工學(xué)《信號(hào)與系統(tǒng)》-第九章-拉普拉斯變換課件

第9章拉普拉斯變換12/2/2022196第9章拉普拉斯變換11/30/20221964.雙邊拉普拉斯變換的性質(zhì)；本節(jié)主要內(nèi)容：1.雙邊拉普拉斯變換；2.雙邊拉普拉斯變換的收斂域；6.單邊拉普拉斯變換；3.零極點(diǎn)圖；12/2/20222964.雙邊拉普拉斯變換的性質(zhì)；本節(jié)主要內(nèi)容：1.雙邊拉9.0引言

傅里葉變換是以復(fù)指數(shù)函數(shù)的特例和為基底分解信號(hào)的。對(duì)更一般的復(fù)指數(shù)函數(shù)和，也理應(yīng)能以此為基底對(duì)信號(hào)進(jìn)行分解。

傅里葉分析方法之所以在信號(hào)與LTI系統(tǒng)分析中如此有用，很大程度上是因?yàn)橄喈?dāng)廣泛的信號(hào)都可以表示成復(fù)指數(shù)信號(hào)的線(xiàn)性組合，而復(fù)指數(shù)函數(shù)是一切LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)。12/2/20223969.0引言傅里葉變換是以復(fù)指數(shù)函數(shù)的特例

通過(guò)本章及下一章，會(huì)看到拉普拉斯變換和Ｚ變換不僅具有很多與傅里葉變換相同的重要性質(zhì)，不僅能解決用傅里葉分析方法可以解決的信號(hào)與系統(tǒng)分析問(wèn)題，而且還能用于傅里葉分析方法不適用的許多方面。拉普拉斯變換與Ｚ變換的分析方法是傅里葉分析法的推廣，傅里葉分析是它們的特例。

將傅里葉變換推廣到更一般的情況就是本章及下一章要討論的中心問(wèn)題。12/2/2022496通過(guò)本章及下一章，會(huì)看到拉普拉斯變換和Ｚ變換不僅具有很多9.1拉普拉斯變換

復(fù)指數(shù)信號(hào)是一切LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)。如果LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為，則系統(tǒng)對(duì)產(chǎn)生的響應(yīng)是:，其中顯然當(dāng)時(shí)，就是連續(xù)時(shí)間傅里葉變換。TheLaplaceTransform12/2/20225969.1拉普拉斯變換復(fù)指數(shù)信號(hào)是一切LT一.雙邊拉氏變換的定義：稱(chēng)為的雙邊拉氏變換，其中。若，則有:

這就是的傅里葉變換。表明：連續(xù)時(shí)間傅里葉變換是雙邊拉普拉斯變換在或是在軸上的特例。12/2/2022696一.雙邊拉氏變換的定義：稱(chēng)為的雙邊拉氏變換，其中由于

所以拉氏變換是對(duì)傅里葉變換的推廣，的拉氏變換就是的傅里葉變換。只要有合適的存在，就可以使某些本來(lái)不滿(mǎn)足狄里赫利條件的信號(hào)在引入后滿(mǎn)足該條件。即有些信號(hào)的傅氏變換不收斂而它的拉氏變換存在。這表明拉氏變換比傅里葉變換有更廣泛的適用性。12/2/2022796由于所以拉氏變換是對(duì)傅里葉變換的推廣，的11/30例1.在時(shí)，積分收斂。當(dāng)時(shí)，的傅里葉變換存在顯然，在時(shí)，拉氏變換收斂的區(qū)域?yàn)?，包括了（即軸）。12/2/2022896例1.在時(shí)，積分收斂。當(dāng)時(shí)，比較和，顯然有當(dāng)時(shí)，可知例2.與例1.比較，區(qū)別僅在于收斂域不同。12/2/2022996比較和，顯然有當(dāng)時(shí)，可知例由以上例子，可以看出:1.拉氏變換與傅里葉變換一樣存在收斂問(wèn)題。并非任何信號(hào)的拉氏變換都存在，也不是S平面上的任何復(fù)數(shù)都能使拉氏變換收斂。2.使拉氏變換積分收斂的那些復(fù)數(shù)S的集合，稱(chēng)為拉氏變換的收斂域。拉氏變換的收斂域ROC（RegionofConvergence）對(duì)拉氏變換是非常重要的概念。12/2/20221096由以上例子，可以看出:1.拉氏變換與傅里葉變換一樣存在收斂3.

不同的信號(hào)可能會(huì)有完全相同的拉氏變換表達(dá)式，只是它們的收斂域不同。5.如果拉氏變換的ROC包含軸，則有4.只有拉氏變換的表達(dá)式連同相應(yīng)的收斂域，才能和信號(hào)建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。12/2/202211963.不同的信號(hào)可能會(huì)有完全相同的拉氏變換表達(dá)式，只是它們的二.拉氏變換的ROC及零極點(diǎn)圖：例3.12/2/20221296二.拉氏變換的ROC及零極點(diǎn)圖：例3.11/30/2022可見(jiàn)：拉氏變換的收斂域是各個(gè)收斂域的公共部分。ROC總是以平行于軸的直線(xiàn)作為邊界的，ROC的邊界總是與的分母的根相對(duì)應(yīng)的。若是有理函數(shù)12/2/20221396可見(jiàn)：拉氏變換的收斂域是各個(gè)收斂域的公共部分。ROC總是以平

分子多項(xiàng)式的根稱(chēng)為零點(diǎn)，分母多項(xiàng)式的根稱(chēng)為極點(diǎn)。

將的全部零點(diǎn)和極點(diǎn)表示在S平面上，就構(gòu)成了零極點(diǎn)圖。零極點(diǎn)圖及其收斂域可以表示一個(gè)，最多與真實(shí)的相差一個(gè)常數(shù)因子。因此，零極點(diǎn)圖是拉氏變換的圖示方法。12/2/20221496分子多項(xiàng)式的根稱(chēng)為零點(diǎn)，分母多項(xiàng)式的根稱(chēng)為極點(diǎn)。將9.2拉氏變換的收斂域可以歸納出ROC的以下性質(zhì)：TheRegionofConvergenceforLaplaceTransforms4.右邊信號(hào)的ROC位于S平面內(nèi)一條平行于軸的直線(xiàn)的右邊。3.時(shí)限信號(hào)的ROC是整個(gè)S平面。2.在ROC內(nèi)無(wú)任何極點(diǎn)。1.ROC是S平面上平行于軸的帶形區(qū)域。12/2/202215969.2拉氏變換的收斂域可以歸納出ROC的以下性質(zhì)：The若，則表明也在收斂域內(nèi)。若是右邊信號(hào),,在ROC內(nèi)，則有絕對(duì)可積，即：12/2/20221696若，則表明也在收斂域內(nèi)。若是右5.左邊信號(hào)的ROC位于S平面內(nèi)一條平行于軸的直線(xiàn)的左邊。

若是左邊信號(hào)，定義于,在ROC內(nèi)，，則表明也在收斂域內(nèi)。12/2/202217965.左邊信號(hào)的ROC位于S平面內(nèi)一條平行于軸的直6.雙邊信號(hào)的ROC如果存在，一定是S平面內(nèi)平行于軸的帶形區(qū)域。例1.其它12/2/202218966.雙邊信號(hào)的ROC如果存在，一定是S平面內(nèi)平行于考查零點(diǎn)，令例2.有極點(diǎn)

顯然在也有一階零點(diǎn)，由于零極點(diǎn)相抵消，致使在整個(gè)S平面上無(wú)極點(diǎn)。得（k為整數(shù)）12/2/20221996考查零點(diǎn)，令例2.有極點(diǎn)顯然在也有當(dāng)時(shí)，上述ROC有公共部分，當(dāng)時(shí)，上述ROC無(wú)公共部分，表明不存在。12/2/20222096當(dāng)時(shí)，上述ROC有公共部分，當(dāng)

當(dāng)是有理函數(shù)時(shí)，其ROC總是由的極點(diǎn)分割的。ROC必然滿(mǎn)足下列規(guī)律：3.雙邊信號(hào)的ROC可以是任意兩相鄰極點(diǎn)之間的帶形區(qū)域。2.左邊信號(hào)的ROC一定位于

最左邊極點(diǎn)的左邊。1.右邊信號(hào)的ROC一定位于

最右邊極點(diǎn)的右邊。12/2/20222196當(dāng)是有理函數(shù)時(shí)，其ROC總是由例3.可以形成三種ROC：ROC：ROC：ROC：此時(shí)是右邊信號(hào)。此時(shí)是左邊信號(hào)。此時(shí)是雙邊信號(hào)。12/2/20222296例3.可以形成三種ROC：此時(shí)是右邊信號(hào)。此TheUnilateralLaplaceTransform

單邊拉氏變換是雙邊拉氏變換的特例。也就是因果信號(hào)的雙邊拉氏變換。單邊拉氏變換對(duì)分析LCCDE描述的增量線(xiàn)性系統(tǒng)具有重要的意義。一.定義:

如果是因果信號(hào)，對(duì)其做雙邊拉氏變換和做單邊拉氏變換是完全相同的。9.3單邊拉普拉斯變換12/2/20222396TheUnilateralLaplaceTran

單邊拉氏變換也同樣存在ROC。其ROC必然遵從因果信號(hào)雙邊拉氏變換時(shí)的要求，即：一定位于最右邊極點(diǎn)的右邊。

正因?yàn)檫@一原因，在討論單邊拉氏變換時(shí)，一般不再?gòu)?qiáng)調(diào)其ROC。單邊拉氏變換的反變換一定與雙邊拉氏變換的反變換相同。12/2/20222496單邊拉氏變換也同樣存在ROC。其ROC必然遵從因果信號(hào)第9章拉普拉斯變換12/2/20222596第9章拉普拉斯變換11/30/20221964.雙邊拉普拉斯變換的性質(zhì)；本節(jié)主要內(nèi)容：1.雙邊拉普拉斯變換；2.雙邊拉普拉斯變換的收斂域；6.單邊拉普拉斯變換；3.零極點(diǎn)圖；12/2/202226964.雙邊拉普拉斯變換的性質(zhì)；本節(jié)主要內(nèi)容：1.雙邊拉9.0引言

傅里葉變換是以復(fù)指數(shù)函數(shù)的特例和為基底分解信號(hào)的。對(duì)更一般的復(fù)指數(shù)函數(shù)和，也理應(yīng)能以此為基底對(duì)信號(hào)進(jìn)行分解。

傅里葉分析方法之所以在信號(hào)與LTI系統(tǒng)分析中如此有用，很大程度上是因?yàn)橄喈?dāng)廣泛的信號(hào)都可以表示成復(fù)指數(shù)信號(hào)的線(xiàn)性組合，而復(fù)指數(shù)函數(shù)是一切LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)。12/2/202227969.0引言傅里葉變換是以復(fù)指數(shù)函數(shù)的特例

通過(guò)本章及下一章，會(huì)看到拉普拉斯變換和Ｚ變換不僅具有很多與傅里葉變換相同的重要性質(zhì)，不僅能解決用傅里葉分析方法可以解決的信號(hào)與系統(tǒng)分析問(wèn)題，而且還能用于傅里葉分析方法不適用的許多方面。拉普拉斯變換與Ｚ變換的分析方法是傅里葉分析法的推廣，傅里葉分析是它們的特例。

將傅里葉變換推廣到更一般的情況就是本章及下一章要討論的中心問(wèn)題。12/2/20222896通過(guò)本章及下一章，會(huì)看到拉普拉斯變換和Ｚ變換不僅具有很多9.1拉普拉斯變換

復(fù)指數(shù)信號(hào)是一切LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)。如果LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為，則系統(tǒng)對(duì)產(chǎn)生的響應(yīng)是:，其中顯然當(dāng)時(shí)，就是連續(xù)時(shí)間傅里葉變換。TheLaplaceTransform12/2/202229969.1拉普拉斯變換復(fù)指數(shù)信號(hào)是一切LT一.雙邊拉氏變換的定義：稱(chēng)為的雙邊拉氏變換，其中。若，則有:

這就是的傅里葉變換。表明：連續(xù)時(shí)間傅里葉變換是雙邊拉普拉斯變換在或是在軸上的特例。12/2/20223096一.雙邊拉氏變換的定義：稱(chēng)為的雙邊拉氏變換，其中由于

所以拉氏變換是對(duì)傅里葉變換的推廣，的拉氏變換就是的傅里葉變換。只要有合適的存在，就可以使某些本來(lái)不滿(mǎn)足狄里赫利條件的信號(hào)在引入后滿(mǎn)足該條件。即有些信號(hào)的傅氏變換不收斂而它的拉氏變換存在。這表明拉氏變換比傅里葉變換有更廣泛的適用性。12/2/20223196由于所以拉氏變換是對(duì)傅里葉變換的推廣，的11/30例1.在時(shí)，積分收斂。當(dāng)時(shí)，的傅里葉變換存在顯然，在時(shí)，拉氏變換收斂的區(qū)域?yàn)?，包括了（即軸）。12/2/20223296例1.在時(shí)，積分收斂。當(dāng)時(shí)，比較和，顯然有當(dāng)時(shí)，可知例2.與例1.比較，區(qū)別僅在于收斂域不同。12/2/20223396比較和，顯然有當(dāng)時(shí)，可知例由以上例子，可以看出:1.拉氏變換與傅里葉變換一樣存在收斂問(wèn)題。并非任何信號(hào)的拉氏變換都存在，也不是S平面上的任何復(fù)數(shù)都能使拉氏變換收斂。2.使拉氏變換積分收斂的那些復(fù)數(shù)S的集合，稱(chēng)為拉氏變換的收斂域。拉氏變換的收斂域ROC（RegionofConvergence）對(duì)拉氏變換是非常重要的概念。12/2/20223496由以上例子，可以看出:1.拉氏變換與傅里葉變換一樣存在收斂3.

不同的信號(hào)可能會(huì)有完全相同的拉氏變換表達(dá)式，只是它們的收斂域不同。5.如果拉氏變換的ROC包含軸，則有4.只有拉氏變換的表達(dá)式連同相應(yīng)的收斂域，才能和信號(hào)建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。12/2/202235963.不同的信號(hào)可能會(huì)有完全相同的拉氏變換表達(dá)式，只是它們的二.拉氏變換的ROC及零極點(diǎn)圖：例3.12/2/20223696二.拉氏變換的ROC及零極點(diǎn)圖：例3.11/30/2022可見(jiàn)：拉氏變換的收斂域是各個(gè)收斂域的公共部分。ROC總是以平行于軸的直線(xiàn)作為邊界的，ROC的邊界總是與的分母的根相對(duì)應(yīng)的。若是有理函數(shù)12/2/20223796可見(jiàn)：拉氏變換的收斂域是各個(gè)收斂域的公共部分。ROC總是以平

分子多項(xiàng)式的根稱(chēng)為零點(diǎn)，分母多項(xiàng)式的根稱(chēng)為極點(diǎn)。

將的全部零點(diǎn)和極點(diǎn)表示在S平面上，就構(gòu)成了零極點(diǎn)圖。零極點(diǎn)圖及其收斂域可以表示一個(gè)，最多與真實(shí)的相差一個(gè)常數(shù)因子。因此，零極點(diǎn)圖是拉氏變換的圖示方法。12/2/20223896分子多項(xiàng)式的根稱(chēng)為零點(diǎn)，分母多項(xiàng)式的根稱(chēng)為極點(diǎn)。將9.2拉氏變換的收斂域可以歸納出ROC的以下性質(zhì)：TheRegionofConvergenceforLaplaceTransforms4.右邊信號(hào)的ROC位于S平面內(nèi)一條平行于軸的直線(xiàn)的右邊。3.時(shí)限信號(hào)的ROC是整個(gè)S平面。2.在ROC內(nèi)無(wú)任何極點(diǎn)。1.ROC是S平面上平行于軸的帶形區(qū)域。12/2/202239969.2拉氏變換的收斂域可以歸納出ROC的以下性質(zhì)：The若，則表明也在收斂域內(nèi)。若是右邊信號(hào),,在ROC內(nèi)，則有絕對(duì)可積，即：12/2/20224096若，則表明也在收斂域內(nèi)。若是右5.左邊信號(hào)的ROC位于S平面內(nèi)一條平行于軸的直線(xiàn)的左邊。

若是左邊信號(hào)，定義于,在ROC內(nèi)，，則表明也在收斂域內(nèi)。12/2/202241965.左邊信號(hào)的ROC位于S平面內(nèi)一條平行于軸的直6.雙邊信號(hào)的ROC如果存在，一定是S平面內(nèi)平行于軸的帶形區(qū)域。例1.其它12/2/202242966.雙邊信號(hào)的ROC如果存在，一定是S平面內(nèi)平行于考查零點(diǎn)，令例2.有極點(diǎn)

顯然在也有一階零點(diǎn)，由于零極點(diǎn)相抵消，致使在整個(gè)S平面上無(wú)極點(diǎn)。得（k為整數(shù)）12/2/20224396考查零點(diǎn)，令例2.有極點(diǎn)顯然在也有當(dāng)時(shí)，上述ROC有公共部分，當(dāng)時(shí)，上述ROC無(wú)公共部分，表明不存在。12/2/20224496當(dāng)時(shí)，