信號分析復習題

一、填空題描述周期信號的數(shù)學工具是（傅氏級數(shù)，描述非周期信號的數(shù)學工具是（傅氏變換。復雜的信號的周期頻譜是（離散的。如果一個信號的頻譜是離散的。則該信號的頻率成分是（可能是有限的，也可能是無限的。多種信號之和的頻譜是（隨機性的。連續(xù)非周期信號的頻譜是（連續(xù)非周期的。時域信號，當持續(xù)時間延長時，則頻域中的高頻成分（減少。將時域信號進行時移，則頻域信號將會（僅有移項。x(t)12sin tt)為單位脈沖函數(shù)，則積分

x(t)(t 2

)dt 的函數(shù)值為12。如果信號分析設備的通頻帶比磁帶記錄下的信號頻帶窄，將磁帶記錄儀的重放速度（放慢以滿足分析要求。如果(t)1，根據(jù)傅氏變換的（時移）性質(zhì)，則有(tt ) ej0。0瞬變信號（t，其頻譜XfX（）∣2表示（信號沿頻率軸的能量分布密度。不能用確定函數(shù)關系描述的信號是（隨機信號。x1

(t)和x2

(t)

x(t)x1

t)d稱為這兩個函數(shù)的（卷積。時域信號的時間尺度壓縮時，其頻譜的變化為（頻帶變寬、幅值壓低。t信號x(t)1e

數(shù)字信號的特性是（時間、幅值上均離散。信號可分為（確定信號）（隨機信號）兩大類。確定性信號可分為（周期信號）和（非周期信號）兩類，前者的頻譜特點是（離散的特點是（連續(xù)的。信號的有效值又稱為（均方根值，有效值的平方稱為（均方值，它描述測試信號的強度（均功率。0繪制周期信號（t（（0

,a,b,An n n等），而雙邊頻譜圖的依據(jù)數(shù)學表達式是（傅氏復指數(shù)級數(shù)中的各項系數(shù)（cc ,c 。n, n n周期信號的傅氏三角級數(shù)中的n到展開的。傅氏復指數(shù)級數(shù)中的n到∞）展開的。an

（余弦分量的幅值bn

（正弦分量的幅值；a表示（直流分量；A0

表示n次諧波分量的幅值；

表示n次諧波分量的相位角；n

表示（n0次諧波分量的角頻率。工程中常見的周期信號，其諧波分量幅值總是隨諧波次數(shù)n的增加而（衰減）那些高次的諧波分量。信號的收斂速度上，方波信號比三角波信號（更慢信號對測試裝置的要求有更寬的（工作頻帶。信號當時間尺度在壓縮時，則其頻帶（展寬）其幅值（降低。例如將磁帶記錄儀（慢錄快放）即是例證。單位脈沖函數(shù)的頻譜為1，它在所有頻段上都是（等強度，這種信號又稱（白噪聲。余弦函數(shù)只有（實頻）譜圖，正弦函數(shù)只有（虛頻）譜圖。因為limTx2(t)dt 為有限值時，稱為（能量有限）信號。因此，瞬變信號屬于（能量有限，而T T周期信號則屬于（功率有限。計算積分值：

(t 5)

tdt （e5。x1

(t)和x2

的卷積定義式是（

x(t)x1

(t)d。連續(xù)信號t）與單位脈沖函數(shù)進行卷積其結果是（xtt)。其幾何意義是（把原函數(shù)圖象右0位置處。不失真測試條件中，要求幅頻特性為（常數(shù)，而相頻特性為（線性。輸出信號與輸入信號的相位差隨頻率變化的關系就是（相頻特性。測試裝置的脈沖響應函數(shù)與它的頻率響應函數(shù)間的關系是（傅氏變換對。兩個正弦信號間存在下列關系：同頻（一定）相關，不同頻（一定不）相關。自相關函數(shù)是一個（偶）函數(shù)。如果一信號的自相關函數(shù)R ()呈現(xiàn)一定周期的不衰減，則說明該信號（含有周期分量。x正弦信號的自相關函數(shù)是（同頻余弦信號，余弦函數(shù)的自相關函數(shù)是（同頻余弦信號。經(jīng)測得某信號的相關函數(shù)為一余弦曲線，則其必定是正弦信號的（自相關函數(shù)。對連續(xù)信號進行采樣時，采樣頻率越高，當保持信號的記錄的時間不變時，則（采樣點數(shù)就越多。把連續(xù)時間信號進行離散化時產(chǎn)生混疊的主要原因是（采樣間隔太寬。若有用信號的強度、信噪比越大，則噪聲的強度（越小。A/D（模擬信號）信號轉(zhuǎn)換成（數(shù)字信號）信號的裝置。兩個同頻方波的互相關函數(shù)曲線是（三角波。已知x（t）y（t）為兩個周期信號，T為共同的周期，其互相關函數(shù)的表達式為（1 T 0

x(t)y(tdt 。兩個不同頻率的簡諧信號（正，余，其互相關函數(shù)為（零。數(shù)字信號處理中，采樣頻率f 與限帶信號最高頻率f 間的關系應為（f 2 f 。xs h xx(t)x

sin(t的自相關函數(shù)為（0

cos 。f(t)

0eat 當t

2的自相關函數(shù)為

1 。 e0 當t 2已知信號的自相關函數(shù)為3cos ，則該信號的均方根值為6。兩個同頻正弦信號的互相關函數(shù)是（保留二信號的幅值、頻率、相位差信息。信號的自功率頻譜密度函數(shù)是S (f)的自相關函數(shù)R)的傅氏變換信號x xxy和y（t）的互譜S (f)是（互相關函數(shù)R ()的傅氏變換。xyxy在相關分析中，自相關函數(shù)，保留了原信號的（幅值與頻率）信息，丟失了（相位）（幅值、頻率、相位差）信息。自相關函數(shù)是一個周期函數(shù)，則原信號是一個（同頻率的周期信號；而自相關函數(shù)號時，則原信號將是（帶寬隨機噪聲或白噪聲。相關分析在工業(yè)中的主要應用有（同頻檢測（相關濾波）和（信號成分類別的識別）等應用。在同頻檢測技術中，兩信號的頻率的相關關系可用（同頻一定相關；相關一定同頻）來進行概括?？够鞛V波器是一種（低通）濾波器，是為了防止（混疊，其上截止頻率與采樣頻率之間的關系應滿足關系式為（fs

2 f 。c頻率混疊是由于（采樣頻率過低）引起的，泄漏則是由于（信號截斷）引起的。100，為了避免發(fā)生混疊，時域中采樣間隔應小于。x當=0時，信號的自相關函數(shù)值為（最大值，它也等于信號）的（均方值。x自相關函數(shù)能將淹沒在噪聲中的（周期）信號提取出來，其（頻率）保持不變，而丟失了（相位）息。采樣定理的目的是為了避免信號在頻域內(nèi)發(fā)生混疊現(xiàn)象，混疊發(fā)生在頻率處。巴塞伐爾說明了信號在時域中計算的總能量等于在頻域中計算的總能量，其數(shù)學表達式為（

x2(t)dt

Z(f

2df 。對周期信號進行（整周期）截斷，這是獲得準確頻譜的先決條件。信號經(jīng)截斷后，其帶寬將變?yōu)椋o限寬，因此無論采樣頻率多高，將不可避免地發(fā)生（混疊）致（誤差。二、計算題一時間函數(shù)t及其頻譜函數(shù)（ω如圖1-2所示已知函數(shù) ，示意畫出x（t）和X（ω）的函數(shù)圖形。當f（t）中的最高頻率分量的角頻率）

時，X（ω）的圖形會出現(xiàn)什么情況？（ 為解：圖（a）為調(diào)幅信號波形圖，圖（b）為調(diào)幅信號頻譜圖。當發(fā)生混疊，導致失真。

時，兩邊圖形將在中間位置處bb1-4bb解：所示調(diào)幅波是三角波與載波cos

t的乘積。兩個函數(shù)在時域中的乘積，對應其在頻域中的卷積。0 f由于三角波頻譜為： sin c2( )21ff2

2)(ff)]0卷積為

fsinc2(

)1(f

)(ff)]2 2 2 0 0 [sinc2

(ff0

) (ff)sinc2 0]4 2 2判斷下列每個信號是否是周期的，如果是周期的，確定其最小周期。（1）f(t)[cos(2t)]u(t) （2）f(t)sintsin t0 0（1）,)區(qū)間上的，而ft)[costut)是單邊余弦信號，即t>012（2）是非周期信號，因為兩分量的頻率比為2

，非有理數(shù)，兩分量找不到共同的重復周期。但是該類信號仍具有離散頻譜的特點（0

和 0

處分別有兩條仆線）故稱為準周期信號。從示波器光屏中測得正弦波圖形的“起點”坐標為0-1，振幅為，周期為π，達式。解：已知幅值X=2，頻率

0.5，而在t=0時，x=-1，則將上述參數(shù)代入一般表達式0 T x(t)Xsin(t)0得12sin(0.5t

0)，0

30ox(t2sin(0.5t30o)設有一組合復雜信號，由頻率分別為724Hz，44Hz號的周期。解：合成信號的頻率是各組成信號頻率的最大公約數(shù)則：44,724,500,44,724,500,600222 而 T1

10.25(s)，所以該信號的周期為0.25s。f 4求下圖所示鋸齒波信號的傅立葉級數(shù)展開式。f(t)f(t)t解：鋸齒波信號表達式為（一周期內(nèi)）2由公式得0 Ta1 T f(t)dt20 T T2 1Ttdt1T 0T 2 2n T

T t cosn0T

tdt 002Ttsinntdt 1n T 0T 0 n所以f(t1

1(sin

t1sin2

t1sin

tL

sint)式中0

2 2T

0 2 0 3 0 n 0周期性三角波信號如下圖所示，求信號的直流分量、基波有效值、信號有效值及信號的平均功率。解：先把信號展開為傅立葉級數(shù)三角形式為1 T2T T2

f2(t)dtE232[10

E2

t)2dt1 E2(12t)dt]2T12T2 2 2T T2

T T 0 T3E0.577E3f(t)E4E(cost1cos3t1cos5tL)2 2 1 32顯然，信號的直流分量為a E0 2

1 5 112基波分量有效值為2

4E

0.287E2信號的有效值為[1

T 12 f2(t)dt]2T T2[10

E2

t)2dt1 E2(12t)dt]2T12T2 2 2T T2

T T 0 T3E0.577E31 T E2信號的平均功率為2

f2(t)dtT T 32周期矩形脈沖信號的波形如下圖所示，并且已知中的譜線間隔（）

21061 T 1061或 ff1

1T1

1106

1000(kHz)信號帶寬

B()2

0.5106

4106或 B(f)

1 1 2000(kHz) 0.5106f(tcost解：因為

，試求其頻譜F（ω） 1 j 1

jcost

e3ej2

e 3ej4t2利用頻移性質(zhì)可得F(ej4t)2(4)F(ej4t)2( Fcost

ej34)ej34)求下圖所示三角脈沖信號的頻譜。三角脈沖的分段函數(shù)表示為2A (t )

t2 2A x(t (t ) t 2 2 當t 2 解：三角脈沖x（t）可以看成兩個等寬矩形脈沖x1

和x2

的卷積。如下圖所示。 因為Xf

fsinc( )1Xf2

2 2 2A f2 sinc( 2 )根據(jù)時域兩函數(shù)的卷積對應頻域函數(shù)的乘積：XfX1

fX2

fx(t)x(t)x1 2

(t)XfAsinc2(f

XfA

fsinc2( )2 2 2 2 x求余弦信號x(t)Xcost的絕對值 x和均方根值rms。解：絕對均值為x

1T x(t)T 0 1

Xcostdt2

4 XcostdtTT 0 T TTT4TT4T 2X

sint

2X0.636X均方根值為

xrms

T 42x2x

1TT 01T 0

x2(t)dt(Xcos t)2dt

X2T 0

cos

2tdt X2

T1

(1cos 2t)dt X2所以 x rms

T 0 2 2X2 0.707 X2已知某信號的自相關函數(shù)Rx功率譜S (f) 。x

)100cos1001該信號的均值

x（均方值2 ；xx（）由于R)100cos100為周期不衰減的函數(shù)，則原信號x(t)應為同頻率的正弦信號，即xx(t)Asin100t。根據(jù)信號均值的定義得 1x T 0

Asin100 tdt 0（2）根據(jù)自相關函數(shù)的性質(zhì)可知R (0) 2x x所以2Rx

(0) 100cos(100 t0)100（1）自相關函數(shù)與自譜是一對傅立葉變換對關系，并且F(cos2f

t)1[(ffo 2

)(ffo

)]式中：f 50oS(f)F[R)]x x F[100cos100]64 2 ff64 2已知某信號的自相關函數(shù)為

()x

sin(50 2，試求該信號的均方值

rms。x解：因為2xx

R (0)x并且2R)642x

sin(50 2) 6400

sin(50 2)50 250 2sin(50 2)50 250 2x

R(0)lim64006400x 06400

64002xx 2xrms

80已知某信號的自相關函數(shù)為Rx數(shù)。解：根據(jù)自譜定義：

()

1e2a cos24

a0)，求它的自功率譜密度函oS (f)x

R

()ej2fd 1e2a

ej2fd4 1

e(2aj2f)d

1e(2aj2f)d4 4 0 1( 1

1 ) a4 2aj2f 2aj2f 4a2(2f)2測得某信號的自相關函數(shù)圖形如下所示，試分析該圖形是R) 圖形還是R )圖形？為什么？x xy從中可獲得該信號的那些信息？解：由相關分析可知，自相關函R)是一個偶函數(shù)，它在R(0)有最大值；互相關函數(shù)R )是非x x xyxy偶函數(shù)它在R (0)也不一定為最大。因為圖中圖形為非偶函數(shù)圖形，且R(0)最大，所以，該圖形是xyxy互相關函數(shù)R )的圖形。由圖中還可獲知，信號x(t)與y(t)是兩個同頻的周期信號，圓頻率為ω；xyx均值為零。對應的信號幅值為o

,yo，兩信號相位差φ。用公式表示為ox yo

o A 2T1 21T下圖所示兩信號x和y，求當τ=0時，x和y的互相關函數(shù)值R (0)。并說明理由。xyy的傅立葉級數(shù)展開式為x(t)4(sint1sin

t1sin

tL) 0 3

0 5 0僅有基頻分量的頻率ox的頻率一致。根據(jù)同頻相關，不同頻不相關的原則，在互相關函數(shù)中將僅存基頻

4sin

tx(tcos

t間存在有90°的相位差。所以o 0 0互相關函數(shù)的表達式如下：xyR ) 0 0cos(900)xy 2當τ=0時，它們的互相關函數(shù)值為零，即R (0) 0xyxx(t)A

cos(t

)

cos(

t

)，求該信號的自相關函數(shù)R

()。1 1 1 2 2 2 x解：設x(t) y(t)z(t)y(t)A1

cos(

t)1 1z(t)A2

cos(

t )2 2x的自相關函數(shù)可表示為R)Rx

()Ryz

()Rzy

()Rz

()因為1

則2R )0;Rzy

()0所以R()Rx

)Rz

()1A2cos12 1

A cos22 22xy(t)x(tTx互相關函數(shù)R )之間的關系。xyy(tx(tT)x(ty(tT)根據(jù)定義：

R )與其xR)lim 1 T x(t)x(t)dtx T2T T

1

x(t)y(tT)dtT2T T R T)xy所以 R )R T)x xyx(ty(tx(t波形相同，并且輸入的自相關函數(shù)R)和輸-輸出的互相關函數(shù)的關系式為R)R T)如下圖所示，試說明該系統(tǒng)起什么作用？x x xyy(tx(t的波形形狀相同，可設y(t)Ax(tT)0式中，A,T0

為常數(shù)。則有R()lim

1

x(t)x(t)dtx T