試驗數(shù)據(jù)處理方案

第二章試驗數(shù)據(jù)處理

試驗的目的通常是要以最小的代價從一系列的方案(工藝、配方)中選出最佳方案，方案效果要通過試驗結(jié)果來表現(xiàn)，試驗結(jié)果只能從實際測得的數(shù)據(jù)得到反映。由于各種因素的影響，測量的數(shù)據(jù)往往不一致，常常具有隨機變化成份。要得到可以真正反映試驗結(jié)果的信息，必須對測得的數(shù)據(jù)進行必要的處理。第二章試驗數(shù)據(jù)處理試驗的目的通常是要以最小2.1試驗設(shè)計與數(shù)據(jù)處理的基本概念

2.1.1常用術(shù)語一.質(zhì)量特性值

表現(xiàn)質(zhì)量特性的數(shù)據(jù)稱為質(zhì)量特性值，簡稱為特性值。根據(jù)其性質(zhì)可以分為三類：

1.計量特性值：用連續(xù)變化的變量表示的特性值（即浮點數(shù)）。

2.計數(shù)特性值：用離散變量表示的特性值（即整型數(shù)）。

3.0、1數(shù)據(jù)：實際上是布爾數(shù)，如“真”與“假”、“合格”與“不合格”。2.1試驗設(shè)計與數(shù)據(jù)處理的基本概念

2.1.1常用術(shù)語一二.

試驗指標(biāo)在試驗設(shè)計中，根據(jù)試驗?zāi)康亩x定的用來判斷試驗結(jié)果的特性值稱為試驗指標(biāo)。

試驗指標(biāo)分為二種：

數(shù)量指標(biāo)（定量）：可用數(shù)量來表示，如重量、強度、合格率等。

非數(shù)量指標(biāo)（定性）：難以用數(shù)量來表示，如光澤、味道、手感等。

試驗指標(biāo)可以是一個或多個，應(yīng)盡量選取計數(shù)計量特性值作為試驗指標(biāo)。二.試驗指標(biāo)

用是否可控，把因素分為

可控因素（如溫度、壓力、切削速度、走刀量等）水平可以比較并且可以人為選擇的因素。如：壓力、催化劑的各類、電阻值、電容值等。

不可控因素（如：刀具的振動、磨損等）

三.試驗因素

對試驗指標(biāo)可能有影響的原因或因素稱為試驗因素，簡稱因素，有時稱為因子，它是試驗中重點考察的內(nèi)容。用大寫字母表示，如：因素A，因素B。用是否可控，把因素分為

可控因素（如溫度

誤差因素：影響試驗結(jié)果或產(chǎn)品質(zhì)量的內(nèi)外干擾、隨機干擾的總和。

按因素的作用，可以分為：

標(biāo)示因素：指外界環(huán)境條件（如：濕度、溫度等）、產(chǎn)品的使用條件（如：電壓、頻率、轉(zhuǎn)速等）等。它不能人為的選擇和控制。區(qū)組因素：為了減少試驗誤差而確定的因素，如：加工某零件時，不同的操作者、不同的原料批次、不同班次、不同機床等。信號因素：可人為調(diào)整并影響目標(biāo)值的因素。如：在切削加工時，改變切削速度V可以影響加工質(zhì)量，切削速度就是信號因素。按因素的作用，可以分為：標(biāo)示因素：指外界環(huán)境條件（如四.因素水平

不同的因素狀態(tài)和條件（大?。┛梢鹪囼炛笜?biāo)的變化。因素變化的狀態(tài)和條件叫做水平或級位。四.因素水平不同的因素狀態(tài)和條件（大選擇水平時應(yīng)注意以下幾點所選水平應(yīng)具體（水平具體是指水平應(yīng)該是可以直接控制的，并且水平的變化可能直接影響試驗指標(biāo)的變化。）水平宜選取三水平（因為三水平因素的試驗結(jié)果分析的效因圖分布多呈二次函數(shù)曲線，而二次函數(shù)曲線有利于觀察試驗結(jié)果的趨勢）水平取等間隔原則選擇水平時應(yīng)注意以下幾點所選水平應(yīng)具體（水平具體是指水平應(yīng)該2.1.2常用統(tǒng)計量

和指數(shù)據(jù)的總和，常用T表示：，為觀察值。平均值是表示平均水平的定量指標(biāo)，一.極差R

又稱為變異幅，是一組數(shù)據(jù)中最大值同最小值之差。它表示一組數(shù)據(jù)中的最大離散程度。二.和、平均值2.1.2常用統(tǒng)計量和指數(shù)據(jù)的總?cè)?偏差與偏差平方和1.為觀測值（1）與目標(biāo)值的偏差:x1-x0,x2-x0,…xn-x0

（2）與平均值的偏差：

2.表征數(shù)據(jù)的分散程度時，采用偏差平方和，常用S表示。存在目標(biāo)值時：不存在目標(biāo)值時：三.偏差與偏差平方和1.四.自由度與平均偏差平方和（方差）、標(biāo)準(zhǔn)差

自由度f就是平均偏差平方和中獨立平方的數(shù)據(jù)個數(shù)。存在目標(biāo)值時，不存在目標(biāo)值時，存在目標(biāo)值時，總的方差：不存在目標(biāo)值時，總的方差：四.自由度與平均偏差平方和（方差）、標(biāo)準(zhǔn)差自由度f就是平均

標(biāo)準(zhǔn)差又稱為均方差或根方差，也是數(shù)據(jù)離散程度的一個特征值。

存在目標(biāo)值時，

不存在目標(biāo)值時，

標(biāo)準(zhǔn)差又稱為均方差或根方差，也是數(shù)2.2隨機變量及隨機誤差2.2.1常用術(shù)語

1.頻率與概率在既定條件下進行N次試驗，而事件A發(fā)生的次數(shù)為，則，事件A的頻率為。

N趨于無窮大時的頻率即為概率，記為p(A)即：

2.總體與樣本研究對象的全體稱為總體。從總體中隨機抽取的n個用來研究的個體稱為樣本。2.2隨機變量及隨機誤差2.2.1常用術(shù)語2.2.2隨機量的表示數(shù)學(xué)期望值或<x>

（1）一階矩（p(x)為概率密度函數(shù)）（2）二階矩（3）n階矩2.2.2隨機量的表示數(shù)學(xué)期望值或<2.

隨機變量x的方差

x的真差平方的期望值稱為方差，記為Var(x)或D(x)，則：

x服從正態(tài)分布時，稱為x的標(biāo)準(zhǔn)誤差。方差越大，說明x在其期望值符近的波動越大，分布越不集中，故越不精確。隨機變量x、y的協(xié)方差

x,y分別為隨機變量，則它們的協(xié)方差為

x,y相互獨立時，Cov(x,y)=0

2.隨機變量x的方差4.相關(guān)系數(shù)

兩隨機變量的相關(guān)程度通常用相關(guān)系數(shù)表示：它是個無量綱量。

4.相關(guān)系數(shù)兩隨機變量的相關(guān)程度通常用相關(guān)系數(shù)表示2.2.3隨機誤差的測量理論

對某量直接測量時，都是在有限次測量條件下獲得的，只能得到隨機變量的一個樣本。只能利用數(shù)理統(tǒng)計的有關(guān)理論，對被測量做出可靠的估計。某量的真值為X，在一定條件下測量N次測得的結(jié)果為，

是測量的真差，是一個隨機變量。2.2.3隨機誤差的測量理論對某量直1最小二乘法

在多組等精度、誤差不同且相互獨立的測量中，其最可信賴值是當(dāng)測量值的“剩余誤差平方和”為最小時所求得的值。設(shè)最可信賴值為，剩余誤差平方和為：

必須滿足：可以求得：說明，有限次直接測量后的算術(shù)平均值就是最可信賴值。

1最小二乘法在多組等精度、誤差不同且2

標(biāo)準(zhǔn)誤差及其意義

通常假定測量值滿足正態(tài)分布的：

E(x)表示了

的集聚中心位置。

標(biāo)準(zhǔn)差

表示確定了分布曲線的胖瘦。越小，分布的越窄，說明測定時誤差小的占優(yōu)勢，測定值對真值的離散程度小、精度高。2標(biāo)準(zhǔn)誤差及其意義通常假定測量值滿足正態(tài)分布的：標(biāo)準(zhǔn)差意義的說明

（1）的大小決定于測定條件。盡管N次等精度測定的誤差的大小和正負(fù)都不同，但它們的是相同的，單次測定的質(zhì)量都可用一個來評定。（2）標(biāo)準(zhǔn)差計算時，必須具備以下條件：

a已知真差

b測量中不存在系統(tǒng)誤差

c測量次數(shù)盡量多，最好是

實際做法是：

a選定一標(biāo)準(zhǔn)件或檢定過的儀表，真值就算已知了。

b測量條件要非常嚴(yán)格、穩(wěn)定，以便消除系統(tǒng)誤差

c測量次數(shù)盡量多。標(biāo)準(zhǔn)差意義的說明（1）的大小決定于測定條件。盡管3標(biāo)準(zhǔn)誤差的估計-貝塞爾公式

由最小二乘原理，算術(shù)平均值是測量的最佳估計值：

標(biāo)準(zhǔn)差的估計值用表示，

上式稱為貝塞爾公式。該式求出的是標(biāo)準(zhǔn)誤差的最佳估計。3標(biāo)準(zhǔn)誤差的估計-貝塞爾公式由最小二乘原理，算術(shù)平2.3壞值剔除

對某一量進行了N次測量，得到樣本通常，各個測量值同真值相比，出現(xiàn)大誤差的可能性是很小的。如果某個測量值同其它相比明顯超出正常范圍，則稱其為“壞值”。壞值的存在勢必對產(chǎn)生較大的影響。2.3壞值剔除對某一量進行2.3.1出現(xiàn)“壞值”時先做以下處理

（1）檢查測量過程中是否讀錯、記錯、寫錯，如肯定無誤，則應(yīng)從某瞬變原因方面查找（如電壓突變等），原因找到后即可去掉壞值。（2）如條件允許，可在誤差大處加大測量次數(shù)，借以發(fā)現(xiàn)大誤差的原因。（3）用已知的統(tǒng)計學(xué)判據(jù)，確認(rèn)“壞值”的存在。2.3.1出現(xiàn)“壞值”時先做以下處理（1）檢查測2.3.2剔除壞值的萊依塔判據(jù)

1找出中的最大值和最小值

2計算

3分別對和進行判斷，如果：

(其中)則予以剔除（R稱為殘差）。

4剔除后，再按1，2，3步驟進行處理，直到以上不等式不成立為止。以上是假定測量值x滿足正態(tài)分布2.3.2剔除壞值的萊依塔判據(jù)1找出

例1

對某合金導(dǎo)線的電阻值進行了24次測量，結(jié)果如下表所示，試用伊萊達(dá)準(zhǔn)則判斷結(jié)果中有無異常數(shù)據(jù)。例1對某合金導(dǎo)線的電阻值進行了24次測量，結(jié)解：

（1）計算數(shù)據(jù)的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差：

（2）求數(shù)據(jù)的最大殘差計算結(jié)果如下表所示：

解：

可見，第21次測量值的殘差最大，（3）比較因此，X21是異常數(shù)據(jù)，應(yīng)予以剔除。（4）剔除X21后，重新計算均值和標(biāo)準(zhǔn)差，并判斷是否存在數(shù)據(jù)異常：

所以，剩余的23個數(shù)據(jù)無異常。（5）結(jié)論原測量的24個數(shù)據(jù)中，X21是壞值應(yīng)當(dāng)除去，其余數(shù)據(jù)均有效。

可見，第21次測量值的殘差最大，2.3.3剔除壞值的其它判據(jù)

其它判據(jù)主要有：概率積分判據(jù)肖維涅判據(jù)格拉布斯判據(jù)等由于課時有限，這些不詳細(xì)介紹，有興趣的同學(xué)可以參考《實驗數(shù)據(jù)處理與曲線擬合》石振東、劉國慶編哈爾濱船舶工程學(xué)院出版社2.3.3剔除壞值的其它判據(jù)其它判據(jù)主要有：2.4系統(tǒng)誤差的測定方法與技巧

系統(tǒng)誤差的數(shù)值往往遠(yuǎn)大于隨機誤差，數(shù)據(jù)里必須對系統(tǒng)誤差及時發(fā)現(xiàn)并做適當(dāng)處理，否則一定會歪曲測定結(jié)果。2.4系統(tǒng)誤差的測定方法與技巧系統(tǒng)2.4.1系統(tǒng)誤差的特點及處理方法

系統(tǒng)誤差分為兩種：（1）大小及符號固定不變，稱為系統(tǒng)常差（2）按一定的規(guī)律變化稱為系統(tǒng)變差

系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因：（1）儀器、設(shè)備、實驗裝備的不完備，或環(huán)境條件發(fā)生變化。（2）試驗方案、試驗方法、試驗原理不完善、不正確。2.4.1系統(tǒng)誤差的特點及處理方法系統(tǒng)誤差分為兩種

減少系統(tǒng)誤差的有效方法（1）試驗前，盡可能考慮全面些，充分預(yù)計試驗中可能產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的來源和因素，并設(shè)法消除它們的影響或?qū)⑦@些影響減弱到最小。（2）試驗中，采用合理、正確的測定方法，以減弱系統(tǒng)誤差的影響。（3）試驗后，若發(fā)現(xiàn)存在系統(tǒng)誤差，應(yīng)查明原因，等消除后再重做試驗，以達(dá)到滿意結(jié)果。減少系統(tǒng)誤差的有效方法2.4.2系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)

一實驗對比法對不同實驗條件下的結(jié)果進行對比，若具有相同的誤差，則可以認(rèn)為存在系統(tǒng)誤差。高精度的儀器的測量結(jié)果同一般儀器的結(jié)果相對比，若有誤差，則認(rèn)為一般儀器存在系統(tǒng)誤差。二剩余誤差觀察法計算均值和各剩余誤差，做出圖，并觀察大致趨勢，以便判斷是否存在系統(tǒng)誤差。2.4.2系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)一實驗對比法

某量的真值為u，測量值xi，其中包含有系統(tǒng)誤差和隨機誤差，即：

測量值的平均值為：因剩余差為：當(dāng)系統(tǒng)誤差較大時，可以認(rèn)為

剩余誤差的大小和符號由系統(tǒng)誤差確定。某量的真值為u，測量值xi，其中包含有系統(tǒng)誤差和隨機誤

1若各Si大體是正負(fù)相間且穩(wěn)定在一個水平上又無過大的波動，如右圖所示，則認(rèn)為數(shù)據(jù)中沒有系統(tǒng)變差（不一定沒有常差）1若各Si大體是正負(fù)2如右圖所示，各Si呈有規(guī)律的增或減，類似于，則認(rèn)為數(shù)據(jù)中有線性系統(tǒng)誤差。2如右圖所示，各Si呈有規(guī)律的增或減，類似于3

若Si的大小、符號等有規(guī)律地由正變負(fù)、由負(fù)變正交替變化，可以認(rèn)為其中含有周期性的系統(tǒng)誤差，如右圖所示。3若Si的大小、符號等有規(guī)律地由正變負(fù)、由負(fù)變正交替變化4若各個Si值類似于右圖一樣變化，則可以認(rèn)為數(shù)據(jù)中存在有線性系統(tǒng)誤差和周期性系統(tǒng)誤差。4若各個Si值類似于右圖一樣變化，則可以認(rèn)為數(shù)據(jù)中存在有三計算比較法

對同一量值重復(fù)測量N次，將N次測量結(jié)果再分為M組，每組中有K個測定值，分別計算出各組的統(tǒng)計量。誤差之間相互獨立，的標(biāo)準(zhǔn)差，任意兩組之間不存在系統(tǒng)誤差的標(biāo)志是：三計算比較法對同一量值重復(fù)測量N次2.5間接測定誤差---誤差的傳遞

間接測量就是將直接測得的量代入已知的函數(shù)，從而求得被測量。如：測量密度、面積、體積等。直接測得的量中難免存在誤差，這些誤差對間接測量的結(jié)果的影響是通過誤差的傳遞來表現(xiàn)的。

不同的函數(shù)關(guān)系，誤差的傳遞有相當(dāng)大的差別。2.5間接測定誤差---誤差的傳遞間接測量就2.5.1函數(shù)為和與差的關(guān)系

這是一種最簡單的情況，如測量兩電阻串聯(lián)后的阻值，或兩電容并聯(lián)后的電容值等。函數(shù)關(guān)系可表示為：

其中，是直接測定的真值。函數(shù)的最可信賴關(guān)系是：真差關(guān)系是：標(biāo)準(zhǔn)差關(guān)系是：方差關(guān)系是：若X為真值或均值，由于真值不知，取均值則有：2.5.1函數(shù)為和與差的關(guān)系這是一種最

以上公式是建立在是相互獨立基礎(chǔ)上的，若不獨立，則有以下關(guān)系：是的協(xié)方差。是的相關(guān)系數(shù)。以上公式是建立在是相互獨立基礎(chǔ)上的，若2.5.2函數(shù)為直接測量值的倍數(shù)關(guān)系

一的最簡單情況

x是直接測定值，c是常數(shù)。

最可信賴值關(guān)系：真差關(guān)系：方差關(guān)系：2.5.2函數(shù)為直接測量值的倍數(shù)關(guān)系一

二當(dāng)時最可信賴值關(guān)系：真差關(guān)系：方差關(guān)系：

二當(dāng)2.5.3函數(shù)為兩直接測量值的積

函數(shù)為時：最可信賴關(guān)系是：真差關(guān)系是：方差關(guān)系是：2.5.3函數(shù)為兩直接測量值的積函數(shù)為2.5.4誤差傳遞普遍公式

一直接測定值為函數(shù)的唯一變量，即：最可依賴關(guān)系：真差關(guān)系：相對誤差關(guān)系：方差關(guān)系：2.5.4誤差傳遞普遍公式一直接測定值為函數(shù)的唯

二直接測量值為函數(shù)的兩個獨立變量最可信賴關(guān)系：真差關(guān)系：

方差關(guān)系：二直接測量值為函數(shù)的兩個獨立變量2.5.5誤差傳遞的反問題：精度分配

若已規(guī)定間接測定值的總的誤差，如何確定直接測定值的精度？該部分就是要解決這個問題。一般來說，這個問題只能在一定的假設(shè)條件下才能得以解決。2.5.5誤差傳遞的反問題：精度分配一按照相等效應(yīng)原則進行精度分配

該原則把各直接測量值的分量誤差對總誤差所起的作用和影響看做是相等的。即：所以，可以導(dǎo)出標(biāo)準(zhǔn)差的分配公式：

一按照相等效應(yīng)原則進行精度分配該原則把二按實際情況進行誤差調(diào)整原則

按等效應(yīng)原則分配精度時，各個誤差值并不相等，而是同成反比關(guān)系。實際上，的大小與測量方案及試驗設(shè)計有關(guān)，而與測量、制造的難易程度無關(guān)，會產(chǎn)生一些不合理現(xiàn)象：有些容易加工的尺寸卻分配了較大的誤差，而另外一些不容易加工的尺寸卻分配了較小的誤差，從而造成了極大的浪費。調(diào)整原則是：對于難以實現(xiàn)、難以保證的誤差項要適當(dāng)放大；對于容易實現(xiàn)和保證的誤差項要適當(dāng)縮小。二按實際情況進行誤差調(diào)整原則按等效應(yīng)原則分配精

調(diào)整后的誤差分配是否合理，主要取決于調(diào)整者的專業(yè)知識是否深廣，實踐經(jīng)驗是否豐富。為保證良好的效果，調(diào)整后應(yīng)該：

1按精度的計算進行校核。

2對于特別重要的實驗，在調(diào)整時要對誤差限制嚴(yán)些，以便留有安全系數(shù)以較大的概率確保實驗質(zhì)量。調(diào)整后的誤差分配是否合理，主要取決于調(diào)整2.5.6間接測量值誤差呈現(xiàn)最小、最有利測量條件的確定方法

間接測量值是一個或多個直接測量值的函數(shù)。要使間接測量誤差值最小，實際上是一個求最小值的問題。測量誤差通常以標(biāo)準(zhǔn)差來表示。若：則：2.5.6間接測量值誤差呈現(xiàn)最小、最有利測量條件的確定方法

一間接測量值同直接測量值勤的函數(shù)關(guān)系應(yīng)該為最簡潔的形式，函數(shù)中的獨立變量越少，引起函數(shù)誤差的來源也越少。二間接測量值應(yīng)選擇那些易于加工、易于測量的量，這樣間接測量值的誤差會小些，總的誤差也會有相應(yīng)的減少。對于機械來說，一般情況下，內(nèi)尺寸（如：孔）比外尺寸（如：軸）難以加工、難以測量，這時就應(yīng)盡量選擇含有外尺寸的表達(dá)式，即選擇那些易于測量的值作為間接測量值的函數(shù)變量。一間接測量值同直接測量值勤的函數(shù)關(guān)系應(yīng)該為最簡潔三尋找使或趨近于零的條件

使間接測量絕對誤差為最小的最佳測試條件的確定若：真差關(guān)系為：只要保證：即可。若要保證相對誤差或方差為最小，只要將上式中的真差改為相對誤差或方差即可。三尋找使或趨近于零的條件使間2.5.7試驗測定數(shù)據(jù)處理步驟

一算術(shù)平均值及其校核算術(shù)平均值：剩余誤差：

理論上說：實際上：原因是：1平均值計算有誤

2計算平均值時存在“四舍五入”造成的誤差2.5.7試驗測定數(shù)據(jù)處理步驟一算術(shù)平均值及其校核剩余誤差和校核規(guī)則

1剩余誤差和的絕對值應(yīng)滿足下列公式：

上式中，A是中的最小單位

2為正時：為負(fù)時：為零時：剩余誤差和校核規(guī)則1剩余誤差和的絕對值應(yīng)滿足下列公二直接測定時數(shù)據(jù)處理一般步驟

1壞值剔除

2判斷各個測定值中有無系統(tǒng)誤差存在，如果有，應(yīng)設(shè)法消除來允許范圍。

3計算樣本平均值，并進行校核。

4計算標(biāo)準(zhǔn)差二直接測定時數(shù)據(jù)處理一般步驟1壞值剔除三間接測量值的數(shù)據(jù)處理步驟

1根據(jù)確定已知函數(shù)關(guān)系，按直接測量結(jié)果計算出最可信賴值。

2計算各誤差的傳遞系數(shù)值。

3按確定的函數(shù)關(guān)系，寫出真差（微分）關(guān)系、方差關(guān)系，并計算出結(jié)果。三間接測量值的數(shù)據(jù)處理步驟1根據(jù)確定已知函數(shù)關(guān)系，按例2散熱器的散熱量Q與熱水流量L和散熱器的進出口溫度T1、T2有以下關(guān)系：式中，分別為熱水的密度和比熱容。為測定某散熱器的散熱量，用量程為40~400L/h的轉(zhuǎn)子流量計測熱水量，用玻璃水銀溫度計測熱水溫度。在進水溫度為T1=95度，出水溫度為70度，L=50L/h的設(shè)計工況下，為使散熱量的測試誤差不大于10%，如何選擇轉(zhuǎn)子流量計和玻璃水銀溫度計的精度？解：這是一個間接測量問題，直接測量量為熱水流量L、進出口溫度T1和T2，要求選用轉(zhuǎn)子流量泵的精度等級G和玻璃水銀溫度計的誤差限從而使散熱量的測試誤差限

例2散熱器的散熱量Q與熱水流量L和散熱器的進出口溫度T1、試驗數(shù)據(jù)處理方案試驗數(shù)據(jù)處理方案試驗數(shù)據(jù)處理方案人有了知識，就會具備各種分析能力，明辨是非的能力。所以我們要勤懇讀書，廣泛閱讀，古人說“書中自有黃金屋?！蓖ㄟ^閱讀科技書籍，我們能豐富知識，培養(yǎng)邏輯思維能力；通過閱讀文學(xué)作品，我們能提高文學(xué)鑒賞水平，培養(yǎng)文學(xué)情趣；通過閱讀報刊，我們能增長見識，擴大自己的知識面。有許多書籍還能培養(yǎng)我們的道德情操，給我們巨大的精神力量，鼓舞我們前進。人有了知識，就會具備各種分析能力，試驗數(shù)據(jù)處理方案第二章試驗數(shù)據(jù)處理

試驗的目的通常是要以最小的代價從一系列的方案(工藝、配方)中選出最佳方案，方案效果要通過試驗結(jié)果來表現(xiàn)，試驗結(jié)果只能從實際測得的數(shù)據(jù)得到反映。由于各種因素的影響，測量的數(shù)據(jù)往往不一致，常常具有隨機變化成份。要得到可以真正反映試驗結(jié)果的信息，必須對測得的數(shù)據(jù)進行必要的處理。第二章試驗數(shù)據(jù)處理試驗的目的通常是要以最小2.1試驗設(shè)計與數(shù)據(jù)處理的基本概念

2.1.1常用術(shù)語一.質(zhì)量特性值

表現(xiàn)質(zhì)量特性的數(shù)據(jù)稱為質(zhì)量特性值，簡稱為特性值。根據(jù)其性質(zhì)可以分為三類：

1.計量特性值：用連續(xù)變化的變量表示的特性值（即浮點數(shù)）。

2.計數(shù)特性值：用離散變量表示的特性值（即整型數(shù)）。

3.0、1數(shù)據(jù)：實際上是布爾數(shù)，如“真”與“假”、“合格”與“不合格”。2.1試驗設(shè)計與數(shù)據(jù)處理的基本概念

2.1.1常用術(shù)語一二.

試驗指標(biāo)在試驗設(shè)計中，根據(jù)試驗?zāi)康亩x定的用來判斷試驗結(jié)果的特性值稱為試驗指標(biāo)。

試驗指標(biāo)分為二種：

數(shù)量指標(biāo)（定量）：可用數(shù)量來表示，如重量、強度、合格率等。

非數(shù)量指標(biāo)（定性）：難以用數(shù)量來表示，如光澤、味道、手感等。

試驗指標(biāo)可以是一個或多個，應(yīng)盡量選取計數(shù)計量特性值作為試驗指標(biāo)。二.試驗指標(biāo)

用是否可控，把因素分為

可控因素（如溫度、壓力、切削速度、走刀量等）水平可以比較并且可以人為選擇的因素。如：壓力、催化劑的各類、電阻值、電容值等。

不可控因素（如：刀具的振動、磨損等）

三.試驗因素

對試驗指標(biāo)可能有影響的原因或因素稱為試驗因素，簡稱因素，有時稱為因子，它是試驗中重點考察的內(nèi)容。用大寫字母表示，如：因素A，因素B。用是否可控，把因素分為

可控因素（如溫度

誤差因素：影響試驗結(jié)果或產(chǎn)品質(zhì)量的內(nèi)外干擾、隨機干擾的總和。

按因素的作用，可以分為：

標(biāo)示因素：指外界環(huán)境條件（如：濕度、溫度等）、產(chǎn)品的使用條件（如：電壓、頻率、轉(zhuǎn)速等）等。它不能人為的選擇和控制。區(qū)組因素：為了減少試驗誤差而確定的因素，如：加工某零件時，不同的操作者、不同的原料批次、不同班次、不同機床等。信號因素：可人為調(diào)整并影響目標(biāo)值的因素。如：在切削加工時，改變切削速度V可以影響加工質(zhì)量，切削速度就是信號因素。按因素的作用，可以分為：標(biāo)示因素：指外界環(huán)境條件（如四.因素水平

不同的因素狀態(tài)和條件（大?。┛梢鹪囼炛笜?biāo)的變化。因素變化的狀態(tài)和條件叫做水平或級位。四.因素水平不同的因素狀態(tài)和條件（大選擇水平時應(yīng)注意以下幾點所選水平應(yīng)具體（水平具體是指水平應(yīng)該是可以直接控制的，并且水平的變化可能直接影響試驗指標(biāo)的變化。）水平宜選取三水平（因為三水平因素的試驗結(jié)果分析的效因圖分布多呈二次函數(shù)曲線，而二次函數(shù)曲線有利于觀察試驗結(jié)果的趨勢）水平取等間隔原則選擇水平時應(yīng)注意以下幾點所選水平應(yīng)具體（水平具體是指水平應(yīng)該2.1.2常用統(tǒng)計量

和指數(shù)據(jù)的總和，常用T表示：，為觀察值。平均值是表示平均水平的定量指標(biāo)，一.極差R

又稱為變異幅，是一組數(shù)據(jù)中最大值同最小值之差。它表示一組數(shù)據(jù)中的最大離散程度。二.和、平均值2.1.2常用統(tǒng)計量和指數(shù)據(jù)的總?cè)?偏差與偏差平方和1.為觀測值（1）與目標(biāo)值的偏差:x1-x0,x2-x0,…xn-x0

（2）與平均值的偏差：

2.表征數(shù)據(jù)的分散程度時，采用偏差平方和，常用S表示。存在目標(biāo)值時：不存在目標(biāo)值時：三.偏差與偏差平方和1.四.自由度與平均偏差平方和（方差）、標(biāo)準(zhǔn)差

自由度f就是平均偏差平方和中獨立平方的數(shù)據(jù)個數(shù)。存在目標(biāo)值時，不存在目標(biāo)值時，存在目標(biāo)值時，總的方差：不存在目標(biāo)值時，總的方差：四.自由度與平均偏差平方和（方差）、標(biāo)準(zhǔn)差自由度f就是平均

標(biāo)準(zhǔn)差又稱為均方差或根方差，也是數(shù)據(jù)離散程度的一個特征值。

存在目標(biāo)值時，

不存在目標(biāo)值時，

標(biāo)準(zhǔn)差又稱為均方差或根方差，也是數(shù)2.2隨機變量及隨機誤差2.2.1常用術(shù)語

1.頻率與概率在既定條件下進行N次試驗，而事件A發(fā)生的次數(shù)為，則，事件A的頻率為。

N趨于無窮大時的頻率即為概率，記為p(A)即：

2.總體與樣本研究對象的全體稱為總體。從總體中隨機抽取的n個用來研究的個體稱為樣本。2.2隨機變量及隨機誤差2.2.1常用術(shù)語2.2.2隨機量的表示數(shù)學(xué)期望值或<x>

（1）一階矩（p(x)為概率密度函數(shù)）（2）二階矩（3）n階矩2.2.2隨機量的表示數(shù)學(xué)期望值或<2.

隨機變量x的方差

x的真差平方的期望值稱為方差，記為Var(x)或D(x)，則：

x服從正態(tài)分布時，稱為x的標(biāo)準(zhǔn)誤差。方差越大，說明x在其期望值符近的波動越大，分布越不集中，故越不精確。隨機變量x、y的協(xié)方差

x,y分別為隨機變量，則它們的協(xié)方差為

x,y相互獨立時，Cov(x,y)=0

2.隨機變量x的方差4.相關(guān)系數(shù)

兩隨機變量的相關(guān)程度通常用相關(guān)系數(shù)表示：它是個無量綱量。

4.相關(guān)系數(shù)兩隨機變量的相關(guān)程度通常用相關(guān)系數(shù)表示2.2.3隨機誤差的測量理論

對某量直接測量時，都是在有限次測量條件下獲得的，只能得到隨機變量的一個樣本。只能利用數(shù)理統(tǒng)計的有關(guān)理論，對被測量做出可靠的估計。某量的真值為X，在一定條件下測量N次測得的結(jié)果為，

是測量的真差，是一個隨機變量。2.2.3隨機誤差的測量理論對某量直1最小二乘法

在多組等精度、誤差不同且相互獨立的測量中，其最可信賴值是當(dāng)測量值的“剩余誤差平方和”為最小時所求得的值。設(shè)最可信賴值為，剩余誤差平方和為：

必須滿足：可以求得：說明，有限次直接測量后的算術(shù)平均值就是最可信賴值。

1最小二乘法在多組等精度、誤差不同且2

標(biāo)準(zhǔn)誤差及其意義

通常假定測量值滿足正態(tài)分布的：

E(x)表示了

的集聚中心位置。

標(biāo)準(zhǔn)差

表示確定了分布曲線的胖瘦。越小，分布的越窄，說明測定時誤差小的占優(yōu)勢，測定值對真值的離散程度小、精度高。2標(biāo)準(zhǔn)誤差及其意義通常假定測量值滿足正態(tài)分布的：標(biāo)準(zhǔn)差意義的說明

（1）的大小決定于測定條件。盡管N次等精度測定的誤差的大小和正負(fù)都不同，但它們的是相同的，單次測定的質(zhì)量都可用一個來評定。（2）標(biāo)準(zhǔn)差計算時，必須具備以下條件：

a已知真差

b測量中不存在系統(tǒng)誤差

c測量次數(shù)盡量多，最好是

實際做法是：

a選定一標(biāo)準(zhǔn)件或檢定過的儀表，真值就算已知了。

b測量條件要非常嚴(yán)格、穩(wěn)定，以便消除系統(tǒng)誤差

c測量次數(shù)盡量多。標(biāo)準(zhǔn)差意義的說明（1）的大小決定于測定條件。盡管3標(biāo)準(zhǔn)誤差的估計-貝塞爾公式

由最小二乘原理，算術(shù)平均值是測量的最佳估計值：

標(biāo)準(zhǔn)差的估計值用表示，

上式稱為貝塞爾公式。該式求出的是標(biāo)準(zhǔn)誤差的最佳估計。3標(biāo)準(zhǔn)誤差的估計-貝塞爾公式由最小二乘原理，算術(shù)平2.3壞值剔除

對某一量進行了N次測量，得到樣本通常，各個測量值同真值相比，出現(xiàn)大誤差的可能性是很小的。如果某個測量值同其它相比明顯超出正常范圍，則稱其為“壞值”。壞值的存在勢必對產(chǎn)生較大的影響。2.3壞值剔除對某一量進行2.3.1出現(xiàn)“壞值”時先做以下處理

（1）檢查測量過程中是否讀錯、記錯、寫錯，如肯定無誤，則應(yīng)從某瞬變原因方面查找（如電壓突變等），原因找到后即可去掉壞值。（2）如條件允許，可在誤差大處加大測量次數(shù)，借以發(fā)現(xiàn)大誤差的原因。（3）用已知的統(tǒng)計學(xué)判據(jù)，確認(rèn)“壞值”的存在。2.3.1出現(xiàn)“壞值”時先做以下處理（1）檢查測2.3.2剔除壞值的萊依塔判據(jù)

1找出中的最大值和最小值

2計算

3分別對和進行判斷，如果：

(其中)則予以剔除（R稱為殘差）。

4剔除后，再按1，2，3步驟進行處理，直到以上不等式不成立為止。以上是假定測量值x滿足正態(tài)分布2.3.2剔除壞值的萊依塔判據(jù)1找出

例1

對某合金導(dǎo)線的電阻值進行了24次測量，結(jié)果如下表所示，試用伊萊達(dá)準(zhǔn)則判斷結(jié)果中有無異常數(shù)據(jù)。例1對某合金導(dǎo)線的電阻值進行了24次測量，結(jié)解：

（1）計算數(shù)據(jù)的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差：

（2）求數(shù)據(jù)的最大殘差計算結(jié)果如下表所示：

解：

可見，第21次測量值的殘差最大，（3）比較因此，X21是異常數(shù)據(jù)，應(yīng)予以剔除。（4）剔除X21后，重新計算均值和標(biāo)準(zhǔn)差，并判斷是否存在數(shù)據(jù)異常：

所以，剩余的23個數(shù)據(jù)無異常。（5）結(jié)論原測量的24個數(shù)據(jù)中，X21是壞值應(yīng)當(dāng)除去，其余數(shù)據(jù)均有效。

可見，第21次測量值的殘差最大，2.3.3剔除壞值的其它判據(jù)

其它判據(jù)主要有：概率積分判據(jù)肖維涅判據(jù)格拉布斯判據(jù)等由于課時有限，這些不詳細(xì)介紹，有興趣的同學(xué)可以參考《實驗數(shù)據(jù)處理與曲線擬合》石振東、劉國慶編哈爾濱船舶工程學(xué)院出版社2.3.3剔除壞值的其它判據(jù)其它判據(jù)主要有：2.4系統(tǒng)誤差的測定方法與技巧

系統(tǒng)誤差的數(shù)值往往遠(yuǎn)大于隨機誤差，數(shù)據(jù)里必須對系統(tǒng)誤差及時發(fā)現(xiàn)并做適當(dāng)處理，否則一定會歪曲測定結(jié)果。2.4系統(tǒng)誤差的測定方法與技巧系統(tǒng)2.4.1系統(tǒng)誤差的特點及處理方法

系統(tǒng)誤差分為兩種：（1）大小及符號固定不變，稱為系統(tǒng)常差（2）按一定的規(guī)律變化稱為系統(tǒng)變差

系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因：（1）儀器、設(shè)備、實驗裝備的不完備，或環(huán)境條件發(fā)生變化。（2）試驗方案、試驗方法、試驗原理不完善、不正確。2.4.1系統(tǒng)誤差的特點及處理方法系統(tǒng)誤差分為兩種

減少系統(tǒng)誤差的有效方法（1）試驗前，盡可能考慮全面些，充分預(yù)計試驗中可能產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的來源和因素，并設(shè)法消除它們的影響或?qū)⑦@些影響減弱到最小。（2）試驗中，采用合理、正確的測定方法，以減弱系統(tǒng)誤差的影響。（3）試驗后，若發(fā)現(xiàn)存在系統(tǒng)誤差，應(yīng)查明原因，等消除后再重做試驗，以達(dá)到滿意結(jié)果。減少系統(tǒng)誤差的有效方法2.4.2系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)

一實驗對比法對不同實驗條件下的結(jié)果進行對比，若具有相同的誤差，則可以認(rèn)為存在系統(tǒng)誤差。高精度的儀器的測量結(jié)果同一般儀器的結(jié)果相對比，若有誤差，則認(rèn)為一般儀器存在系統(tǒng)誤差。二剩余誤差觀察法計算均值和各剩余誤差，做出圖，并觀察大致趨勢，以便判斷是否存在系統(tǒng)誤差。2.4.2系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)一實驗對比法

某量的真值為u，測量值xi，其中包含有系統(tǒng)誤差和隨機誤差，即：

測量值的平均值為：因剩余差為：當(dāng)系統(tǒng)誤差較大時，可以認(rèn)為

剩余誤差的大小和符號由系統(tǒng)誤差確定。某量的真值為u，測量值xi，其中包含有系統(tǒng)誤差和隨機誤

1若各Si大體是正負(fù)相間且穩(wěn)定在一個水平上又無過大的波動，如右圖所示，則認(rèn)為數(shù)據(jù)中沒有系統(tǒng)變差（不一定沒有常差）1若各Si大體是正負(fù)2如右圖所示，各Si呈有規(guī)律的增或減，類似于，則認(rèn)為數(shù)據(jù)中有線性系統(tǒng)誤差。2如右圖所示，各Si呈有規(guī)律的增或減，類似于3

若Si的大小、符號等有規(guī)律地由正變負(fù)、由負(fù)變正交替變化，可以認(rèn)為其中含有周期性的系統(tǒng)誤差，如右圖所示。3若Si的大小、符號等有規(guī)律地由正變負(fù)、由負(fù)變正交替變化4若各個Si值類似于右圖一樣變化，則可以認(rèn)為數(shù)據(jù)中存在有線性系統(tǒng)誤差和周期性系統(tǒng)誤差。4若各個Si值類似于右圖一樣變化，則可以認(rèn)為數(shù)據(jù)中存在有三計算比較法

對同一量值重復(fù)測量N次，將N次測量結(jié)果再分為M組，每組中有K個測定值，分別計算出各組的統(tǒng)計量。誤差之間相互獨立，的標(biāo)準(zhǔn)差，任意兩組之間不存在系統(tǒng)誤差的標(biāo)志是：三計算比較法對同一量值重復(fù)測量N次2.5間接測定誤差---誤差的傳遞

間接測量就是將直接測得的量代入已知的函數(shù)，從而求得被測量。如：測量密度、面積、體積等。直接測得的量中難免存在誤差，這些誤差對間接測量的結(jié)果的影響是通過誤差的傳遞來表現(xiàn)的。

不同的函數(shù)關(guān)系，誤差的傳遞有相當(dāng)大的差別。2.5間接測定誤差---誤差的傳遞間接測量就2.5.1函數(shù)為和與差的關(guān)系

這是一種最簡單的情況，如測量兩電阻串聯(lián)后的阻值，或兩電容并聯(lián)后的電容值等。函數(shù)關(guān)系可表示為：

其中，是直接測定的真值。函數(shù)的最可信賴關(guān)系是：真差關(guān)系是：標(biāo)準(zhǔn)差關(guān)系是：方差關(guān)系是：若X為真值或均值，由于真值不知，取均值則有：2.5.1函數(shù)為和與差的關(guān)系這是一種最

以上公式是建立在是相互獨立基礎(chǔ)上的，若不獨立，則有以下關(guān)系：是的協(xié)方差。是的相關(guān)系數(shù)。以上公式是建立在是相互獨立基礎(chǔ)上的，若2.5.2函數(shù)為直接測量值的倍數(shù)關(guān)系

一的最簡單情況

x是直接測定值，c是常數(shù)。

最可信賴值關(guān)系：真差關(guān)系：方差關(guān)系：2.5.2函數(shù)為直接測量值的倍數(shù)關(guān)系一

二當(dāng)時最可信賴值關(guān)系：真差關(guān)系：方差關(guān)系：

二當(dāng)2.5.3函數(shù)為兩直接測量值的積

函數(shù)為時：最可信賴關(guān)系是：真差關(guān)系是：方差關(guān)系是：2.5.3函數(shù)為兩直接測量值的積函數(shù)為2.5.4誤差傳遞普遍公式

一直接測定值為函數(shù)的唯一變量，即：最可依賴關(guān)系：真差關(guān)系：相對誤差關(guān)系：方差關(guān)系：2.5.4誤差傳遞普遍公式一直接測定值為函數(shù)的唯

二直接測量值為函數(shù)的兩個獨立變量最可信賴關(guān)系：真差關(guān)系：

方差關(guān)系：二直接測量值為函數(shù)的兩個獨立變量2.5.5誤差傳遞的反問題：精度分配

若已規(guī)定間接測定值的總的誤差，如何確定直接測定值的精度？該部分就是要解決這個問題。一般來說，這個問題只能在一定的假設(shè)條件下才能得以解決。2.5.5誤差傳遞的反問題：精度分配一按照相等效應(yīng)原則進行精度分配

該原則把各直接測量值的分量誤差對總誤差所起的作用和影響看做是相等的。即：所以，可以導(dǎo)出標(biāo)準(zhǔn)差的分配公式：

一按照相等效應(yīng)原則進行精度分配該原則把二按實際情況進行誤差調(diào)整原則

按等效應(yīng)原則分配精度時，各個誤差值并不相等，而是同成反比關(guān)系。實際上，的大小與測量方案及試驗設(shè)計有關(guān)，而與測量、制造的難易程度無關(guān)，會產(chǎn)生一些不合理現(xiàn)象：有些容易加工的尺寸卻分配了較大的誤差，而另外一些不容易加工的尺