數(shù)模差分方程模型課件

第一節(jié)差分方程基本的基本概念與性質(zhì)第二節(jié)市場經(jīng)濟中的蛛網(wǎng)模型第三節(jié)簡單的鹿群增長模型第四節(jié)減肥計劃——節(jié)食與運動第五節(jié)差分形式的阻滯增長模型第六節(jié)按年齡分組的種群增長第七章差分方程模型第一節(jié)差分方程基本的基本概念與性質(zhì)第七章差分方程模型1第一節(jié)差分方程的概念及性質(zhì)一.差分的定義與運算法則1.差分的定義第一節(jié)差分方程的概念及性質(zhì)一.差分的定義與運算法則1.差2數(shù)模差分方程模型課件3解解4解解52.差分的四則運算法則可參照導數(shù)的四則運算法則學習2.差分的四則運算法則可參照導數(shù)的四則運算法則學習6二差分方程的基本概念1.差分方程與差分方程的階定義1二差分方程的基本概念1.差分方程與差分方程的階定義17定義2：定義2：8

注：由差分的定義及性質(zhì)可知，差分方程的不同定義形式之間可以相互轉(zhuǎn)換。注：由差分的定義及性質(zhì)可知，差分方程的不同定義形式之間可以92.差分方程的解含有相互獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與差分方程的階數(shù)相同的差分方程的解.差分方程的通解2.差分方程的解含有相互獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與差分方程的差分10為了反映某一事物在變化過程中的客觀規(guī)律性，往往根據(jù)事物在初始時刻所處狀態(tài)，對差分方程所附加的條件.通解中任意常數(shù)被初始條件確定后的解.初始條件差分方程的特解為了反映某一事物在變化過程中的客觀規(guī)律性，往往根據(jù)事物在初始11引例1：Fibonacci數(shù)列問題13世紀意大利著名數(shù)學家Fibonacci在他的著作《算盤書》中記載著這樣一個有趣的問題：一對剛出生的幼兔經(jīng)過一個月可長成成兔，成兔再經(jīng)過一個月后可以繁殖出一對幼兔.若不計兔子的死亡數(shù)，問一年之后共有多少對兔子？月份01234567…幼兔10112358…成兔011235813…總數(shù)1123581321…引例1：Fibonacci數(shù)列問題13世紀意大12

將兔群總數(shù)記為fn,n=0,1,2,…，經(jīng)過觀察可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)列{fn}滿足下列遞推關(guān)系：

f0=f1=1,fn+2=fn+1+fn,n=0,1,2,…

這個數(shù)列稱為Fibonacci數(shù)列.Fibonacci數(shù)列是一個十分有趣的數(shù)列，在自然科學和數(shù)學領(lǐng)域中都有著廣泛的應用.Fibonacci數(shù)列的一些實例.1.蜜蜂的家譜

2.鋼琴音階的排列

3.樹的分枝

4.楊輝三角形將兔群總數(shù)記為fn,n=0,1,2,…，經(jīng)過觀察13引例2：日常的經(jīng)濟問題中的差分方程模型1）.銀行存款與利率

假如你在銀行開設了一個1000元的存款賬戶，銀行的年利率為7%.用an表示n年后你賬戶上的存款額，那么下面的數(shù)列就是你每年的存款額：

a0,a1,a2,a3,…,an,…

設r為年利率，由于an+1=an+ran,因此存款問題的數(shù)學模型是：

a0=1000,an+1=(1+r)an,n=1,2,3,…引例2：日常的經(jīng)濟問題中的差分方程模型1）.銀行存款與利率142）.家庭教育基金

從1994年開始，我國逐步實行了大學收費制度.為了保障子女將來的教育費用，小張夫婦從他們的兒子出生時開始，每年向銀行存入x元作為家庭教育基金.若銀行的年利率為r，試寫出第n年后教育基金總額的表達式.預計當子女18歲入大學時所需的費用為100000元，按年利率3%計算，小張夫婦每年應向銀行存入多少元?

設n年后教育基金總額為an，每年向銀行存入x元，依據(jù)復利率計算公式，得到家庭教育基金的數(shù)學模型為：

a0=x,an+1=(1+r)an+x,n=0,1,2,3,…2）.家庭教育基金從1994年開始，我國逐步實153）.抵押貸款

小李夫婦要購買二居室住房一套，共需30萬元.他們已經(jīng)籌集10萬元，另外20萬元申請抵押貸款.若貸款月利率為0.6%，還貸期限為20年，問小李夫婦每月要還多少錢？

設貸款額為a0，每月還貸額為x，月利率為r，第n個月后的欠款額為an，則

a0=200000,a1=(1+r)a0-x,a2=(1+r)a1-x,……an=(1+r)an-1-x,n=1,2,3,…3）.抵押貸款小李夫婦要購買二居室住房一套，共16例3例317證明證明18三.線性差分方程解的結(jié)構(gòu)n階齊次線性差分方程的標準形式n階非齊次線性差分方程的標準形式三.線性差分方程解的結(jié)構(gòu)n階齊次線性差分方程的標準形式n191.n階齊次線性差分方程解的結(jié)構(gòu)問題:1.n階齊次線性差分方程解的結(jié)構(gòu)問題:20（是任意常數(shù)）

那么稱這些函數(shù)在區(qū)間內(nèi)線性相關(guān)；否則稱線性無關(guān).

（是任意常數(shù)）212.n階常系數(shù)非齊次線性差分方程解的結(jié)構(gòu)由此可見，要求出n階常系數(shù)非齊次線性差分方程（2）的通解，只需求出（1）的通解和（2）的一個特解即可.2.n階常系數(shù)非齊次線性差分方程解的結(jié)構(gòu)由此可見，要求出n階22一階常系數(shù)齊次線性差分方程的一般形式一階常系數(shù)非齊次線性差分方程的一般形式四一階常系數(shù)線性差分方程的解法一階常系數(shù)齊次線性差分方程的一般形式一階常系數(shù)非齊次線性差分23數(shù)模差分方程模型課件24解解25數(shù)模差分方程模型課件26特征方程特征根解特征方程特征根解27解解28二、一階常系數(shù)非齊次線性差分方程的求解二、一階常系數(shù)非齊次線性差分方程的求解29數(shù)模差分方程模型課件301.1.31(1)(2)綜上討論(1)(2)綜上討論32解對應齊次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解為解對應齊次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解為33解對應齊次方程通解代入方程,得解對應齊次方程通解代入方程,得34解解352.2.36數(shù)模差分方程模型課件37數(shù)模差分方程模型課件38日常的經(jīng)濟問題中的差分方程模型1.銀行存款與利率

假如你在銀行開設了一個1000元的存款賬戶，銀行的年利率為7%.用an表示n年后你賬戶上的存款額，那么下面的數(shù)列就是你每年的存款額：

a0,a1,a2,a3,…,an,…

設r為年利率，由于an+1=an+ran,因此存款問題的數(shù)學模型是：

a0=1000,an+1=(1+r)an,n=1,2,3,…日常的經(jīng)濟問題中的差分方程模型1.銀行存款與利率392.家庭教育基金

從1994年開始，我國逐步實行了大學收費制度.為了保障子女將來的教育費用，小張夫婦從他們的兒子出生時開始，每年向銀行存入x元作為家庭教育基金.若銀行的年利率為r，試寫出第n年后教育基金總額的表達式.預計當子女18歲入大學時所需的費用為100000元，按年利率3%計算，小張夫婦每年應向銀行存入多少元?

設n年后教育基金總額為an，每年向銀行存入x元，依據(jù)復利率計算公式，得到家庭教育基金的數(shù)學模型為：

a0=x,an+1=(1+r)an+x,n=0,1,2,3,…2.家庭教育基金從1994年開始，我國逐步實行40家庭教育基金模型的解

由a0=x,an+1=(1+r)an+x,n=0,1,2,3,…

得通解:

將a0=x,=1+r,b=x代入,得c=x(1+r)/r,因此方程的特解是:

將a18=100000,r=0.03代入計算出x=3981.39.家庭教育基金模型的解由a0=x,an+413.抵押貸款

小李夫婦要購買二居室住房一套，共需30萬元.他們已經(jīng)籌集10萬元，另外20萬元申請抵押貸款.若貸款月利率為0.6%，還貸期限為20年，問小李夫婦每月要還多少錢？

設貸款額為a0，每月還貸額為x，月利率為r，第n個月后的欠款額為an，則

a0=200000,a1=(1+r)a0-x,a2=(1+r)a1-x,……an=(1+r)an-1-x,n=1,2,3,…3.抵押貸款小李夫婦要購買二居室住房一套，共需42購房抵押貸款模型的解

由a0=200000,an+1=(1+r)an-x,n=0,1,2,3,…將=1+r,b=-x代入得到方程的特解:

若在第N個月還清貸款，令aN=0,得:

將a0=200000,r=0.006,N=20*12=240代入計算出x=1574.70購房抵押貸款模型的解由a0=200000,434.分期付款

小王看到一則廣告：商場對電腦實行分期付款銷售.一臺售價8000元的電腦，可分36個月付款，每月付300元即可.同時他收到了銀行提供消費貸款的消息：10000元以下的貸款，可在三年內(nèi)還清，年利率為15%.那么，他買電腦應該向銀行貸款，還是直接向商店分期付款？

經(jīng)過分析可知，分期付款與抵押貸款模型相同.設第n個月后的欠款額為an，則

a0=8000,an+1=(1+r)an-300,n=0,1,2,3,…

貸款模型

a0=8000,an+1=(1+0.15/12)an-x,n=0,1,2,3,…4.分期付款小王看到一則廣告：商場對電腦實行分44第二節(jié)市場經(jīng)濟中的蛛網(wǎng)模型問題供大于求現(xiàn)象商品數(shù)量與價格的振蕩在什么條件下趨向穩(wěn)定當不穩(wěn)定時政府能采取什么干預手段使之穩(wěn)定價格下降減少產(chǎn)量增加產(chǎn)量價格上漲供不應求描述商品數(shù)量與價格的變化規(guī)律數(shù)量與價格在振蕩第二節(jié)市場經(jīng)濟中的蛛網(wǎng)模型問供大于求現(xiàn)商品數(shù)量與價格45蛛網(wǎng)模型gx0y0P0fxy0xk~第k時段商品數(shù)量；yk~第k時段商品價格消費者的需求關(guān)系生產(chǎn)者的供應關(guān)系減函數(shù)增函數(shù)供應函數(shù)需求函數(shù)f與g的交點P0(x0,y0)~平衡點一旦xk=x0，則yk=y0,xk+1,xk+2,…=x0,yk+1,yk+2,…=y0

蛛網(wǎng)模型gx0y0P0fxy0xk~第k時段商品數(shù)量；46xy0fgy0x0P0設x1偏離x0x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P0是穩(wěn)定平衡點P1P2P3P4P0是不穩(wěn)定平衡點xy0y0x0P0fg曲線斜率蛛網(wǎng)模型xy0fgy0x0P0設x1偏離x0x1x2P2y1P1y247在P0點附近用直線近似曲線P0穩(wěn)定P0不穩(wěn)定方程模型方程模型與蛛網(wǎng)模型的一致在P0點附近用直線近似曲線P0穩(wěn)定P0不穩(wěn)定方程模型方48~商品數(shù)量減少1單位,價格上漲幅度~價格上漲1單位,(下時段)供應的增量考察,的含義~消費者對需求的敏感程度~生產(chǎn)者對價格的敏感程度小,有利于經(jīng)濟穩(wěn)定小,有利于經(jīng)濟穩(wěn)定結(jié)果解釋xk~第k時段商品數(shù)量；yk~第k時段商品價格經(jīng)濟穩(wěn)定結(jié)果解釋~商品數(shù)量減少1單位,價格上漲幅度~價格上漲149經(jīng)濟不穩(wěn)定時政府的干預辦法1.使盡量小，如=0

以行政手段控制價格不變2.使盡量小，如=0靠經(jīng)濟實力控制數(shù)量不變xy0y0gfxy0x0gf結(jié)果解釋需求曲線變?yōu)樗焦€變?yōu)樨Q直經(jīng)濟不穩(wěn)定時政府的干預辦法1.使盡量小，如=050模型的推廣

生產(chǎn)者根據(jù)當前時段和前一時段的價格決定下一時段的產(chǎn)量。生產(chǎn)者管理水平提高設供應函數(shù)為需求函數(shù)不變二階線性常系數(shù)差分方程x0為平衡點研究平衡點穩(wěn)定，即k,xkx0的條件模型的推廣生產(chǎn)者根據(jù)當前時段和前一時段的價格決定下一時段的51方程通解(c1,c2由初始條件確定)1,2~特征根，即方程的根平衡點穩(wěn)定，即k,xkx0的條件:平衡點穩(wěn)定條件比原來的條件放寬了模型的推廣方程通解(c1,c2由初始條件確定)1,2~特征根，即521、問題的分析

由于公鹿和母鹿的比例大致相等，所以在此僅考慮母鹿的增長。鹿群的增長與鹿的死亡率和生育率密切相關(guān)，因為鹿的生育周期為一年，即一歲以上的母鹿可以生育，所以我們把母鹿分為兩組，一歲以下的為幼鹿，其余的為成年鹿。根據(jù)這樣的分組，一年以后存活的幼鹿都為成年鹿，而這一年中出生的鹿構(gòu)成新的幼鹿。從以上的分析，我們可把觀測的時間間隔取為一年。2、模型假設１）動物的數(shù)量足夠大，故可以用連續(xù)的方法來度量。２）只考慮母鹿，并將其分為兩組，一歲以下為幼鹿組，其余為成年鹿組。第三節(jié)簡單的鹿群增長模型1、問題的分析由于公鹿和母鹿的比例大致相等，所以53

３）把時間離散化，每年觀測一次，即環(huán)境因素、生育、死亡方式等每年重復發(fā)生。

４）不考慮飽和狀態(tài)，即在所考慮的時間段內(nèi)，種群的增長幾乎不受自然資源的制約。５）疾病是死亡的主要原因，鹿的死亡數(shù)與鹿的總數(shù)成正比。６）鹿的生育數(shù)與鹿的總數(shù)成正比。3、模型的建立與求解分別以和表示第n年幼鹿和成年鹿的數(shù)量。

一年后，幼鹿存活的數(shù)量與之比叫做幼鹿的存活率。

由假設５，每年的存活率是一常數(shù)，分別以和表示幼鹿和成年鹿的存活率。

３）把時間離散化，每年觀測一次，即環(huán)境因素、生育、死亡方式54

因為年長的幼鹿在這一年之內(nèi)可能超過一歲，因而有生育能力。根據(jù)假設６，生育率也是常數(shù)，分別以和表示幼鹿和成年鹿的生育率。

假設剛出生的幼鹿在哺乳期的存活率為s。一年以后，原來的幼鹿可生育幼鹿數(shù)為

成年鹿可生育的幼鹿數(shù)為

由于哺乳期的新生幼鹿的存活率為s，所以一年以后新的幼鹿數(shù)：

(7.2.1)一年以后，原來的幼鹿存活數(shù)為

原來的成年鹿的存活數(shù)為

所以新的成年鹿的數(shù)目是(7.2.2)因為年長的幼鹿在這一年之內(nèi)可能超過一歲，因而有55(7.2.1).(7.2.2)聯(lián)立起來，即得下面的線性差分方程組：(7.2.3)或用矩陣表示為：

(7.2.4)

這是一個一步方程，令

，A=則(7.2.4)式可表示為

(7.2.5)

(7.2.1).(7.2.2)聯(lián)立起來，即得下面的線性差分方56于是可推出：或=

n

(7.2.6)

如果知道開始時幼鹿數(shù)量和成年鹿的數(shù)量，由(7.2.6)可算出第n年的鹿的總數(shù)。

為了給出解的一般表達式，先把矩陣A對角化：

令=0即

得特征方程：

(7.2.7)于是可推出：或=57其判別式為

=

由于s,

都是大于零的，所以判別式Δ>0，和矩陣A可以對角化。

特征方程(7.2.7)有兩個相異的實根，這保證了

對于特征根，從下面的線性方程組

=可解得特征向量

同理可解得對應于特征根的特征向量其判別式為=由于58所以可得矩陣P＝

使得A＝即于是得

將上式代入(7.2.6)式=所以可得矩陣P＝使得A＝即于是得將上式代入(7.59=記

=

(7.2.8)所以

=

=

=記=60

由此可得：

n

故解得：(7.2.9)現(xiàn)在利用公式(7.2.9)對下面的一組數(shù)據(jù)

＝0.8（千頭）＝0.3＝0.62s＝0.8

＝1（千頭）＝1.5

＝0.75由此可得：n故解得：(7.2.9)61計算今后6年鹿的總數(shù)。為此，將以上數(shù)據(jù)代入(7.2.7),解得將數(shù)據(jù)代入(7.2.8)得最后由(7.2.9)得計算今后6年鹿的總數(shù)。為此，將以上數(shù)據(jù)代入(7.2.7),解62

4、模型評價

該模型的假設中，沒有考慮資源的制約，所以當鹿群的增長接近飽和狀態(tài)時，該模型失效。如果考慮自然資源的制約，則模型假設中的第６條不成立，這時生育率與食物的獲取有關(guān)。4、模型評價該模型的假設中，沒有考慮資源的制約63第四節(jié)減肥計劃——節(jié)食與運動背景

多數(shù)減肥食品達不到減肥目標，或不能維持

通過控制飲食和適當?shù)倪\動，在不傷害身體的前提下，達到減輕體重并維持下去的目標分析

體重變化由體內(nèi)能量守恒破壞引起

飲食（吸收熱量）引起體重增加

代謝和運動（消耗熱量）引起體重減少

體重指數(shù)BMI=w(kg)/l2(m2).18.5<BMI<25~正常；BMI>25~超重;BMI>30~肥胖.第四節(jié)減肥計劃——節(jié)食與運動背景多數(shù)減肥食品達不到減肥64模型假設1）體重增加正比于吸收的熱量——每8000千卡增加體重1千克；2）代謝引起的體重減少正比于體重——每周每公斤體重消耗200千卡~320千卡(因人而異),

相當于70千克的人每天消耗2000千卡~3200千卡；3）運動引起的體重減少正比于體重，且與運動形式有關(guān)；4）為了安全與健康，每周體重減少不宜超過1.5千克，每周吸收熱量不要小于10000千卡。模型假設1）體重增加正比于吸收的熱量——每8000千卡增加體65某甲體重100千克，目前每周吸收20000千卡熱量，體重維持不變。現(xiàn)欲減肥至75千克。第一階段：每周減肥1千克，每周吸收熱量逐漸減少，直至達到下限（10000千卡）；第二階段：每周吸收熱量保持下限，減肥達到目標2）若要加快進程，第二階段增加運動，試安排計劃。1）在不運動的情況下安排一個兩階段計劃。減肥計劃3）給出達到目標后維持體重的方案。某甲體重100千克，目前每周吸收20000千卡熱量，體重維持66

確定某甲的代謝消耗系數(shù)即每周每千克體重消耗20000/100=200千卡基本模型w(k)~第k周(末)體重c(k)~第k周吸收熱量~代謝消耗系數(shù)(因人而異)1）不運動情況的兩階段減肥計劃每周吸收20000千卡w=100千克不變確定某甲的代謝消耗系數(shù)即每周每千克體重消耗20000/167

第一階段:w(k)每周減1千克,c(k)減至下限10000千卡第一階段10周,每周減1千克，第10周末體重90千克吸收熱量為1）不運動情況的兩階段減肥計劃第一階段:w(k)每周減1千克,c(k)減至下限10068

第二階段：每周c(k)保持Cm,w(k)減至75千克1）不運動情況的兩階段減肥計劃基本模型第二階段：每周c(k)保持Cm,w(k)減至75千克69

第二階段：每周c(k)保持Cm,w(k)減至75千克第二階段19周,每周吸收熱量保持10000千卡,體重按減少至75千克。第二階段：每周c(k)保持Cm,w(k)減至75千克70運動t=24(每周跳舞8小時或自行車10小時),14周即可。2）第二階段增加運動的減肥計劃根據(jù)資料每小時每千克體重消耗的熱量(千卡):

跑步跳舞乒乓自行車(中速)游泳(50米/分)7.03.04.42.57.9t~每周運動時間(小時)基本模型運動t=24(每周跳舞8小時或自行車10小時),14713）達到目標體重75千克后維持不變的方案每周吸收熱量c(k)保持某常數(shù)C，使體重w不變

不運動

運動(內(nèi)容同前)3）達到目標體重75千克后維持不變的方案每周吸收熱量c(k)72第五節(jié)差分形式的阻滯增長模型連續(xù)形式的阻滯增長模型(Logistic模型)t,xN,x=N是穩(wěn)定平衡點(與r大小無關(guān))離散形式x(t)~某種群t時刻的數(shù)量(人口)yk~某種群第k代的數(shù)量(人口)若yk=N,則yk+1,yk+2,…=N討論平衡點的穩(wěn)定性，即k,

ykN？y*=N是平衡點第五節(jié)差分形式的阻滯增長模型連續(xù)形式的阻滯增長模型(73離散形式阻滯增長模型的平衡點及其穩(wěn)定性一階(非線性)差分方程(1)的平衡點y*=N討論x*的穩(wěn)定性變量代換(2)的平衡點離散形式阻滯增長模型的平衡點及其穩(wěn)定性一階(非線性)差分方程74(1)的平衡點x*——代數(shù)方程x=f(x)的根穩(wěn)定性判斷(1)的近似線性方程x*也是(2)的平衡點x*是(2)和(1)的穩(wěn)定平衡點x*是(2)和(1)的不穩(wěn)定平衡點補充知識一階非線性差分方程的平衡點及穩(wěn)定性(1)的平衡點x*——代數(shù)方程x=f(x)的根穩(wěn)定性判斷7501的平衡點及其穩(wěn)定性平衡點穩(wěn)定性x*

穩(wěn)定x*

不穩(wěn)定另一平衡點為x=0不穩(wěn)定01的平衡點及其穩(wěn)定性平衡點穩(wěn)定性x*穩(wěn)定x*不穩(wěn)定另一7601/2101的平衡點及其穩(wěn)定性01/2101的平衡點及其穩(wěn)定性77初值x0=0.2數(shù)值計算結(jié)果b<3,xb=3.3,x兩個極限點b=3.45,x4個極限點b=3.55,x8個極限點0.41181000.4118990.4118980.4118970.4118960.4118950.4118940.4118930.4118920.4118910.379630.336620.272010.20000b=1.7k0.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.60490.63170.41600.2000b=2.60.82360.47940.82360.47940.82360.47940.82360.47940.82360.47940.48200.82240.52800.2000b=3.30.84690.43270.85300.44740.84690.43270.85300.44740.84690.43270.43220.85320.55200.2000b=3.450.81270.35480.88740.50600.82780.37030.88170.54050.81270.35480.39870.87110.56800.2000b=3.55初值x0=0.2數(shù)值計算結(jié)果b<3,xb=3.3,78倍周期收斂——x*不穩(wěn)定情況的進一步討論單周期不收斂2倍周期收斂(*)的平衡點x*不穩(wěn)定，研究x1*,x2*的穩(wěn)定性倍周期收斂——x*不穩(wěn)定情況的進一步討論單周期不收斂2倍周期79倍周期收斂的穩(wěn)定性x1*x2*x*b=3.4y=f(2)(x)y=xx0倍周期收斂的穩(wěn)定性x1*x2*x*b=3.4y=f(2)(x80倍周期收斂的進一步討論出現(xiàn)4個收斂子序列x4k,x4k+1,x4k+2,x4k+3平衡點及其穩(wěn)定性需研究時有4個穩(wěn)定平衡點2n倍周期收斂,n=1,2,…bn~2n倍周期收斂的上界b0=3,b1=3.449,b2=3.544,…n,bn3.57x1*,x2*(及x*)不穩(wěn)定b>3.57,不存在任何收斂子序列混沌現(xiàn)象4倍周期收斂倍周期收斂的進一步討論出現(xiàn)4個收斂子序列x4k,x4k+81的收斂、分岔及混沌現(xiàn)象b的收斂、分岔及混沌現(xiàn)象b82第六節(jié)按年齡分組的種群增長

不同年齡組的繁殖率和死亡率不同

建立差分方程模型，討論穩(wěn)定狀況下種群的增長規(guī)律假設與建模

種群按年齡大小等分為n個年齡組，記i=1,2,…,n

時間離散為時段，長度與年齡組區(qū)間相等，記k=1,2,…

以雌性個體數(shù)量為對象

第i年齡組1雌性個體在1時段內(nèi)的繁殖率為bi

第i年齡組在1時段內(nèi)的死亡率為di,存活率為si=1-di第六節(jié)按年齡分組的種群增長不同年齡組的繁殖率和死亡率不83假設與建模xi(k)~時段k第i年齡組的種群數(shù)量~按年齡組的分布向量預測任意時段種群按年齡組的分布~Leslie矩陣(L矩陣)(設至少1個bi>0)假設xi(k)~時段k第i年齡組的種群數(shù)量~按年齡組的分布84穩(wěn)定狀態(tài)分析的數(shù)學知識L矩陣存在正單特征根1，

若L矩陣存在bi,bi+1>0,則P的第1列是x*特征向量,c是由bi,si,x(0)決定的常數(shù)

且解釋L對角化穩(wěn)定狀態(tài)分析的數(shù)學知識L矩陣存在正單特征根1，若L矩陣85穩(wěn)態(tài)分析——k充分大種群按年齡組的分布~種群按年齡組的分布趨向穩(wěn)定，x*稱穩(wěn)定分布,與初始分布無關(guān)。~各年齡組種群數(shù)量按同一倍數(shù)增減，

稱固有增長率與基本模型比較3）=1時~各年齡組種群數(shù)量不變穩(wěn)態(tài)分析——k充分大種群按年齡組的分布~種群按年齡組的分布86

~1個個體在整個存活期內(nèi)的繁殖數(shù)量為1穩(wěn)態(tài)分析~存活率si是同一時段的xi+1與xi之比（與si的定義比較）3）=1時~1個個體在整個存活期內(nèi)的繁殖數(shù)量為1穩(wěn)態(tài)分析~存活率87謝謝謝謝88數(shù)模差分方程模型課件89第一節(jié)差分方程基本的基本概念與性質(zhì)第二節(jié)市場經(jīng)濟中的蛛網(wǎng)模型第三節(jié)簡單的鹿群增長模型第四節(jié)減肥計劃——節(jié)食與運動第五節(jié)差分形式的阻滯增長模型第六節(jié)按年齡分組的種群增長第七章差分方程模型第一節(jié)差分方程基本的基本概念與性質(zhì)第七章差分方程模型90第一節(jié)差分方程的概念及性質(zhì)一.差分的定義與運算法則1.差分的定義第一節(jié)差分方程的概念及性質(zhì)一.差分的定義與運算法則1.差91數(shù)模差分方程模型課件92解解93解解942.差分的四則運算法則可參照導數(shù)的四則運算法則學習2.差分的四則運算法則可參照導數(shù)的四則運算法則學習95二差分方程的基本概念1.差分方程與差分方程的階定義1二差分方程的基本概念1.差分方程與差分方程的階定義196定義2：定義2：97

注：由差分的定義及性質(zhì)可知，差分方程的不同定義形式之間可以相互轉(zhuǎn)換。注：由差分的定義及性質(zhì)可知，差分方程的不同定義形式之間可以982.差分方程的解含有相互獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與差分方程的階數(shù)相同的差分方程的解.差分方程的通解2.差分方程的解含有相互獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與差分方程的差分99為了反映某一事物在變化過程中的客觀規(guī)律性，往往根據(jù)事物在初始時刻所處狀態(tài)，對差分方程所附加的條件.通解中任意常數(shù)被初始條件確定后的解.初始條件差分方程的特解為了反映某一事物在變化過程中的客觀規(guī)律性，往往根據(jù)事物在初始100引例1：Fibonacci數(shù)列問題13世紀意大利著名數(shù)學家Fibonacci在他的著作《算盤書》中記載著這樣一個有趣的問題：一對剛出生的幼兔經(jīng)過一個月可長成成兔，成兔再經(jīng)過一個月后可以繁殖出一對幼兔.若不計兔子的死亡數(shù)，問一年之后共有多少對兔子？月份01234567…幼兔10112358…成兔011235813…總數(shù)1123581321…引例1：Fibonacci數(shù)列問題13世紀意大101

將兔群總數(shù)記為fn,n=0,1,2,…，經(jīng)過觀察可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)列{fn}滿足下列遞推關(guān)系：

f0=f1=1,fn+2=fn+1+fn,n=0,1,2,…

這個數(shù)列稱為Fibonacci數(shù)列.Fibonacci數(shù)列是一個十分有趣的數(shù)列，在自然科學和數(shù)學領(lǐng)域中都有著廣泛的應用.Fibonacci數(shù)列的一些實例.1.蜜蜂的家譜

2.鋼琴音階的排列

3.樹的分枝

4.楊輝三角形將兔群總數(shù)記為fn,n=0,1,2,…，經(jīng)過觀察102引例2：日常的經(jīng)濟問題中的差分方程模型1）.銀行存款與利率

假如你在銀行開設了一個1000元的存款賬戶，銀行的年利率為7%.用an表示n年后你賬戶上的存款額，那么下面的數(shù)列就是你每年的存款額：

a0,a1,a2,a3,…,an,…

設r為年利率，由于an+1=an+ran,因此存款問題的數(shù)學模型是：

a0=1000,an+1=(1+r)an,n=1,2,3,…引例2：日常的經(jīng)濟問題中的差分方程模型1）.銀行存款與利率1032）.家庭教育基金

從1994年開始，我國逐步實行了大學收費制度.為了保障子女將來的教育費用，小張夫婦從他們的兒子出生時開始，每年向銀行存入x元作為家庭教育基金.若銀行的年利率為r，試寫出第n年后教育基金總額的表達式.預計當子女18歲入大學時所需的費用為100000元，按年利率3%計算，小張夫婦每年應向銀行存入多少元?

設n年后教育基金總額為an，每年向銀行存入x元，依據(jù)復利率計算公式，得到家庭教育基金的數(shù)學模型為：

a0=x,an+1=(1+r)an+x,n=0,1,2,3,…2）.家庭教育基金從1994年開始，我國逐步實1043）.抵押貸款

小李夫婦要購買二居室住房一套，共需30萬元.他們已經(jīng)籌集10萬元，另外20萬元申請抵押貸款.若貸款月利率為0.6%，還貸期限為20年，問小李夫婦每月要還多少錢？

設貸款額為a0，每月還貸額為x，月利率為r，第n個月后的欠款額為an，則

a0=200000,a1=(1+r)a0-x,a2=(1+r)a1-x,……an=(1+r)an-1-x,n=1,2,3,…3）.抵押貸款小李夫婦要購買二居室住房一套，共105例3例3106證明證明107三.線性差分方程解的結(jié)構(gòu)n階齊次線性差分方程的標準形式n階非齊次線性差分方程的標準形式三.線性差分方程解的結(jié)構(gòu)n階齊次線性差分方程的標準形式n1081.n階齊次線性差分方程解的結(jié)構(gòu)問題:1.n階齊次線性差分方程解的結(jié)構(gòu)問題:109（是任意常數(shù)）

那么稱這些函數(shù)在區(qū)間內(nèi)線性相關(guān)；否則稱線性無關(guān).

（是任意常數(shù)）1102.n階常系數(shù)非齊次線性差分方程解的結(jié)構(gòu)由此可見，要求出n階常系數(shù)非齊次線性差分方程（2）的通解，只需求出（1）的通解和（2）的一個特解即可.2.n階常系數(shù)非齊次線性差分方程解的結(jié)構(gòu)由此可見，要求出n階111一階常系數(shù)齊次線性差分方程的一般形式一階常系數(shù)非齊次線性差分方程的一般形式四一階常系數(shù)線性差分方程的解法一階常系數(shù)齊次線性差分方程的一般形式一階常系數(shù)非齊次線性差分112數(shù)模差分方程模型課件113解解114數(shù)模差分方程模型課件115特征方程特征根解特征方程特征根解116解解117二、一階常系數(shù)非齊次線性差分方程的求解二、一階常系數(shù)非齊次線性差分方程的求解118數(shù)模差分方程模型課件1191.1.120(1)(2)綜上討論(1)(2)綜上討論121解對應齊次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解為解對應齊次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解為122解對應齊次方程通解代入方程,得解對應齊次方程通解代入方程,得123解解1242.2.125數(shù)模差分方程模型課件126數(shù)模差分方程模型課件127日常的經(jīng)濟問題中的差分方程模型1.銀行存款與利率

假如你在銀行開設了一個1000元的存款賬戶，銀行的年利率為7%.用an表示n年后你賬戶上的存款額，那么下面的數(shù)列就是你每年的存款額：

a0,a1,a2,a3,…,an,…

設r為年利率，由于an+1=an+ran,因此存款問題的數(shù)學模型是：

a0=1000,an+1=(1+r)an,n=1,2,3,…日常的經(jīng)濟問題中的差分方程模型1.銀行存款與利率1282.家庭教育基金

從1994年開始，我國逐步實行了大學收費制度.為了保障子女將來的教育費用，小張夫婦從他們的兒子出生時開始，每年向銀行存入x元作為家庭教育基金.若銀行的年利率為r，試寫出第n年后教育基金總額的表達式.預計當子女18歲入大學時所需的費用為100000元，按年利率3%計算，小張夫婦每年應向銀行存入多少元?

設n年后教育基金總額為an，每年向銀行存入x元，依據(jù)復利率計算公式，得到家庭教育基金的數(shù)學模型為：

a0=x,an+1=(1+r)an+x,n=0,1,2,3,…2.家庭教育基金從1994年開始，我國逐步實行129家庭教育基金模型的解

由a0=x,an+1=(1+r)an+x,n=0,1,2,3,…

得通解:

將a0=x,=1+r,b=x代入,得c=x(1+r)/r,因此方程的特解是:

將a18=100000,r=0.03代入計算出x=3981.39.家庭教育基金模型的解由a0=x,an+1303.抵押貸款

小李夫婦要購買二居室住房一套，共需30萬元.他們已經(jīng)籌集10萬元，另外20萬元申請抵押貸款.若貸款月利率為0.6%，還貸期限為20年，問小李夫婦每月要還多少錢？

設貸款額為a0，每月還貸額為x，月利率為r，第n個月后的欠款額為an，則

a0=200000,a1=(1+r)a0-x,a2=(1+r)a1-x,……an=(1+r)an-1-x,n=1,2,3,…3.抵押貸款小李夫婦要購買二居室住房一套，共需131購房抵押貸款模型的解

由a0=200000,an+1=(1+r)an-x,n=0,1,2,3,…將=1+r,b=-x代入得到方程的特解:

若在第N個月還清貸款，令aN=0,得:

將a0=200000,r=0.006,N=20*12=240代入計算出x=1574.70購房抵押貸款模型的解由a0=200000,1324.分期付款

小王看到一則廣告：商場對電腦實行分期付款銷售.一臺售價8000元的電腦，可分36個月付款，每月付300元即可.同時他收到了銀行提供消費貸款的消息：10000元以下的貸款，可在三年內(nèi)還清，年利率為15%.那么，他買電腦應該向銀行貸款，還是直接向商店分期付款？

經(jīng)過分析可知，分期付款與抵押貸款模型相同.設第n個月后的欠款額為an，則

a0=8000,an+1=(1+r)an-300,n=0,1,2,3,…

貸款模型

a0=8000,an+1=(1+0.15/12)an-x,n=0,1,2,3,…4.分期付款小王看到一則廣告：商場對電腦實行分133第二節(jié)市場經(jīng)濟中的蛛網(wǎng)模型問題供大于求現(xiàn)象商品數(shù)量與價格的振蕩在什么條件下趨向穩(wěn)定當不穩(wěn)定時政府能采取什么干預手段使之穩(wěn)定價格下降減少產(chǎn)量增加產(chǎn)量價格上漲供不應求描述商品數(shù)量與價格的變化規(guī)律數(shù)量與價格在振蕩第二節(jié)市場經(jīng)濟中的蛛網(wǎng)模型問供大于求現(xiàn)商品數(shù)量與價格134蛛網(wǎng)模型gx0y0P0fxy0xk~第k時段商品數(shù)量；yk~第k時段商品價格消費者的需求關(guān)系生產(chǎn)者的供應關(guān)系減函數(shù)增函數(shù)供應函數(shù)需求函數(shù)f與g的交點P0(x0,y0)~平衡點一旦xk=x0，則yk=y0,xk+1,xk+2,…=x0,yk+1,yk+2,…=y0

蛛網(wǎng)模型gx0y0P0fxy0xk~第k時段商品數(shù)量；135xy0fgy0x0P0設x1偏離x0x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P0是穩(wěn)定平衡點P1P2P3P4P0是不穩(wěn)定平衡點xy0y0x0P0fg曲線斜率蛛網(wǎng)模型xy0fgy0x0P0設x1偏離x0x1x2P2y1P1y2136在P0點附近用直線近似曲線P0穩(wěn)定P0不穩(wěn)定方程模型方程模型與蛛網(wǎng)模型的一致在P0點附近用直線近似曲線P0穩(wěn)定P0不穩(wěn)定方程模型方137~商品數(shù)量減少1單位,價格上漲幅度~價格上漲1單位,(下時段)供應的增量考察,的含義~消費者對需求的敏感程度~生產(chǎn)者對價格的敏感程度小,有利于經(jīng)濟穩(wěn)定小,有利于經(jīng)濟穩(wěn)定結(jié)果解釋xk~第k時段商品數(shù)量；yk~第k時段商品價格經(jīng)濟穩(wěn)定結(jié)果解釋~商品數(shù)量減少1單位,價格上漲幅度~價格上漲1138經(jīng)濟不穩(wěn)定時政府的干預辦法1.使盡量小，如=0

以行政手段控制價格不變2.使盡量小，如=0靠經(jīng)濟實力控制數(shù)量不變xy0y0gfxy0x0gf結(jié)果解釋需求曲線變?yōu)樗焦€變?yōu)樨Q直經(jīng)濟不穩(wěn)定時政府的干預辦法1.使盡量小，如=0139模型的推廣

生產(chǎn)者根據(jù)當前時段和前一時段的價格決定下一時段的產(chǎn)量。生產(chǎn)者管理水平提高設供應函數(shù)為需求函數(shù)不變二階線性常系數(shù)差分方程x0為平衡點研究平衡點穩(wěn)定，即k,xkx0的條件模型的推廣生產(chǎn)者根據(jù)當前時段和前一時段的價格決定下一時段的140方程通解(c1,c2由初始條件確定)1,2~特征根，即方程的根平衡點穩(wěn)定，即k,xkx0的條件:平衡點穩(wěn)定條件比原來的條件放寬了模型的推廣方程通解(c1,c2由初始條件確定)1,2~特征根，即1411、問題的分析

由于公鹿和母鹿的比例大致相等，所以在此僅考慮母鹿的增長。鹿群的增長與鹿的死亡率和生育率密切相關(guān)，因為鹿的生育周期為一年，即一歲以上的母鹿可以生育，所以我們把母鹿分為兩組，一歲以下的為幼鹿，其余的為成年鹿。根據(jù)這樣的分組，一年以后存活的幼鹿都為成年鹿，而這一年中出生的鹿構(gòu)成新的幼鹿。從以上的分析，我們可把觀測的時間間隔取為一年。2、模型假設１）動物的數(shù)量足夠大，故可以用連續(xù)的方法來度量。２）只考慮母鹿，并將其分為兩組，一歲以下為幼鹿組，其余為成年鹿組。第三節(jié)簡單的鹿群增長模型1、問題的分析由于公鹿和母鹿的比例大致相等，所以142

３）把時間離散化，每年觀測一次，即環(huán)境因素、生育、死亡方式等每年重復發(fā)生。

４）不考慮飽和狀態(tài)，即在所考慮的時間段內(nèi)，種群的增長幾乎不受自然資源的制約。５）疾病是死亡的主要原因，鹿的死亡數(shù)與鹿的總數(shù)成正比。６）鹿的生育數(shù)與鹿的總數(shù)成正比。3、模型的建立與求解分別以和表示第n年幼鹿和成年鹿的數(shù)量。

一年后，幼鹿存活的數(shù)量與之比叫做幼鹿的存活率。

由假設５，每年的存活率是一常數(shù)，分別以和表示幼鹿和成年鹿的存活率。

３）把時間離散化，每年觀測一次，即環(huán)境因素、生育、死亡方式143

因為年長的幼鹿在這一年之內(nèi)可能超過一歲，因而有生育能力。根據(jù)假設６，生育率也是常數(shù)，分別以和表示幼鹿和成年鹿的生育率。

假設剛出生的幼鹿在哺乳期的存活率為s。一年以后，原來的幼鹿可生育幼鹿數(shù)為

成年鹿可生育的幼鹿數(shù)為

由于哺乳期的新生幼鹿的存活率為s，所以一年以后新的幼鹿數(shù)：

(7.2.1)一年以后，原來的幼鹿存活數(shù)為

原來的成年鹿的存活數(shù)為

所以新的成年鹿的數(shù)目是(7.2.2)因為年長的幼鹿在這一年之內(nèi)可能超過一歲，因而有144(7.2.1).(7.2.2)聯(lián)立起來，即得下面的線性差分方程組：(7.2.3)或用矩陣表示為：

(7.2.4)

這是一個一步方程，令

，A=則(7.2.4)式可表示為

(7.2.5)

(7.2.1).(7.2.2)聯(lián)立起來，即得下面的線性差分方145于是可推出：或=

n

(7.2.6)

如果知道開始時幼鹿數(shù)量和成年鹿的數(shù)量，由(7.2.6)可算出第n年的鹿的總數(shù)。

為了給出解的一般表達式，先把矩陣A對角化：

令=0即

得特征方程：

(7.2.7)于是可推出：或=146其判別式為

=

由于s,

都是大于零的，所以判別式Δ>0，和矩陣A可以對角化。

特征方程(7.2.7)有兩個相異的實根，這保證了

對于特征根，從下面的線性方程組

=可解得特征向量

同理可解得對應于特征根的特征向量其判別式為=由于147所以可得矩陣P＝

使得A＝即于是得

將上式代入(7.2.6)式=所以可得矩陣P＝使得A＝即于是得將上式代入(7.148=記

=

(7.2.8)所以

=

=

=記=149

由此可得：

n

故解得：(7.2.9)現(xiàn)在利用公式(7.2.9)對下面的一組數(shù)據(jù)

＝0.8（千頭）＝0.3＝0.62s＝0.8

＝1（千頭）＝1.5

＝0.75由此可得：n故解得：(7.2.9)150計算今后6年鹿的總數(shù)。為此，將以上數(shù)據(jù)代入(7.2.7),解得將數(shù)據(jù)代入(7.2.8)得最后由(7.2.9)得計算今后6年鹿的總數(shù)。為此，將以上數(shù)據(jù)代入(7.2.7),解151

4、模型評價

該模型的假設中，沒有考慮資源的制約，所以當鹿群的增長接近飽和狀態(tài)時，該模型失效。如果考慮自然資源的制約，則模型假設中的第６條不成立，這時生育率與食物的獲取有關(guān)。4、模型評價該模型的假設中，沒有考慮資源的制約152第四節(jié)減肥計劃——節(jié)食與運動背景

多數(shù)減肥食品達不到減肥目標，或不能維持

通過控制飲食和適當?shù)倪\動，在不傷害身體的前提下，達到減輕體重并維持下去的目標分析

體重變化由體內(nèi)能量守恒破壞引起

飲食（吸收熱量）引起體重增加

代謝和運動（消耗熱量）引起體重減少

體重指數(shù)BMI=w(kg)/l2(m2).18.5<BMI<25~正常；BMI>25~超重;BMI>30~肥胖.第四節(jié)減肥計劃——節(jié)食與運動背景多數(shù)減肥食品達不到減肥153模型假設1）體重增加正比于吸收的熱量——每8000千卡增加體重1千克；2）代謝引起的體重減少正比于體重——每周每公斤體重消耗200千卡~320千卡(因人而異),

相當于70千克的人每天消耗2000千卡~3200千卡；3）運動引起的體重減少正比于體重，且與運動形式有關(guān)；4）為了安全與健康，每周體重減少不宜超過1.5千克，每周吸收熱量不要小于10000千卡。模型假設1）體重增加正比于吸收的熱量——每8000千卡增加體154某甲體重100千克，目前每周吸收20000千卡熱量，體重維持不變?，F(xiàn)欲減肥至75千克。第一階段：每周減肥1千克，每周吸收熱量逐漸減少，直至達到下限（10000千卡）；第二階段：每周吸收熱量保持下限，減肥達到目標2）若要加快進程，第二階段增加運動，試安排計劃。1）在不運動的情況下安排一個兩階段計劃。減肥計劃3）給出達到目標后維持體重的方案。某甲體重100千克，目前每周吸收20000千卡熱量，體重維持155

確定某甲的代謝消耗系數(shù)即每周每千克體重消耗20000/100=200千卡基本模型w(k)~第k周(末)體重c(k)~第k周吸收熱量~代謝消耗系數(shù)(因人而異)1）不運動情況的兩階段減肥計劃每周吸收20000千卡w=100千克不變確定某甲的代謝消耗系數(shù)即每周每千克體重消耗20000/1156

第一階段:w(k)每周減1千克,c(k)減至下限10000千卡第一階段10周,每周減1千克，第10周末體重90千克吸收熱量為1）不運動情況的兩階段減肥計劃第一階段:w(k)每周減1千克,c(k)減至下限100157

第二階段：每周c(k)保持Cm,w(k)減至75千克1）不運動情況的兩階段減肥計劃基本模型第二階段：每周c(k)保持Cm,w(k)減至75千克158

第二階段：每周c(k)保持Cm,w(k)減至75千克第二階段19周,每周吸收熱量保持10000千卡,體重按減少至75千克。第二階段：每周c(k)保持Cm,w(k)減至75千克159運動t=24(每周跳舞8小時或自行車10小時),14周即可。2）第二階段增加運動的減肥計劃根據(jù)資料每小時每千克體重消耗的熱量(千卡):

跑步跳舞乒乓自行車(中速)游泳(50米/分)7.03.04.42.57.9t~每周運動時間(小時)基本模型運動t=24(每周跳舞8小時或自行車10小時),141603）達到目標體重75千克后維持不變的方案每周吸收熱量c(k)保持某常數(shù)C，使體重w不變

不運動

運動(內(nèi)容同前)3）達到目標體重75千克后維持不變的方案每周吸收熱量c(k)161第五節(jié)差分形式的阻滯增長模型連續(xù)形式的阻滯增長模型(Logistic模型)t,xN,x=N是穩(wěn)定平衡點(與r大小無關(guān))離散形式x(t)~某種群t時刻的數(shù)量(人口)yk~某種群第k代的數(shù)量(人口)若yk=N,則yk+1,yk+2,…=N討論平衡點的穩(wěn)定性，即k,

ykN？y*=N是平衡點第五節(jié)差分形式的阻滯增長模型連續(xù)形式的阻滯增長模型(162離散形式阻滯增長模型的平衡點及其穩(wěn)定