1980年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(理科)

一、解答題（共10小題，滿分0分）16分）將多項式x﹣9xy123）5526分）半徑為13的三個圓兩兩外切．證明：以這三個圓的圓心為頂點的三角形是直角三角形．510分）直升飛機上一點P在地面M上的正射影是，從P看地面上一物體（不同于線PB垂直于飛機窗玻璃所在的平面N必與平面M相交，且交線垂直于．（1）寫出（x）極大值M、極小值m與最小正周期；（2）試求最小的正整數(shù)k，使得當(dāng)自變量x在任意兩個整數(shù)間（包括整數(shù)本身）變化時，函數(shù)（x）至少有一個值是M與一個值是m．714CD為直角三角形ABC中斜邊AB△ACD△△ABC的面積成等比數(shù)列，求∠814分）已知0＜＜，證明：；并討論α為何值時等號成立．918分）拋物線的方程是y=2x，有一個半徑為1的圓，圓心在x軸上運動問這個圓運動到什么位2置時，圓與拋物線在交點處的切線互相垂直？（注：設(shè)（xy）是拋物線y=2px上一點，則拋物200（tE（是參數(shù)）問b應(yīng)滿足什么條件，使得對于任意m值來說，直線（）與橢圓（E）總有公共點．一、解答題（共10小題，滿分0分）16分）將多項式x﹣9xy123）55直接根據(jù)（123）復(fù)數(shù)范圍．的要求，分解因式即可．1）x﹣9xy=xy（x+3yx﹣3y552222（2）x﹣9xy=xy（x+3yx+x﹣552255本題考查實數(shù)系與數(shù)系的擴充，考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識，是基礎(chǔ)題．26分）半徑為13的三個圓兩兩外切．證明：以這三個圓的圓心為頂點的三角形是直角三角形．根據(jù)兩圓外切時兩圓心之間的距離等于兩半徑之和，由三個圓的半徑分別求出三角形的三邊，證明：設(shè)⊙O、⊙OO的半徑分別為12、3．123因這三個圓兩兩外切，故有OO，OO，OO=1+3=4，12213222221213根據(jù)勾股定理的逆定理，2123明白判斷一個三角形是直角三角形的方法不僅可以根據(jù)一個角是直角得到三角形為直角三角形，還可以利用勾股定理的逆定理來判斷一個三角形為直角三角形．兩條直線的交點坐標(biāo)；直線的一般式方程．證明題；數(shù)形結(jié)合．建立直角坐標(biāo)系，寫出各點的坐標(biāo)，利用兩點的連線的斜率公式求出AB的斜率，利用兩直線垂直斜率互為倒數(shù)得到AB邊上的高的斜率，利用點斜式求出AB邊的高的方程，同理求出AC邊上的高，兩高線的方程聯(lián)立得到高線的交點．證明：取△ABC最長一邊BC所在的直線為X軸，經(jīng)過A的高線為Y軸，設(shè)、、C的坐標(biāo)分別為（0，B（b，0C（，0＞0，b＜0，＞0，，高線CE的方程為高線BD的方程為垂直斜率乘積為﹣1、考查兩直線的交點坐標(biāo)的求法．利用指數(shù)式與對數(shù)式的互化，log=x等價于b，兩邊同取對數(shù)后解除x的解析式．Nxb證明：令log=x，則b，兩邊同取以a為底的對數(shù)得：NxNbabNaaNb本題考查對數(shù)的定義，體現(xiàn)解方程的思想．510分）直升飛機上一點P在地面M上的正射影是，從P看地面上一物體（不同于線PB垂直于飛機窗玻璃所在的平面N必與平面M相交，且交線垂直于．證明題．用反證法先證平面N與平面MN與平面MPA也垂直于PA與PB重合，B點與A點重合，但這與題設(shè)不同于矛盾，從而平面N與平面M相交，設(shè)平面N與平面M的交線為，然后證⊥平面PAB，從而得到L垂直于．證明：假如平面N與平面M平行，則PA也垂直于，因此PA與PB重合，B點與A點重合，但這與題設(shè)不同于A”矛盾，∴⊥平面PAB，∴L⊥．力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．（1）寫出（x）極大值M、極小值m與最小正周期；（2）試求最小的正整數(shù)k，使得當(dāng)自變量x在任意兩個整數(shù)間（包括整數(shù)本身）變化時，函數(shù)（x）至少有一個值是M與一個值是m．函數(shù)（ωx+φ）的圖象變換；三角函數(shù)的周期性及其求法；正弦函數(shù)的圖象．綜合題．最大值為11ω=（2x）在它的每一個周期中都恰好有一個值是M與一個值是m．而任意兩個整數(shù)間的距離都≥1，因此要使任意兩個整數(shù)間函數(shù)（x）至少有一個值是M與一個值是m，必須且只須1）M=1，m=﹣1，714CD為直角三角形ABC中斜邊AB△ACD△△ABC的面積成等比數(shù)列，求∠直角三角形的射影定理．計算題．要用反三角函數(shù)表示∠，關(guān)鍵是要解三角形，求出含B的三角形中對應(yīng)的邊長，再利用三角因此，△ACD的面積為，依題意，即x（﹣xx﹣c，2222但x（﹣xAC=x，∴AC=x=DB=222在直角三角形ABC中，在雙垂直問題（即過直角三角形的直角頂點做斜邊上的高）中，要善于利用勾股定理、射影定理去尋求邊與邊之間的關(guān)系．；并討論α為何值時等號成立．轉(zhuǎn)變?yōu)樽C明，兩端乘以sinα，進而轉(zhuǎn)兩端乘以sinα，問題化為證明2sinαsin2α≤1+cosα．而2sinαsin2α22∴等號成立當(dāng)且僅當(dāng)﹣=0即α=60°本題主要考查利用三角函數(shù)中的常用公式，完成弦切之間的轉(zhuǎn)換．屬基礎(chǔ)題．918分）拋物線的方程是y=2x，有一個半徑為1的圓，圓心在x軸上運動問這個圓運動到什么位2置時，圓與拋物線在交點處的切線互相垂直？（注：設(shè)（xy）是拋物線y=2px上一點，則拋物200線在P點處的切線斜率是圓錐曲線的共同特征；圓方程的綜合應(yīng)用；拋物線的應(yīng)用．計算題．設(shè)出圓的方程，再設(shè)圓與拋物線的一個交點為P進而可求得在P點圓半徑的斜率和在P點拋P拋物線在P點相切進而建立等式，把P點代入拋物線方程和橢圓方程，聯(lián)立方程組可求得k，則圓的方程可得．22再設(shè)圓與拋物線的一個交點為P（x，y）00在P點拋物線的切線與圓的切線垂直，必須且只須圓的半徑與拋物線在P點相切，1）因P（x，y）是圓與拋物線的交點，00200（x﹣k）+y=13）220000200200．故所求圓的方程為故圓心是（，0）時圓與拋物線在交點處的切線互相垂直本題主要考查了圓錐曲線的共同特征．解此類題應(yīng)充分發(fā)揮判別式和韋達定理在解題中的作用．靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想、函數(shù)思想、等價轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想解題．10（tE（θ是參數(shù)）問b應(yīng)滿足什么條件，使得對于任意m值來說，直線（）與橢圓（E）總有公共點．直線的參數(shù)方程；直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的參數(shù)方程．計算題；選作題；判別式法．公共點問題，考慮到聯(lián)立方程式由求判別式的方法求取值范圍即可得到答案．解：對于直線（）對于橢圓（E）消去參數(shù)，得一般方程22222（