第五章-力學(xué)量隨時(shí)間的演化和對稱性-量子力學(xué)教學(xué)課件

第五章力學(xué)量隨時(shí)間的演化與對稱性教學(xué)內(nèi)容第1頁§1力學(xué)量隨時(shí)間的演化§2波包的運(yùn)動(dòng)，恩費(fèi)斯脫(Ehrenfest)定理§3

Schr?dinger圖象和Heisenberg圖象§4守恒量與對稱性的關(guān)系§5全同粒子與波函數(shù)的交換對稱性第五章力學(xué)量隨時(shí)間的演化與對稱性教學(xué)內(nèi)容第1頁§1力學(xué)量隨時(shí)間的演化1.守恒量第2頁量子力學(xué)中力學(xué)量隨時(shí)間的演化，與經(jīng)典力學(xué)不同。處于量子態(tài)下的體系，在每一時(shí)刻，非所有力學(xué)量都具有確定值，而只具有確定的幾率分布和平均值。力學(xué)量A的平均值隨時(shí)間的變化力學(xué)量A的平均值為其隨時(shí)間的變化為：§1力學(xué)量隨時(shí)間的演化1.守恒量第2頁量子力學(xué)中力學(xué)量第3頁若A不顯含時(shí)間第3頁若A不顯含時(shí)間第五章-力學(xué)量隨時(shí)間的演化和對稱性--量子力學(xué)教學(xué)課件第五章-力學(xué)量隨時(shí)間的演化和對稱性--量子力學(xué)教學(xué)課件第6頁(III)量子體系的守恒量并不一定取確定值，即體系的狀態(tài)并不一定就是某個(gè)守恒量的本征態(tài)。一個(gè)體系在某時(shí)刻t是否處于某守恒量的本征態(tài)，要根據(jù)初條件決定。守恒量的量子數(shù)稱為好量子數(shù)。(IV)量子體系的各守恒量并不一定都可以同時(shí)取確定值。例如中心力場中的粒子，L的三分量都守恒([Li,H]=0,i=x,y,z)，但由于Lx,Ly,Lz不對易，一般說來它們并不能同時(shí)取確定值（角動(dòng)量l=0的態(tài)除外）。(V)定態(tài)和守恒量的區(qū)別:在定態(tài)（能量本征態(tài)）下，一切力學(xué)量(不顯含t，不管是否守恒量)的平均值及測量值幾率分布都不隨時(shí)間改變，而守恒量則是在一切狀態(tài)下(不管是否定態(tài))的平均值和測量值幾率分布都不隨時(shí)間改變。第6頁(III)量子體系的守恒量并不一定取確定值，即體系的第7頁舉例1、自由粒子動(dòng)量守恒自由粒子的哈密頓算符：所以自由粒子的動(dòng)量是守恒量。2、

粒子在中心力場中運(yùn)動(dòng)：角動(dòng)量守恒皆不顯含時(shí)間所以粒子在中心力場中運(yùn)動(dòng)時(shí)，角動(dòng)量平方和角動(dòng)量分量3、哈密頓不顯含時(shí)間的體系能量守恒能量守恒第7頁舉例1、自由粒子動(dòng)量守恒自由粒子的哈密頓算符：所以自由能級簡并與守恒量的關(guān)系第8頁在處理能量本征值問題，量子態(tài)隨時(shí)間變化，量子躍遷以及散射等問題中，守恒量的應(yīng)用極廣。主要涉及能量簡并，包括：(a)能級簡并否？(b)在能級簡并時(shí)，如何標(biāo)記各簡并態(tài)。定理：設(shè)體系兩個(gè)彼此不對易的守恒量F和G，即[F,H]=0,

[G,H]=0，但[F,G]≠0，則體系能級一般是簡并的。證：由于[F,H]=0，F(xiàn)與H可以有共同本征函數(shù)Ψ即GΨ也是H的本征態(tài)，對應(yīng)于本征值E。但GΨ與Ψ是否同一個(gè)量子態(tài)？考慮到[F,G]≠0,一般有即GΨ不是F的本征態(tài)但Ψ是F的本征態(tài)，因此GΨ與Ψ不是同一個(gè)態(tài)。但它們又都是H的本征值為E的本征態(tài)，因此能級是簡并的。能級簡并與守恒量的關(guān)系第8頁在處理能量本征值問題，量子態(tài)隨時(shí)Review力學(xué)量平均值隨時(shí)間的演化第9頁守恒量[A,H]=01.平均值不隨時(shí)間改變2.測量值幾率不隨時(shí)間改變定理：設(shè)體系兩個(gè)彼此不對易的守恒量F和G，即[F,H]=0,[G,H]=0，但[F,G]≠0，則體系能級一般是簡并的。守恒量和定態(tài)Review力學(xué)量平均值隨時(shí)間的演化第9頁守恒量[A第10頁推論：若體系有一守恒量F，而體系的某條能級不簡并(即對應(yīng)于某能量本征值E只有一個(gè)量子態(tài)ΨE)，則ΨE必為F的本征態(tài)。FψE

也是H的本征值為E的本征態(tài)。由于無簡并，位力(Virial)定理:設(shè)粒子處于勢場V(r)中，哈密頓量為H=T+V(r),在定態(tài)下有式中T=p2/2m是粒子動(dòng)能，上式即位力定理。第10頁推論：若體系有一守恒量F，而體系的某條能級不簡并(即證明：考慮r·p

隨時(shí)間的變化第11頁對于定態(tài)證明：考慮r·p隨時(shí)間的變化第11頁對于定態(tài)練習(xí)：設(shè)V(x,y,z)是x,y,z的n次齊次函數(shù)，即V(cx,cy,cz)=cnV(x,y,z),c為常數(shù)，證明第12頁應(yīng)用于（a)諧振子勢，n=2,有（b)Coulomb勢，n=-1,有（c)δ勢，n=-1,與Coulomb勢相同練習(xí)：設(shè)V(x,y,z)是x,y,z的n次齊次函數(shù)第13頁海爾曼(Hellmanm)-費(fèi)曼(Feynman)定理:當(dāng)體系的能量本征值已求出，借助于H-F定理可以得出關(guān)于各種力學(xué)量平均值的許多信息，而不必利用波函數(shù)去進(jìn)行煩瑣的計(jì)算。H-F定理：設(shè)體系的Hamilton量H

中含有某參量λ，En

是H的本征值，ψn

是歸一的束縛態(tài)本征函數(shù)（n

為一組量子數(shù)），則量子體系的能量本征值隨參數(shù)的變化。Dirac

符號第13頁海爾曼(Hellmanm)-費(fèi)曼(Feynman證明：Ψn

滿足能量本征方程第14頁對λ

求導(dǎo)數(shù)，并左乘<ψn|證明：Ψn滿足能量本征方程第14頁對λ求導(dǎo)數(shù)，并左乘例子：證明：一維諧振子Hamilton

量第15頁證明一維諧振子，能量本征態(tài)下<V>=<p2/2m>。方法I：取m作為參數(shù)由HF定理則<V>=<p2/2m>。例子：證明：一維諧振子Hamilton量第15頁證明一維第16頁方法IIω為參數(shù)方法III?

為參數(shù)第16頁方法IIω為參數(shù)方法III?為參數(shù)§2波包的運(yùn)動(dòng)，恩費(fèi)斯脫(Ehrenfest)定理第17頁恩費(fèi)斯脫(Ehrenfest)定理：設(shè)粒子的Hamilton量為H=p2/2m+V(r),則有證明：粒子坐標(biāo)和動(dòng)量平均值隨時(shí)間變化如下它們與經(jīng)典粒子運(yùn)動(dòng)滿足的正則方程相似。質(zhì)量為m的粒子，在勢場V(r)中運(yùn)動(dòng)，用波包Ψ(r,t)描述。與經(jīng)典粒子運(yùn)動(dòng)相對應(yīng)的Ψ(r,t)為非定態(tài)，定態(tài)下粒子在空間的幾率密度|Ψ(r,t)|2是不隨時(shí)間變化§2波包的運(yùn)動(dòng)，恩費(fèi)斯脫(Ehrenfest)定理第17第18頁Ehrenfest定理的形式與經(jīng)典牛頓方程相似。但只當(dāng)<F(r)>可以近似為F(r)時(shí)，波包中心<r>的運(yùn)動(dòng)規(guī)律才與經(jīng)典粒子相同。下面討論，在什么條件下可以做這種近似。為簡單起見，以一維波包運(yùn)動(dòng)為例。在波包中心xc=<x>附近對V(x)作Taylor展開，令ξ=x-xc所以(利用<ξ>=0)只當(dāng)?shù)?8頁Ehrenfest定理的形式與經(jīng)典牛頓方程相似。但只才可近似代之為第19頁此時(shí)Ehrenfest方程才與經(jīng)典牛頓方程形式上完全相同。要求在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中成立，就要求：

(a)波包很窄，而且在運(yùn)動(dòng)過程中擴(kuò)散不厲害，(b)V在空間變化較緩慢(在波包范圍中變化很小)。物理上，一個(gè)波包描述粒子的運(yùn)動(dòng)，要求為：（1）波包必須很窄，波包大小與粒子大小相當(dāng)；（2）勢場V(r)在空間變化很緩慢；（3）在運(yùn)動(dòng)過程中波包擴(kuò)散不太厲害。才可近似代之為第19頁此時(shí)Ehrenfest方程才與經(jīng)典牛頓α粒子對原子的散射原子的半徑為a≈10-8cm，天然放射性元素放出的α粒子能量約為3—7MeV，設(shè)Eα

≈5MeV，可估算出其動(dòng)量p

α=(2m

αE

α)1/2≈10-14gcms-1。在對原子的散射過程中，

α粒子穿越原子的時(shí)間約為δt≈a/v

α=m

αa/p

α,第20頁α波包的擴(kuò)散約為δx=Δv

α*δt=

(Δp

α/m

α)*(m

αa/p

α)=(Δp

/p

α)a.

如要求粒子穿越過程可近似用軌道運(yùn)動(dòng)來描述，就要求δx<<a,即Δp

/pα<<1，按不確定關(guān)系，

Δp

≈?/δx=?/

a≈10-19gcms-1，對天然放射性元素放出的α粒子，

Δp

<<pα，故可以用軌道來近似描述。若是電子對原子散射，對100MeV電子，pe≈54-19gcms-1，用軌道描述電子對原子的散射就不合適了。α粒子對原子的散射原子的半徑為a≈10-8cm，天然放射性元§3Schr?dinger圖象和Heisenberg圖象第21頁1、Schr?dinger圖象該圖象中，態(tài)矢隨時(shí)間演化，遵從Schr?dinger方程力學(xué)量(算符，不顯含t)不隨時(shí)間演化，討論其平均值和幾率分布隨時(shí)間的演化。例如，力學(xué)量F的平均值隨時(shí)間演化為力學(xué)量平均值及幾率分布隨時(shí)間的演化完全歸結(jié)于波函數(shù)Ψ.波函數(shù)Ψ并不是直接觀測的量，與實(shí)際觀測有關(guān)的是力學(xué)量的平均值以及測值幾率。它們隨時(shí)間的演化存在其他等價(jià)方式。§3Schr?dinger圖象和Heisenberg圖描述體系狀態(tài)的矢量不隨時(shí)間改變，但力學(xué)量隨時(shí)間演化。第22頁2、Heisenberg圖象（1）時(shí)間演化算符引入時(shí)間演化算符U(t,0)，可視為體系狀態(tài)隨時(shí)間演化的連續(xù)變換可以證明：A.U(t,0)為么正算符：B.H不顯含t時(shí)，可有描述體系狀態(tài)的矢量不隨時(shí)間改變，但力學(xué)量隨時(shí)間演化。第22頁證明：第23頁A.由于保證幾率守恒(Ψ(t),Ψ(t))=(Ψ(0),Ψ(0))，有即U為么正變換。B.(設(shè)H不顯含t)證明：第23頁A.由于保證幾率守恒(Ψ(t),Ψ(t)第24頁（2）Heisenberg方程可以證明：此式稱為Heisenberg方程，它描述算符F(t)隨時(shí)間的演化。證明：第24頁（2）Heisenberg方程可以證明：此式稱為H第25頁（3）S圖像與H圖像的比較在S圖象中，力學(xué)量(算符)F不隨時(shí)間變化，態(tài)矢Ψ(t)隨時(shí)間演化，遵從S方程H圖象中，態(tài)矢不隨時(shí)間演化，而力學(xué)量F(t)隨時(shí)間演化，遵從H方程兩種圖象是等價(jià)的。凡物理上可觀測的結(jié)果都不會(huì)因所采取圖象不同而異。第25頁（3）S圖像與H圖像的比較在S圖象中，力學(xué)量(算符例子：1.自由粒子.

H=p2/2m,[p,H]=0,p為守恒量，所以p(t)=p(0)=p.

第26頁2.一維諧振子.例子：1.自由粒子.H=p2/2m,[p,H]第27頁形式上與經(jīng)典力學(xué)中諧振子的Newton方程一致。通解為利用初始條件第27頁形式上與經(jīng)典力學(xué)中諧振子的Newton方程一致。通解§4守恒量與對稱性的關(guān)系第28頁對稱性無論對藝術(shù)還是自然科學(xué)，對稱性都是重要的研究對象.德國數(shù)學(xué)家魏爾（H.Weyl,1885-1955）用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)母拍蠲枋鰧ΨQ性.他對對稱性做了如下定義：如果對一個(gè)事物施加某種操作,并且操作以后的情況與原來的完全相同,則這個(gè)事物是對稱的,而這種操作就稱為對稱性操作。對稱性反映的是客觀物質(zhì)世界結(jié)構(gòu)方面的規(guī)律，而守恒律反映的是客觀物質(zhì)世界運(yùn)動(dòng)變化方面的規(guī)律?！?守恒量與對稱性的關(guān)系第28頁對稱性無論對藝術(shù)還是自然在量子力學(xué)中，我們將看到：

能量、動(dòng)量、角動(dòng)量的守恒與時(shí)空對稱性有密切關(guān)系。第29頁空間平移不變性動(dòng)量守恒空間旋轉(zhuǎn)不變性角動(dòng)量守恒空間反演對稱性宇稱守恒

一個(gè)力學(xué)系統(tǒng)的對稱性就是它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律的不變性。在量子力學(xué)中，運(yùn)動(dòng)規(guī)律是薛定諤方程，它決定于系統(tǒng)的哈密頓算符H，因此，量子力學(xué)系統(tǒng)的對稱性表現(xiàn)為哈密頓算符H的不變性。在量子力學(xué)中，我們將看到：第29頁空間平移不變性動(dòng)第30頁體系的對稱變換－線性變換算符設(shè)體系的狀態(tài)用Ψ描述，滿足S方程考慮某種線性變換Q(存在逆變換Q－1

，不依賴于時(shí)間)，在此變換下，Ψ

變化如下對稱性要求Ψ′與Ψ遵守相同的運(yùn)動(dòng)方程，即用Q－1運(yùn)算要求Q－1HQ＝H，即HQ＝QH，或表成這就是體系Hamilton量在變換下不變性的數(shù)學(xué)表達(dá)。凡滿足上式的變換，稱為體系的對稱變換。

第30頁體系的對稱變換－線性變換算符設(shè)體系的狀態(tài)用Ψ描述，滿第31頁線性變換算符Q的性質(zhì)考慮到幾率守恒，要求則Q應(yīng)為幺正算符，即對于連續(xù)變換，可以考慮無窮小變換，令ε→0＋，是刻畫無窮小的實(shí)參數(shù)。即要求故F

應(yīng)為厄米算符，稱為變換Q

的無窮小算符.由于它是厄米算符，可用它來定義一個(gè)與Q

變換相聯(lián)系的可觀測量。體系在變換Q

下的不變性[Q,H]=0，就導(dǎo)致故F就是體系的一個(gè)守恒量.第31頁線性變換算符Q的性質(zhì)考慮到幾率守恒，要求則Q應(yīng)為幺正2.平移不變性與動(dòng)量守恒第32頁考慮體系沿x軸方向的無限小平移描述體系狀態(tài)的波函數(shù)變化如下：顯然將上式中x的換成x-δx，則有2.平移不變性與動(dòng)量守恒第32頁考慮體系沿x軸方向的無限小第33頁所以平移δx的算符可表為式中為相應(yīng)的無窮小算符。對于三維空間的無窮小平移p即動(dòng)量算符。設(shè)體系具有平移不變性，[D,H]=0，則有[p,H]=0，此即動(dòng)量守恒的條件。第33頁所以平移δx的算符可表為式中為相應(yīng)的無窮小算符。3.空間旋轉(zhuǎn)不變性與角動(dòng)量守恒第34頁先考慮一個(gè)簡單情況，即體系繞z軸轉(zhuǎn)無窮小角度δφ,φ→φ′=φ+δφ，波函數(shù)變化如下對于標(biāo)量波函數(shù)，則有將上式中φ換成φ-δφ，則有3.空間旋轉(zhuǎn)不變性與角動(dòng)量守恒第34頁先考慮一個(gè)簡單情況第35頁所以繞z軸旋轉(zhuǎn)δφ

角的算符為即角動(dòng)量的z分量算符現(xiàn)考慮三維空間中繞某方向n(單位矢)的無窮小旋轉(zhuǎn).在此變換下，標(biāo)量波函數(shù)變化如下第35頁所以繞z軸旋轉(zhuǎn)δφ角的算符為即角動(dòng)量的z分量算符第36頁即角動(dòng)量算符。如體系具有空間旋轉(zhuǎn)不變性，[R,H]=0，則導(dǎo)致

[L,H]=0,即角動(dòng)量守恒的條件。第36頁即角動(dòng)量算符。如體系具有空間旋轉(zhuǎn)不變性，[R,H]=4.空間反射不變性與宇稱守恒第37頁在空間反射變換P作用下P是線性算符。（1）算符P為厄米算符：(A)由(A)4.空間反射不變性與宇稱守恒第37頁在空間反射變換P作用下P（2）算符P為么正算符：第38頁按式(A)，有厄米性（3）算符P的本征值，奇偶宇稱：設(shè)再用算符P作用P的本征值只有兩個(gè)：λ＝±1。λ＝1對應(yīng)的本征態(tài)為偶宇稱態(tài)λ＝-1對應(yīng)的本征態(tài)為奇宇稱態(tài)（2）算符P為么正算符：第38頁按式(A)，有厄米性（3）第39頁（4）宇稱為守恒量的條件設(shè)一體系具有空間反射不變性，即宇稱為守恒量。注意：

A.

若體系的能量本征態(tài)不簡并，則該能量本征態(tài)必有確定宇稱。一維諧振子的能量本征態(tài)Ψn(x)不簡并，而宇稱又為守恒量，由此可斷定Ψn(x)必有確定宇稱。事實(shí)上宇稱為-1n。B.

當(dāng)能級有簡并，則能量本征態(tài)不一定有確定宇稱。但總可以把諸簡并態(tài)適當(dāng)線性疊加，構(gòu)成宇稱的本征態(tài)。第39頁（4）宇稱為守恒量的條件設(shè)一體系具有空間反射不變性，第40頁例子：對于一維自由粒子，Hamilton量為顯然有P（宇稱）為守恒量H的本征態(tài)可選為eikx與e-ikx(相應(yīng)的能量?2k2/2m)，它們分別代表往正向與反向傳播的平面波，也是動(dòng)量的本征態(tài)(本征值為?k,-?k)。這兩個(gè)態(tài)都不是宇稱的本征態(tài)(k=0除外)，但可把兩個(gè)解線性疊加，使之成為宇稱的本征態(tài)，即對一維運(yùn)動(dòng)的自由粒子，由于存在兩個(gè)守恒量：px及宇稱P，而彼此又不對易，所以能級一般是簡并的(k=0

態(tài)除外)。對三維運(yùn)動(dòng)的自由粒子，也有類似情況，但簡并度更高。第40頁例子：對于一維自由粒子，Hamilton量為顯然有P第41頁（5）態(tài)按宇稱的奇偶的分類不具有一定宇稱的態(tài)，總可以分成兩部分之和，一部分具有偶宇稱，另一部分具有奇宇稱，即例如，一維自由粒子波函數(shù)Ψ＝eikx不具有確定宇稱，但其中coskx宇稱為偶，sinkx宇稱為奇。（6）奇、偶宇稱算符算符也可按其在空間反射下的性質(zhì)分類A.偶宇稱算符:設(shè)算符A滿足這種算符稱為偶宇稱算符。例如，角動(dòng)量算符，動(dòng)能算符都是偶宇稱算符。第41頁（5）態(tài)按宇稱的奇偶的分類不具有一定宇稱的態(tài)，總可以第42頁B.奇宇稱算符:假設(shè)算符A滿足則稱A為奇宇稱算符，例如動(dòng)量p和位置r等。一般地，算符A不一定具有這種性質(zhì)，但總可以表示成不難證明:第42頁B.奇宇稱算符:假設(shè)算符A滿足則稱A為奇宇稱算§5全同粒子與波函數(shù)的交換對稱性1.全同粒子系的交換對稱性

（1）全同粒子

質(zhì)量、電荷、自旋、磁矩、壽命等固有性質(zhì)完全相同的微觀粒子.第43頁（2）經(jīng)典粒子的可區(qū)分性在經(jīng)典力學(xué)中，盡管兩個(gè)粒子的固有性質(zhì)完全相同，但仍可區(qū)分這兩個(gè)粒子。因?yàn)樗鼈冊谶\(yùn)動(dòng)過程中，都有自己確定的軌道，在任一時(shí)刻，都有確定的軌道和速度?？膳袛嗄膫€(gè)是第一個(gè)粒子哪個(gè)是第二個(gè)粒子12§5全同粒子與波函數(shù)的交換對稱性1.全同粒子系的交換量子力學(xué)微觀粒子狀態(tài)用波函數(shù)描寫在波函數(shù)重疊區(qū)粒子是不可區(qū)分的（4）全同性原理全同粒子所組成的體系中，二全同粒子互相代換不引起體系物理狀態(tài)的改變,即具有交換對稱性。全同性原理是量子力學(xué)的基本原理之一。44（3）微觀粒子的不可區(qū)分性量子力學(xué)微觀粒子狀態(tài)用波函數(shù)描寫在波函數(shù)重疊區(qū)粒子是不可區(qū)第45頁全同粒子組成的多粒子系的基本特征是：任何可觀測量，特別是Hamilton量，對于任何兩個(gè)粒子的交換是不變的，即交換對稱性。例子：氦原子中的兩個(gè)電子組成的體系，Hamilton量為兩個(gè)電子交換時(shí)，H顯然不變，即P12HP12-1=H，也即[P12,H]=0.第45頁全同粒子組成的多粒子系的基本特征是：任何可觀測量，特Review

1.線性變換Q,[Q,H]=0,體系的對稱變換。

幺正變換，Q+Q=QQ+=I2.無窮小算符F

Q=I+iεF,F+=F.

空間平移不變性動(dòng)量守恒空間旋轉(zhuǎn)不變性角動(dòng)量守恒空間反演對稱性宇稱守恒

3.全同粒子，經(jīng)典粒子可區(qū)分性，量子力學(xué)中微觀粒子不可區(qū)分性。4.全同粒子體系交換對稱性。第46頁Review1.線性變換Q,[Q,H]=0,體系第47頁對于全同粒子體系，任何兩個(gè)粒子交換一下，其量子態(tài)是不變的，因?yàn)橐磺袦y量結(jié)果都不會(huì)因此有所改變。這樣，就給描述全同粒子系帶來很強(qiáng)的限制，即要求全同粒子系的波函數(shù)對于粒子交換具有一定的對稱性。考慮N個(gè)全同粒子組成的多體系，其量子態(tài)用波函數(shù)Ψ(q1,…,qi,…qj,…)描述，qi(i=1,2,…n)表示每一個(gè)粒子的全部坐標(biāo)（包括空間坐標(biāo)和自旋坐標(biāo)）。設(shè)Pij表示第i個(gè)粒子與第j個(gè)粒子的全部交換，即這兩個(gè)波函數(shù)（Ψ與PijΨ）所描述的量子態(tài)有何不同？沒有不同，因一切測量結(jié)果都說不出有什么差別。若說“不同”，不過“第

i粒子”與“第j粒子”對調(diào)了一下，但因粒子的內(nèi)稟屬性完全相同，兩種情況無法區(qū)分。第47頁對于全同粒子體系，任何兩個(gè)粒子交換一下，其量子態(tài)是不第48頁故只能認(rèn)為Ψ與PijΨ描述的是同一個(gè)量子態(tài)，即它們最多可相差一個(gè)因子C，用Pij再運(yùn)算一次，得顯然Pij2＝1，所以C2＝1，因而C＝±1。Pij有（而且只有）兩個(gè)本征值±1

。即全同粒子系的波函數(shù)必須滿足下面的關(guān)系之一式中i≠j=1,2,3….N。凡滿足PijΨ=Ψ的，稱為對稱波函數(shù)；滿足PijΨ=-Ψ

的，稱為反對稱波函數(shù)。所以，全同粒子系的交換對稱性給了波函數(shù)一個(gè)很強(qiáng)的限制，即要求它們對于任意兩個(gè)粒子交換，或者對稱，或者反對稱。第48頁故只能認(rèn)為Ψ與PijΨ描述的是同一個(gè)量子態(tài)，即它們最第49頁由于所有的Pij

為守恒量，全同粒子系的波函數(shù)的交換對稱性是不隨時(shí)間變化的；或者說全同粒子的統(tǒng)計(jì)性（Bose統(tǒng)計(jì)或Fermi統(tǒng)計(jì)）是不變的。由此得出結(jié)論：描寫全同粒子體系狀態(tài)的波函數(shù)只能是對稱的或反對稱的，它們的對稱性不隨時(shí)間改變。第49頁由于所有的Pij為守恒量，全同粒子系的波函數(shù)的交換實(shí)驗(yàn)表明：對于每一種粒子，它們的多粒子波函數(shù)的交換對稱性是完全確定的，而且該對稱性與粒子的自旋有確定的聯(lián)系。(1)Bose子凡自旋為整數(shù)倍（s=0，1，2，……)的粒子，其多粒子波函數(shù)對于交換2

個(gè)粒子總是對稱的，遵從Bose統(tǒng)計(jì)，故稱為Bose

子如：光子（s=1）；介子（s=0）。(2)Fermi子凡自旋為半奇數(shù)倍（s=1/2，3/2，……)的粒子，其多粒子波函數(shù)對于交換2

個(gè)粒子總是反對稱的，遵從Fermi統(tǒng)計(jì)，故稱為Fermi子。例如：電子、質(zhì)子、中子（s=1/2）等粒子。Fermi子和Bose子50實(shí)驗(yàn)表明：對于每一種粒子，它們的多粒子波函數(shù)的交換對稱性是完(3)由“基本粒子”組成的復(fù)雜粒子如：

粒子（氦核）或其他原子核。 如果在所討論或過程中，內(nèi)部狀態(tài)保持不變，即內(nèi)部自 由度完全被凍結(jié)，則全同概念仍然適用，可以作為一類 全同粒子來處理。奇數(shù)個(gè)Fermi子組成偶數(shù)個(gè)Fermi子組成51波色子組成的復(fù)雜粒子，仍然是波色子。偶數(shù)個(gè)費(fèi)米子組成的復(fù)雜粒子，是波色子。奇數(shù)個(gè)費(fèi)米子組成的復(fù)雜粒子，是費(fèi)米子。(3)由“基本粒子”組成的復(fù)雜粒子如：粒子（氦核（1）對稱和反對稱波函數(shù)的構(gòu)成2

個(gè)全同粒子Hamilton

量單粒子波函數(shù)兩個(gè)全同粒子波函數(shù)φk(qn)為相應(yīng)的歸一化的單粒子波函數(shù)52（1）對稱和反對稱波函數(shù)的構(gòu)成2個(gè)全同粒子Hamilton交換簡并粒子1

在i

態(tài)，粒子2

在

j態(tài)，則體系能量和波函數(shù)為：驗(yàn)證：粒子2

在i

態(tài)，粒子1在j態(tài)，則體系能量和波函數(shù)為：狀態(tài)φ(q1,q2),φ(q2,q1)的能量是簡并的，它們由交換兩個(gè)粒子得到，稱為交換簡并。53交換簡并粒子1在i態(tài)，粒子2在j態(tài)，則體系能量和滿足對稱條件波函數(shù)的構(gòu)成全同粒子體系要滿足對稱性條件，而

(q1,q2)和

(q2,q1)僅當(dāng)i=j二態(tài)相同時(shí)，才是一個(gè)對稱波函數(shù)；當(dāng)ij二態(tài)不同時(shí)，既不是對稱波函數(shù)，也不是反對稱波函數(shù)。所以

(q1,q2)和

(q2,q1)不能用來描寫全同粒子體系。構(gòu)造具有對稱性的波函數(shù)C為歸一化系數(shù)顯然S(q1,q2)和A(q1,q2)都是H的本征函數(shù)，本征值皆為：54滿足對稱條件波函數(shù)的構(gòu)成全同粒子體系要滿足對稱性條件，而S

和A的歸一化若單粒子波函數(shù)是正交歸一化的，則

(q1,q2)和

(q2,

q1)也是正交歸一化的證：同理：而同理：證畢首先證明55S和A的歸一化若單粒子波函數(shù)是正交歸一化的，證然后考慮S

和A歸一化則歸一化的S同理對A有：56然后考慮S和A歸一化則歸一化的S同理對A全同性是個(gè)可觀測的效應(yīng)例:設(shè)有兩個(gè)全同的自由粒子，都屬于動(dòng)量的本征態(tài)（本征值為

）。下面分三種情況討論它們在空間的相對距離的幾率分布：第57頁(a)沒有交換對稱性。在不計(jì)及交換對稱性時(shí)，兩粒子的波函數(shù)可表示為分別表示相對坐標(biāo)，質(zhì)心坐標(biāo)，相對動(dòng)量和總動(dòng)量，上式之逆表示式是全同性是個(gè)可觀測的效應(yīng)第57頁(a)沒有交換對稱性。在不計(jì)略去質(zhì)心運(yùn)動(dòng)部分，相對運(yùn)動(dòng)的波函數(shù)為第58頁這樣，在距離一個(gè)粒子半徑在(r,r+dr)的球殼層中找到另一個(gè)粒子的幾率為式中P(r)

表示幾率密度。由上式可以看出P(r)=1/(2π)3是常數(shù)（與r無關(guān)）。(b)交換反對稱波函數(shù)。當(dāng)粒子交換時(shí)，R不變，

這樣反對稱相對運(yùn)動(dòng)波函數(shù)就可表示為略去質(zhì)心運(yùn)動(dòng)部分，相對運(yùn)動(dòng)的波函數(shù)為第58頁這樣，在距離一個(gè)由此可以計(jì)算出第59頁(c)交換對稱波函數(shù)。類似可求出，由此可以計(jì)算出第59頁(c)交換對稱波函數(shù)。類似可求出，（1）Shr?dinger方程的解上述對2個(gè)全同粒子的討論可以推廣到N個(gè)全同粒子體系，設(shè)粒子間無相互作用，單粒子H0

不顯含時(shí)間，則體系單粒子本征方程：N個(gè)全同粒子體系波函數(shù)60（1）Shr?dinger方程的解上述對2個(gè)全同粒子的討（2）Bose子體系和波函數(shù)對稱化2個(gè)Bose子體系，其對稱化波函數(shù)是：N個(gè)Bose子體系，其對稱化波函數(shù)可類推是：nk

是單粒子態(tài)k

上的粒子數(shù)61P表示對不同單粒子態(tài)的粒子進(jìn)行對換的置換。（2）Bose子體系和波函數(shù)對稱化2個(gè)Bose子體系，例:N=3Bose子體系,，設(shè)有三個(gè)單粒子態(tài)分別記為1、2

、

3

，求：該體系對稱化的波函數(shù)。I.

n1=n2=n3=1II.n1=3，n2=n3=0n2=3，n1=n3=0n3=3，n2=n1=0III.n1=2，n2=1，n3=0。另外還有5種可能的狀態(tài)，分別是：62例:N=3Bose子體系,，設(shè)有三個(gè)單粒子態(tài)分別n1=1，n2=0，n3=2n1=0，n2=1，n3=2n1=0，n2=2，n3=1n1=1，n2=2，n3=0n1=2，n2=0，n3=163n1=1，n2=0，n3=2n1=0，n2=1，n3=2n1（3）Fermi子體系和波函數(shù)反對稱化2個(gè)Fermi

子體系，其反對稱化波函數(shù)是：行列式的性質(zhì)保證了波函數(shù)反對稱化推廣到N個(gè)Fermi子體系：交換任意兩個(gè)粒子，等價(jià)于行列式中相應(yīng)兩列對調(diào)，由行列式性質(zhì)可知，行列式要變號，故是反對稱化波函數(shù)。64（3）Fermi子體系和波函數(shù)反對稱化2個(gè)Fermi子（1）二Fermi子體系其反對稱化波函數(shù)為：若二粒子處于相同態(tài)，例如都處于i態(tài)，則寫成行列式兩行相同，行列式為0（2）NFermi子體系（三）Pauli原理65（1）二Fermi子體系其反對稱化波函數(shù)為：若二粒子處于如果N個(gè)單粒子態(tài)

i

j……k

中有兩個(gè)相同，則行列式中有兩行相同，于是行列式為0，即兩行同態(tài)上述討論表明，NFermi

子體系中，不能有2個(gè)或2個(gè)以上Fermi子處于同一狀態(tài)，這一結(jié)論稱為Pauli不相容原理。波函數(shù)的反對稱化保證了全同F(xiàn)ermi子體系的這一重要性質(zhì)。66如果N個(gè)單粒子態(tài)ij……k中有67例題：

設(shè)體系有兩個(gè)粒子，每個(gè)粒子可處于三個(gè)單粒子態(tài)φ1，

φ2，φ3試求體系的可能態(tài)數(shù)目，分三種情況討論，(a)兩個(gè)全同Bose子；(b)兩個(gè)全同F(xiàn)ermi子；(c)兩個(gè)不同粒子。P95習(xí)題4.267例題：解:

(a)對兩個(gè)全同的Bose子，體系波函數(shù)必須滿足交換對稱性。當(dāng)兩個(gè)粒子處于相同的單態(tài)時(shí)，體系波函數(shù)必定交換對稱：可能態(tài)數(shù)目3當(dāng)兩個(gè)粒子處于不同的單態(tài)時(shí)，對稱化的體系波函數(shù)：可能態(tài)數(shù)目所以，兩個(gè)全同Boss子總的可能態(tài)數(shù)目668解:(a)對兩個(gè)全同的Bose子，體系波函數(shù)必須滿足(b)對兩個(gè)全同的Femi子，體系波函數(shù)必須滿足交換反對稱要求。對Femi子不允許兩個(gè)粒子處于相同的單態(tài)，因此它們只能處于不同的單態(tài)，此時(shí)反對稱化的體系波函數(shù)：可能態(tài)數(shù)目所以，兩個(gè)全同F(xiàn)emi子總的可能態(tài)數(shù)目3對兩個(gè)經(jīng)典的粒子(可區(qū)分)，其體系波函數(shù)無對稱性要求，即可能態(tài)數(shù)目69(b)對兩個(gè)全同的Femi子，體系波函數(shù)必須滿足交換反對兩個(gè)自旋均為1/2的費(fèi)密子體系的波函數(shù)為Φ（12），如果兩個(gè)費(fèi)米子是全同的。則（1）Φ（12）滿足什么條件？（2）利用所給出的Φ（12）所滿足的條件，說明pauli不相容原理。解：（1）Φ（12）要滿足Φ（12）＝－Φ（21），因?yàn)槿M(fèi)米子體系的波函數(shù)對兩個(gè)粒子的交換反對稱。（2）由Φ（12）＝－Φ（21）得，當(dāng)兩個(gè)粒子處于完全相同的量子態(tài)，即1＝2時(shí)，則Φ（11）＝－Φ（11）因此Φ（11）＝0，這就是說，兩個(gè)全同費(fèi)米子不能處于完全相同的量子態(tài)，這就是Pauli不相容原理。70兩個(gè)自旋均為1/2的費(fèi)密子體系的波函數(shù)為Φ（12），如果兩個(gè)第五章力學(xué)量隨時(shí)間的演化與對稱性教學(xué)內(nèi)容第71頁§1力學(xué)量隨時(shí)間的演化§2波包的運(yùn)動(dòng)，恩費(fèi)斯脫(Ehrenfest)定理§3

Schr?dinger圖象和Heisenberg圖象§4守恒量與對稱性的關(guān)系§5全同粒子與波函數(shù)的交換對稱性第五章力學(xué)量隨時(shí)間的演化與對稱性教學(xué)內(nèi)容第1頁§1力學(xué)量隨時(shí)間的演化1.守恒量第72頁量子力學(xué)中力學(xué)量隨時(shí)間的演化，與經(jīng)典力學(xué)不同。處于量子態(tài)下的體系，在每一時(shí)刻，非所有力學(xué)量都具有確定值，而只具有確定的幾率分布和平均值。力學(xué)量A的平均值隨時(shí)間的變化力學(xué)量A的平均值為其隨時(shí)間的變化為：§1力學(xué)量隨時(shí)間的演化1.守恒量第2頁量子力學(xué)中力學(xué)量第73頁若A不顯含時(shí)間第3頁若A不顯含時(shí)間第五章-力學(xué)量隨時(shí)間的演化和對稱性--量子力學(xué)教學(xué)課件第五章-力學(xué)量隨時(shí)間的演化和對稱性--量子力學(xué)教學(xué)課件第76頁(III)量子體系的守恒量并不一定取確定值，即體系的狀態(tài)并不一定就是某個(gè)守恒量的本征態(tài)。一個(gè)體系在某時(shí)刻t是否處于某守恒量的本征態(tài)，要根據(jù)初條件決定。守恒量的量子數(shù)稱為好量子數(shù)。(IV)量子體系的各守恒量并不一定都可以同時(shí)取確定值。例如中心力場中的粒子，L的三分量都守恒([Li,H]=0,i=x,y,z)，但由于Lx,Ly,Lz不對易，一般說來它們并不能同時(shí)取確定值（角動(dòng)量l=0的態(tài)除外）。(V)定態(tài)和守恒量的區(qū)別:在定態(tài)（能量本征態(tài)）下，一切力學(xué)量(不顯含t，不管是否守恒量)的平均值及測量值幾率分布都不隨時(shí)間改變，而守恒量則是在一切狀態(tài)下(不管是否定態(tài))的平均值和測量值幾率分布都不隨時(shí)間改變。第6頁(III)量子體系的守恒量并不一定取確定值，即體系的第77頁舉例1、自由粒子動(dòng)量守恒自由粒子的哈密頓算符：所以自由粒子的動(dòng)量是守恒量。2、

粒子在中心力場中運(yùn)動(dòng)：角動(dòng)量守恒皆不顯含時(shí)間所以粒子在中心力場中運(yùn)動(dòng)時(shí)，角動(dòng)量平方和角動(dòng)量分量3、哈密頓不顯含時(shí)間的體系能量守恒能量守恒第7頁舉例1、自由粒子動(dòng)量守恒自由粒子的哈密頓算符：所以自由能級簡并與守恒量的關(guān)系第78頁在處理能量本征值問題，量子態(tài)隨時(shí)間變化，量子躍遷以及散射等問題中，守恒量的應(yīng)用極廣。主要涉及能量簡并，包括：(a)能級簡并否？(b)在能級簡并時(shí)，如何標(biāo)記各簡并態(tài)。定理：設(shè)體系兩個(gè)彼此不對易的守恒量F和G，即[F,H]=0,

[G,H]=0，但[F,G]≠0，則體系能級一般是簡并的。證：由于[F,H]=0，F(xiàn)與H可以有共同本征函數(shù)Ψ即GΨ也是H的本征態(tài)，對應(yīng)于本征值E。但GΨ與Ψ是否同一個(gè)量子態(tài)？考慮到[F,G]≠0,一般有即GΨ不是F的本征態(tài)但Ψ是F的本征態(tài)，因此GΨ與Ψ不是同一個(gè)態(tài)。但它們又都是H的本征值為E的本征態(tài)，因此能級是簡并的。能級簡并與守恒量的關(guān)系第8頁在處理能量本征值問題，量子態(tài)隨時(shí)Review力學(xué)量平均值隨時(shí)間的演化第79頁守恒量[A,H]=01.平均值不隨時(shí)間改變2.測量值幾率不隨時(shí)間改變定理：設(shè)體系兩個(gè)彼此不對易的守恒量F和G，即[F,H]=0,[G,H]=0，但[F,G]≠0，則體系能級一般是簡并的。守恒量和定態(tài)Review力學(xué)量平均值隨時(shí)間的演化第9頁守恒量[A第80頁推論：若體系有一守恒量F，而體系的某條能級不簡并(即對應(yīng)于某能量本征值E只有一個(gè)量子態(tài)ΨE)，則ΨE必為F的本征態(tài)。FψE

也是H的本征值為E的本征態(tài)。由于無簡并，位力(Virial)定理:設(shè)粒子處于勢場V(r)中，哈密頓量為H=T+V(r),在定態(tài)下有式中T=p2/2m是粒子動(dòng)能，上式即位力定理。第10頁推論：若體系有一守恒量F，而體系的某條能級不簡并(即證明：考慮r·p

隨時(shí)間的變化第81頁對于定態(tài)證明：考慮r·p隨時(shí)間的變化第11頁對于定態(tài)練習(xí)：設(shè)V(x,y,z)是x,y,z的n次齊次函數(shù)，即V(cx,cy,cz)=cnV(x,y,z),c為常數(shù)，證明第82頁應(yīng)用于（a)諧振子勢，n=2,有（b)Coulomb勢，n=-1,有（c)δ勢，n=-1,與Coulomb勢相同練習(xí)：設(shè)V(x,y,z)是x,y,z的n次齊次函數(shù)第83頁海爾曼(Hellmanm)-費(fèi)曼(Feynman)定理:當(dāng)體系的能量本征值已求出，借助于H-F定理可以得出關(guān)于各種力學(xué)量平均值的許多信息，而不必利用波函數(shù)去進(jìn)行煩瑣的計(jì)算。H-F定理：設(shè)體系的Hamilton量H

中含有某參量λ，En

是H的本征值，ψn

是歸一的束縛態(tài)本征函數(shù)（n

為一組量子數(shù)），則量子體系的能量本征值隨參數(shù)的變化。Dirac

符號第13頁海爾曼(Hellmanm)-費(fèi)曼(Feynman證明：Ψn

滿足能量本征方程第84頁對λ

求導(dǎo)數(shù)，并左乘<ψn|證明：Ψn滿足能量本征方程第14頁對λ求導(dǎo)數(shù)，并左乘例子：證明：一維諧振子Hamilton

量第85頁證明一維諧振子，能量本征態(tài)下<V>=<p2/2m>。方法I：取m作為參數(shù)由HF定理則<V>=<p2/2m>。例子：證明：一維諧振子Hamilton量第15頁證明一維第86頁方法IIω為參數(shù)方法III?

為參數(shù)第16頁方法IIω為參數(shù)方法III?為參數(shù)§2波包的運(yùn)動(dòng)，恩費(fèi)斯脫(Ehrenfest)定理第87頁恩費(fèi)斯脫(Ehrenfest)定理：設(shè)粒子的Hamilton量為H=p2/2m+V(r),則有證明：粒子坐標(biāo)和動(dòng)量平均值隨時(shí)間變化如下它們與經(jīng)典粒子運(yùn)動(dòng)滿足的正則方程相似。質(zhì)量為m的粒子，在勢場V(r)中運(yùn)動(dòng)，用波包Ψ(r,t)描述。與經(jīng)典粒子運(yùn)動(dòng)相對應(yīng)的Ψ(r,t)為非定態(tài)，定態(tài)下粒子在空間的幾率密度|Ψ(r,t)|2是不隨時(shí)間變化§2波包的運(yùn)動(dòng)，恩費(fèi)斯脫(Ehrenfest)定理第17第88頁Ehrenfest定理的形式與經(jīng)典牛頓方程相似。但只當(dāng)<F(r)>可以近似為F(r)時(shí)，波包中心<r>的運(yùn)動(dòng)規(guī)律才與經(jīng)典粒子相同。下面討論，在什么條件下可以做這種近似。為簡單起見，以一維波包運(yùn)動(dòng)為例。在波包中心xc=<x>附近對V(x)作Taylor展開，令ξ=x-xc所以(利用<ξ>=0)只當(dāng)?shù)?8頁Ehrenfest定理的形式與經(jīng)典牛頓方程相似。但只才可近似代之為第89頁此時(shí)Ehrenfest方程才與經(jīng)典牛頓方程形式上完全相同。要求在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中成立，就要求：

(a)波包很窄，而且在運(yùn)動(dòng)過程中擴(kuò)散不厲害，(b)V在空間變化較緩慢(在波包范圍中變化很小)。物理上，一個(gè)波包描述粒子的運(yùn)動(dòng)，要求為：（1）波包必須很窄，波包大小與粒子大小相當(dāng)；（2）勢場V(r)在空間變化很緩慢；（3）在運(yùn)動(dòng)過程中波包擴(kuò)散不太厲害。才可近似代之為第19頁此時(shí)Ehrenfest方程才與經(jīng)典牛頓α粒子對原子的散射原子的半徑為a≈10-8cm，天然放射性元素放出的α粒子能量約為3—7MeV，設(shè)Eα

≈5MeV，可估算出其動(dòng)量p

α=(2m

αE

α)1/2≈10-14gcms-1。在對原子的散射過程中，

α粒子穿越原子的時(shí)間約為δt≈a/v

α=m

αa/p

α,第90頁α波包的擴(kuò)散約為δx=Δv

α*δt=

(Δp

α/m

α)*(m

αa/p

α)=(Δp

/p

α)a.

如要求粒子穿越過程可近似用軌道運(yùn)動(dòng)來描述，就要求δx<<a,即Δp

/pα<<1，按不確定關(guān)系，

Δp

≈?/δx=?/

a≈10-19gcms-1，對天然放射性元素放出的α粒子，

Δp

<<pα，故可以用軌道來近似描述。若是電子對原子散射，對100MeV電子，pe≈54-19gcms-1，用軌道描述電子對原子的散射就不合適了。α粒子對原子的散射原子的半徑為a≈10-8cm，天然放射性元§3Schr?dinger圖象和Heisenberg圖象第91頁1、Schr?dinger圖象該圖象中，態(tài)矢隨時(shí)間演化，遵從Schr?dinger方程力學(xué)量(算符，不顯含t)不隨時(shí)間演化，討論其平均值和幾率分布隨時(shí)間的演化。例如，力學(xué)量F的平均值隨時(shí)間演化為力學(xué)量平均值及幾率分布隨時(shí)間的演化完全歸結(jié)于波函數(shù)Ψ.波函數(shù)Ψ并不是直接觀測的量，與實(shí)際觀測有關(guān)的是力學(xué)量的平均值以及測值幾率。它們隨時(shí)間的演化存在其他等價(jià)方式。§3Schr?dinger圖象和Heisenberg圖描述體系狀態(tài)的矢量不隨時(shí)間改變，但力學(xué)量隨時(shí)間演化。第92頁2、Heisenberg圖象（1）時(shí)間演化算符引入時(shí)間演化算符U(t,0)，可視為體系狀態(tài)隨時(shí)間演化的連續(xù)變換可以證明：A.U(t,0)為么正算符：B.H不顯含t時(shí)，可有描述體系狀態(tài)的矢量不隨時(shí)間改變，但力學(xué)量隨時(shí)間演化。第22頁證明：第93頁A.由于保證幾率守恒(Ψ(t),Ψ(t))=(Ψ(0),Ψ(0))，有即U為么正變換。B.(設(shè)H不顯含t)證明：第23頁A.由于保證幾率守恒(Ψ(t),Ψ(t)第94頁（2）Heisenberg方程可以證明：此式稱為Heisenberg方程，它描述算符F(t)隨時(shí)間的演化。證明：第24頁（2）Heisenberg方程可以證明：此式稱為H第95頁（3）S圖像與H圖像的比較在S圖象中，力學(xué)量(算符)F不隨時(shí)間變化，態(tài)矢Ψ(t)隨時(shí)間演化，遵從S方程H圖象中，態(tài)矢不隨時(shí)間演化，而力學(xué)量F(t)隨時(shí)間演化，遵從H方程兩種圖象是等價(jià)的。凡物理上可觀測的結(jié)果都不會(huì)因所采取圖象不同而異。第25頁（3）S圖像與H圖像的比較在S圖象中，力學(xué)量(算符例子：1.自由粒子.

H=p2/2m,[p,H]=0,p為守恒量，所以p(t)=p(0)=p.

第96頁2.一維諧振子.例子：1.自由粒子.H=p2/2m,[p,H]第97頁形式上與經(jīng)典力學(xué)中諧振子的Newton方程一致。通解為利用初始條件第27頁形式上與經(jīng)典力學(xué)中諧振子的Newton方程一致。通解§4守恒量與對稱性的關(guān)系第98頁對稱性無論對藝術(shù)還是自然科學(xué)，對稱性都是重要的研究對象.德國數(shù)學(xué)家魏爾（H.Weyl,1885-1955）用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)母拍蠲枋鰧ΨQ性.他對對稱性做了如下定義：如果對一個(gè)事物施加某種操作,并且操作以后的情況與原來的完全相同,則這個(gè)事物是對稱的,而這種操作就稱為對稱性操作。對稱性反映的是客觀物質(zhì)世界結(jié)構(gòu)方面的規(guī)律，而守恒律反映的是客觀物質(zhì)世界運(yùn)動(dòng)變化方面的規(guī)律?！?守恒量與對稱性的關(guān)系第28頁對稱性無論對藝術(shù)還是自然在量子力學(xué)中，我們將看到：

能量、動(dòng)量、角動(dòng)量的守恒與時(shí)空對稱性有密切關(guān)系。第99頁空間平移不變性動(dòng)量守恒空間旋轉(zhuǎn)不變性角動(dòng)量守恒空間反演對稱性宇稱守恒

一個(gè)力學(xué)系統(tǒng)的對稱性就是它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律的不變性。在量子力學(xué)中，運(yùn)動(dòng)規(guī)律是薛定諤方程，它決定于系統(tǒng)的哈密頓算符H，因此，量子力學(xué)系統(tǒng)的對稱性表現(xiàn)為哈密頓算符H的不變性。在量子力學(xué)中，我們將看到：第29頁空間平移不變性動(dòng)第100頁體系的對稱變換－線性變換算符設(shè)體系的狀態(tài)用Ψ描述，滿足S方程考慮某種線性變換Q(存在逆變換Q－1

，不依賴于時(shí)間)，在此變換下，Ψ

變化如下對稱性要求Ψ′與Ψ遵守相同的運(yùn)動(dòng)方程，即用Q－1運(yùn)算要求Q－1HQ＝H，即HQ＝QH，或表成這就是體系Hamilton量在變換下不變性的數(shù)學(xué)表達(dá)。凡滿足上式的變換，稱為體系的對稱變換。

第30頁體系的對稱變換－線性變換算符設(shè)體系的狀態(tài)用Ψ描述，滿第101頁線性變換算符Q的性質(zhì)考慮到幾率守恒，要求則Q應(yīng)為幺正算符，即對于連續(xù)變換，可以考慮無窮小變換，令ε→0＋，是刻畫無窮小的實(shí)參數(shù)。即要求故F

應(yīng)為厄米算符，稱為變換Q

的無窮小算符.由于它是厄米算符，可用它來定義一個(gè)與Q

變換相聯(lián)系的可觀測量。體系在變換Q

下的不變性[Q,H]=0，就導(dǎo)致故F就是體系的一個(gè)守恒量.第31頁線性變換算符Q的性質(zhì)考慮到幾率守恒，要求則Q應(yīng)為幺正2.平移不變性與動(dòng)量守恒第102頁考慮體系沿x軸方向的無限小平移描述體系狀態(tài)的波函數(shù)變化如下：顯然將上式中x的換成x-δx，則有2.平移不變性與動(dòng)量守恒第32頁考慮體系沿x軸方向的無限小第103頁所以平移δx的算符可表為式中為相應(yīng)的無窮小算符。對于三維空間的無窮小平移p即動(dòng)量算符。設(shè)體系具有平移不變性，[D,H]=0，則有[p,H]=0，此即動(dòng)量守恒的條件。第33頁所以平移δx的算符可表為式中為相應(yīng)的無窮小算符。3.空間旋轉(zhuǎn)不變性與角動(dòng)量守恒第104頁先考慮一個(gè)簡單情況，即體系繞z軸轉(zhuǎn)無窮小角度δφ,φ→φ′=φ+δφ，波函數(shù)變化如下對于標(biāo)量波函數(shù)，則有將上式中φ換成φ-δφ，則有3.空間旋轉(zhuǎn)不變性與角動(dòng)量守恒第34頁先考慮一個(gè)簡單情況第105頁所以繞z軸旋轉(zhuǎn)δφ

角的算符為即角動(dòng)量的z分量算符現(xiàn)考慮三維空間中繞某方向n(單位矢)的無窮小旋轉(zhuǎn).在此變換下，標(biāo)量波函數(shù)變化如下第35頁所以繞z軸旋轉(zhuǎn)δφ角的算符為即角動(dòng)量的z分量算符第106頁即角動(dòng)量算符。如體系具有空間旋轉(zhuǎn)不變性，[R,H]=0，則導(dǎo)致

[L,H]=0,即角動(dòng)量守恒的條件。第36頁即角動(dòng)量算符。如體系具有空間旋轉(zhuǎn)不變性，[R,H]=4.空間反射不變性與宇稱守恒第107頁在空間反射變換P作用下P是線性算符。（1）算符P為厄米算符：(A)由(A)4.空間反射不變性與宇稱守恒第37頁在空間反射變換P作用下P（2）算符P為么正算符：第108頁按式(A)，有厄米性（3）算符P的本征值，奇偶宇稱：設(shè)再用算符P作用P的本征值只有兩個(gè)：λ＝±1。λ＝1對應(yīng)的本征態(tài)為偶宇稱態(tài)λ＝-1對應(yīng)的本征態(tài)為奇宇稱態(tài)（2）算符P為么正算符：第38頁按式(A)，有厄米性（3）第109頁（4）宇稱為守恒量的條件設(shè)一體系具有空間反射不變性，即宇稱為守恒量。注意：

A.

若體系的能量本征態(tài)不簡并，則該能量本征態(tài)必有確定宇稱。一維諧振子的能量本征態(tài)Ψn(x)不簡并，而宇稱又為守恒量，由此可斷定Ψn(x)必有確定宇稱。事實(shí)上宇稱為-1n。B.

當(dāng)能級有簡并，則能量本征態(tài)不一定有確定宇稱。但總可以把諸簡并態(tài)適當(dāng)線性疊加，構(gòu)成宇稱的本征態(tài)。第39頁（4）宇稱為守恒量的條件設(shè)一體系具有空間反射不變性，第110頁例子：對于一維自由粒子，Hamilton量為顯然有P（宇稱）為守恒量H的本征態(tài)可選為eikx與e-ikx(相應(yīng)的能量?2k2/2m)，它們分別代表往正向與反向傳播的平面波，也是動(dòng)量的本征態(tài)(本征值為?k,-?k)。這兩個(gè)態(tài)都不是宇稱的本征態(tài)(k=0除外)，但可把兩個(gè)解線性疊加，使之成為宇稱的本征態(tài)，即對一維運(yùn)動(dòng)的自由粒子，由于存在兩個(gè)守恒量：px及宇稱P，而彼此又不對易，所以能級一般是簡并的(k=0

態(tài)除外)。對三維運(yùn)動(dòng)的自由粒子，也有類似情況，但簡并度更高。第40頁例子：對于一維自由粒子，Hamilton量為顯然有P第111頁（5）態(tài)按宇稱的奇偶的分類不具有一定宇稱的態(tài)，總可以分成兩部分之和，一部分具有偶宇稱，另一部分具有奇宇稱，即例如，一維自由粒子波函數(shù)Ψ＝eikx不具有確定宇稱，但其中coskx宇稱為偶，sinkx宇稱為奇。（6）奇、偶宇稱算符算符也可按其在空間反射下的性質(zhì)分類A.偶宇稱算符:設(shè)算符A滿足這種算符稱為偶宇稱算符。例如，角動(dòng)量算符，動(dòng)能算符都是偶宇稱算符。第41頁（5）態(tài)按宇稱的奇偶的分類不具有一定宇稱的態(tài)，總可以第112頁B.奇宇稱算符:假設(shè)算符A滿足則稱A為奇宇稱算符，例如動(dòng)量p和位置r等。一般地，算符A不一定具有這種性質(zhì)，但總可以表示成不難證明:第42頁B.奇宇稱算符:假設(shè)算符A滿足則稱A為奇宇稱算§5全同粒子與波函數(shù)的交換對稱性1.全同粒子系的交換對稱性

（1）全同粒子

質(zhì)量、電荷、自旋、磁矩、壽命等固有性質(zhì)完全相同的微觀粒子.第113頁（2）經(jīng)典粒子的可區(qū)分性在經(jīng)典力學(xué)中，盡管兩個(gè)粒子的固有性質(zhì)完全相同，但仍可區(qū)分這兩個(gè)粒子。因?yàn)樗鼈冊谶\(yùn)動(dòng)過程中，都有自己確定的軌道，在任一時(shí)刻，都有確定的軌道和速度?？膳袛嗄膫€(gè)是第一個(gè)粒子哪個(gè)是第二個(gè)粒子12§5全同粒子與波函數(shù)的交換對稱性1.全同粒子系的交換量子力學(xué)微觀粒子狀態(tài)用波函數(shù)描寫在波函數(shù)重疊區(qū)粒子是不可區(qū)分的（4）全同性原理全同粒子所組成的體系中，二全同粒子互相代換不引起體系物理狀態(tài)的改變,即具有交換對稱性。全同性原理是量子力學(xué)的基本原理之一。114（3）微觀粒子的不可區(qū)分性量子力學(xué)微觀粒子狀態(tài)用波函數(shù)描寫在波函數(shù)重疊區(qū)粒子是不可區(qū)第115頁全同粒子組成的多粒子系的基本特征是：任何可觀測量，特別是Hamilton量，對于任何兩個(gè)粒子的交換是不變的，即交換對稱性。例子：氦原子中的兩個(gè)電子組成的體系，Hamilton量為兩個(gè)電子交換時(shí)，H顯然不變，即P12HP12-1=H，也即[P12,H]=0.第45頁全同粒子組成的多粒子系的基本特征是：任何可觀測量，特Review

1.線性變換Q,[Q,H]=0,體系的對稱變換。

幺正變換，Q+Q=QQ+=I2.無窮小算符F

Q=I+iεF,F+=F.

空間平移不變性動(dòng)量守恒空間旋轉(zhuǎn)不變性角動(dòng)量守恒空間反演對稱性宇稱守恒

3.全同粒子，經(jīng)典粒子可區(qū)分性，量子力學(xué)中微觀粒子不可區(qū)分性。4.全同粒子體系交換對稱性。第116頁Review1.線性變換Q,[Q,H]=0,體系第117頁對于全同粒子體系，任何兩個(gè)粒子交換一下，其量子態(tài)是不變的，因?yàn)橐磺袦y量結(jié)果都不會(huì)因此有所改變。這樣，就給描述全同粒子系帶來很強(qiáng)的限制，即要求全同粒子系的波函數(shù)對于粒子交換具有一定的對稱性?？紤]N個(gè)全同粒子組成的多體系，其量子態(tài)用波函數(shù)Ψ(q1,…,qi,…qj,…)描述，qi(i=1,2,…n)表示每一個(gè)粒子的全部坐標(biāo)（包括空間坐標(biāo)和自旋坐標(biāo)）。設(shè)Pij表示第i個(gè)粒子與第j個(gè)粒子的全部交換，即這兩個(gè)波函數(shù)（Ψ與PijΨ）所描述的量子態(tài)有何不同？沒有不同，因一切測量結(jié)果都說不出有什么差別。若說“不同”，不過“第

i粒子”與“第j粒子”對調(diào)了一下，但因粒子的內(nèi)稟屬性完全相同，兩種情況無法區(qū)分。第47頁對于全同粒子體系，任何兩個(gè)粒子交換一下，其量子態(tài)是不第118頁故只能認(rèn)為Ψ與PijΨ描述的是同一個(gè)量子態(tài)，即它們最多可相差一個(gè)因子C，用Pij再運(yùn)算一次，得顯然Pij2＝1，所以C2＝1，因而C＝±1。Pij有（而且只有）兩個(gè)本征值±1

。即全同粒子系的波函數(shù)必須滿足下面的關(guān)系之一式中i≠j=1,2,3….N。凡滿足PijΨ=Ψ的，稱為對稱波函數(shù)；滿足PijΨ=-Ψ

的，稱為反對稱波函數(shù)。所以，全同粒子系的交換對稱性給了波函數(shù)一個(gè)很強(qiáng)的限制，即要求它們對于任意兩個(gè)粒子交換，或者對稱，或者反對稱。第48頁故只能認(rèn)為Ψ與PijΨ描述的是同一個(gè)量子態(tài)，即它們最第119頁由于所有的Pij

為守恒量，全同粒子系的波函數(shù)的交換對稱性是不隨時(shí)間變化的；或者說全同粒子的統(tǒng)計(jì)性（Bose統(tǒng)計(jì)或Fermi統(tǒng)計(jì)）是不變的。由此得出結(jié)論：描寫全同粒子體系狀態(tài)的波函數(shù)只能是對稱的或反對稱的，它們的對稱性不隨時(shí)間改變。第49頁由于所有的Pij為守恒量，全同粒子系的波函數(shù)的交換實(shí)驗(yàn)表明：對于每一種粒子，它們的多粒子波函數(shù)的交換對稱性是完全確定的，而且該對稱性與粒子的自旋有確定的聯(lián)系。(1)Bose子凡自旋為整數(shù)倍（s=0，1，2，……)的粒子，其多粒子波函數(shù)對于交換2

個(gè)粒子總是對稱的，遵從Bose統(tǒng)計(jì)，故稱為Bose

子如：光子（s=1）；介子（s=0）。(2)Fermi子凡自旋為半奇數(shù)倍（s=1/2，3/2，……)的粒子，其多粒子波函數(shù)對于交換2

個(gè)粒子總是反對稱的，遵從Fermi統(tǒng)計(jì)，故稱為Fermi子。例如：電子、質(zhì)子、中子（s=1/2）等粒子。Fermi子和Bose子120實(shí)驗(yàn)表明：對于每一種粒子，它們的多粒子波函數(shù)的交換對稱性是完(3)由“基本粒子”組成的復(fù)雜粒子如：

粒子（氦核）或其他原子核。 如果在所討論或過程中，內(nèi)部狀態(tài)保持不變，即內(nèi)部自 由度完全被凍結(jié)，則全同概念仍然適用，可以作為一類 全同粒子來處理。奇數(shù)個(gè)Fermi子組成偶數(shù)個(gè)Fermi子組成121波色子組成的復(fù)雜粒子，仍然是波色子。偶數(shù)個(gè)費(fèi)米子組成的復(fù)雜粒子，是波色子。奇數(shù)個(gè)費(fèi)米子組成的復(fù)雜粒子，是費(fèi)米子。(3)由“基本粒子”組成的復(fù)雜粒子如：粒子（氦核（1）對稱和反對稱波函數(shù)的構(gòu)成2

個(gè)全同粒子Hamilton

量單粒子波函數(shù)兩個(gè)全同粒子波函數(shù)φk(qn)為相應(yīng)的歸一化的單粒子波函數(shù)122（1）對稱和反對稱波函數(shù)的構(gòu)成2個(gè)全同粒子Hamilton交換簡并粒子1

在i

態(tài)，粒子2

在

j態(tài)，則體系能量和波函數(shù)為：驗(yàn)證：粒子2

在i

態(tài)，粒子1在j態(tài)，則體系能量和波函數(shù)為：狀態(tài)φ(q1,q2),φ(q2,q1)的能量是簡并的，它們由交換兩個(gè)粒子得到，稱為交換簡并。123交換簡并粒子1在i態(tài)，粒子2在j態(tài)，則體系能量和滿足對稱條件波函數(shù)的構(gòu)成全同粒子體系要滿足對稱性條件，而

(q1,q2)和

(q2,q1)僅當(dāng)i=j二態(tài)相同時(shí)，才是一個(gè)對稱波函數(shù)；當(dāng)ij二態(tài)不同時(shí)，既不是對稱波函數(shù)，也不是反對稱波函數(shù)。所以

(q1,q2)和

(q2,q1)不能用來描寫全同粒子體系。構(gòu)造具有對稱性的波函數(shù)C為歸一化系數(shù)顯然S(q1,q2)和A(q1,q2)都是H的本征函數(shù)，本征值皆為：124滿足對稱條件波函數(shù)的構(gòu)成全同粒子體系要滿足對稱性條件，而S

和A的歸一化若單粒子波函數(shù)是正交歸一化的，則

(q1,q2)和

(q2,

q1)也是正交歸一化的證：同理：而同理：證畢首先證明125S和A的歸一化若單粒子波函數(shù)是正交歸一化的，證然后考慮S

和