(zhì)，先在RT△ABF中求出BF，進而得出FC的長，然后設(shè)CE=x，EF=8-x，從而在RT△CFE中應(yīng)用勾股定理可解出x的值，即舉一反三：BF的長？2、△ECF的面積？3、求折痕AE的長．知識點梳理1、翻折變換〔折疊問題〕2、矩形的性質(zhì)3、勾股定理的性質(zhì)平行四邊形軸對稱圖形，它有2條對稱軸。4、如圖，在長方形ABCD中，DC=5，在DC邊上存在一點E，沿直線AE把△ABC折疊，使點D恰好在BC邊上，設(shè)此點為F，假設(shè)△ABF的面積為30，求折疊的△AED的面積分析：根據(jù)三角形的面積求得BF的長，再根據(jù)勾股定理求得AF的長，即為AD的長；設(shè)DE=x，那么EC=5-x，EF=x．根據(jù)勾股定理列方程求得x的值，進而求得△AED的面積．

解：由折疊的對稱性，得AD=AF，DE=EF．

由S△ABF=BF?AB=30，AB=5，

得BF=12．

在Rt△ABF中，由勾股定理，得

．

所以AD=13．

設(shè)DE=x，那么EC=5-x，EF=x，F(xiàn)C=1，

在Rt△ECF中，EC2+FC2=EF2，

即〔5-x〕2+12=x2．

解得．

故．

點評：此題主要是能夠根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到相等的線段，能夠熟練根據(jù)勾股定理列方程求得未知的線段．

5、如圖，矩形紙片ABCD的長AD=9㎝，寬AB=3㎝，將其折疊，使點D與點B重合，那么折疊后DE的長是多少？〔舉一反三：題干不變，求折痕EF的長？〕利用直角三角形ABE可求得BE，也就是DE長，構(gòu)造EF為斜邊的直角三角形，進而利用勾股定理求解．

解：連接BD交EF于點O，連接DF．

根據(jù)折疊，知BD垂直平分EF．

根據(jù)ASA可以證明△DOE≌△BOF，

得OD=OB．

那么四邊形BEDF是菱形．

設(shè)DE=x，那么CF=9-x．

在直角三角形DCF中，根據(jù)勾股定理，得：x2=〔9-x〕2+9．

解得：x=5．

在直角三角形BCD中，根據(jù)勾股定理，得BD=3，那么OB=．

在直角三角形BOF中，根據(jù)勾股定理，得OF==，那么EF=．6、如圖，在長方形ABCD中，將ABC沿AC對折至AEC位置，CE與AD交于點F。〔1〕試說明：AF=FC；〔2〕如果AB=3，BC=4，求AF的長〔舉一反三：試說明EF=DF．)試題分析：〔1〕觀察圖形，可得AE=DC，又∵∠FEA=∠DFC，∠AEF=∠CDF，由全等三角形判定方法證△AEF≌△CDF，即得EF=DF，從而得到AF＝FC.〔2〕在Rt△CDF中應(yīng)用勾股定理即可得.

試題解析：〔1〕證明：由矩形性質(zhì)可知，AE=AB=DC，

根據(jù)對頂角相等得，∠EFA=∠DFC，

而∠E=∠D=90°，

∴由AAS可得，△AEF≌△CDF?！郃F＝FC.

〔2〕設(shè)FA=x，那么FC=x，F(xiàn)D=

，

在Rt△CDF中，CF2=CD2+DF2，即，解得x=.

考點:1.翻折變換〔折疊問題〕;2.矩形的性質(zhì);3.全等三角形的判定與性質(zhì);4勾股定理.7、如圖2所示，將長方形ABCD沿直線AE折疊，頂點D正好落在BC邊上F點處，CE=3cm，AB=8cm，那么圖中陰影局部面積為_______．〔原題圖不標準重新畫一個圖〕解：設(shè)AD=x，那么AF=x

在Rt△ABF中，

解得8、如圖2-3，把矩形ABCD沿直線BD向上折疊，使點C落在C′的位置上，AB=3，BC=7，重合局部△EBD的面積為________．〔舉一反三：假設(shè)AD=8，AB=4，求重疊局部即△BED的面積？=10)S△BED=DE?AB，所以需求DE的長．根據(jù)∠C′BD=∠DBC=∠BDA得DE=BE，設(shè)DE=x，那么AE=7-x．根據(jù)勾股定理求BE即DE的長．

解：∵AD∥BC〔矩形的性質(zhì)〕，

∴∠DBC=∠BDA〔兩直線平行，內(nèi)錯角相等〕；

∵∠C′BD=∠DBC〔反折的性質(zhì)〕，

∴∠C′BD=∠BDA〔等量代換〕，

∴DE=BE〔等角對等邊〕；

設(shè)DE=x，那么AE=7-x．在△ABE中，

x2=32+〔7-x〕2．

解得x=．

∴S△DBE=××3=

故答案是：．如圖5，將正方形ABCD折疊，使頂點A與CD邊上的點M重合，折痕交AD于E，交BC于F，邊AB折疊后與BC邊交于點G。如果M為CD邊的中點，求證：DE：DM：EM=3：4：5〔舉一反三：如果DM：MC=3：2，那么DE：DM：EM=()=8：15：17．〕析：〔1〕正方形的證明題有時用計算方法證明比幾何方法簡單，此題設(shè)正方形邊長為a，DE為x，那么根據(jù)折疊知道DM=，EM=EA=a-x，然后在Rt△DEM中就可以求出x，這樣DE，DN，EM就都用a表示了，就可以求出它們的比值了；解：〔1〕證明：設(shè)正方形邊長為a，DE為x，那么DM=，EM=EA=a-x

在Rt△DEM中，∠D=90°，

∴DE2+DM2=EM2

x2+〔〕2=〔a-x〕2

x=

EM=

DE：DM：EM=3：4：5；知識點梳理四邊形、平行四邊形軸對稱圖形，它有4條對稱軸。

6.正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形，對角線與邊的夾角是45°。10、如圖2-5，長方形ABCD中，AB=3，BC=4，假設(shè)將該矩形折疊，使C點與A點重合，那么折疊后痕跡EF的長為〔B〕分析：先連接AF，由于矩形關(guān)于EF折疊，所以EF垂直平分AC，那么就有AF=CF，又ABCD是矩形，那么AB=CD，AD=BC，在Rt△ABF中，〔設(shè)CF=x〕，利用勾股定理可求出CF=，在Rt△ABC中，利用勾股定理可求AC=5，在Rt△COF中再利用勾股定理可求出OF=，同理可求OE=，所以EF=OE+OF=．

解答：解：連接AF．

∵點C與點A重合，折痕為EF，即EF垂直平分AC，

∴AF=CF，AO=CO，∠FOC=90°．

又∵四邊形ABCD為矩形，∴∠B=90°，AB=CD=3，AD=BC=4．

設(shè)CF=x，那么AF=x，BF=4-x，

在Rt△ABC中，由勾股定理得

AC2=BC2+AB2=52，且O為AC中點，

∴AC=5，OC=AC=．

∵AB2+BF2=AF2∴32+〔4-x〕2=x2∴x=．

∵∠FOC=90°，

∴OF2=FC2-OC2=〔〕2-〔〕2=〔〕2∴OF=．

同理OE=．

即EF=OE+OF=．點評：此題利用了折疊的對應(yīng)點關(guān)于折痕垂直平分，以及矩形性質(zhì)，勾股定理等知識．11、如圖1-3-11，有一塊塑料矩形模板ABCD，長為10cm，寬為4cm，將你手中足夠大的直角三角板PHF的直角頂點P落在AD邊上〔不與A、D重合〕，在AD上適當移動三角板頂點P：①能否使你的三角板兩直角邊分別通過點B與點C？假設(shè)能，請你求出這時AP的長；假設(shè)不能，請說明理由.②再次移動三角板位置，使三角板頂點P在AD上移動，直角邊PH始終通過點B，另一直角邊PF與DC的延長線交于點Q，與BC交于點E，能否使CE=2cm？假設(shè)能，請你求出這時AP的長；假設(shè)不能，請你說明理由.〔1〕設(shè)兩直角邊PH，PF能分別通過點B與點C，

∵∠HPF=90°，∴PB2+PC2=BC2=100

又設(shè)PA=x，∵∠A=∠D=90°，在△ABP，△PDC中

∴PA2+AB2=PB2，PD2+CD2=PC2∵PA+PD=AD=10，AB=CD=4

∴x2+16+(10-x)2+16=PB2+PC2=100

化簡得:x2-10x+16=0即(x-5)2＝9，所以x-5＝±3，

解之得:x1=2，x2=8

∵2<10，8<10

∴當PA=2cm或8cm時，三角板兩直角邊PH，PF分別通過點B，C.

〔2〕如圖〔2〕，過點E作EG⊥AD于點G，∴∠PGE=90°

根據(jù)題意得：DG=CE=2，EG=CD=4

∵BE+CE=BC=10

∴BC=8

在△PBE中，∵∠BPE=90°∴PB2+PE2=BE2=64

又∵∠A=∠D=90°∴AP2+AB2=PB2，PG2+PG2+EG2=PE2

而AB=EG=4，設(shè)AP=X，那么PG=8-x

∴x2+16+(8-x)2+16=64化簡得:x2-8x+16=0

解之得:x1=x2=4

答：當AP=4時，PH經(jīng)過點B，PF與BC交于點E，且CE=2cm.

12、如下圖，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜邊BC的中點，E、F分別是AB、AC邊上的點，且DE⊥DF，假設(shè)BE=12，CF=5．求線段EF的長。

舉一反三：如圖，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜邊BC的中點，E、F分別是AB、AC邊上的點，且DE⊥DF。

(1)請說明：DE=DF；

(2)請說明：BE2+CF2=EF2；

(3)假設(shè)BE=6，CF=8，求△DEF的面積。(直接寫結(jié)果)答案：解：〔1〕連接AD

因為△ABC是等腰直角三角形，且D為斜邊BC中點

所以，AD⊥BC

且AD平分∠BAC，AD=BD=CD

所以，∠DAE=∠C=45°

又DE⊥DF

所以，∠EDA+∠FDA=90°

而，∠CDF+∠FDA=90°

所以，∠EDA=∠CDF

那么，在△ADE和△CDF中：

∠DAE=∠DCF〔∠C〕=45°〔已證〕

DA=DC〔已證〕

∠EDA=∠CDF〔已證〕

所以，△ADE≌△CDF

所以，AE=CF，DE=DF。

〔2〕因為AE=CF，AB=AC

所以AB-AE=AC-CF

即BE=CF

Rt△AEF中，∠A=90度

所以

所以。

〔3〕△DEF的面積為25。

13、如圖，公路MN和公路PQ在點P處交匯，且∠QPN＝30°，點A處有一所中學，AP＝160m。假設(shè)拖拉機行駛時，周圍100m以內(nèi)會受到噪音的影響，那么拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時，學校是否會受到噪聲影響？請說明理由，如果受影響，拖拉機的速度為18km/h，那么學校受影響的時間為多少秒？

【答案】分析：作AH⊥MN于H，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到AH=PA=80m，由于這個距離小于100m，所以可判斷拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時，學校受到噪音影響；然后以點A為圓心，100m為半徑作⊙A交MN于B、C，根據(jù)垂徑定理得到BH=CH，再根據(jù)勾股定理計算出BH=60m，那么BC=2BH=120m，然后根據(jù)速度公式計算出拖拉機在線段BC上行駛所需要的時間．

解答：解：學校受到噪音影響．理由如下：

作AH⊥MN于H，如圖，

∵PA=160m，∠QPN=30°，

∴AH=PA=80m，

而80m＜100m，

∴拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時，學校受到噪音影響，

以點A為圓心，100m為半徑作⊙A交MN于B、C，如圖，

∵AH⊥BC，∴BH=CH，

在Rt△ABH中，AB=100m，AH=80m，

BH==60m，

∴BC=2BH=120m，

∵拖拉機的速度=18km/h=5m/s，

∴拖拉機在線段BC上行駛所需要的時間==24〔秒〕，

∴學校受影響的時間為24秒．

點評：此題考察了直線與圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，直線l和⊙O相交?d＜r；直線l和⊙O相切?d=r；當直線l和⊙O相離?d＞r．也考察了垂徑定理、勾股定理以及含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．考點八：應(yīng)用勾股定理解決勾股樹問題如下圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為5，那么正方形A，B，C，D的面積的和為25根據(jù)題意仔細觀察可得到正方形A，B，C，D的面積的和等于最大的正方形的面積，最大的正方形的邊長那么不難求得其面積．

解：由圖可看出，A，B的面積和等于其相鄰的直角三角形的斜邊的平方，

即等于最大正方形上方的三角形的一個直角邊的平方；

C，D的面積和等于與其相鄰的三角形的斜邊的平方，

即等于最大正方形的另一直角邊的平方，

那么A，B，C，D四個正方形的面積和等于最大的正方形上方的直角三角形的斜邊的平方即等于最大的正方形的面積，

因為最大的正方形的邊長為5，那么其面積是25，即正方形A，B，C，D的面積的和為25．

故答案為25．2、△ABC是邊長為1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜邊AC為直角邊，畫第二個等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜邊AD為直角邊，畫第三個等腰Rt△ADE，…，依此類推，第n個等腰直角三角形的斜邊長是．解：根據(jù)勾股定理，第1個等腰直角三角形的斜邊長是，第2個等腰直角三角形的斜邊長是2=〔〕2，第3個等腰直角三角形的斜邊長是2=〔〕3，第n個等腰直角三角形的斜邊長是〔〕n．

解析：依次、反復(fù)運用勾股定理計算，根據(jù)計算結(jié)果即可得到結(jié)論．考點九、圖形問題1、如圖1，求該四邊形的面積2、如圖2，，在△ABC中，∠A=45°，AC=eq\r(\s\do1(),2)，AB=eq\r(\s\do1(),3)+1，那么邊BC的長為2

．3、某公司的大門如下圖,其中四邊形ＡＢＣＤ是長方形,上部是以ＡＤ為直徑的半圓,其中ＡＢ=2.3ｍ，ＢＣ=2ｍ,現(xiàn)有一輛裝滿貨物的卡車,高為,寬為,問這輛卡車能否通過公司的大門?并說明你的理由.〔注意：答案所標字母順序與題干不一樣〕考點：勾股定理．分析：因為上部是以AB為直徑的半圓，O為AB中點，同時也為半圓的圓心，OG為半徑，OF的長度為貨車寬的一半，根據(jù)勾股定理可求出GF的長度．EF的長度等于BC的長度．如果EG的長度大于2.5貨車可以通過，否那么不能通過．解答：解：能通過，理由如下：設(shè)點O為半圓的圓心，那么O為AB的中點，OG為半圓的半徑，如圖，∵直徑AB=2〔〕，∴÷2=0.8，∴在Rt△OFG中，F(xiàn)G2=OG2-OF2=122=0.36；∴∴EG=0.6+2.3=2.9＞2.5．∴能通過．點評：此題考點：勾股定理的應(yīng)用．首先根據(jù)題意化出圖形．OG長度為半圓的半徑，OF為貨車寬的一半，根據(jù)勾股定理可求出FG的長度．從而可求出EG的長度．判斷EG長度與2.5的大小關(guān)系，如果EG大于2.5可以通過，否那么不能通過．4、將一根長24㎝的筷子置于地面直徑為5㎝，高為12㎝的圓柱形水杯中，設(shè)筷子露在杯子外面的長為h㎝，那么h的取值范圍。先根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)勾股定理解答即可．

解：當筷子與杯底垂直時h最大，h最大=24-12=12cm．

當筷子與杯底及杯高構(gòu)成直角三角形時h最小，

如下圖：此時，AB===13cm，

故h=24-13=11cm．

故h的取值范圍是11cm≤h≤12cm．

5、如圖，鐵路上A、B兩點相距25km，C、D為兩村莊，DA垂直AB于A，CB垂直AB于B，AD=15km，BC=10km，現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個土特產(chǎn)品收購站E，使得C、D兩村到E站的距離相等，那么E站建在距A站多少千米處？由勾股定理兩直角邊的平方和等于斜邊的平方即可求，即在直角三角形DAE和直角三角形CBE中，DE2=AD2+AE2，CE2=BE2+BC2，∴AD2+AE2=BE2+BC2，設(shè)AE為x，那么BE=25-x，將BC=10代入關(guān)系式即可求得．

解：∵C、D兩村到E站距離相等，∴CE=DE，

在Rt△DAE和Rt△CBE中，DE2=AD2+AE2，CE2=BE2+BC2，

∴AD2+AE2=BE2+BC2．

設(shè)AE為x，那么BE=25-x，

將BC=10，DA=15代入關(guān)系式為x2+152=〔25-x〕2+102，

整理得，50x=500，

解得x=10，

∴E站應(yīng)建在距A站10km處．考點十：其他圖形與直角三角形1、如圖是一塊地，AD=8m，CD=6m，∠D=90°，AB=26m，BC=24m，求這塊地的面積?？键c十一：與展開圖有關(guān)的計算1、如圖，在棱長為1的正方體ABCD—A’B’C’D’的外表上，求從頂點A到頂點C’的最短距離．解：如圖將正方體展開，

根據(jù)“兩點之間，線段最短〞知，

線段AC1即為最短路線．

∵正方體的邊長為1，

∴AC1==．舉一反三：、如圖，一個長方體盒子，一只螞蟻由A出發(fā)，在盒子的外表上爬到點C1，AB=5cm，BC=3cm，CC1=4cm，那么這只螞蟻爬行的最短路程是_____cm．

解析：題中由A出發(fā)，在盒子的外表上爬到點C1，有兩種爬法，即從前面到上面和從前面到右面，將兩種爬法所經(jīng)過的面分別展開，構(gòu)成兩個長方形，連接AC1，用勾股定理求出距離再比擬即可．

解：〔1〕如圖2，經(jīng)過上面，AC1==cm．

〔2〕如圖3，經(jīng)過右面，AC1==cm．

＜，所以此題答案為cm．如圖，長方體的長BE=17cm，寬AB=7cm，高BC=7cm，一只小螞蟻從長方體外表由A點爬到D點去吃食物，那么小螞蟻走的最短路程是_____cm．

解析：螞蟻有兩種爬法，就是把正視和俯視〔或正視和側(cè)視〕二個面展平成一個長方形，然后求其對角線，比擬大小即可求得最短路程．

解：第一種情況：把我們所看到的前面和上面組成一個平面，

那么這個長方形的長和寬分別是24和7，

那么所走的最短線段是

=25；

第二種情況：把我們看到的左面與上面組成一個長方形，

那么這個長方形的長和寬分別是17和14，

所以走的最短線段是=；

第三種情況：把我們所看到的前面和右面組成一個長方形，

那么這個長方形的長和寬分別是10和4，

所以走的最短線段是=25；

三種情況比擬而言，第二種情況最短．

故答案為：．知識點梳理：平面展開——最短路徑問題求解方法：解決此類問題時，要先確定好該路徑的起點終點，以及立方體的平面展開圖，借助勾股定理來求得路徑的長度。由于展開的方法可以多種，因此對于路徑的求解也是有多種方法，在這里必定有一個最小值，此值為最短路徑。2、如圖一個圓柱，底圓周長6cm，高4cm，一只螞蟻沿外壁爬行，要從A點爬到B點，那么最少要爬行cm3、國家電力總公司為了改善農(nóng)村用電電費過高的現(xiàn)狀，目前正在全國各地農(nóng)村進展電網(wǎng)改造，某地有四個村莊A、B、C、D，且正好位于一個正方形的四個頂點，現(xiàn)方案在四個村莊聯(lián)合架設(shè)一條線路，他們設(shè)計了四種架設(shè)方案，如圖實線局部．請你幫助計算一下，哪種架設(shè)方案最省電線．

分析：設(shè)正方形的邊長為a，計算出各種情況時正方形的面積，然后進展比擬從而解得．

解答：解：方案〔4〕最省電線，

提示：設(shè)正方形邊長為a，那么方案①需用線3a，方案②需用線3a，方案③需用線a，

如下圖：

∵AD=