離散傅里葉變換課件

第3章離散傅里葉變換3.1引言3.2傅里葉變換的幾種可能形式3.3周期序列的離散傅里葉級數(shù)（DFS）3.4離散傅里葉級數(shù)（DFS）的性質(zhì)3.5有限長序列離散傅里葉變換（DFT）3.6離散傅里葉變換的性質(zhì)3.7抽樣Z變換--頻域抽樣理論3.8利用DFT對連續(xù)時間信號的逼近第3章離散傅里葉變換3.1引言1通過上面的講述，看起來的有限長序列x(n)和周期序列之間的差別似乎很小，因為利用這兩個關(guān)系式可以直接從一個構(gòu)造出另一個。然而在研究DFT的性質(zhì)以及改變x(n)對X(k)的影響時，這種差別是很重要的。盡管DFT和DTFT非常相似，但它們是兩種完全不同的運算。DFT是一種數(shù)值運算，它根據(jù)有限長數(shù)據(jù)x(n)計算有限個系數(shù)X(n)；而DTFT不具備計算可行性，因為它是基于無限長的序列x(n)

來求解連續(xù)函數(shù)X(ω)的。

通過上面的講述，看起來的有限長序列x(n)和2

信號時域抽樣理論實現(xiàn)了信號時域的離散化，使我們能用數(shù)字技術(shù)在時域?qū)π盘栠M行處理。而離散傅里葉變換理論實現(xiàn)了頻域離散化，因而開辟了用數(shù)字技術(shù)在頻域處理信號的新途徑，從而推進了信號的頻譜分析技術(shù)向更深更廣的領(lǐng)域發(fā)展。

33.6離散傅里葉變換的性質(zhì)DFT的一些性質(zhì)，本質(zhì)上和周期序列的DFS概念有關(guān)，而且是由有限長序列及其DFT表示式隱含的周期性得出的。以下討論的序列都是N點有限長序列，用DFT［·］表示N點DFT，且設(shè):DFT［x1(n)］=X1(k)DFT［x2(n)］=X2(k)3.6離散傅里葉變換的性質(zhì)DFT的一些性質(zhì)4一、線性式中，a,b為任意常數(shù)。該式可根據(jù)DFT定義證明。

和的長度N1和N2不等時，選擇為變換長度,短者進行補零達到N點。一、線性式中，a,b為任意常數(shù)。該式可根據(jù)DFT定義證5二.序列的圓周移位1.定義一個有限長序列的圓周移位定義為這里包括三層意思：先將進行周期延拓再進行移位最后取主值序列：

二.序列的圓周移位6離散傅里葉變換課件72.圓周移位的含義

由于我們?nèi)≈髦敌蛄衳(n)，即只觀察n=0到N-1這一主值區(qū)間，當某一抽樣從此區(qū)間一端移出時，與它相同值的抽樣又從此區(qū)間的另一端進來。如果把排列在一個N等分的圓周上，序列的移位就相當于在圓上旋轉(zhuǎn)，故稱作圓周移位。當圍著圓周觀察幾圈時，看到就是周期序列:。2.圓周移位的含義8圓周移位過程示意圖圓周移位過程示意圖93.時域圓周移位定理設(shè)x(n)是長度為N的有限長序列，y(n)為x(n)圓周移位，即則圓周移位后的DFT為證利用周期序列的移位性質(zhì)加以證明。3.時域圓周移位定理則圓周移位后的DFT為證利用周期10再利用DFS和DFT關(guān)系這表明，有限長序列的圓周移位在離散頻域中引入一個和頻率成正比的線性相移，而對頻譜的幅度沒有影響。再利用DFS和DFT關(guān)系這表明，有限長序列的圓周移位在離散11

4.頻域圓周移位定理對于頻域有限長序列X(k)，也可看成是分布在一個N等分的圓周上，所以對于X(k)的圓周移位，利用頻域與時域的對偶關(guān)系，可以證明以下性質(zhì)：若則這就是調(diào)制特性。它說明，時域序列的調(diào)制等效于頻域的圓周移位。4.頻域圓周移位定理則這就是調(diào)制特性。12三、對偶性若則三、對偶性若13四、圓周共軛對稱性1.周期序列共軛對稱分量與共軛反對稱分量周期為N的周期序列的共軛對稱分量與共軛反對稱分量分別定義為

同樣，有四、圓周共軛對稱性142.有限長序列的圓周共軛對稱分量與圓周共軛反對稱分量有限長序列的圓周共軛對稱分量與圓周共軛反對稱分量分別定義為由于所以這表明長為N的有限長序列可分解為兩個長度相同的兩個分量。2.有限長序列的圓周共軛對稱分量與圓周共軛反對稱分量由于所以153.共軛對稱特性之一證明：3.共軛對稱特性之一證明：164.共軛對稱特性之二證明：可知：4.共軛對稱特性之二證明：可知：175.共軛對稱特性之三證明：5.共軛對稱特性之三證明：186.共軛對稱特性之四證明：6.共軛對稱特性之四證明：197.共軛對稱特性之五、六8.X(k)圓周共軛對稱分量與圓周共軛反對稱分量的對稱性7.共軛對稱特性之五、六8.X(k)圓周共軛對稱分量與圓周共20五、DFT形式下的帕斯瓦爾定理證如果令y(n)=x(n)，則式（2-62）變成五、DFT形式下的帕斯瓦爾定理證如果令y(n)=x(21即這表明一個序列在時域計算的能量與在頻域計算的能量是相等的。即這表明一個序列在時域計算的能量與在頻域計22六、圓周卷積（循環(huán)卷積）設(shè)x1(n)和x2(n)都是點數(shù)為N的有限長序列（0≤n≤N-1），且有：若則表示x1(n)和x2(n)的N點圓周卷積。六、圓周卷積（循環(huán)卷積）若則表示x1(n)和x2(n)23

證這個卷積相當于周期序列和作周期卷積后再取其主值序列。先將Y(k)周期延拓，即根據(jù)DFS的周期卷積公式證這個卷積相當于周期序列24由于0≤m≤N-1為主值區(qū)間， ，因此將 式經(jīng)過簡單換元，也可證明由于0≤m≤N-1為主值區(qū)間， ，因此將 25卷積過程可以用圖來表示。圓周卷積過程中，求和變量為m,n為參變量。先將x2(m)周期化，形成x2((m))N;再反轉(zhuǎn)形成x2((-m))N，取主值序列則得到x2((-m))NRN(m)，通常稱之為x2(m)的圓周反轉(zhuǎn)。對x2(m)的圓周反轉(zhuǎn)序列圓周右移n，形成x2((n-m))NRN(m);當n=0,1,2,…,N-1時，分別將x1(m)與x2((n-m))NRN(m)相乘，并在m=0到N-1區(qū)間內(nèi)求和，便得到圓周卷積y(n)。

N卷積過程可以用圖來表示。圓周卷積過程中，求和26圓周卷積過程示意圖圓周卷積過程示意圖27離散傅里葉變換課件28圓周卷積過程示意圖圓周卷積過程示意圖29N或N特別要注意，兩個長度小于等于N的序列的N點圓周卷積長度仍為N，這與一般的線性卷積不同。圓周卷積用符號○來表示。圓周內(nèi)的N表示所作的是N點圓周卷積。NN或N特別要注意，兩個長度小于等于N的序列的N點圓周卷積長30根據(jù)時域與頻域的對稱性，可得頻域圓周卷積定理：若x1(n)，x2(n)皆為N點有限長序列，則N即時域序列相乘，乘積的DFT等于各個DFT的圓周卷積再乘以1/N。根據(jù)時域與頻域的對稱性，可得頻域圓周卷積定31七、有限長序列的線性卷積與圓周卷積

時域圓周卷積在頻域上相當于兩序列的DFT的乘積，而計算DFT可以采用它的快速算法——快速傅里葉變換（FFT）（見第5章），因此圓周卷積與線性卷積相比，計算速度可以大大加快。但是實際問題大多總是要求解線性卷積。例如，信號通過線性時不變系統(tǒng)，其輸出就是輸入信號與系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)的線性卷積，如果信號以及系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)都是有限長序列，那么是否能用圓周卷積運算來代替線性卷積運算而不失真呢？下面就來討論這個問題。

七、有限長序列的線性卷積與圓周卷積時域圓周321.線性卷積的長度為的長度為它們線性卷積為設(shè)x1(n)是N1點的有限長序列（0≤n≤N1-1），x2(n)是N2點的有限長序列（0≤n≤N2-1）。設(shè)x1(n)是N1點的有限長序列（0≤n≤N1-1），x2(33的非零區(qū)間為的非零區(qū)間為兩不等式相加得也就是不為零的區(qū)間.例如:1012n1012n3的非零區(qū)間為1012n1012n334m-1-2-3mm1012mm-1-2-3mm1012m35mn2103145233211012mmn2103145233211012m362.用圓周卷積計算線性卷積LL先假設(shè)進行L點的圓周卷積，再討論L取何值時，圓周卷積才能代表線性卷積。

設(shè)y(n)=x1(n)○x2(n)是兩序列的L點圓周卷積，L≥max［N1,N2］，這就要將x1(n)與x2(n)都看成是L點的序列。在這L個序列值中，x1(n)只有前N1個是非零值，后L-N1個均為補充的零值。同樣，x2(n)只有前N2個是非零值，后L-N2個均為補充的零值。則2.用圓周卷積計算線性卷積LL先假設(shè)進行L點的圓37先將序列x1(n)與x2(n)以L為周期進行周期延拓它們的周期卷積序列為先將序列x1(n)與x2(n)以L為周期進行周期延拓它們的38前面已經(jīng)分析了y1(n)具有N1+N2-1個非零值。如果周期卷積的周期L<N1+N2-1，那么y1(n)的周期延拓就必然有一部分非零序列值要交疊，從而出現(xiàn)混疊現(xiàn)象。只有在L≥N1+N2-1時，才沒有交疊現(xiàn)象。這時,在y1(n)的周期延拓中，每一個周期L內(nèi)，前N1+N2-1個序列值正好是y1(n)的全部非零序列值，而剩下的L-(N1+N2-1)個點上的序列值則是補充的零值。圓周卷積正是周期卷積取主值序列L因此前面已經(jīng)分析了y1(n)具有N1+N2-1個非39所以要使圓周卷積等于線性卷積而不產(chǎn)生混疊的必要條件為滿足此條件后就有即 x1(n)○x2(n)=x1(n)*x2(n)L所以要使圓周卷積等于線性卷積而不產(chǎn)生混疊的必要條件為滿足此40線性卷積與圓周卷積線性卷積與圓周卷積41線性卷積與圓周卷積線性卷積與圓周卷積42例一個有限長序列為

（1）計算序列x(n)的10點離散傅里葉變換。（2）若序列y(n)的DFT為式中，X(k)是x(n)的10點離散傅里葉變換，求序列y(n)。例一個有限長序列為（1）計算序列x(n)的143（3）若10點序列y(n)的10點離散傅里葉變換是式中,X(k)是序列x(n)的10點DFT，W(k)是序列w(n)的10點DFT0≤n≤4其他求序列y(n)。（4）將w(n)的n值范圍改為0≤n≤6，求y(n)。（3）若10點序列y(n)的10點離散傅里葉變換是式中,44

解：（1）x(n)的10點DFT（2）X(k)乘以一個WNkm形式的復(fù)指數(shù)相當于是x(n)圓周移位m點。本題中m=-2,x(n)向左圓周移位了2點，就有y(n)=x((n+2))10R10(n)=2δ(n-3)+δ(n-8)解：（1）x(n)的10點DFT（2）X45（3）X(k)乘以W(k)相當于x(n)與w(n)的圓周卷積。為了進行圓周卷積，可以先計算線性卷積再將結(jié)果周期延拓并取主值序列。x(n)與w(n)的線性卷積為z(n)=x(n)*w(n)=｛1,1,1,1,1,2,2,2,2,2｝因為圓周卷積為y(n)=z(n)y(n)=｛1,1,1,1,1,2,2,2,2,2｝（3）X(k)乘以W(k)相當于x(n)與w(n46（4）X(k)乘以W(k)相當于x(n)與w(n)的圓周卷積。為了進行圓周卷積，可以先計算線性卷積再將結(jié)果周期延拓并取主值序列。x(n)與w(n)的線性卷積為z(n)=x(n)*w(n)=｛1,1,1,1,1,3,3,2,2,2,2,2｝圓周卷積為在0≤n≤9求和中，僅有序列z(n)和z(n+10)有非零值，用表列出z(n)和z(n+10)的值，對n=0,1,2,…,9求和，得到：（4）X(k)乘以W(k)相當于x(n)與w(n47n01234567891011Z(n)z(n+10)11111332222200000000200y(n)3311133222____所以10點圓周卷積為y(n)=｛3,3,1,1，1,3,3,2,2,2｝n0123448離散傅里葉變換課件493.7抽樣Z變換--頻域抽樣理論一.如何從頻域抽樣恢復(fù)原序列1.兩種抽樣

時域抽樣:對一個頻帶有限的信號,根據(jù)抽樣定理對其進行抽樣,所得抽樣信號的頻譜是原帶限信號頻譜的周期延拓,因此,完全可以由抽樣信號恢復(fù)原信號。

頻域抽樣:對一有限序列(時間有限序列)進行DFT所得X(k)就是序列傅氏變換的抽樣.所以DFT就是頻域抽樣。3.7抽樣Z變換--頻域抽樣理論502.由頻域抽樣恢復(fù)序列一個絕對可和的非周期序列x(n)的Z變換為

由于x(n)絕對可和,故其傅氏變換存在且連續(xù),也即其Z變換收斂域包括單位圓。這樣,對X(Z)在單位圓上N等份抽樣,就得到2.由頻域抽樣恢復(fù)序列51對進行反變換,并令其為,則對進行反變換,并令其為52

可見,由得到的周期序列是非周期序列x(n)的周期延拓。也就是說,頻域抽樣造成時域周期延拓。1,m=n+rN,0,其他m1,m=n+rN,533.頻域抽樣不失真的條件

當x(n)不是有限長時，無法周期延拓；

當x(n)為長度M,只有NM時,才能不失真的恢復(fù)信號,即3.頻域抽樣不失真的條件541.由X(k)恢復(fù)X(Z)

序列x(n)（0nN-1）的Z變換為由于，所以二.由X(k)表達X(Z)與的問題——內(nèi)插公式1.由X(k)恢復(fù)X(Z)二.由X(k)表達X(Z)與55離散傅里葉變換課件56上式就是由X(k)恢復(fù)X(Z)的內(nèi)插公式,其中稱作內(nèi)插函數(shù)。上式就是由X(k)恢復(fù)X(Z)的內(nèi)插公式,其中稱作內(nèi)插函數(shù)。575. 與X(k)的關(guān)系

由于的特性可知,在每個抽樣點上其值為1,故就精確等于X(k)。即5. 與X(k)的關(guān)系58而在抽樣點之間,等于加權(quán)的內(nèi)插函數(shù)值

疊加而得。在以后章節(jié)中，我們將會看到，頻率抽樣理論為FIR濾波器的結(jié)構(gòu)設(shè)計，以及FIR濾波器傳遞函數(shù)的逼近提供了又一個有力的工具。而在抽樣點之間,593.8利用DFT對連續(xù)時間信號的逼近一.用DFT計算連續(xù)時間信號的傅氏變換可能造成的誤差1.混疊現(xiàn)象為避免混疊,由抽樣定理可知，須滿足其中,為抽樣頻率;為信號的最高頻率分量；或者

其中,T為抽樣間隔。

3.8利用DFT對連續(xù)時間信號的逼近60[例]有一頻譜分析用的FFT處理器，其抽樣點數(shù)必須是2的整數(shù)冪。假定沒有采用任何特殊的數(shù)據(jù)處理措施，已知條件為（1）頻率分辨率為，（2）信號的最高頻率，試確定以下參量：（1）最小記錄長度;(2)抽樣點間的最大時間間隔T;(3)在一個記錄中的最小點數(shù)N。解：（a）最小記錄長度（b）最大的抽樣時間間隔T(c)最小記錄點數(shù)N[例]有一頻譜分析用的FFT處理器，其抽樣點數(shù)必須是2的612.頻譜泄漏在實際應(yīng)用中，通常將所觀測的信號限制在一定的時間間隔內(nèi),也就是說，在時域?qū)π盘栠M行截斷操作,或稱作加時間窗,亦即用時間窗函數(shù)乘以信號,由卷積定理可知，時域相乘,頻域為卷積,這就造成拖尾現(xiàn)象,稱之為頻譜泄漏.2.頻譜泄漏620n0nn0n0nn633.柵欄效應(yīng)

用DFT計算頻譜時，只是知道為頻率的整數(shù)倍處的頻譜。在兩個譜線之間的情況就不知道,這相當通過一個柵欄觀察景象一樣，故稱作柵欄效應(yīng)。

補零點加大周期，可使F變小來提高分辨力，以減少柵欄效應(yīng)。3.柵欄效應(yīng)64第3章離散傅里葉變換3.1引言3.2傅里葉變換的幾種可能形式3.3周期序列的離散傅里葉級數(shù)（DFS）3.4離散傅里葉級數(shù)（DFS）的性質(zhì)3.5有限長序列離散傅里葉變換（DFT）3.6離散傅里葉變換的性質(zhì)3.7抽樣Z變換--頻域抽樣理論3.8利用DFT對連續(xù)時間信號的逼近第3章離散傅里葉變換3.1引言65通過上面的講述，看起來的有限長序列x(n)和周期序列之間的差別似乎很小，因為利用這兩個關(guān)系式可以直接從一個構(gòu)造出另一個。然而在研究DFT的性質(zhì)以及改變x(n)對X(k)的影響時，這種差別是很重要的。盡管DFT和DTFT非常相似，但它們是兩種完全不同的運算。DFT是一種數(shù)值運算，它根據(jù)有限長數(shù)據(jù)x(n)計算有限個系數(shù)X(n)；而DTFT不具備計算可行性，因為它是基于無限長的序列x(n)

來求解連續(xù)函數(shù)X(ω)的。

通過上面的講述，看起來的有限長序列x(n)和66

信號時域抽樣理論實現(xiàn)了信號時域的離散化，使我們能用數(shù)字技術(shù)在時域?qū)π盘栠M行處理。而離散傅里葉變換理論實現(xiàn)了頻域離散化，因而開辟了用數(shù)字技術(shù)在頻域處理信號的新途徑，從而推進了信號的頻譜分析技術(shù)向更深更廣的領(lǐng)域發(fā)展。

673.6離散傅里葉變換的性質(zhì)DFT的一些性質(zhì)，本質(zhì)上和周期序列的DFS概念有關(guān)，而且是由有限長序列及其DFT表示式隱含的周期性得出的。以下討論的序列都是N點有限長序列，用DFT［·］表示N點DFT，且設(shè):DFT［x1(n)］=X1(k)DFT［x2(n)］=X2(k)3.6離散傅里葉變換的性質(zhì)DFT的一些性質(zhì)68一、線性式中，a,b為任意常數(shù)。該式可根據(jù)DFT定義證明。

和的長度N1和N2不等時，選擇為變換長度,短者進行補零達到N點。一、線性式中，a,b為任意常數(shù)。該式可根據(jù)DFT定義證69二.序列的圓周移位1.定義一個有限長序列的圓周移位定義為這里包括三層意思：先將進行周期延拓再進行移位最后取主值序列：

二.序列的圓周移位70離散傅里葉變換課件712.圓周移位的含義

由于我們?nèi)≈髦敌蛄衳(n)，即只觀察n=0到N-1這一主值區(qū)間，當某一抽樣從此區(qū)間一端移出時，與它相同值的抽樣又從此區(qū)間的另一端進來。如果把排列在一個N等分的圓周上，序列的移位就相當于在圓上旋轉(zhuǎn)，故稱作圓周移位。當圍著圓周觀察幾圈時，看到就是周期序列:。2.圓周移位的含義72圓周移位過程示意圖圓周移位過程示意圖733.時域圓周移位定理設(shè)x(n)是長度為N的有限長序列，y(n)為x(n)圓周移位，即則圓周移位后的DFT為證利用周期序列的移位性質(zhì)加以證明。3.時域圓周移位定理則圓周移位后的DFT為證利用周期74再利用DFS和DFT關(guān)系這表明，有限長序列的圓周移位在離散頻域中引入一個和頻率成正比的線性相移，而對頻譜的幅度沒有影響。再利用DFS和DFT關(guān)系這表明，有限長序列的圓周移位在離散75

4.頻域圓周移位定理對于頻域有限長序列X(k)，也可看成是分布在一個N等分的圓周上，所以對于X(k)的圓周移位，利用頻域與時域的對偶關(guān)系，可以證明以下性質(zhì)：若則這就是調(diào)制特性。它說明，時域序列的調(diào)制等效于頻域的圓周移位。4.頻域圓周移位定理則這就是調(diào)制特性。76三、對偶性若則三、對偶性若77四、圓周共軛對稱性1.周期序列共軛對稱分量與共軛反對稱分量周期為N的周期序列的共軛對稱分量與共軛反對稱分量分別定義為

同樣，有四、圓周共軛對稱性782.有限長序列的圓周共軛對稱分量與圓周共軛反對稱分量有限長序列的圓周共軛對稱分量與圓周共軛反對稱分量分別定義為由于所以這表明長為N的有限長序列可分解為兩個長度相同的兩個分量。2.有限長序列的圓周共軛對稱分量與圓周共軛反對稱分量由于所以793.共軛對稱特性之一證明：3.共軛對稱特性之一證明：804.共軛對稱特性之二證明：可知：4.共軛對稱特性之二證明：可知：815.共軛對稱特性之三證明：5.共軛對稱特性之三證明：826.共軛對稱特性之四證明：6.共軛對稱特性之四證明：837.共軛對稱特性之五、六8.X(k)圓周共軛對稱分量與圓周共軛反對稱分量的對稱性7.共軛對稱特性之五、六8.X(k)圓周共軛對稱分量與圓周共84五、DFT形式下的帕斯瓦爾定理證如果令y(n)=x(n)，則式（2-62）變成五、DFT形式下的帕斯瓦爾定理證如果令y(n)=x(85即這表明一個序列在時域計算的能量與在頻域計算的能量是相等的。即這表明一個序列在時域計算的能量與在頻域計86六、圓周卷積（循環(huán)卷積）設(shè)x1(n)和x2(n)都是點數(shù)為N的有限長序列（0≤n≤N-1），且有：若則表示x1(n)和x2(n)的N點圓周卷積。六、圓周卷積（循環(huán)卷積）若則表示x1(n)和x2(n)87

證這個卷積相當于周期序列和作周期卷積后再取其主值序列。先將Y(k)周期延拓，即根據(jù)DFS的周期卷積公式證這個卷積相當于周期序列88由于0≤m≤N-1為主值區(qū)間， ，因此將 式經(jīng)過簡單換元，也可證明由于0≤m≤N-1為主值區(qū)間， ，因此將 89卷積過程可以用圖來表示。圓周卷積過程中，求和變量為m,n為參變量。先將x2(m)周期化，形成x2((m))N;再反轉(zhuǎn)形成x2((-m))N，取主值序列則得到x2((-m))NRN(m)，通常稱之為x2(m)的圓周反轉(zhuǎn)。對x2(m)的圓周反轉(zhuǎn)序列圓周右移n，形成x2((n-m))NRN(m);當n=0,1,2,…,N-1時，分別將x1(m)與x2((n-m))NRN(m)相乘，并在m=0到N-1區(qū)間內(nèi)求和，便得到圓周卷積y(n)。

N卷積過程可以用圖來表示。圓周卷積過程中，求和90圓周卷積過程示意圖圓周卷積過程示意圖91離散傅里葉變換課件92圓周卷積過程示意圖圓周卷積過程示意圖93N或N特別要注意，兩個長度小于等于N的序列的N點圓周卷積長度仍為N，這與一般的線性卷積不同。圓周卷積用符號○來表示。圓周內(nèi)的N表示所作的是N點圓周卷積。NN或N特別要注意，兩個長度小于等于N的序列的N點圓周卷積長94根據(jù)時域與頻域的對稱性，可得頻域圓周卷積定理：若x1(n)，x2(n)皆為N點有限長序列，則N即時域序列相乘，乘積的DFT等于各個DFT的圓周卷積再乘以1/N。根據(jù)時域與頻域的對稱性，可得頻域圓周卷積定95七、有限長序列的線性卷積與圓周卷積

時域圓周卷積在頻域上相當于兩序列的DFT的乘積，而計算DFT可以采用它的快速算法——快速傅里葉變換（FFT）（見第5章），因此圓周卷積與線性卷積相比，計算速度可以大大加快。但是實際問題大多總是要求解線性卷積。例如，信號通過線性時不變系統(tǒng)，其輸出就是輸入信號與系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)的線性卷積，如果信號以及系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)都是有限長序列，那么是否能用圓周卷積運算來代替線性卷積運算而不失真呢？下面就來討論這個問題。

七、有限長序列的線性卷積與圓周卷積時域圓周961.線性卷積的長度為的長度為它們線性卷積為設(shè)x1(n)是N1點的有限長序列（0≤n≤N1-1），x2(n)是N2點的有限長序列（0≤n≤N2-1）。設(shè)x1(n)是N1點的有限長序列（0≤n≤N1-1），x2(97的非零區(qū)間為的非零區(qū)間為兩不等式相加得也就是不為零的區(qū)間.例如:1012n1012n3的非零區(qū)間為1012n1012n398m-1-2-3mm1012mm-1-2-3mm1012m99mn2103145233211012mmn2103145233211012m1002.用圓周卷積計算線性卷積LL先假設(shè)進行L點的圓周卷積，再討論L取何值時，圓周卷積才能代表線性卷積。

設(shè)y(n)=x1(n)○x2(n)是兩序列的L點圓周卷積，L≥max［N1,N2］，這就要將x1(n)與x2(n)都看成是L點的序列。在這L個序列值中，x1(n)只有前N1個是非零值，后L-N1個均為補充的零值。同樣，x2(n)只有前N2個是非零值，后L-N2個均為補充的零值。則2.用圓周卷積計算線性卷積LL先假設(shè)進行L點的圓101先將序列x1(n)與x2(n)以L為周期進行周期延拓它們的周期卷積序列為先將序列x1(n)與x2(n)以L為周期進行周期延拓它們的102前面已經(jīng)分析了y1(n)具有N1+N2-1個非零值。如果周期卷積的周期L<N1+N2-1，那么y1(n)的周期延拓就必然有一部分非零序列值要交疊，從而出現(xiàn)混疊現(xiàn)象。只有在L≥N1+N2-1時，才沒有交疊現(xiàn)象。這時,在y1(n)的周期延拓中，每一個周期L內(nèi)，前N1+N2-1個序列值正好是y1(n)的全部非零序列值，而剩下的L-(N1+N2-1)個點上的序列值則是補充的零值。圓周卷積正是周期卷積取主值序列L因此前面已經(jīng)分析了y1(n)具有N1+N2-1個非103所以要使圓周卷積等于線性卷積而不產(chǎn)生混疊的必要條件為滿足此條件后就有即 x1(n)○x2(n)=x1(n)*x2(n)L所以要使圓周卷積等于線性卷積而不產(chǎn)生混疊的必要條件為滿足此104線性卷積與圓周卷積線性卷積與圓周卷積105線性卷積與圓周卷積線性卷積與圓周卷積106例一個有限長序列為

（1）計算序列x(n)的10點離散傅里葉變換。（2）若序列y(n)的DFT為式中，X(k)是x(n)的10點離散傅里葉變換，求序列y(n)。例一個有限長序列為（1）計算序列x(n)的1107（3）若10點序列y(n)的10點離散傅里葉變換是式中,X(k)是序列x(n)的10點DFT，W(k)是序列w(n)的10點DFT0≤n≤4其他求序列y(n)。（4）將w(n)的n值范圍改為0≤n≤6，求y(n)。（3）若10點序列y(n)的10點離散傅里葉變換是式中,108

解：（1）x(n)的10點DFT（2）X(k)乘以一個WNkm形式的復(fù)指數(shù)相當于是x(n)圓周移位m點。本題中m=-2,x(n)向左圓周移位了2點，就有y(n)=x((n+2))10R10(n)=2δ(n-3)+δ(n-8)解：（1）x(n)的10點DFT（2）X109（3）X(k)乘以W(k)相當于x(n)與w(n)的圓周卷積。為了進行圓周卷積，可以先計算線性卷積再將結(jié)果周期延拓并取主值序列。x(n)與w(n)的線性卷積為z(n)=x(n)*w(n)=｛1,1,1,1,1,2,2,2,2,2｝因為圓周卷積為y(n)=z(n)y(n)=｛1,1,1,1,1,2,2,2,2,2｝（3）X(k)乘以W(k)相當于x(n)與w(n110（4）X(k)乘以W(k)相當于x(n)與w(n)的圓周卷積。為了進行圓周卷積，可以先計算線性卷積再將結(jié)果周期延拓并取主值序列。x(n)與w(n)的線性卷積為z(n)=x(n)*w(n)=｛1,1,1,1,1,3,3,2,2,2,2,2｝圓周卷積為在0≤n≤9求和中，僅有序列z(n)和z(n+10)有非零值，用表列出z(n)和z(n+10)的值，對n=0,1,2,…,9求和，得到：（4）X(k)乘以W(k)相當于x(n)與w(n111n01234567891011Z(n)z(n+10)11111332222200000000200y(n)3311133222____所以10點圓周卷積為y(n)=｛3,3,1,1，1,3,3,2,2,2｝n01234112離散傅里葉變換課件1133.7抽樣Z變換--頻域抽樣理論一.如何從頻域抽樣恢復(fù)原序列1.兩種抽樣

時域抽樣:對一個頻帶有限的信號,根據(jù)抽樣定理對其進行抽樣,所得抽樣信號的頻譜是原帶限信號頻譜的周期延拓,因此,完全可以由抽樣信號恢復(fù)原信號。

頻域抽樣:對一有限序列(時間有限序列)進行DFT所得X(k)就是序列傅氏變換的抽樣.所以DFT就是頻域抽樣。3.7抽樣Z變換--頻域抽樣理論1142.由頻域抽樣恢復(fù)序列一個絕對可和的非周期序列x(n)的Z變換為

由于x(n)絕對可和,故其傅氏變換存在且連續(xù),也即其Z變換收斂域包括單位圓。這樣,對X(Z)在單位圓上N等份抽樣,就得到2.由頻域抽樣恢復(fù)序列115