數(shù)學史簡介課件

數(shù)學史簡介1數(shù)學史簡介1整體概述概述二點擊此處輸入相關文本內容概述一點擊此處輸入相關文本內容概述三點擊此處輸入相關文本內容2整體概述概述二概述一概述三2數(shù)學是什么？如果：你想當經(jīng)濟學家，藥學家，化學家，數(shù)學是統(tǒng)計分析工具你想當物理學家，數(shù)學是微積分你想當計算機專家，數(shù)學是算法語言你想當建筑學家，數(shù)學是幾何三視圖你想當數(shù)學家，數(shù)學就是你的世界若果你不幸什么都當不了，小心數(shù)學就是你的克星!3數(shù)學是什么？如果：你想當經(jīng)濟學家，藥學家，化學家，數(shù)學是統(tǒng)第一章：史前數(shù)學史自然現(xiàn)象：天文，地理生產(chǎn)力的發(fā)展私有思想，私有制人類智慧的發(fā)展神的旨意史前數(shù)學主要是對數(shù)的認識這種認識跨越幾萬年，直到18世紀4第一章：史前數(shù)學史自然現(xiàn)象：天文，地理4“匹配”導致自然數(shù)的產(chǎn)生族長或者酋長的工作古希臘荷馬史詩的傳說：波呂斐摩斯被刺瞎后的牧羊生活羅素（英國數(shù)學家，1872~1970)說“不知要經(jīng)過多少年，人類才發(fā)現(xiàn)一對錦雞和兩天同含一個數(shù)字二。”抽象對于古人實在是太難了5“匹配”導致自然數(shù)的產(chǎn)生族長或者酋長的工作5記數(shù)法艱難的過程限制中國數(shù)學深入的瓶頸印度阿拉伯數(shù)字6記數(shù)法艱難的過程6中國數(shù)學記數(shù)法：7中國數(shù)學記數(shù)法：7進位制：史上曾經(jīng)有過二進制，五進制，十進制，十二進制，十六進制，六十進制。漢字一二三四五六七八九十對十進制的貢獻長期運用后留下二進制十進制據(jù)推測五進制十進制與人的手指個數(shù)有關8進位制：史上曾經(jīng)有過二進制，五進制，十進制，十二進制，十六進現(xiàn)代澳大利亞托列斯峽群島上一些部落仍用二進制：

一=烏拉勃，二=阿柯扎

他們把三表為：阿柯扎烏拉勃

那么：阿柯扎阿柯扎＝？

阿柯扎阿柯扎烏拉勃＝?

阿柯扎阿柯扎阿柯扎=?9現(xiàn)代澳大利亞托列斯峽群島上一些部落仍用二進制：

一=烏拉勃“0”不是印度人或阿拉伯人的發(fā)明“0”太重要了，一無所有為零零是自然數(shù)據(jù)考證“0”首次出現(xiàn)在柬埔寨＆蘇門答臘的碑文上進位制是人類共同財產(chǎn)10“0”不是印度人或阿拉伯人的發(fā)明“0”太重要了，一無所有為零位值制：11236635中的3代表多少？拉普拉斯（法國數(shù)學家，1749～1827）說“用十個記號來表示一切數(shù)，每個數(shù)不但有絕對的值，而且還有位置的值，這種出自印度的巧妙方法，是一個深遠而重要的思想。今天看來是如此簡單，以至于我們忽視了它的真正偉績，但恰恰是它的簡單性對一切計算都提供了極大的方便，才使我們的算術在一切有用的發(fā)明中列在首位。而當我們想到它竟然逃過了古代最偉大的阿基米德和阿波羅尼斯的天才思想的關注時，我們更感到這成就的偉大?！?1位值制：11236635中的3代表多少？11自然數(shù)與整數(shù)的誕生分數(shù)與小數(shù)的誕生

小數(shù)點的誕生是后來很久以后的事了，公元635年，3.1415927記成三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽公元1593年由德國克拉維斯給出，現(xiàn)代記法誕生。負數(shù)的誕生：中國西漢出現(xiàn)（元前200年），用赤籌表示。歐洲15才世紀出現(xiàn)12自然數(shù)與整數(shù)的誕生分數(shù)與小數(shù)的誕生

小數(shù)點的誕生是后來很久以四大文明古國：中國公元前二十七世紀黃帝時代就開始了數(shù)學研究數(shù)學發(fā)達至少有4000年成就：分數(shù)、正負數(shù)、勾股定理、圓周率、剩余定理、楊輝三角等等由于中國文字的限制，數(shù)學理論的表敘以及推導都極為困難，導致數(shù)學理論在中國發(fā)展受到制約中國長期重文輕理導致數(shù)學以及科學的落后政治原因，農(nóng)業(yè)大國13四大文明古國：中國公元前二十七世紀黃帝時代就開始了數(shù)學研究1四大文明古國：印度印度有3500至4000年最大成就是印度數(shù)碼，十進制五世紀后“零”的符號在印度出現(xiàn)與占星術，宗教，農(nóng)業(yè)關系密切方法與結果用樹皮樹葉記載，大多失散用晦澀的詩歌表述，難于理解知道勾股定理，三角學并計算出14四大文明古國：印度印度有3500至4000年14四大文明古國：埃及光輝燦爛的文明影響較大的：金字塔，紙草書，古文字尼羅河貫穿全景治理尼羅河河水泛濫，他們研究天文發(fā)現(xiàn)：河水上漲與清晨天狼星升起的日子一樣，間隔365天，確立現(xiàn)代公歷的基礎重新測定河岸的土地，幾何特別發(fā)達沒有上升為理論，直到公元前4世紀后，希臘人入侵為止15四大文明古國：埃及光輝燦爛的文明15四大文明古國：巴比倫數(shù)學泥板的發(fā)現(xiàn)上面有：帳單，收據(jù)，票據(jù)，大量數(shù)學用表，達到古代數(shù)學的最高的理論水平1847年開始解讀數(shù)學泥板，1920年才有詳盡的注解，巴比倫文明被世人了解60位進制，面積體積的計算，方程組的求解，級數(shù)求和，勾股數(shù)，二次方程16四大文明古國：巴比倫數(shù)學泥板的發(fā)現(xiàn)16四大文明古國與河流中國：黃河，長江埃及：尼羅河巴比倫：底格里斯河，幼發(fā)拉底河印度：恒河，印度河17四大文明古國與河流中國：黃河，長江17其他發(fā)達古國希臘從公元前6世紀至公元4世紀，達1000年阿拉伯數(shù)學發(fā)達僅限于8至13世紀，有500年歐洲國家數(shù)學發(fā)達是在10世紀以后的事日本則遲至17世紀以后。18其他發(fā)達古國希臘從公元前6世紀至公元4世紀，達1000年18無理數(shù)的出現(xiàn)

與第一次數(shù)學危機無理數(shù)就像岔路口的路標，沿不同方向均可發(fā)現(xiàn)它的存在。中國沿一個方向來到它的面前竟然視而不見古希臘沿另外一個方向來到它的面前卻有意躲避19無理數(shù)的出現(xiàn)

與第一次數(shù)學危機無理數(shù)就像岔路口的路標，沿不同中國與無理數(shù)《九章算術》第四章說“若開之不盡者，為不可開，當以面命之”我們不知“當以面命之”所云為何，但可以確定，那時中國人一來到這個路標下了。劉徽在計算平方根的近似值時離無限不循環(huán)已近在咫尺，但他說“不足言之”竟然放棄了?！爸厮惴ㄝp算理”是中國古代的風氣使中國與無理數(shù)失之交臂，令人惋惜。20中國與無理數(shù)《九章算術》第四章說“若開之不盡者，為不可開，當古希臘與無理數(shù)學派眾多，最有名的是畢達哥拉斯學派（元前580~元前500）柏拉圖學派（元前430－－元前349）畢達哥拉斯學派是兼有政治，宗教，哲學的團體，“萬物皆數(shù)”（讀三聲）為其哲學基礎和理論出發(fā)點。畢氏提出了著名的畢達哥拉斯定理。21古希臘與無理數(shù)學派眾多，最有名的是畢達哥拉斯學派（元前580偉大的畢達哥拉斯畢達哥拉斯：古希臘數(shù)學家，公元前580至公元前497，青年的他游歷許多地方，并到埃及印度留學。他深入民間收集點點滴滴的數(shù)學知識，最后學有所成并形成一個學派，史稱畢達哥拉斯學派，對數(shù)學，天文學有巨大貢獻。畢達哥拉斯學派認為任何數(shù)都可以表達成二個整數(shù)的商，即任意數(shù)都是可以度量的。22偉大的畢達哥拉斯畢達哥拉斯：古希臘數(shù)學家，公元前580至公元萬物皆數(shù)他們把線段的長度看作是線段鎖包含的原子數(shù)目，因而任意兩條線段長度之比就是它們各自原子數(shù)之比。由此觀點出發(fā)，畢氏研究了音樂美術天文地理。應用在數(shù)學上，從埃及的黃金三角形（各邊之比為3：4：5）發(fā)現(xiàn)5：12：13，8：15：17，這就是中國說的“勾股定理”它們只相信直角三角形的三邊之比都應該是整數(shù)比23萬物皆數(shù)他們把線段的長度看作是線段鎖包含的原子數(shù)目，因而任意畢氏的學生、學者希帕索斯發(fā)現(xiàn)直角三角形直角邊都取1，則斜邊就不可度量，與畢氏理論產(chǎn)生矛盾畢氏也發(fā)現(xiàn)不可通約量的存在學派進入兩難境地，學派內部所有成員立誓保密，因而無理數(shù)有個諢號“不可說”（Alogon)希帕索斯說了，學派就此開始瓦解。學派解決矛盾的方法是把希帕索斯拋進大海。希帕索斯的發(fā)現(xiàn)引發(fā)了第一次數(shù)學危機。大約公元前５世紀，不可通約量的發(fā)現(xiàn)－－－－畢達哥拉斯悖論24畢氏的學生、學者希帕索斯發(fā)現(xiàn)直角三角形直角邊都取1，則斜邊就無理數(shù)：

古代數(shù)學家前進的方向歐道克斯（希臘，元前408～前355）數(shù)與量的分離：連續(xù)與離散。存在與否困擾科學家哲學家在迷霧中度過漫長而黑暗的中世紀，迎來“文藝復興”的繁榮時期（公元1400～1600）無理數(shù)終于被人們慢慢接受疑惑仍然存在“即樂意又心存疑慮”直到19世紀實數(shù)理論的建立才完全消除25無理數(shù)：

古代數(shù)學家前進的方向歐道克斯（希臘，元前408～前誰推開了虛數(shù)的“大門”12世紀，印度數(shù)學家婆什伽羅說：“正數(shù)的平方是正數(shù)，負數(shù)的平方是正數(shù)，因此一個正數(shù)的平方根是兩個，一個正數(shù)，一個負數(shù)。負數(shù)沒有平方根”。他太肯定了！“負數(shù)沒有平方根”遏制了后人的探索欲望。400年來，數(shù)學家都采取了回避態(tài)度。1545年卡丹的讓人莫名其妙（后面專門談他）26誰推開了虛數(shù)的“大門”12世紀，印度數(shù)學家婆什伽羅說：“正數(shù)大師的困惑與無知卡丹（意大利數(shù)學家，醫(yī)生，算命先生1501～1576）到達大門，不敢敲門。歐拉徹底否認：他說“一切形如的數(shù)學式都是不可能有的，這類數(shù)純屬虛構”偉大的笛卡兒(法國數(shù)學家，1596～1650）創(chuàng)立直角坐標系，給出理論武器。200年后即18世紀，挪威的測繪員威賽爾，巴黎的會計師阿爾干完美解釋。27大師的困惑與無知卡丹（意大利數(shù)學家，醫(yī)生，算命先生1501～從一維到二維600年的艱辛眾多杰出數(shù)學家束手無策，歷史罕見思維定勢所限：現(xiàn)實中沒有，傳統(tǒng)數(shù)學中它不合理條件所限：不能從一維跳到二維，笛卡兒還未出生，平面坐標不知為何物，費爾瑪無人認識，點的坐標，有序對是天方夜談，解析幾何還在數(shù)學的搖籃中睡覺28從一維到二維600年的艱辛28第二章：幾何學代數(shù)學的發(fā)展先有幾何還是先有代數(shù)？一個領域的繁榮昌盛不外乎下列幾個原因：1有重大理論問題出現(xiàn)。2有現(xiàn)實問題急需解決。3出現(xiàn)偉大人物。代數(shù)與幾何都有非常輝煌的時光。代數(shù)必講數(shù)論及方程，幾何必講歐幾里德德《原本》。幾何狂飚：突破歐幾里德幾何，非歐幾何。29第二章：幾何學代數(shù)學的發(fā)展先有幾何還是先有代數(shù)？29數(shù)論與方程：第二次抽象數(shù)的崇拜與禁忌：“1生2，2生3，3生萬物”所以1最神圣，7，8為吉祥數(shù)。4，13為一些民族的禁忌中國人崇拜“9”：故宮大門縱橫九顆銅星，皇帝九龍袍，九龍壁，“九九歸一，侄極而返”“60”是古巴比倫人與畢達哥拉斯心中的神數(shù)的文化：奇為女，偶為男，“一帆風順，雙喜臨門，三陽開泰，四通八達，五彩繽紛，六根清潔，八面玲瓏，九霄云外，十全十美”“一波三折，兩敗俱傷，三長兩短，四面楚歌，五內俱焚，六神無主，七上八下，九死一生，十惡不赦”30數(shù)論與方程：第二次抽象數(shù)的崇拜與禁忌：“1生2，2生3，3生數(shù)論與方程：第二次抽象整除理論：最古老的問題，中國剩余定理地道的業(yè)余數(shù)學家費爾瑪：從地方官員到數(shù)學家，30歲學習數(shù)學，既是解析幾何的發(fā)明者（與笛卡兒同享）又是概率論的開創(chuàng)者（與帕斯卡同享），不同尋常的經(jīng)歷，不可思議，令人感慨萬千費馬瑪（法國數(shù)學家，1601-1665)與數(shù)論：看起來簡單，作起來難之又難，是數(shù)論的魅力所在，使人“衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴”，始作俑者費爾瑪?，F(xiàn)代數(shù)論的先驅＆創(chuàng)始人31數(shù)論與方程：第二次抽象整除理論：最古老的問題，中國剩余定理3費爾瑪猜想丟番圖（古希臘公元246～330）名著《算術》，代數(shù)學之母《算術》是費爾瑪?shù)恼磉呏?/p>

從17世紀到20世紀，歷時300多年，直到1994，41歲得英國數(shù)學家懷爾斯解決32費爾瑪猜想丟番圖（古希臘公元246～330）名著《算術》，代高斯(德國數(shù)學家，1777～1855)與數(shù)論現(xiàn)代數(shù)論統(tǒng)一理論的創(chuàng)建者20歲決定獻身數(shù)學，最終成為最偉大的數(shù)學家之一1801年結束費爾瑪數(shù)論，開創(chuàng)純理論數(shù)論研究追隨者：戴德金，狄利克雷，劉維爾，閔可夫斯基，創(chuàng)建：代數(shù)數(shù)論，解析數(shù)論，超越數(shù)論，幾何數(shù)論33高斯(德國數(shù)學家，1777～1855)與數(shù)論現(xiàn)代數(shù)論統(tǒng)一理哥德巴赫猜想與陳景潤1742年，德國哥德巴赫老師發(fā)現(xiàn)“大于2的偶數(shù)，可以表示為兩個素數(shù)之和”求教歐拉：歐拉說“雖然我不能證明它，但我確信它完全正確”1900年希爾伯特（德國數(shù)學家，1862～1943）把它列為23個世紀難題，稱為“皇冠上的明珠”1966年中國人陳景潤（1933～1996）證明“1＋2”，1973年發(fā)表，離摘取明珠咫尺之遙陳氏定理被譽為“光輝頂點”34哥德巴赫猜想與陳景潤1742年，德國哥德巴赫老師發(fā)現(xiàn)“大于2方程的歷史方程的產(chǎn)生：在中國，在日本，在印度花拉子模（阿拉伯人，公元780～850）第一次給出未知量，但他稱其為“硬幣”“東西”“根”代數(shù)“Algebra”源于花氏的書中“還原”一詞古希臘的不定方程，丟番圖，費爾瑪與不定方程印度的不定方程，追求全部整數(shù)解，他們的阿耶波多，婆羅摩岌多，婆什伽羅都有著述35方程的歷史方程的產(chǎn)生：在中國，在日本，在印度35方程的發(fā)展符號化：從丟番圖開始到1589年的韋達從一元到二元：古希臘數(shù)學家海倫的著作，中國《九章算術》均有記述海倫：有一正方形知其面積與周長之和為896尺，求其一邊《九章算術》：今有邑城方不知大小，各開中門。出北門20步有木，出南門14步折而西行1775見木。問邑方幾何？36方程的發(fā)展符號化：從丟番圖開始到1589年的韋達36符號化的形式37符號化的形式37一元二次方程的解法花拉子模的幾何解法中國的“開帶從平方法”古希臘的配方法：公元100年海倫～200年丟番圖完成佛蘭西斯韋達（法國數(shù)學家，法學家，外交家，國王參謀長，1540－－1603）：根與系數(shù)的關系38一元二次方程的解法花拉子模的幾何解法38一元三次方程的公式解人們尋找象一元二次方程那樣的公式解當時認為它比圓化方還難16世紀，意大利的波羅拉學派的弗羅（1465～1562）得出的解。但是未公布30歲的尼科拉方丹納（意大利布雷西亞青年，1500～1557）綽號“塔塔利亞”（結巴）：給出一元三次方程的公式解39一元三次方程的公式解人們尋找象一元二次方程那樣的公式解39數(shù)學史上第一次數(shù)學競賽塔塔利亞解決的問題：他未公布答案，引來波羅拉學派的憤怒塔塔利亞與波羅拉決定舉行競賽，塔塔利亞勝出，這是有史記載的第一次數(shù)學競賽40數(shù)學史上第一次數(shù)學競賽塔塔利亞解決的問題：40塔塔利亞，卡丹，費拉里的恩恩怨怨卡丹：(雄辯家，博物學家，幾何家，代數(shù)家，天文學家，星象學家，醫(yī)學家，外科專家，道學家，語言學家)拜倒在塔塔利亞面前1539年求教與塔氏,并同意保密，得到手稿卡丹的仆人費拉里的成就：一元四次方程的解法1545年卡丹發(fā)表《大衍術》（ArsMagna)公開塔氏費氏成果，引發(fā)數(shù)學史的第一次公案事情遠未結束：五次以及五次以上的方程呢？41塔塔利亞，卡丹，費拉里的恩恩怨怨卡丹：(雄辯家，博物學家，幾初等幾何起源：無意識的幾何階段，埃及金字塔（元前2900），尼羅河岸邊的土地界限丈量幾何的發(fā)展：經(jīng)驗幾何的產(chǎn)生，中國埃及巴比倫印度論證幾何的哲學基礎的出現(xiàn)：公理及嚴謹?shù)倪壿嬐评?，古希臘哲學的發(fā)展讓嚴謹深深扎根于心靈深處。42初等幾何起源：無意識的幾何階段，埃及金字塔（元前2900），數(shù)學圣經(jīng)《幾何原本》（Elements)歐幾里德（希臘數(shù)學家，元前330～前275）的幾何原本堪稱集合論證的光輝典范，影響曾經(jīng)可比圣經(jīng)1607年明朝翻譯到中國在全世界使用至今《原本》共13篇，包羅初等幾何，初等數(shù)論，幾何代數(shù)所有初等幾何的書都是抄錄《原本》或者是抄錄那些抄錄《原本》的書的書43數(shù)學圣經(jīng)《幾何原本》（Elements)歐幾里德（希臘數(shù)學家?guī)缀味攘浚娣e體積)歐道克斯的變量，繞開無理數(shù)使丈量得以進行多邊形的面積：畢氏的直接因數(shù)法，歐幾里德“轉化”法，比如：等底等高的兩個三角形面積相同阿基米德（希臘數(shù)學家，元前287～前212）對曲邊形面積的研究；離微積分咫尺之遙祖沖之（南北朝政府官員，公元429～500）：曾經(jīng)的世界第一，保持1000多年。圓周率的計算思想比圓周率本身還重要,他也靠近了微積分，是中國古代最具現(xiàn)代數(shù)學思想的人44幾何度量（面積體積)歐道克斯的變量，繞開無理數(shù)使丈量得以進行偉大的阿基米德意大利西西里島的敘古拉（當時受希臘統(tǒng)治）是他的故鄉(xiāng)，他是當時最偉大的天文學家，力學家，數(shù)學家，是人類科學的第一坐高峰，超過高斯牛頓杠桿與重心理論，流體力學73歲在敘古拉參加抵御羅馬入侵，擔任最高軍事顧問，研究出大量的武器元前212被羅馬士兵所殺45偉大的阿基米德意大利西西里島的敘古拉（當時受希臘統(tǒng)治）是他的就此完成初等數(shù)學內容的創(chuàng)立17世紀前，數(shù)學已是摻天大樹研究不變的量，幾何代數(shù)是其中心內容三角，對數(shù)，數(shù)列已經(jīng)建立理論構成現(xiàn)在小學中學學習的數(shù)學知識這時的數(shù)學仍有許多困境與迷惑數(shù)學等待更偉大的理論與更偉大的人物46就此完成初等數(shù)學內容的創(chuàng)立17世紀前，數(shù)學已是摻天大樹46第三章：變量數(shù)學數(shù)學發(fā)展的第三個時期最具代表性的人物是法國人笛卡兒笛卡兒是一座高高的山峰，屹立在初等數(shù)學的盡頭，高等數(shù)學的開頭，他是分水嶺標志性的概念是變量，它成為數(shù)學的中心內容標志性的工作是微積分的誕生與成熟47第三章：變量數(shù)學數(shù)學發(fā)展的第三個時期47建議大家閱讀的圖書《數(shù)學哲學》張景中著《古今數(shù)學思想》克萊因著《現(xiàn)代西方哲學之父:笛卡兒》《數(shù)學思想發(fā)展簡史》袁小明等著48建議大家閱讀的圖書《數(shù)學哲學》張景中著48數(shù)學的天空中群星閃耀從公元1600年－－公元1820年數(shù)學發(fā)展的黃金時代數(shù)學研究變數(shù)以及變數(shù)之間的關系運動進入數(shù)學，辯證法進入數(shù)學笛卡兒與費爾瑪用代數(shù)方法解決幾何問題，創(chuàng)立解析幾何萊布尼茲（德國數(shù)學家，哲學家，物理學家1646－1716）提出函數(shù)的一般概念49數(shù)學的天空中群星閃耀從公元1600年－－公元1820年數(shù)學發(fā)數(shù)學的星空群星閃耀牛頓（英國物理學家，數(shù)學家1642－1727）與萊布尼茲共同創(chuàng)立微積分的原理他們及其學生們發(fā)展了數(shù)學分析為物理學天文學光學提供強有力的工具成功預言1759年哈雷慧星回歸發(fā)展了偏微分方程，概率統(tǒng)計，變分學50數(shù)學的星空群星閃耀牛頓（英國物理學家，數(shù)學家1642－172解析幾何17世紀最重要的成就之一標志變量時代的開始可追溯到埃及羅馬人的活動：他們在測繪地形時，借助坐標確定位置希臘人阿波羅尼斯從圓錐曲線導出它的豐富的圓錐曲線幾何學（與笛卡兒的非常相似）51解析幾何17世紀最重要的成就之一51背景16世紀歐洲文藝復興帶來的科學，經(jīng)濟的全面發(fā)展天文學力學航海的迫切需要初等數(shù)學已經(jīng)成熟：偉大人物已經(jīng)出現(xiàn)：笛卡兒，費爾瑪，開普勒,伽利略等等試驗數(shù)學的方法，運動的觀點要求必須有新的理論方法來研究幾何東方的數(shù)學書籍傳入西方，引發(fā)用代數(shù)解決幾何問題，改變了西方用幾何解決代數(shù)問題的觀念52背景16世紀歐洲文藝復興帶來的科學，經(jīng)濟的全面發(fā)展52幾何代數(shù)融合為一體1591年韋達的《分析學引論》確立符號代數(shù)，成為變量數(shù)學產(chǎn)生的前提坐標系的發(fā)明對幾何與代數(shù)之間一一對應關系的認識函數(shù)y=f(x)的坐標圖示法笛卡兒與費爾瑪用代數(shù)法研究幾何，把代數(shù)方程與曲線曲面等聯(lián)系起來，變量進入數(shù)學。改變了數(shù)學的性質，具有偉大的意義53幾何代數(shù)融合為一體1591年韋達的《分析學引論》確立符號代數(shù)費爾瑪與解析幾何費爾瑪生平：法學家，官員，語言學家，數(shù)學家笛卡兒與解析幾何笛卡兒生平：哲學家，物理學家，心理學家，數(shù)學家，旅游家，軍人54費爾瑪與解析幾何54微積分名稱的由來：牛頓萊布尼茲約翰貝努里差的計算“calculusdifferentialis”,和的計算“calculussummatorius”,演化為“differetialcalculus”(微分學）“integralcalculus”（積分學）河稱“微積分”英文為“calculus”洛必達1696年的《無窮小分析》是第一本微積分著作使微積分又叫“分析”1859年（清咸豐9年）微積分傳入中國，當時的數(shù)學家李善蘭把它翻譯為微積分，可能取于“不辨積微之為量，詎曉百億于大千”55微積分名稱的由來：牛頓萊布尼茲約翰貝努里差的計算“calcu人類歷史上的最偉大創(chuàng)舉變量數(shù)學時期，17世紀后期由牛頓萊布尼茲創(chuàng)立的微積分是最主要的成就微積分的誕生是全部數(shù)學史上，也是人類歷史上最偉大最有影響的創(chuàng)舉微積分導致后來一切科學和技術領域的革命離開微積分，人類將停頓前進的步伐56人類歷史上的最偉大創(chuàng)舉變量數(shù)學時期，17世紀后期由牛頓萊布尼微積分產(chǎn)生的背景從埃及尼羅河沿岸每年丈量土地開始，人們就在尋求一種計算不規(guī)則圖形面積的方法眾多科學家意識到其中有個“幽靈”說不清道不明，其代表人物：阿基米德，芝諾，歐道克斯，莊子，劉徽許多迫切待解決的問題擺在數(shù)學家面前：描述處理運動？曲線的切線？曲線的長度？曲面的面積？曲面圍成的多面體的體積？極大極小問題？等等57微積分產(chǎn)生的背景從埃及尼羅河沿岸每年丈量土地開始，人們就在尋無窮小分割是主要方法無窮小分割求和：關于切線：笛卡兒與費爾瑪認為是兩個交點重合時的割線。羅伯瓦等認為是描繪曲線的運動在這點的方向眾多數(shù)學家加入到這場爭論中，拉開流數(shù)術和微分法的序幕費爾瑪是出去牛頓萊布尼茲外做得最多的人，他走到大門口，但沒有進入。主要是他沒有它的理論與求積的關系58無窮小分割是主要方法無窮小分割求和：58牛頓與萊布尼茲各自獨立發(fā)明微積分牛頓與微積分萊布尼茲與微積分英德之間的歷史公案59牛頓與萊布尼茲各自獨立發(fā)明微積分牛頓與微積分596060無窮小是零嗎？

第二次數(shù)學危機研究下列問題：1734年，英國哲學家、大主教貝克萊發(fā)表《分析學家或者向一個不信正教數(shù)學家的進言》，矛頭指向微積分的基礎--無窮小的問題，提出了貝克萊悖論。引發(fā)第二次數(shù)學危機61無窮小是零嗎？

第二次數(shù)學危機研究下列問題：61dx為逝去量的“靈魂”他指出：牛頓在求xn的導數(shù)時，采取了先給x以增量０，應用二項式（x+0）n，從中減去xn以求得增量，并除以０以求出xn的增量與x的增量之比，然后又讓０消逝，這樣得出增量的最終比。62dx為逝去量的“靈魂”他指出：牛頓在求“幽靈”即為極限的概念

這里牛頓做了違反矛盾律的手續(xù)：先設x有增量，又令增量為零，也即假設x沒有增量。"他認為無窮小dx既等于零又不等于零，召之即來，揮之即去，這是荒謬，"dx為逝去量的靈魂"。無窮小量究竟是不是零？無窮小及其分析是否合理？63“幽靈”即為極限的概念

這里牛頓做了違反“幽靈”即為極限的概念

由此而引起了數(shù)學界甚至哲學界長達一個半世紀的爭論。直到19世紀20年代，一些數(shù)學家才比較關注于微積分的嚴格基礎。波爾查諾、阿貝爾、柯西、狄里赫利等人的工作開始，到威爾斯特拉斯、戴德金和康托的工作結束，中間經(jīng)歷了半個多世紀，基本上解決了矛盾，為數(shù)學分析奠定了嚴格的基礎：極限理論64“幽靈”即為極限的概念

由此而引起了數(shù)學界甚至哲學界長達一個代數(shù)學進一步發(fā)展三百多年弄不清楚的問題：五次五次以上的方程的公式解法國數(shù)學家拉各朗日稱這一問題是在“向人類的智慧挑戰(zhàn)”。1770年拉格朗日分析了二次、三次、四次方程根式解的結構之后，提出了方程的預解式概念，并且還看出預解式和方程的各個根在排列置換下的形式不變性有關，這時他認識到求解一般五次方程的代數(shù)方法可能不存在。65代數(shù)學進一步發(fā)展三百多年弄不清楚的問題：五次五次以上的方程的不幸的挪威數(shù)學家阿貝爾此后，挪威數(shù)學家阿貝爾利用置換群的理論，給出了高于四次的一般代數(shù)方程不存在代數(shù)解的證明。阿貝爾簡介：（阿貝爾：Abel,1802.8~1829.5）任何一部數(shù)學家詞典中的第一人，是十九世紀最偉大的數(shù)學家之一，是挪威空前絕后的最偉大的學者?！笕苏硭倪z著花了150年。66不幸的挪威數(shù)學家阿貝爾此后，挪威數(shù)學家阿貝爾利用置換群的理論27歲他離開人世阿貝爾率先解決了這個引人矚目的難題。可是，由于阿貝爾生前只是個默默無聞的“小人物”，他的發(fā)明創(chuàng)造競沒有引起數(shù)學界的重視。在失望、勞累、貧困的打擊下，阿貝爾不滿27歲就離開了人間，使他未能徹底解決這個難題。比如說：為什么有的特殊高次方程能用根式解呢?如何精確地判斷這些方程呢？他死后第二天，倫敦大學校長的特使，手持校長的邀請函來到挪威師范學院尋找阿貝爾6727歲他離開人世阿貝爾率先解決了這個引人矚目的難題。可是，由殞落的新星1832年5月30日清晨，法國巴黎郊外進行了—場決斗。槍聲響后，一個青年搖搖晃晃地倒下了。第二天一早，他就匆匆離開了人間，死時還不到21歲。死前這個青年沉痛地說：“請原諒我不是為國犧牲。我是為一些微不足道的事而死的?！边@個因決斗而死去的青年，就是近代數(shù)學的奠基人之一、歷史上最華輕的著名數(shù)學家伽羅華。1811年10月25日，伽羅華出生在法國巴黎附近的一個小鎮(zhèn)上。68殞落的新星1832年5月30日清晨，法國巴黎郊外進行了—場決更加不幸的法國數(shù)學家伽羅華伽羅華（1811.10.25~1832.5.30）浪漫的法國人一直為他們早逝的劃時代的、人類有史以來最聰明的、思想最深刻的、最倒霉的數(shù)學家感到自責?！粝铝?00頁數(shù)學文稿，被發(fā)展成一門艱深、應用廣泛的學科----抽象代數(shù)或稱群論。69更加不幸的法國數(shù)學家伽羅華伽羅華（1811.10.25~18經(jīng)常被老師斥為笨蛋小時候，伽羅華并末表現(xiàn)出特殊的數(shù)學才能，相反，他12歲進入巴黎的一所公文中學后，還經(jīng)常被老師斥為笨蛋。伽羅華當然不是笨蛋，他性格偏執(zhí)，對學校死板的教育方式很不適應，漸漸地，他對很多課程都失去了興趣，學習成績一直很一般。70經(jīng)常被老師斥為笨蛋小時候，伽羅華并末表現(xiàn)出特殊的數(shù)學才能，相伽羅華遇到了數(shù)學教師里沙在中學的第三年，伽羅華遇到了數(shù)學教師里沙。里沙老師非常善于啟發(fā)學生思維，他把全副精力都傾注在學生身上，還常常利用業(yè)余時間去大學聽課，向學生傳授新知識。很快，伽羅華就對數(shù)學產(chǎn)生了極大的興趣。他在里沙老師的指導下，迅速學完了學校的數(shù)學課程，自學了許名數(shù)學大師的著作。71伽羅華遇到了數(shù)學教師里沙在中學的第三年，伽羅華遇到了數(shù)學教師他盯上了著名的世界數(shù)學難題不久，伽羅華的眼睛盯上了：高次方程的求根公式問題。16世紀時，意大利數(shù)學家塔塔利亞和卡當?shù)热?，發(fā)現(xiàn)了三次方程的求根公式。這個公式公布后沒兩年，卡當?shù)膶W生費拉里就找到了四次方程的求根公式。當時，數(shù)學家們非常樂觀，以為馬上就可以寫出五次方程、六次方程，甚至更高次方程的求根公式了。然而，時光流逝了幾百年，誰也找不出一個這樣的求根公式。72他盯上了著名的世界數(shù)學難題不久，伽羅華的眼睛盯上了：高次方程站在巨人阿貝爾的肩膀上面這樣的求根公式究竟有沒有呢?在伽羅華剛上中學不久，年輕的挪威數(shù)學家阿貝爾已經(jīng)作出了回答：“沒有?！卑⒇悹枏睦碚撋嫌枰宰C明，無論怎樣用加、減、乘、除以及開方運算，無論將方程的系數(shù)怎樣排列，它都決不可能是一般五次方程的求根公式。73站在巨人阿貝爾的肩膀上面這樣的求根公式究竟有沒有呢?在伽羅華伽羅華向世紀難題發(fā)起了挑戰(zhàn)1828年，也就是阿貝爾去世的前一年，伽羅華也向這個數(shù)學難題發(fā)起了挑戰(zhàn)。他自信找到了徹底解決的方法，便將自己的觀點寫成論文，寄給法國巴黎科學院。負責審查伽羅華論文的是柯西和泊松，他們都是當時世界上第一流的數(shù)學家?？挛鞑幌嘈乓粋€中學生能夠解決這樣著名的難題，順手把論文扔在一邊，不久就丟失了；兩年后，伽羅華再次將論文送交巴黎科學院。這次，負責審查伽羅華論文的是傅立葉。不巧，也就是在這一年，這位年邁的著名數(shù)學家去世了。伽羅華的論文再一次給丟失了。74伽羅華向世紀難題發(fā)起了挑戰(zhàn)1828年，也就是阿貝爾去世的前一他考進了巴黎高等師范學校伽羅華的論文一再被丟失的情況，使他很氣憤。這時，他已考進了巴黎高等師范學校；并得知了阿貝爾去世的消息，同時又發(fā)現(xiàn)，阿貝爾的許多結論，他已經(jīng)在被丟失的論文中提出過。在1831年，伽羅華向巴黎科學院送交了第三篇論文，題目是《關于用根式解方程的可解性條件》。這一次，著名數(shù)學家泊松仔細審查了伽羅華的論文。75他考進了巴黎高等師范學校伽羅華的論文一再被丟失的情況，使他很年邁的泊松感到難于理解由于論文中出現(xiàn)了“代換群”等嶄新的數(shù)學概念和方法，泊松感到難于理解。幾個月后，他將論文退還給伽羅華；囑咐寫一份詳盡的闡述送來，可是，伽羅華已經(jīng)沒有時間了。在大學里，伽羅華由于積極參加資產(chǎn)階級革命活動，被學校開除了。76年邁的泊松感到難于理解由于論文中出現(xiàn)了“代換群”等嶄新的數(shù)學伽羅華預感到死亡即將來臨1831年5月和7月，他又因參加游行示威活動兩次被捕入獄，遭受路易--菲利浦王朝的迫害，直到1832年4月29日，由于監(jiān)獄里流行傳染病，伽羅華才得以出獄。枷羅華恢復自由不到一個月，愛上一個女人，并因此被迫與一個軍官決斗。決斗前夕,伽羅華預感到死亡即將來臨，他匆忙將數(shù)學研究心得扼要地寫在一張字條上，并附以自己的論文手稿，請他的朋友交給當時的大數(shù)學家們。77伽羅華預感到死亡即將來臨1831年5月和7月，他又因參加游行他堅信自己的理論正確伽羅華自豪地寫道：“你可以公開請求雅可比或者高斯，不是對這些東西的正確性，而是對它的重要性表示意見。”我希望，今后能有人認識這些東西的奧妙，并作出恰當?shù)慕忉尅?846年法國數(shù)學家劉維爾首先“認識到這些東西的奧妙”將它們發(fā)表在自已主辦的刊物上，并撰寫序言熱情向數(shù)學界推薦。78他堅信自己的理論正確伽羅華自豪地寫道：“你可以公開請求雅可比高斯關于正多邊形作圖的定理變成了明顯的推論或者簡單的習題。1870年，法國數(shù)學家約勞當根據(jù)伽羅華根據(jù)伽羅華的思想，寫出了一部重要的數(shù)學著作《抽象代數(shù)學》，人們這才認識到伽羅華的偉大。應用伽羅華理論，不僅高次方程求根公式問題得到了徹底的解決，而且阿貝爾定理、古希臘三大幾何作圖難題、高斯關于正多邊形作圖的定理等著名的數(shù)學難題，都變成了明顯的推論或者簡單的練習題。79高斯關于正多邊形作圖的定理變成了明顯的推論或者簡單的習題。1數(shù)學真理顯示了強大的威力數(shù)學真理顯示了強大的威力。更重要的是，伽羅華理論的出現(xiàn)，改變了代數(shù)學的面貌。從這時起，方程論已經(jīng)不是代數(shù)學的全部內容了，它漸漸轉向了研究代數(shù)結構本身，并不斷地向各個數(shù)學領域滲透。到19世紀末期，伽羅華開創(chuàng)的數(shù)學研究，形成了一門重要的數(shù)學分支---近世代數(shù)學。這時，伽羅華已經(jīng)去世多年了。他生前沒有享受到他應當享有的巨大榮譽。80數(shù)學真理顯示了強大的威力數(shù)學真理顯示了強大的威力。更重要的是假如伽羅華長壽（我們暢想）假如伽羅華沒有遇見那個姑娘假如他能夠長壽，數(shù)學的今天也許沒有這樣復雜如果他能夠活到高斯那樣的歲數(shù)，它與高斯誰更偉大也許，伽羅華會成為最偉大的科學家，并與阿基米德，牛頓，愛因斯坦齊名81假如伽羅華長壽（我們暢想）假如伽羅華沒有遇見那個姑娘81數(shù)學王子高斯：最聰明、最多才、最長壽的數(shù)學家近代數(shù)學的重要的奠基者，也是歷史上最偉大的數(shù)學家之一1777年4月30日，高斯生于德國的布倫茲維克城。這位罕見的數(shù)學奇才，用他輝煌的數(shù)學成就和異常敏捷的數(shù)學思維能力，給后世留下了許許多多近乎神話的傳說。高斯的祖父是農(nóng)民，父親是個泥瓦匠，由于生活很貧困；壓根兒就沒打算送高斯去上學82數(shù)學王子高斯：最聰明、最多才、最長壽的數(shù)學家近代數(shù)學的重要的天分改變人生驚人的數(shù)學天賦，使父親改變了主意10歲讓他的老師驚訝得說不出話來數(shù)學老師激動地向學校報告了這件事，還買了最好一本數(shù)學書送給高斯83天分改變人生驚人的數(shù)學天賦，使父親改變了主意83公爵夫人感到不可思議公爵認為這個天才少年是布倫茲克城的驕傲，決定資助他上大學深造1795年18歲的高斯進入著名的哥廷根大學哥廷根大學因為高斯而享譽世界84公爵夫人感到不可思議公爵認為這個天才少年是布倫茲克城的驕傲，高斯的成就1796年3月20日，他用直尺圓規(guī)作出正17邊形（古希臘人提出2000年而未能解決的著名難題）就在這一天，高斯決定畢生致力于數(shù)學研究，這時高斯已是轟動歐洲的新聞人物了同年，高斯告訴人們什么樣的正多邊形能用直尺和圓規(guī)作出，什么樣的正多邊形不能用直尺與圓規(guī)作出，比如正7、正11邊形就作不出，正257、正65537邊形就能用直尺與圓規(guī)作出85高斯的成就1796年3月20日，他用直尺圓規(guī)作出正17邊形（高斯的成就同年，高斯發(fā)現(xiàn)了橢圓函數(shù)的雙周期性，有使他獲得巨大的榮譽1799年，高斯證明代數(shù)基本定理：一個牛頓、拉格朗日等大批數(shù)學家沒有證明的數(shù)學結論。這也是高斯的博士論文。22歲，高斯成為一代數(shù)學宗師。年輕的高斯風靡了整個國際數(shù)學界，被認為是一個“能從九霄云外的高度掌握星空和深奧數(shù)學的天才”被榮為“數(shù)學王子”86高斯的成就同年，高斯發(fā)現(xiàn)了橢圓函數(shù)的雙周期性，有使他獲得巨大高斯的成就1816年高斯就知道歐幾里得的“第五公理”可以突破，他得到了一個嶄新的幾何學“非歐幾何”但他懾于宗教勢力，未能發(fā)表他的論文，從而，失去了在近現(xiàn)代數(shù)學上又一個重大的貢獻高斯在天文上的貢獻。（哥廷根大學天文臺臺長）高斯的墓碑上刻著正17棱柱，以此紀念偉大的高斯87高斯的成就1816年高斯就知道歐幾里得的“第五公理”可以突破數(shù)學的主要成就變量數(shù)學時代逐步形成：解析幾何、高等代數(shù)、微積分它們構成現(xiàn)在大學理科非數(shù)學專業(yè)的必修課這一時期數(shù)學發(fā)展的動力來源于歐洲資本主義社會的發(fā)展，所以近代數(shù)學的成就幾乎都是在歐洲完成的幾個文明古國已經(jīng)衰敗，中國在變量數(shù)學中幾乎沒有貢獻88數(shù)學的主要成就變量數(shù)學時代逐步形成：解析幾何、高等代數(shù)、微積變量數(shù)學德發(fā)展結果行成下在大學數(shù)學最基礎的三大門類課程：《微積分》，《高等代數(shù)》，《高等幾何》為數(shù)學進一步發(fā)展奠定基礎：全面開始了數(shù)學方方面面的研究工作幾何上，代數(shù)上積聚了重大突破的能量數(shù)學進入自己的黃金時代89變量數(shù)學德發(fā)展結果行成下在大學數(shù)學最基礎的三大門類課程：《微第四章：近現(xiàn)代數(shù)學時期第四階段：近現(xiàn)代數(shù)學時期從19世紀20年代至今數(shù)學發(fā)展極為昌盛快速，成為一棵根繁葉茂的參天大樹，深入到人類生活的各個領域。從內容上看，它研究了最一般的數(shù)量關系和空間形式，建立了抽象代數(shù)、拓撲學、泛函分析、集合論、數(shù)理邏輯、概率統(tǒng)計、圖論、運籌學、模糊數(shù)學等等學科，它們成為現(xiàn)在大學數(shù)學專業(yè)的主要課程或成為計算機科學的基礎數(shù)學知識。

90第四章：近現(xiàn)代數(shù)學時期第四階段：近現(xiàn)代數(shù)學時期從19世紀20迎來三件驚天動地的大事：

18世紀與19世紀之交，人們認為數(shù)學已經(jīng)完備，沒有發(fā)展的余地了數(shù)學寧靜了一段時間，終于迎來了暴風驟雨由俄國數(shù)學家羅巴契夫斯基提出了與傳統(tǒng)的歐幾里得幾何不同的幾何理論，（它否定了歐氏幾何的平行公理）引發(fā)了一場數(shù)學革命，被稱為數(shù)學狂飆經(jīng)過近百年的發(fā)展，數(shù)學和人類迎來三件驚天動地的大事91迎來三件驚天動地的大事：

18世紀與19世紀之交，人們認愛因斯坦、電子計算機、空間技術：源于愛因斯坦的數(shù)學推導E=C2M(C為光速，M為物質的質量，E為能量)而掌握的原子能源于數(shù)學和電子學的電子計算機源于數(shù)學與天文、工業(yè)的空間技術，將人類帶入一個全新時代源于數(shù)學的邊緣學科紛紛誕生，從數(shù)學中分出的計算機科學成為二十世紀末二十一世紀最活躍、最賺錢的科學技術。92愛因斯坦、電子計算機、空間技術：源于愛因斯坦的數(shù)學推導E=C今天的數(shù)學：數(shù)學發(fā)展至今，有眾多門類，包羅萬象，多姿多彩，一般分為純碎數(shù)學和應用數(shù)學。純碎數(shù)學的是不考慮實際問題，依靠人類的思維抽象、推導出的理論，應用數(shù)學是數(shù)學與科學技術之間的橋梁。第二次世界大戰(zhàn)直接導致了數(shù)學向思維科學的發(fā)展，創(chuàng)立了運籌學、信息論、控制論等；也導致了數(shù)學參與社會生活的方式，建立數(shù)學模型，求解，給出最佳方案93今天的數(shù)學：數(shù)學發(fā)展至今，有眾多門類，包羅萬象，多姿多彩，一今天的數(shù)學：現(xiàn)代數(shù)學有三個特性：數(shù)學對象的空前廣泛和深入、數(shù)學內容不斷分化和綜合；計算機深入數(shù)學，產(chǎn)生巨大而深遠的影響，促使數(shù)學對人類產(chǎn)生更大的作用，大大提高了生產(chǎn)力數(shù)學滲透到幾乎所有的科學領域，扮演了最重要的工具這個角色。94今天的數(shù)學：現(xiàn)代數(shù)學有三個特性：數(shù)學對象的空前廣泛和深入、數(shù)數(shù)學的分類：數(shù)學是什么？數(shù)學的分類：純粹數(shù)學（基礎數(shù)學）、應用數(shù)學數(shù)學的最顯著的特征：

1高度的抽象性2體系的嚴謹性3廣泛的應用性4計算的精確性5嚴密的邏輯推理現(xiàn)代科學有“數(shù)學化”的趨勢95數(shù)學的分類：數(shù)學是什么？95三大核心領域到目前為止，數(shù)學王國中有100多個分支，但若按研究的內容基本上可分為三大核心領域及其邊緣和交叉學科。研究數(shù)的部分，屬于代數(shù)學范疇，研究形的部分屬于幾何學的范疇，溝通形與數(shù)的部分，屬于分析學的范疇。它們構成了整個數(shù)學的本體與核心，在它們周圍，數(shù)學與其它科學互相滲透形成眾多學科。96三大核心領域到目前為止，數(shù)學王國中有100多個分支，但若按研Q&A問答環(huán)節(jié)

敏而好學，不恥下問。

學問學問，邊學邊問。

He

is

quick

and

eager

to

learn.

Learning

is

learning

and

asking.97Q&A問答環(huán)節(jié)

敏而好學，不恥下問。

學問學問，邊學邊問。

感謝參與本課程，也感激大家對我們工作的支持與積極的參與。課程后會發(fā)放課程滿意度評估表，如果對我們課程或者工作有什么建議和意見，也請寫在上邊結束語98感謝參與本課程，也感激大家對我們工作的支持與積極的參與。課程感謝您的觀看與聆聽本課件下載后可根據(jù)實際情況進行調整99感謝您的觀看與聆聽本課件下載后可根據(jù)實際情況進行調整99數(shù)學史簡介100數(shù)學史簡介1整體概述概述二點擊此處輸入相關文本內容概述一點擊此處輸入相關文本內容概述三點擊此處輸入相關文本內容101整體概述概述二概述一概述三2數(shù)學是什么？如果：你想當經(jīng)濟學家，藥學家，化學家，數(shù)學是統(tǒng)計分析工具你想當物理學家，數(shù)學是微積分你想當計算機專家，數(shù)學是算法語言你想當建筑學家，數(shù)學是幾何三視圖你想當數(shù)學家，數(shù)學就是你的世界若果你不幸什么都當不了，小心數(shù)學就是你的克星!102數(shù)學是什么？如果：你想當經(jīng)濟學家，藥學家，化學家，數(shù)學是統(tǒng)第一章：史前數(shù)學史自然現(xiàn)象：天文，地理生產(chǎn)力的發(fā)展私有思想，私有制人類智慧的發(fā)展神的旨意史前數(shù)學主要是對數(shù)的認識這種認識跨越幾萬年，直到18世紀103第一章：史前數(shù)學史自然現(xiàn)象：天文，地理4“匹配”導致自然數(shù)的產(chǎn)生族長或者酋長的工作古希臘荷馬史詩的傳說：波呂斐摩斯被刺瞎后的牧羊生活羅素（英國數(shù)學家，1872~1970)說“不知要經(jīng)過多少年，人類才發(fā)現(xiàn)一對錦雞和兩天同含一個數(shù)字二。”抽象對于古人實在是太難了104“匹配”導致自然數(shù)的產(chǎn)生族長或者酋長的工作5記數(shù)法艱難的過程限制中國數(shù)學深入的瓶頸印度阿拉伯數(shù)字105記數(shù)法艱難的過程6中國數(shù)學記數(shù)法：106中國數(shù)學記數(shù)法：7進位制：史上曾經(jīng)有過二進制，五進制，十進制，十二進制，十六進制，六十進制。漢字一二三四五六七八九十對十進制的貢獻長期運用后留下二進制十進制據(jù)推測五進制十進制與人的手指個數(shù)有關107進位制：史上曾經(jīng)有過二進制，五進制，十進制，十二進制，十六進現(xiàn)代澳大利亞托列斯峽群島上一些部落仍用二進制：

一=烏拉勃，二=阿柯扎

他們把三表為：阿柯扎烏拉勃

那么：阿柯扎阿柯扎＝？

阿柯扎阿柯扎烏拉勃＝?

阿柯扎阿柯扎阿柯扎=?108現(xiàn)代澳大利亞托列斯峽群島上一些部落仍用二進制：

一=烏拉勃“0”不是印度人或阿拉伯人的發(fā)明“0”太重要了，一無所有為零零是自然數(shù)據(jù)考證“0”首次出現(xiàn)在柬埔寨＆蘇門答臘的碑文上進位制是人類共同財產(chǎn)109“0”不是印度人或阿拉伯人的發(fā)明“0”太重要了，一無所有為零位值制：11236635中的3代表多少？拉普拉斯（法國數(shù)學家，1749～1827）說“用十個記號來表示一切數(shù)，每個數(shù)不但有絕對的值，而且還有位置的值，這種出自印度的巧妙方法，是一個深遠而重要的思想。今天看來是如此簡單，以至于我們忽視了它的真正偉績，但恰恰是它的簡單性對一切計算都提供了極大的方便，才使我們的算術在一切有用的發(fā)明中列在首位。而當我們想到它竟然逃過了古代最偉大的阿基米德和阿波羅尼斯的天才思想的關注時，我們更感到這成就的偉大?！?10位值制：11236635中的3代表多少？11自然數(shù)與整數(shù)的誕生分數(shù)與小數(shù)的誕生

小數(shù)點的誕生是后來很久以后的事了，公元635年，3.1415927記成三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽公元1593年由德國克拉維斯給出，現(xiàn)代記法誕生。負數(shù)的誕生：中國西漢出現(xiàn)（元前200年），用赤籌表示。歐洲15才世紀出現(xiàn)111自然數(shù)與整數(shù)的誕生分數(shù)與小數(shù)的誕生

小數(shù)點的誕生是后來很久以四大文明古國：中國公元前二十七世紀黃帝時代就開始了數(shù)學研究數(shù)學發(fā)達至少有4000年成就：分數(shù)、正負數(shù)、勾股定理、圓周率、剩余定理、楊輝三角等等由于中國文字的限制，數(shù)學理論的表敘以及推導都極為困難，導致數(shù)學理論在中國發(fā)展受到制約中國長期重文輕理導致數(shù)學以及科學的落后政治原因，農(nóng)業(yè)大國112四大文明古國：中國公元前二十七世紀黃帝時代就開始了數(shù)學研究1四大文明古國：印度印度有3500至4000年最大成就是印度數(shù)碼，十進制五世紀后“零”的符號在印度出現(xiàn)與占星術，宗教，農(nóng)業(yè)關系密切方法與結果用樹皮樹葉記載，大多失散用晦澀的詩歌表述，難于理解知道勾股定理，三角學并計算出113四大文明古國：印度印度有3500至4000年14四大文明古國：埃及光輝燦爛的文明影響較大的：金字塔，紙草書，古文字尼羅河貫穿全景治理尼羅河河水泛濫，他們研究天文發(fā)現(xiàn)：河水上漲與清晨天狼星升起的日子一樣，間隔365天，確立現(xiàn)代公歷的基礎重新測定河岸的土地，幾何特別發(fā)達沒有上升為理論，直到公元前4世紀后，希臘人入侵為止114四大文明古國：埃及光輝燦爛的文明15四大文明古國：巴比倫數(shù)學泥板的發(fā)現(xiàn)上面有：帳單，收據(jù)，票據(jù)，大量數(shù)學用表，達到古代數(shù)學的最高的理論水平1847年開始解讀數(shù)學泥板，1920年才有詳盡的注解，巴比倫文明被世人了解60位進制，面積體積的計算，方程組的求解，級數(shù)求和，勾股數(shù)，二次方程115四大文明古國：巴比倫數(shù)學泥板的發(fā)現(xiàn)16四大文明古國與河流中國：黃河，長江埃及：尼羅河巴比倫：底格里斯河，幼發(fā)拉底河印度：恒河，印度河116四大文明古國與河流中國：黃河，長江17其他發(fā)達古國希臘從公元前6世紀至公元4世紀，達1000年阿拉伯數(shù)學發(fā)達僅限于8至13世紀，有500年歐洲國家數(shù)學發(fā)達是在10世紀以后的事日本則遲至17世紀以后。117其他發(fā)達古國希臘從公元前6世紀至公元4世紀，達1000年18無理數(shù)的出現(xiàn)

與第一次數(shù)學危機無理數(shù)就像岔路口的路標，沿不同方向均可發(fā)現(xiàn)它的存在。中國沿一個方向來到它的面前竟然視而不見古希臘沿另外一個方向來到它的面前卻有意躲避118無理數(shù)的出現(xiàn)

與第一次數(shù)學危機無理數(shù)就像岔路口的路標，沿不同中國與無理數(shù)《九章算術》第四章說“若開之不盡者，為不可開，當以面命之”我們不知“當以面命之”所云為何，但可以確定，那時中國人一來到這個路標下了。劉徽在計算平方根的近似值時離無限不循環(huán)已近在咫尺，但他說“不足言之”竟然放棄了。“重算法輕算理”是中國古代的風氣使中國與無理數(shù)失之交臂，令人惋惜。119中國與無理數(shù)《九章算術》第四章說“若開之不盡者，為不可開，當古希臘與無理數(shù)學派眾多，最有名的是畢達哥拉斯學派（元前580~元前500）柏拉圖學派（元前430－－元前349）畢達哥拉斯學派是兼有政治，宗教，哲學的團體，“萬物皆數(shù)”（讀三聲）為其哲學基礎和理論出發(fā)點。畢氏提出了著名的畢達哥拉斯定理。120古希臘與無理數(shù)學派眾多，最有名的是畢達哥拉斯學派（元前580偉大的畢達哥拉斯畢達哥拉斯：古希臘數(shù)學家，公元前580至公元前497，青年的他游歷許多地方，并到埃及印度留學。他深入民間收集點點滴滴的數(shù)學知識，最后學有所成并形成一個學派，史稱畢達哥拉斯學派，對數(shù)學，天文學有巨大貢獻。畢達哥拉斯學派認為任何數(shù)都可以表達成二個整數(shù)的商，即任意數(shù)都是可以度量的。121偉大的畢達哥拉斯畢達哥拉斯：古希臘數(shù)學家，公元前580至公元萬物皆數(shù)他們把線段的長度看作是線段鎖包含的原子數(shù)目，因而任意兩條線段長度之比就是它們各自原子數(shù)之比。由此觀點出發(fā)，畢氏研究了音樂美術天文地理。應用在數(shù)學上，從埃及的黃金三角形（各邊之比為3：4：5）發(fā)現(xiàn)5：12：13，8：15：17，這就是中國說的“勾股定理”它們只相信直角三角形的三邊之比都應該是整數(shù)比122萬物皆數(shù)他們把線段的長度看作是線段鎖包含的原子數(shù)目，因而任意畢氏的學生、學者希帕索斯發(fā)現(xiàn)直角三角形直角邊都取1，則斜邊就不可度量，與畢氏理論產(chǎn)生矛盾畢氏也發(fā)現(xiàn)不可通約量的存在學派進入兩難境地，學派內部所有成員立誓保密，因而無理數(shù)有個諢號“不可說”（Alogon)希帕索斯說了，學派就此開始瓦解。學派解決矛盾的方法是把希帕索斯拋進大海。希帕索斯的發(fā)現(xiàn)引發(fā)了第一次數(shù)學危機。大約公元前５世紀，不可通約量的發(fā)現(xiàn)－－－－畢達哥拉斯悖論123畢氏的學生、學者希帕索斯發(fā)現(xiàn)直角三角形直角邊都取1，則斜邊就無理數(shù)：

古代數(shù)學家前進的方向歐道克斯（希臘，元前408～前355）數(shù)與量的分離：連續(xù)與離散。存在與否困擾科學家哲學家在迷霧中度過漫長而黑暗的中世紀，迎來“文藝復興”的繁榮時期（公元1400～1600）無理數(shù)終于被人們慢慢接受疑惑仍然存在“即樂意又心存疑慮”直到19世紀實數(shù)理論的建立才完全消除124無理數(shù)：

古代數(shù)學家前進的方向歐道克斯（希臘，元前408～前誰推開了虛數(shù)的“大門”12世紀，印度數(shù)學家婆什伽羅說：“正數(shù)的平方是正數(shù)，負數(shù)的平方是正數(shù)，因此一個正數(shù)的平方根是兩個，一個正數(shù)，一個負數(shù)。負數(shù)沒有平方根”。他太肯定了！“負數(shù)沒有平方根”遏制了后人的探索欲望。400年來，數(shù)學家都采取了回避態(tài)度。1545年卡丹的讓人莫名其妙（后面專門談他）125誰推開了虛數(shù)的“大門”12世紀，印度數(shù)學家婆什伽羅說：“正數(shù)大師的困惑與無知卡丹（意大利數(shù)學家，醫(yī)生，算命先生1501～1576）到達大門，不敢敲門。歐拉徹底否認：他說“一切形如的數(shù)學式都是不可能有的，這類數(shù)純屬虛構”偉大的笛卡兒(法國數(shù)學家，1596～1650）創(chuàng)立直角坐標系，給出理論武器。200年后即18世紀，挪威的測繪員威賽爾，巴黎的會計師阿爾干完美解釋。126大師的困惑與無知卡丹（意大利數(shù)學家，醫(yī)生，算命先生1501～從一維到二維600年的艱辛眾多杰出數(shù)學家束手無策，歷史罕見思維定勢所限：現(xiàn)實中沒有，傳統(tǒng)數(shù)學中它不合理條件所限：不能從一維跳到二維，笛卡兒還未出生，平面坐標不知為何物，費爾瑪無人認識，點的坐標，有序對是天方夜談，解析幾何還在數(shù)學的搖籃中睡覺127從一維到二維600年的艱辛28第二章：幾何學代數(shù)學的發(fā)展先有幾何還是先有代數(shù)？一個領域的繁榮昌盛不外乎下列幾個原因：1有重大理論問題出現(xiàn)。2有現(xiàn)實問題急需解決。3出現(xiàn)偉大人物。代數(shù)與幾何都有非常輝煌的時光。代數(shù)必講數(shù)論及方程，幾何必講歐幾里德德《原本》。幾何狂飚：突破歐幾里德幾何，非歐幾何。128第二章：幾何學代數(shù)學的發(fā)展先有幾何還是先有代數(shù)？29數(shù)論與方程：第二次抽象數(shù)的崇拜與禁忌：“1生2，2生3，3生萬物”所以1最神圣，7，8為吉祥數(shù)。4，13為一些民族的禁忌中國人崇拜“9”：故宮大門縱橫九顆銅星，皇帝九龍袍，九龍壁，“九九歸一，侄極而返”“60”是古巴比倫人與畢達哥拉斯心中的神數(shù)的文化：奇為女，偶為男，“一帆風順，雙喜臨門，三陽開泰，四通八達，五彩繽紛，六根清潔，八面玲瓏，九霄云外，十全十美”“一波三折，兩敗俱傷，三長兩短，四面楚歌，五內俱焚，六神無主，七上八下，九死一生，十惡不赦”129數(shù)論與方程：第二次抽象數(shù)的崇拜與禁忌：“1生2，2生3，3生數(shù)論與方程：第二次抽象整除理論：最古老的問題，中國剩余定理地道的業(yè)余數(shù)學家費爾瑪：從地方官員到數(shù)學家，30歲學習數(shù)學，既是解析幾何的發(fā)明者（與笛卡兒同享）又是概率論的開創(chuàng)者（與帕斯卡同享），不同尋常的經(jīng)歷，不可思議，令人感慨萬千費馬瑪（法國數(shù)學家，1601-1665)與數(shù)論：看起來簡單，作起來難之又難，是數(shù)論的魅力所在，使人“衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴”，始作俑者費爾瑪?，F(xiàn)代數(shù)論的先驅＆創(chuàng)始人130數(shù)論與方程：第二次抽象整除理論：最古老的問題，中國剩余定理3費爾瑪猜想丟番圖（古希臘公元246～330）名著《算術》，代數(shù)學之母《算術》是費爾瑪?shù)恼磉呏?/p>

從17世紀到20世紀，歷時300多年，直到1994，41歲得英國數(shù)學家懷爾斯解決131費爾瑪猜想丟番圖（古希臘公元246～330）名著《算術》，代高斯(德國數(shù)學家，1777～1855)與數(shù)論現(xiàn)代數(shù)論統(tǒng)一理論的創(chuàng)建者20歲決定獻身數(shù)學，最終成為最偉大的數(shù)學家之一1801年結束費爾瑪數(shù)論，開創(chuàng)純理論數(shù)論研究追隨者：戴德金，狄利克雷，劉維爾，閔可夫斯基，創(chuàng)建：代數(shù)數(shù)論，解析數(shù)論，超越數(shù)論，幾何數(shù)論132高斯(德國數(shù)學家，1777～1855)與數(shù)論現(xiàn)代數(shù)論統(tǒng)一理哥德巴赫猜想與陳景潤1742年，德國哥德巴赫老師發(fā)現(xiàn)“大于2的偶數(shù)，可以表示為兩個素數(shù)之和”求教歐拉：歐拉說“雖然我不能證明它，但我確信它完全正確”1900年希爾伯特（德國數(shù)學家，1862～1943）把它列為23個世紀難題，稱為“皇冠上的明珠”1966年中國人陳景潤（1933～1996）證明“1＋2”，1973年發(fā)表，離摘取明珠咫尺之遙陳氏定理被譽為“光輝頂點”133哥德巴赫猜想與陳景潤1742年，德國哥德巴赫老師發(fā)現(xiàn)“大于2方程的歷史方程的產(chǎn)生：在中國，在日本，在印度花拉子模（阿拉伯人，公元780～850）第一次給出未知量，但他稱其為“硬幣”“東西”“根”代數(shù)“Algebra”源于花氏的書中“還原”一詞古希臘的不定方程，丟番圖，費爾瑪與不定方程印度的不定方程，追求全部整數(shù)解，他們的阿耶波多，婆羅摩岌多，婆什伽羅都有著述134方程的歷史方程的產(chǎn)生：在中國，在日本，在印度35方程的發(fā)展符號化：從丟番圖開始到1589年的韋達從一元到二元：古希臘數(shù)學家海倫的著作，中國《九章算術》均有記述海倫：有一正方形知其面積與周長之和為896尺，求其一邊《九章算術》：今有邑城方不知大小，各開中門。出北門20步有木，出南門14步折而西行1775見木。問邑方幾何？135方程的發(fā)展符號化：從丟番圖開始到1589年的韋達36符號化的形式136符號化的形式37一元二次方程的解法花拉子模的幾何解法中國的“開帶從平方法”古希臘的配方法：公元100年海倫～200年丟番圖完成佛蘭西斯韋達（法國數(shù)學家，法學家，外交家，國王參謀長，1540－－1603）：根與系數(shù)的關系137一元二次方程的解法花拉子模的幾何解法38一元三次方程的公式解人們尋找象一元二次方程那樣的公式解當時認為它比圓化方還難16世紀，意大利的波羅拉學派的弗羅（1465～1562）得出的解。但是未公布30歲的尼科拉方丹納（意大利布雷西亞青年，1500～1557）綽號“塔塔利亞”（結巴）：給出一元三次方程的公式解138一元三次方程的公式解人們尋找象一元二次方程那樣的公式解39數(shù)學史上第一次數(shù)學競賽塔塔利亞解決的問題：他未公布答案，引來波羅拉學派的憤怒塔塔利亞與波羅拉決定舉行競賽，塔塔利亞勝出，這是有史記載的第一次數(shù)學競賽139數(shù)學史上第一次數(shù)學競賽塔塔利亞解決的問題：40塔塔利亞，卡丹，費拉里的恩恩怨怨卡丹：(雄辯家，博物學家，幾何家，代數(shù)家，天文學家，星象學家，醫(yī)學家，外科專家，道學家，語言學家)拜倒在塔塔利亞面前1539年求教與塔氏,并同意保密，得到手稿卡丹的仆人費拉里的成就：一元四次方程的解法1545年卡丹發(fā)表《大衍術》（ArsMagna)公開塔氏費氏成果，引發(fā)數(shù)學史的第一次公案事情遠未結束：五次以及五次以上的方程呢？140塔塔利亞，卡丹，費拉里的恩恩怨怨卡丹：(雄辯家，博物學家，幾初等幾何起源：無意識的幾何階段，埃及金字塔（元前2900），尼羅河岸邊的土地界限丈量幾何的發(fā)展：經(jīng)驗幾何的產(chǎn)生，中國埃及巴比倫印度論證幾何的哲學基礎的出現(xiàn)：公理及嚴謹?shù)倪壿嬐评?，古希臘哲學的發(fā)展讓嚴謹深深扎根于心靈深處。141初等幾何起源：無意識的幾何階段，埃及金字塔（元前2900），數(shù)學圣經(jīng)《幾何原本》（Elements)歐幾里德（希臘數(shù)學家，元前330～前275）的幾何原本堪稱集合論證的光輝典范，影響曾經(jīng)可比圣經(jīng)1607年明朝翻譯到中國在全世界使用至今《原本》共13篇，包羅初等幾何，初等數(shù)論，幾何代數(shù)所有初等幾何的書都是抄錄《原本》或者是抄錄那些抄錄《原本》的書的書142數(shù)學圣經(jīng)《幾何原本》（Elements)歐幾里德（希臘數(shù)學家?guī)缀味攘浚娣e體積)歐道克斯的變量，繞開無理數(shù)使丈量得以進行多邊形的面積：畢氏的直接因數(shù)法，歐幾里德“轉化”法，比如：等底等高的兩個三角形面積相同阿基米德（希臘數(shù)學家，元前287～前212）對曲邊形面積的研究；離微積分咫尺之遙祖沖之（南北朝政府官員，公元429～500）：曾經(jīng)的世界第一，保持1000多年。圓周率的計算思想比圓周率本身還重要,他也靠近了微積分，是中國古代最具現(xiàn)代數(shù)學思想的人143幾何度量（面積體積)歐道克斯的變量，繞開無理數(shù)使丈量得以進行偉大的阿基米德意大利西西里島的敘古拉（當時受希臘統(tǒng)治）是他的故鄉(xiāng)，他是當時最偉大的天文學家，力學家，數(shù)學家，是人類科學的第一坐高峰，超過高斯牛頓杠桿與重心理論，流體力學73歲在敘古拉參加抵御羅馬入侵，擔任最高軍事顧問，研究出大量的武器元前212被羅馬士兵所殺144偉大的阿基米德意大利西西里島的敘古拉（當時受希臘統(tǒng)治）是他的就此完成初等數(shù)學內容的創(chuàng)立17世紀前，數(shù)學已是摻天大樹研究不變的量，幾何代數(shù)是其中心內容三角，對數(shù)，數(shù)列已經(jīng)建立理論構成現(xiàn)在小學中學學習的數(shù)學知識這時的數(shù)學仍有許多困境與迷惑數(shù)學等待更偉大的理論與更偉大的人物145就此完成初等數(shù)學內容的創(chuàng)立17世紀前，數(shù)學已是摻天大樹46第三章：變量數(shù)學數(shù)學發(fā)展的第三個時期最具代表性的人物是法國人笛卡兒笛卡兒是一座高高的山峰，屹立在初等數(shù)學的盡頭，高等數(shù)學的開頭，他是分水嶺標志性的概念是變量，它成為數(shù)學的中心內容標志性的工作是微積分的誕生與成熟146第三章：變量數(shù)學數(shù)學發(fā)展的第三個時期47建議大家閱讀的圖書《數(shù)學哲學》張景中著《古今數(shù)學思想》克萊因著《現(xiàn)代西方哲學之父:笛卡兒》《數(shù)學思想發(fā)展簡史》袁小明等著147建議大家閱讀的圖書《數(shù)學哲學》張景中著48數(shù)學的天空中群星閃耀從公元1600年－－公元1820年數(shù)學發(fā)展的黃金時代數(shù)學研究變數(shù)以及變數(shù)之間的關系運動進入數(shù)學，辯證法進入數(shù)學笛卡兒與費爾瑪用代數(shù)方法解決幾何問題，創(chuàng)立解析幾何萊布尼茲（德國數(shù)學家，哲學家，物理學家1646－1716）提出函數(shù)的一般概念148數(shù)學的天空中群星閃耀從公元1600年－－公元1820年數(shù)學發(fā)數(shù)學的星空群星閃耀牛頓（英國物理學家，數(shù)學家1642－1727）與萊布尼茲共同創(chuàng)立微積分的原理他們及其學生們發(fā)展了數(shù)學分析為物理學天文學光學提供強有力的工具成功預言1759年哈雷慧星回歸發(fā)展了偏微分方程，概率統(tǒng)計，變分學149數(shù)學的星空群星閃耀牛頓（英國物理學家，數(shù)學家1642－172解析幾何17世紀最重要的成就之一標志變量時代的開始可追溯到埃及羅馬人的活動：他們在測繪地形時，借助坐標確定位置希臘人阿波羅尼斯從圓錐曲線導出它的豐富的圓錐曲線幾何學（與笛卡兒的非常相似）150解析幾何17世紀最重要的成就之一51背景16世紀歐洲文藝復興帶來的科學，經(jīng)濟的全面發(fā)展天文學力學航海的迫切需要初等數(shù)學已經(jīng)成熟：偉大人物已經(jīng)出現(xiàn)：笛卡兒，費爾瑪，開普勒,伽利略等等試驗數(shù)學的方法，運動的觀點要求必須有新的理論方法來研究幾何東方的數(shù)學書籍傳入西方，引發(fā)用代數(shù)解決幾何問題，改變了西方用幾何解決代數(shù)問題的觀念151背景16世紀歐洲文藝復興帶來的科學，經(jīng)濟的全面發(fā)展52幾何代數(shù)融合為一體1591年韋達的《分析學引論》確立符號代數(shù)，成為變量數(shù)學產(chǎn)生的前提坐標系的發(fā)明對幾何與代數(shù)之間一一對應關系的認識函數(shù)y=f(x)的坐標圖示法笛卡兒與費爾瑪用代數(shù)法研究幾何，把代數(shù)方程與曲線曲面等聯(lián)系起來，變量進入數(shù)學。改變了數(shù)學的性質，具有偉大的意義152幾何代數(shù)融合為一體1591年韋達的《分析學引論》確立符號代數(shù)費爾瑪與解析幾何費爾瑪生平：法學家，官員，語言學家，數(shù)學家笛卡兒與解析幾何笛卡兒生平：哲學家，物理學家，心理學家，數(shù)學家，旅游家，軍人153費爾瑪與解析幾何54微積分名稱的由來：牛頓萊布尼茲約翰貝努里差的計算“calculusdifferentialis”,和的計算“calculussummatorius”,演化為“differetialcalculus”(微分學）“integralcalculus”（積分學）河稱“微積分”英文為“calculus”洛必達1696年的《無窮小分析》是第一本微積分著作使微積分又叫“分析”1859年（清咸豐9年）微積分傳入中國，當時的數(shù)學家李善蘭把它翻譯為微積分，可能取于“不辨積微之為量，詎曉百億于大千”154微積分名稱的由來：牛頓萊布尼茲約翰貝努里差的計算“calcu人類歷史上的最偉大創(chuàng)舉變量數(shù)學時期，17世紀后期由牛頓萊布尼茲創(chuàng)立的微積分是最主要的成就微積分的誕生是全部數(shù)學史上，也是人類歷史上最偉大最有影響的創(chuàng)舉微積分導致后來一切科學和技術領域的革命離開微積分，人類將停頓前進的步伐155人類歷史上的最偉大創(chuàng)舉變量數(shù)學時期，17世紀后期由牛頓萊布尼微積分產(chǎn)生的背景從埃及尼羅河沿岸每年丈量土地開始，人們就在尋求一種計算不規(guī)則圖形面積的方法眾多科學家意識到其中有個“幽靈”說不清道不明，其代表人物：阿基米德，芝諾，歐道克斯，莊子，劉徽許多迫切待解決的問題擺在數(shù)學家面前：描述處理運動？曲線的切線？曲線的長度？曲面的面積？曲面圍成的多面體的體積？極大極小問題？等等156微積分產(chǎn)生的背景從埃及尼羅河沿岸每年丈量土地開始，人們就在尋無窮小分割是主要方法無窮小分割求和：關于切線：笛卡兒與費爾瑪認為是兩個交點重合時的割線。羅伯瓦等認為是描繪曲線的運動在這點的方向眾多數(shù)學家加入到這場爭論中，拉開流數(shù)術和微分法的序幕費爾瑪是出去牛頓萊布尼茲外做得最多的人，他走到大門口，但沒有進入。主要是他沒有它的理論與求積的關系157無窮小分割是主要方法無窮小分割求和：58牛頓與萊布尼茲各自獨立發(fā)明微積分牛頓與微積分萊布尼茲與微積分英德之間的歷史公案158牛頓與萊布尼茲各自獨立發(fā)明微積分牛頓與微積分5915960無窮小是零嗎？

第二次數(shù)學危機研究下列問題：1734年，英國哲學家、大主教貝克萊發(fā)表《分析學家或者向一個不信正教數(shù)學家的進言》，矛頭指向微積分的基礎--無窮小的問題，提出了貝克萊悖論。引發(fā)第二次數(shù)學危機160無窮小是零嗎？

第二次數(shù)學危機研究下列問題：61dx為逝去量的“靈魂”他指出：牛頓在求xn的導數(shù)時，采取了先給x以增量０，應用二項式（x+0）n，從中減去xn以求得增量，并除以０以求出xn的增量與x的增量之比，然后又讓０消逝，這樣得出增量的最終比。161dx為逝去量的“靈魂”他指出：牛頓在求“幽靈”即為極限的概念

這里牛頓做了違反矛盾律的手續(xù)：先設x有增量，又令增量為零，也即假設x沒有增量。"他認為無窮小dx既等于零又不等于零，召之即來，揮之即去，這是荒謬，"dx為逝去量的靈魂"。無窮小量究竟是不是零？無窮小及其分析是否合理？162“幽靈”即為極限的概念

這里牛頓做了違反“幽靈”即為極限的概念

由此而引起了數(shù)學界甚至哲學界長達一個半世紀的爭論。直到19世紀20年代，一些數(shù)學家才比較關注于微積分的嚴格基礎。波爾查諾、阿貝爾、柯西、狄里赫利等人的工作開始，到威爾斯特拉斯、戴德金和康托的工作結束，中間經(jīng)歷了半個多世紀，基本上解決了矛盾，為數(shù)學分析奠定了嚴格的基礎：極限理論163“幽靈”即為極限的概念

由此而引起了數(shù)學界甚至哲學界長達一個代數(shù)學進一步發(fā)展三百多年弄不清楚的問題：五次五次以上的方程的公式解法國數(shù)學家拉各朗日稱這一問題是在“向人類的智慧挑戰(zhàn)”。1770年拉格朗日分析了二次、三次、四次方程根式解的結構之后，提出了方程的預解式概念，并且還看出預解式和方程的各個根在排列置換下的形式不變性有關，這時他認識到求解一般五次方程的代數(shù)方法可能不存在。164代數(shù)學進一步發(fā)展三百多年弄不清楚的問題：五次五次以上的方程的不幸的挪威數(shù)學家阿貝爾此后，挪威數(shù)學家阿貝爾利用置換群的理論，給出了高于四次的一般代數(shù)方程不存在代數(shù)解的證明。阿貝爾簡介：（阿貝爾：Abel,1802.8~1829.5）任何一部數(shù)學家詞典中的第一人，是十九世紀最偉大的數(shù)學家之一，是挪威空前絕后的最偉大的學者?！笕苏硭倪z著花了150年。165不幸的挪威數(shù)學家阿貝爾此后，挪威數(shù)學家阿貝爾利用置換群的理論27歲他離開人世阿貝爾率先解決了這個引人矚目的難題。可是，由于阿貝爾生前只是個默默無聞的“小人物”，他的發(fā)明創(chuàng)造競沒有引起數(shù)學界的重視。在失望、勞累、貧困的打擊下，阿貝爾不滿27歲就離開了人間，使他未能徹底解決這個難題。比如說：為什么有的特殊高次方程能用根式解呢?如何精確地判斷這些方程呢？他死后第二天，倫敦大學校長的特使，手持校長的邀請函來到挪威師范學院尋找阿貝爾16627歲他離開人世阿貝爾率先解決了這個引人矚目的難題?？墒牵蓺屄涞男滦?832年5月30日清晨，法國巴黎郊外進行了—場決斗。槍聲響后，一個青年搖搖晃晃地倒下了。第二天一早，他就匆匆離開了人間，死時還不到21歲。死前這個青年沉痛地說：“請原諒我不是為國犧牲。我是為一些微不足道的事而死的?！边@個因決斗而死去的青年，就是近代數(shù)學的奠基人之一、歷史上最華輕的著名數(shù)學家伽羅華。1811年10月25日，伽羅華出生在法國巴黎附近的一個小鎮(zhèn)上。167殞落的新星1832年5月30日清晨，法國巴黎郊外進行了—場決更加不幸的法國數(shù)學家伽羅華伽羅華（1811.10.25~1832.5.30）浪漫的法國人一直為他們早逝的劃時代的、人類有史以來最聰明的、思想最深刻的、最倒霉的數(shù)學家感到自責?！粝铝?00頁數(shù)學文稿，被發(fā)展成一門艱深、應用廣泛的學科----抽象代數(shù)或稱群論。168更加不幸的法國數(shù)學家伽羅華伽羅華（1811.10.25~18經(jīng)常被老師斥為笨蛋小時候，伽羅華并末表現(xiàn)出特殊的數(shù)學才能，相反，他12歲進入巴黎的一所公文中學后，還經(jīng)常被老師斥為笨蛋。伽羅華當然不是笨蛋，他性格偏執(zhí)，對學校死板的教育方式很不適應，漸漸地，他對很多課程都失去了興趣，學習成績一直很一般。169經(jīng)常被老師斥為笨蛋小時候，伽羅華并末表現(xiàn)出特殊的數(shù)學才能，相伽羅華遇到了數(shù)學教師里沙在中學的第三年，伽羅華遇到了數(shù)學教師里沙。里沙老師非常善于啟發(fā)學生思維，他把全副精力都傾注在學生身上，還常常利用業(yè)余時間去大學聽課，向學生傳授新知識。很快，伽羅華就對數(shù)學產(chǎn)生了極大的興趣。他在里沙老師的指導下，迅速學完了學校的數(shù)學課程，自學了許名數(shù)學大師的著作。1