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補(bǔ)充材料:張量分析初步高等復(fù)合材料力學(xué)AdvancedMechanicsofCompositeMaterials陳玉麗航空科學(xué)與工程學(xué)院1補(bǔ)充材料:張量分析初步高等復(fù)合材料力學(xué)Advanced目錄

引言

張量的基本概念，愛因斯坦求和約定符號(hào)ij與erst

坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律，張量方程張量代數(shù)，商法則常用特殊張量，主方向與主分量張量函數(shù)及其微積分AppendixA目錄引言AppendixA引言

廣義相對(duì)論（1915）、理論物理連續(xù)介質(zhì)力學(xué)（固體力學(xué)、流體力學(xué)）現(xiàn)代力學(xué)的大部分文獻(xiàn)都采用張量表示主要參考書:W.Flugge,TensorAnalysisandContinuumMechanics,Springer,1972.黃克智等，張量分析，清華大學(xué)出版社，2003.引言廣義相對(duì)論（1915）、理論物理主要參考書:張量基本概念標(biāo)量（零階張量）例如：質(zhì)量，溫度質(zhì)量密度應(yīng)變能密度等等。其值與坐標(biāo)系選取無(wú)關(guān)。

張量基本概念標(biāo)量（零階張量）張量基本概念矢量（一階張量）例如：位移，速度，加速度，力，法向矢量,等等。張量基本概念矢量（一階張量）矢量（一階張量）矢量u在笛卡爾坐標(biāo)系中分解為其中u1,u2,u3

是u的三個(gè)分量，e1,

e2,e3是單位基矢量。張量基本概念矢量（一階張量）其中u1,u2,u3是u的三個(gè)分矢量（一階張量）既有大小又有方向性的物理量;其分量與坐標(biāo)系選取有關(guān)，滿足坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系；遵從相應(yīng)的矢量運(yùn)算規(guī)則。張量基本概念矢量（一階張量）既有大小又有方向性的物理量;張量基本概念矢量(可推廣至張量)的三種記法：實(shí)體記法：u

分解式記法：分量記法：AppendixA.1張量基本概念矢量(可推廣至張量)的三種記法：AppendixA.1AppendixA.1張量基本概念指標(biāo)符號(hào)用法三維空間中任意點(diǎn)P的坐標(biāo)（x,y,z）可縮寫成xi,其中x1=x,x2=y,x3=z。兩個(gè)矢量a和b的分量的點(diǎn)積(或稱數(shù)量積)為：AppendixA.1張量基本概念指標(biāo)符號(hào)用法愛因斯坦求和約定如果在表達(dá)式的某項(xiàng)中，某指標(biāo)重復(fù)地出現(xiàn)兩次，則表示要把該項(xiàng)在該指標(biāo)的取值范圍內(nèi)遍歷求和。該重復(fù)的指標(biāo)稱為啞指標(biāo)，簡(jiǎn)稱啞標(biāo)。張量基本概念愛因斯坦求和約定張量基本概念

由于aibi=biai，即矢量點(diǎn)積的順序可以交換：由于啞標(biāo)i僅表示要遍歷求和，故可成對(duì)地任意交換。例如：只要指標(biāo)j或m在同項(xiàng)內(nèi)僅出現(xiàn)兩次，且取值范圍和i相同。張量基本概念由于aibi=biai，即矢量點(diǎn)積的順序可以交換：只要指標(biāo)約定：

如果不標(biāo)明取值范圍，則拉丁指標(biāo)i,j,k,…表示三維指標(biāo)，取值1,2,3；希臘指標(biāo),,

,…均為二維指標(biāo)，取值1,2。張量基本概念約定：張量基本概念

拉丁指標(biāo)

希臘指標(biāo)張量基本概念拉丁指標(biāo)希臘指標(biāo)張量基本概念二階張量應(yīng)變，應(yīng)力，速度梯度，變形梯度，等。三階張量壓電張量，等。四階張量彈性張量，等。張量基本概念二階張量張量基本概念二階（或高階）張量的來源描述一些復(fù)雜的物理量需要二階（或高階）張量；低階張量的梯度；低階張量的并積；更高階張量的縮并，等。張量基本概念二階（或高階）張量的來源張量基本概念應(yīng)力張量張量基本概念應(yīng)力張量張量基本概念張量的三種記法：實(shí)體記法：分解式記法：分量記法：張量基本概念張量的三種記法：張量基本概念張量基本概念愛因斯坦求和約定張量基本概念愛因斯坦求和約定采用指標(biāo)符號(hào)后，線性變換表示為利用愛因斯坦求和約定，寫成：其中j是啞指標(biāo)，i是自由指標(biāo)。張量基本概念采用指標(biāo)符號(hào)后，線性變換表示為利用愛因斯坦求和約定，寫成：其

例如一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)要用應(yīng)力張量來表示，它是具有二重方向性的二階張量，記為

（或）。矢量和標(biāo)量是特殊的張量，矢量為一階張量，標(biāo)量為零階張量。AppendixA.1張量基本概念例如一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)要用應(yīng)力張量來表示，它是具在表達(dá)式或方程中自由指標(biāo)可以出現(xiàn)多次，但不得在同項(xiàng)內(nèi)出現(xiàn)兩次，若在同項(xiàng)內(nèi)出現(xiàn)兩次則是啞指標(biāo)。例：若i為自由指標(biāo)★張量基本概念在表達(dá)式或方程中自由指標(biāo)可以出現(xiàn)多次，但不得在同項(xiàng)內(nèi)出現(xiàn)兩自由指標(biāo)表示：若輪流取該指標(biāo)范圍內(nèi)的任何值，關(guān)系式將始終成立。例如：表達(dá)式在自由指標(biāo)i取1，2，3時(shí)該式始終成立，即有張量基本概念★自由指標(biāo)表示：若輪流取該指標(biāo)范圍內(nèi)的任何值，關(guān)系式將始終成立同時(shí)取值的自由指標(biāo)必須同名，獨(dú)立取值的自由指標(biāo)應(yīng)防止重名。自由指標(biāo)必須整體換名，即把方程或表達(dá)式中出現(xiàn)的同名自由指標(biāo)全部改成同一個(gè)新名字。i換成k★★張量基本概念同時(shí)取值的自由指標(biāo)必須同名，獨(dú)立取值的自由指標(biāo)應(yīng)防止重名。指標(biāo)符號(hào)也適用于微分和導(dǎo)數(shù)表達(dá)式。例如，三維空間中線元長(zhǎng)度ds和其分量dxi之間的關(guān)系可簡(jiǎn)寫成：場(chǎng)函數(shù)f(x1,x2,x3)的全微分：★張量基本概念24指標(biāo)符號(hào)也適用于微分和導(dǎo)數(shù)表達(dá)式。例如，三維空間中線元長(zhǎng)度可用同項(xiàng)內(nèi)出現(xiàn)兩對(duì)(或幾對(duì))不同啞指標(biāo)的方法來表示多重求和。例如：若要對(duì)在同項(xiàng)內(nèi)出現(xiàn)兩次以上的指標(biāo)進(jìn)行遍歷求和，一般應(yīng)加求和號(hào)。如：★★張量基本概念25可用同項(xiàng)內(nèi)出現(xiàn)兩對(duì)(或幾對(duì))不同啞指標(biāo)的方法來表示多重求和。一般說不能由等式兩邊消去ai導(dǎo)得但若ai可以任意取值等式始終成立，則可以通過取特殊值使得上式成立。★張量基本概念26一般說不能由等式兩邊消去ai導(dǎo)得但若ai可以任意取值等式始終小結(jié)通過啞指標(biāo)可把許多項(xiàng)縮寫成一項(xiàng)，通過自由指標(biāo)又把許多方程縮寫成一個(gè)方程。一般說，在一個(gè)用指標(biāo)符號(hào)寫出的方程中，若有k個(gè)獨(dú)立的自由指標(biāo)，其取值范圍是1～n，則這個(gè)方程代表了nk個(gè)分量方程。在方程的某項(xiàng)中若同時(shí)出現(xiàn)m對(duì)取值范圍為1～n的啞指標(biāo)，則此項(xiàng)含相互迭加的nm個(gè)項(xiàng)。張量基本概念27小結(jié)通過啞指標(biāo)可把許多項(xiàng)縮寫成一項(xiàng)，通過自由指標(biāo)又把許多方程目錄AppendixA

引言張量的基本概念，愛因斯坦求和約定符號(hào)ij與erst

坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律，張量方程張量代數(shù)，商法則常用特殊張量，主方向與主分量張量函數(shù)及其微積分28目錄AppendixA引言28符號(hào)ij與erst

ij符號(hào)

(Kroneckerdelta)

定義(笛卡爾坐標(biāo)系)(i,j=1,2,…,n)

特性1.對(duì)稱性，由定義可知指標(biāo)i和j是對(duì)稱的，即29符號(hào)ij與erst

ij符號(hào)(Kronecker3.換標(biāo)符號(hào)，具有換標(biāo)作用。例如：2.ij

的分量集合對(duì)應(yīng)于單位矩陣。例如在三維空間即：如果符號(hào)的兩個(gè)指標(biāo)中，有一個(gè)和同項(xiàng)中其它因子的指標(biāo)相重，則可以把該因子的那個(gè)重指標(biāo)換成的另一個(gè)指標(biāo)，而自動(dòng)消失。符號(hào)ij與erst

303.換標(biāo)符號(hào)，具有換標(biāo)作用。例如：2.ij的分量集合

類似地有符號(hào)ij與erst

31類似地有符號(hào)ij與erst

31erst符號(hào)(排列符號(hào)或置換符號(hào)，Eddington)

定義(笛卡爾坐標(biāo)系)當(dāng)r,s,t為正序排列時(shí)當(dāng)r,s,t為逆序排列時(shí)當(dāng)r,s,t中兩個(gè)指標(biāo)值相同時(shí)(1,2,3)及其輪流換位得到的(2,3,1)和(3,1,2)稱為正序排列。(3,2,1)及其輪流換位得到的(2,1,3)和(1,3,2)稱為逆序排列?；蚍?hào)ij與erst

32erst符號(hào)(排列符號(hào)或置換符號(hào)，Eddington)

特性共有27個(gè)元素，其中三個(gè)元素為1，三個(gè)元素為-1，其余的元素都是0對(duì)其任何兩個(gè)指標(biāo)都是反對(duì)稱的，即當(dāng)三個(gè)指標(biāo)輪流換位時(shí)(相當(dāng)于指標(biāo)連續(xù)對(duì)換兩次)，erst的值不變

符號(hào)ij與erst

33特性符號(hào)ij與erst

33

常用實(shí)例三個(gè)相互正交的單位基矢量構(gòu)成正交標(biāo)準(zhǔn)化基。它具有如下重要性質(zhì)：每個(gè)基矢量的模為1，即eiej＝1(當(dāng)i＝j(luò)時(shí))

不同基矢量互相正交，即eiej＝0

(當(dāng)i≠j時(shí))

上述兩個(gè)性質(zhì)可以用ij表示統(tǒng)一形式：eiej＝ij符號(hào)ij與erst

34常用實(shí)例符號(hào)ij與erst

34

當(dāng)三個(gè)基矢量ei,ej,ek構(gòu)成右手系時(shí)，有

而對(duì)于左手系，有：

符號(hào)ij與erst

35當(dāng)三個(gè)基矢量ei,ej,ek構(gòu)成右手系時(shí)，有2.矢量的點(diǎn)積：3.矢量的叉積(或稱矢量積)：

如果沒有特殊說明，我們一般默認(rèn)為右手系。符號(hào)ij與erst

362.矢量的點(diǎn)積：如果沒有特殊說明，我們一般默認(rèn)為右手系。叉積的幾何意義是“面元矢量”，其大小等于由矢量a和b構(gòu)成的平行四邊形面積，方向沿該面元的法線方向。★符號(hào)ij與erst

37叉積的幾何意義是“面元矢量”，其大小等于由矢量a和b★★★符號(hào)ij與erst

38★★★符號(hào)ij與erst

38三個(gè)矢量a,b,c的混合積是一個(gè)標(biāo)量，其定義為：符號(hào)ij與erst

★若交換混合積中相鄰兩個(gè)矢量的順序，混合積的值反號(hào)。當(dāng)a,b,c構(gòu)成右手系時(shí)，混合積表示這三個(gè)矢量所構(gòu)成的平行六面體體積。若構(gòu)成左手系，則為體積的負(fù)值。39三個(gè)矢量a,b,c的混合積是一個(gè)標(biāo)量，其定義為：符號(hào)i由此可見符號(hào)ij和erst分別與矢量代數(shù)中的點(diǎn)積和叉積有關(guān)。利用(1)和(2)式有符號(hào)ij與erst

40由此可見符號(hào)ij和erst分別與矢量代數(shù)中的點(diǎn)積和叉4.三階行列式的值符號(hào)ij與erst

414.三階行列式的值符號(hào)ij與erst

41符號(hào)ij與erst

4.三階行列式的值42符號(hào)ij與erst

4.三階行列式的值42符號(hào)ij與erst

4.三階行列式的值43符號(hào)ij與erst

4.三階行列式的值435.e-

恒等式，其一般形式為：即退化形式為：符號(hào)ij與erst

445.e-恒等式，其一般形式為：符號(hào)ij與erst

1.平衡方程：如何用張量改寫彈性力學(xué)基本方程？45xyz1.平衡方程：如何用張量改寫彈性力學(xué)基本方程？45xyz2.幾何方程：如何用張量改寫彈性力學(xué)基本方程？462.幾何方程：如何用張量改寫彈性力學(xué)基本方程？463.本構(gòu)方程（各向同性材料）：如何用張量改寫彈性力學(xué)基本方程？提示：可以用到σkk和δij

γij=2εij

G=E/[2(1+ν)]473.本構(gòu)方程（各向同性材料）：如何用張量改寫彈性力學(xué)基本4.變形協(xié)調(diào)方程（平面應(yīng)變）：如何用張量改寫彈性力學(xué)基本方程？提示：二維指標(biāo)為希臘字母,,,…，取值1,2。484.變形協(xié)調(diào)方程（平面應(yīng)變）：如何用張量改寫彈性力學(xué)基本目錄AppendixA

引言張量的基本概念，愛因斯坦求和約定

符號(hào)ij與erst

坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律，張量方程張量代數(shù)，商法則常用特殊張量，主方向與主分量張量函數(shù)及其微積分49目錄AppendixA引言49坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換笛卡爾坐標(biāo)系(單位直角坐標(biāo)系)50坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換笛卡爾坐標(biāo)系(單位直角坐標(biāo)系)50

笛卡爾坐標(biāo)系(單位直角坐標(biāo)系)坐標(biāo)變化時(shí)，矢徑的變化為

坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換51笛卡爾坐標(biāo)系(單位直角坐標(biāo)系)坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換51

任意坐標(biāo)系坐標(biāo)變化時(shí)，矢徑的變化為

坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換52任意坐標(biāo)系坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換52

概念

坐標(biāo)線

當(dāng)一個(gè)坐標(biāo)任意變化而另兩個(gè)坐標(biāo)保持不變時(shí)，空間點(diǎn)的軌跡，過每個(gè)空間點(diǎn)有三根坐標(biāo)線。

基矢量

矢徑對(duì)坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)定義的三個(gè)基矢量gi

坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換53概念坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換53

參考架空間每點(diǎn)處有三個(gè)基矢量，它們組成一個(gè)參考架或稱坐標(biāo)架。任何具有方向性的物理量都可以對(duì)其相應(yīng)作用點(diǎn)處的參考架分解。對(duì)笛卡爾坐標(biāo)系：坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換54參考架坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換54三個(gè)相互正交的單位基矢量ei構(gòu)成正交標(biāo)準(zhǔn)化基坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換55三個(gè)相互正交的單位基矢量ei構(gòu)成正交標(biāo)準(zhǔn)化基坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換5歐氏空間中的一般坐標(biāo)系現(xiàn)在的坐標(biāo)線可能不再正交；不同點(diǎn)處的坐標(biāo)線可能不再平行；基矢量的大小和方向都可能隨點(diǎn)而異；各點(diǎn)處的參考架不再是正交標(biāo)準(zhǔn)化基。

坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換56歐氏空間中的一般坐標(biāo)系坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換56

坐標(biāo)轉(zhuǎn)換坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換57坐標(biāo)轉(zhuǎn)換坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換57將新基對(duì)老基

分解：轉(zhuǎn)換系數(shù)：反之：

坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換58將新基對(duì)老基分解：坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換58向新坐標(biāo)軸

投影，即用點(diǎn)乘上式兩邊，則左邊：右邊：坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換59向新坐標(biāo)軸投影，即用點(diǎn)乘上式兩邊，則左邊：由上述兩式可得新坐標(biāo)用老坐標(biāo)表示的表達(dá)式

經(jīng)過類似推導(dǎo)可得老坐標(biāo)用新坐標(biāo)表示的表達(dá)式

坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換60由上述兩式可得新坐標(biāo)用老坐標(biāo)表示的表達(dá)式坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換60坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的矩陣形式(設(shè)新老坐標(biāo)原點(diǎn)重合)

坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換61坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的矩陣形式(設(shè)新老坐標(biāo)原點(diǎn)重合)坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換61

坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的一般定義設(shè)在三維歐氏空間中任選兩個(gè)新、老坐標(biāo)系，和是同一空間點(diǎn)P的新、老坐標(biāo)值，則方程組定義了由老坐標(biāo)到新坐標(biāo)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，稱正轉(zhuǎn)換。其逆變換為對(duì)(*)式微分(*)坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換62坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的一般定義(*)坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換62處處不為零，則存在相應(yīng)的逆變換，即可反過來用唯一確定其系數(shù)行列式(雅克比行列式)坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換63其系數(shù)行列式(雅克比行列式)坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換63容許轉(zhuǎn)換由單值、一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)、且J處處不為零的轉(zhuǎn)換函數(shù)所實(shí)現(xiàn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換正常轉(zhuǎn)換

J

處處為正，把右手系轉(zhuǎn)換右手系反常轉(zhuǎn)換

J

處處為負(fù)，把右手系轉(zhuǎn)換成左手系坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換64容許轉(zhuǎn)換由單值、一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)、且J處處不為零的轉(zhuǎn)換目錄AppendixA

引言張量的基本概念，愛因斯坦求和約定符號(hào)ij與erst

坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律，張量方程張量代數(shù)，商法則常用特殊張量，主方向與主分量張量函數(shù)及其微積分65目錄AppendixA引言65

張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律張量，都不會(huì)因人為選擇不同參考坐標(biāo)系而改變其固有性質(zhì)，然而其分量的值則與坐標(biāo)選擇密切相關(guān)。所以，張量的分量在坐標(biāo)轉(zhuǎn)換時(shí)應(yīng)滿足一定的規(guī)律，以保證其坐標(biāo)不變性。張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律66張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律66

標(biāo)量分量轉(zhuǎn)換規(guī)律設(shè)一個(gè)標(biāo)量在新、老坐標(biāo)系中的值為t和t’，則矢量分量轉(zhuǎn)換規(guī)律

張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律67標(biāo)量分量轉(zhuǎn)換規(guī)律張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律67張量分量轉(zhuǎn)換規(guī)律以三維空間的二階張量為例，其分解式是：其中，Tij

為張量分量，eiej稱為基矢量，就是把兩個(gè)基矢量并寫在一起，不作任何運(yùn)算，成為構(gòu)成矢量的基。張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律68張量的分量表示法張量的實(shí)體表示法（并矢表示法）張量分量轉(zhuǎn)換規(guī)律張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律68張量的分量表示法張量

張量分量轉(zhuǎn)換規(guī)律即張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律69張量分量轉(zhuǎn)換規(guī)律張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律69高階張量的分量滿足如下轉(zhuǎn)換規(guī)律張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律70高階張量的分量滿足如下轉(zhuǎn)換規(guī)律張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律70注：在一個(gè)表示全部張量分量集合的指標(biāo)符號(hào)中，自由指標(biāo)的數(shù)目等于張量的階數(shù)K，每個(gè)自由指標(biāo)的取值范圍等于張量的維數(shù)n，各指標(biāo)在其取值范圍內(nèi)的任何一種可能組合都表示了張量的一個(gè)分量，所以n維K階張量共有nK個(gè)分量。張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律71注：張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律71

張量方程

定義每項(xiàng)都由張量組成的方程稱為張量方程。

特性具有與坐標(biāo)選擇無(wú)關(guān)的重要性質(zhì)，可用于描述客觀物理現(xiàn)象的固有特性和普遍規(guī)律。張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律72張量方程張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律72目錄

引言張量的基本概念，愛因斯坦求和約定符號(hào)ij與erst

坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律，張量方程

張量代數(shù)，商法則常用特殊張量，主方向與主分量張量函數(shù)及其微積分73目錄引言73張量代數(shù)&商判則

相等若兩個(gè)張量和相等則對(duì)應(yīng)分量相等若兩個(gè)張量在某個(gè)坐標(biāo)系中的對(duì)應(yīng)分量相等，則它們?cè)谌魏纹渌鴺?biāo)系中對(duì)應(yīng)分量也相等。74張量代數(shù)&商判則相等74

和、差兩個(gè)同階張量與之和(或差)是另一個(gè)同階張量其分量關(guān)系為張量代數(shù)&商判則75和、差張量代數(shù)&商判則75

數(shù)積張量A和一個(gè)數(shù)(或標(biāo)量函數(shù))相乘得另一同維同階張量T其分量關(guān)系為張量代數(shù)&商判則76數(shù)積張量代數(shù)&商判則76

并積兩個(gè)同維不同階（或同階）張量A和B的并積T是一個(gè)階數(shù)等于A、B階數(shù)之和的高階張量。設(shè)則其分量關(guān)系為注意：張量代數(shù)&商判則77并積注意：張量代數(shù)&商判則77

縮并若對(duì)基張量中的任意兩個(gè)基矢量求點(diǎn)積，在張量將縮并為低二階的新張量。

其分量關(guān)系為張量代數(shù)&商判則78縮并張量代數(shù)&商判則78若在基張量中取不同基矢量的點(diǎn)積，則縮并的結(jié)果也不同。例如若張量代數(shù)&商判則

縮并79若在基張量中取不同基矢量的點(diǎn)積，則縮并的結(jié)果也不同。例如若張

內(nèi)積并積加縮并運(yùn)算稱為內(nèi)積。例如和

的一種內(nèi)積是其分量關(guān)系為張量代數(shù)&商判則80內(nèi)積張量代數(shù)&商判則80

點(diǎn)積前張量A的最后基矢量與后張量B的第一基矢量縮并的結(jié)果，記為，是最常用的一種內(nèi)積。兩個(gè)二階張量的點(diǎn)積相當(dāng)于矩陣乘法。張量代數(shù)&商判則81點(diǎn)積張量代數(shù)&商判則81對(duì)前、后張量中兩對(duì)近挨著的基矢量縮并的結(jié)果稱為雙點(diǎn)積，共有兩種：并雙點(diǎn)積串雙點(diǎn)積張量代數(shù)&商判則

雙點(diǎn)積82對(duì)前、后張量中兩對(duì)近挨著的基矢量縮并的結(jié)果稱為雙點(diǎn)積，共有兩

并矢把K個(gè)獨(dú)立矢量并寫在一起稱為并矢量，它們的并積是一個(gè)K階張量。矢量的并積不服從交換律，并矢量中各矢量的順序不得任意調(diào)換。張量代數(shù)&商判則83并矢矢量的并積不服從交換律，并矢量中各矢量的順序不得任和任意矢量的內(nèi)積（包括點(diǎn)積）為K-1階張量的量一定是個(gè)K階張量。一個(gè)K階張量連續(xù)地和n個(gè)任意矢量求內(nèi)積，其縮并的結(jié)果是一個(gè)K-n階張量。張量代數(shù)&商判則

商判則84一個(gè)K階張量連續(xù)地和n個(gè)任意矢量求內(nèi)積，其縮并的結(jié)果OperationNumberoforder并積差乘-1點(diǎn)乘-2雙點(diǎn)乘-4張量乘法運(yùn)算和結(jié)果的階數(shù)85OperationNumberoforder并積目錄

引言張量的基本概念，愛因斯坦求和約定符號(hào)ij與erst

坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律，張量方程張量代數(shù)，商法則

常用特殊張量，主方向與主分量張量函數(shù)及其微積分86目錄引言86特殊張量，主方向與主分量

常用特殊張量零張量則：

87特殊張量，主方向與主分量常用特殊張量87

單位張量

笛卡爾坐標(biāo)系中分量為ij的二階張量I，即單位張量和任意張量的點(diǎn)積就等于該張量本身：I·a＝a，I·A＝A特殊張量，主方向與主分量88單位張量單位張量和任意張量的點(diǎn)積就等于該張量本身：特殊張?zhí)厥鈴埩浚鞣较蚺c主分量

球形張量主對(duì)角分量為，其余分量為零的二階張量。它是數(shù)

與單位張量的數(shù)積。即89特殊張量，主方向與主分量球形張量89

轉(zhuǎn)置張量對(duì)于二階張量，由對(duì)換分量指標(biāo)而基矢量順序保持不變所得到的新張量稱為張量T的轉(zhuǎn)置張量。特殊張量，主方向與主分量90轉(zhuǎn)置張量特殊張量，主方向與主分量90

對(duì)稱張量

反對(duì)稱張量特殊張量，主方向與主分量91對(duì)稱張量特殊張量，主方向與主分量91轉(zhuǎn)置張量等于其負(fù)張量的張量。即滿足反對(duì)稱張量的主對(duì)角張量均為零。三維二階反對(duì)稱張量的獨(dú)立分量只有三個(gè)。n維二階對(duì)稱張量有

個(gè)獨(dú)立分量。特殊張量，主方向與主分量

反對(duì)稱張量92特殊張量，主方向與主分量反對(duì)稱張量92任意二階張量T均可分解為對(duì)稱張量S和反對(duì)稱張量A之和：特殊張量，主方向與主分量

加法分解93任意二階張量T均可分解為對(duì)稱張量S和反對(duì)稱張量A任意二階對(duì)稱張量S均可分解為球形張量P和偏斜張量D之和：其中特殊張量，主方向與主分量

偏斜張量

94任意二階對(duì)稱張量S均可分解為球形張量P和偏斜張量D偏斜張量為偏斜張量三個(gè)對(duì)角分量之和為零：特殊張量，主方向與主分量

偏斜張量

95偏斜張量為特殊張量，主方向與主分量偏斜張量95笛卡爾系中以erst為分量的三階張量，又稱排列張量特殊張量，主方向與主分量

置換張量96特殊張量，主方向與主分量置換張量96所有分量均不因坐標(biāo)轉(zhuǎn)換而改變的張量。例如：?jiǎn)挝粡埩縄、球形張量、置換張量等。標(biāo)量是零階的各向同性張量，而矢量則不是各向同性的。特殊張量，主方向與主分量

各向同性張量97所有分量均不因坐標(biāo)轉(zhuǎn)換而改變的張量。特殊張量，主方向與主分量

主方向與主分量二階張量可定義為一種由矢量a到矢量b的線性變換，即一般說，矢量a與b并不同向。對(duì)于給定的任意二階張量T能否找到某個(gè)矢量，它在線性變換后能保持方向不變，即或特殊張量，主方向與主分量98主方向與主分量特殊張量，主方向與主分量98其中是標(biāo)量。上式是求j

的線性齊次代數(shù)方程組，存在非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式為零特殊張量，主方向與主分量99其中是標(biāo)量。上式是求j的線性齊次代數(shù)方程組，存在非零這是關(guān)于的特征方程；其中是[Tij]的主對(duì)角分量之和，稱為張量T的跡，記作trT是矩陣[Tij]的二階主子式之和。

特殊張量，主方向與主分量100這是關(guān)于的特征方程；其中特殊張量，主方向與主分量100是矩陣的行列式，記作detT。特征方程的三個(gè)特征根稱為張量T的主分量。當(dāng)T是實(shí)對(duì)稱張量時(shí)，存在三個(gè)實(shí)特征根

特殊張量，主方向與主分量101是矩陣的行列式，記作detT。特殊張量，主方向與主分量101由特征方程求特征根：由每個(gè)(k)

分別求特征方向：方向矢量j(k)特殊張量，主方向與主分量102由特征方程求特征根：由每個(gè)(k)分別求特征方向：方向矢量由上述方法求得的三個(gè)單位矢量(k)＝j(luò)(k)ej稱為張量T的主方向。注：若(1),(2),(3)互不相等，則(1),(2),(3)互相垂直。對(duì)于二重根情況，例如(1)＝(2)，則垂直于(3)的任何方向都是主方向，可任選其中兩個(gè)互相垂直方向作為(1)和(2)。對(duì)于三重根情況，例如(1)＝(2)＝(3)，則任何方向都是主方向，可任選三個(gè)互相垂直的方向作為(1),(2)和(3)。特殊張量，主方向與主分量103由上述方法求得的三個(gè)單位矢量(k)＝j(luò)(k)ej稱為注

主坐標(biāo)系沿主方向(1),

(2),(3)的正交坐標(biāo)系稱為張量T的主坐標(biāo)系。在主坐標(biāo)系中，有當(dāng)T為應(yīng)力張量時(shí)，(k)就是三個(gè)主應(yīng)力1,2和3特殊張量，主方向與主分量104主坐標(biāo)系沿主方向(1),(2),(3)的正交坐標(biāo)系特征方程是一個(gè)與坐標(biāo)選擇無(wú)關(guān)的普遍方程，它的三個(gè)系數(shù)I1,I2和I3分別稱為張量T的第一、第二和第三不變量。

特征方程的根(k)也是三個(gè)不變量，相應(yīng)的主方向(k)也與坐標(biāo)無(wú)關(guān)。特殊張量，主方向與主分量

不變量105特征方程是一個(gè)與坐標(biāo)選擇無(wú)關(guān)的普遍方程，它的三個(gè)系數(shù)I1,目錄

引言張量的基本概念，愛因斯坦求和約定符號(hào)ij與erst

坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律，張量方程張量代數(shù)，商法則常用特殊張量，主方向與主分量

張量函數(shù)及其微積分106目錄引言106張量函數(shù)及其微積分在空間所論域內(nèi),每點(diǎn)定義的同階張量,構(gòu)成了張量場(chǎng)。一般張量場(chǎng)中被考察的張量隨位置而變化。研究張量場(chǎng)因位置而變化的情況使我們從張量代數(shù)的領(lǐng)域進(jìn)入張量分析的領(lǐng)域。這里簡(jiǎn)要介紹笛卡兒坐標(biāo)系中的張量分析。

107張量函數(shù)及其微積分在空間所論域內(nèi),每點(diǎn)定義的同階張量,構(gòu)A:標(biāo)量的矢量函數(shù)張量函數(shù)一個(gè)張量F依賴于另一張量T而變化矢量u是t的函數(shù)，ui也是t的函數(shù)，如ui可導(dǎo)，則矢量u對(duì)t的導(dǎo)數(shù)為:即張量函數(shù)及其微積分108A:標(biāo)量的矢量函數(shù)張量函數(shù)矢量u是t的函數(shù)，ui也B:矢量的標(biāo)量函數(shù)標(biāo)量

f是矢量u的函數(shù)即若f

可連續(xù)偏導(dǎo),則f對(duì)u的導(dǎo)數(shù)是一個(gè)矢量張量函數(shù)及其微積分109B:矢量的標(biāo)量函數(shù)標(biāo)量f是矢量u的函數(shù)即若f可連矢量u是矢量v的函數(shù)，即若ui的偏導(dǎo)連續(xù)，則u對(duì)v的導(dǎo)數(shù)是一個(gè)二階張量張量函數(shù)及其微積分C:矢量的矢量函數(shù)110矢量u是矢量v的函數(shù)，即若ui的偏導(dǎo)連續(xù)，則u對(duì)v的導(dǎo)數(shù)是一若f對(duì)二階張量Tij的偏導(dǎo)連續(xù),則若標(biāo)量f是二階張量Tij的函數(shù),即f相對(duì)于T的導(dǎo)數(shù)是二階張量張量函數(shù)及其微積分D:二階張量的標(biāo)量函數(shù)111若f對(duì)二階張量Tij的偏導(dǎo)連續(xù),則若標(biāo)量f是二階若φ是定義在空間區(qū)域的張量，φ是一個(gè)張量場(chǎng)，則則φ對(duì)坐標(biāo)的一階偏導(dǎo)數(shù)和二階偏導(dǎo)數(shù)記為則φ的導(dǎo)數(shù)和微分記為張量函數(shù)及其微積分E:張量場(chǎng)112若φ是定義在空間區(qū)域的張量，φ是一個(gè)張量場(chǎng)，則則φ對(duì)坐標(biāo)的一

Hamilton算子φ的導(dǎo)數(shù)和微分可用Hamilton算子改寫為右梯度同樣定義左梯度張量函數(shù)及其微積分張量的梯度為比原張量高一階的新張量梯度113Hamilton算子φ的導(dǎo)數(shù)和微分可用Hamilton張量函數(shù)及其微積分散度左散度

右散度

張量的散度為比原張量低一階的新張量114張量函數(shù)及其微積分散度左散度右散度張量的散度為比原張張量函數(shù)及其微積分旋度左旋度

右旋度

張量的旋度為與原張量具有相同階數(shù)的新張量115張量函數(shù)及其微積分旋度左旋度右旋度張量的旋度為與原張張量函數(shù)及其微積分

高斯公式（散度定理）式中，V表示空間的某一區(qū)域，S是這一區(qū)域的表面，n=niei是S的外法線單位矢量,φ

是V中具有連續(xù)偏導(dǎo)的場(chǎng)函數(shù)。116張量函數(shù)及其微積分高斯公式（散度定理）式中，V表示空間V表示空間的某一區(qū)域，S是這一區(qū)域的表面，n=niei是S的外法線單位矢量,φ

是V中任意階的光滑張量場(chǎng)。用“○”表示并積、點(diǎn)積、叉積等任何一種運(yùn)算，則張量函數(shù)及其微積分

高斯公式117V表示空間的某一區(qū)域，S是這一區(qū)域的表面，n=ni118118119

學(xué)習(xí)目標(biāo)：廣告分類及特點(diǎn)。廣告的寫法

學(xué)法指導(dǎo)：結(jié)合已有見聞了解廣告用法。學(xué)會(huì)聯(lián)想，激發(fā)想象力，學(xué)會(huì)廣告寫作。課后多觀察，多積累素材，借助媒體，借鑒經(jīng)驗(yàn)，處處留心皆廣告。

本節(jié)課重點(diǎn)：學(xué)習(xí)目標(biāo)1、2、廣告標(biāo)題寫法。119

學(xué)習(xí)目標(biāo)：120導(dǎo)入：相信同學(xué)們對(duì)廣告這個(gè)字眼是再熟悉不過了，隨著現(xiàn)代科技的發(fā)展，人們生活水平的日益提高，傳媒手段的多元化，廣告如漫天飛雪撲面而來，給人們的生活帶來意想不到的影響。可以說人人都離不開廣告。通過今天的學(xué)習(xí)，同學(xué)們對(duì)廣告會(huì)有更深的認(rèn)識(shí)。120導(dǎo)入：相信同學(xué)們對(duì)廣告這個(gè)字眼是再熟悉不過了，隨著現(xiàn)代121廣告概念：廣義：包括公益性宣傳廣告和商業(yè)行為廣告。狹義：以盈利為目的的商業(yè)行為的廣告。商業(yè)廣告概念：商業(yè)廣告是一種有計(jì)劃、有針對(duì)性地通過各種媒體向公眾傳遞商品、服務(wù)信息，以促進(jìn)銷售或有償服務(wù)的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用文。

“廣告”一詞，來源于西方。英語(yǔ)稱之為Advertise。源出于拉丁語(yǔ)Advetteze，含義為‘注意’、‘誘導(dǎo)’。

121廣告概念：廣義：122分類：

按傳播媒體形式分：報(bào)刊雜志廣告廣播電視廣告路牌廣告櫥窗展示廣告郵寄廣告按作用分：商品廣告招聘廣告服務(wù)廣告122分類：

按傳播媒體形式分：報(bào)刊雜志廣告123廣告詞，也稱廣告文案或廣告文稿，是指在廣告作品中用以表達(dá)廣告主題和創(chuàng)意的語(yǔ)言文字，它是廣告的核心。123廣告詞，也稱廣告文案或廣告文稿，是指在廣告作品中用以表124標(biāo)題作品欣賞：標(biāo)題：誰(shuí)來電，讓我心頭一震（ERICSSON手機(jī)雜志廣告）124標(biāo)題作品欣賞：標(biāo)題：誰(shuí)來電，讓我心頭一震（ERICSS125竹葉青茶葉平面廣告（香篇）：文案:暗香浮動(dòng)竹葉青，品“竹葉青”，細(xì)聞其香，雖無(wú)茉莉之馥都，但有山水之清芳，至純至真，此刻，品茗漸入佳境……125竹葉青茶葉平面廣告（香篇）：文案:暗香浮動(dòng)竹葉青，126正文寫法：

作為廣告主體，要求提供商品細(xì)節(jié)的部分：商品的正式名稱、規(guī)格型號(hào)、性能特點(diǎn)、使用成果、所得榮譽(yù)、售后服務(wù)以及優(yōu)惠條件等。服務(wù)性企業(yè)，介紹服務(wù)設(shè)施、服務(wù)內(nèi)容。文字要求簡(jiǎn)明扼要、通俗易懂，少用專業(yè)術(shù)語(yǔ)。具體要求：

1、主題突出，立意新穎

2、內(nèi)容真實(shí)。

3、語(yǔ)言簡(jiǎn)練生動(dòng)。126正文寫法：作為廣告主體，要求提供商品細(xì)節(jié)127正文證明體。比如：山東蘭陵美酒，曾榮獲1915年巴拿馬國(guó)際博覽會(huì)金質(zhì)獎(jiǎng)?wù)隆?980年獲山東優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品證書，1987年獲“中國(guó)第一屆黃酒節(jié)”一等獎(jiǎng)。陳述體。大致分為條款式和文章式兩種。比如，廣西永福制藥廠的廣告：“永?？h是名貴特產(chǎn)羅漢果之鄉(xiāng)，羅漢果味甜、性涼，具有清熱潤(rùn)肺、止咳化痰、生津止渴、潤(rùn)腸通便、益肝健脾以及促進(jìn)腸胃機(jī)能、降低血壓等功效”。對(duì)話體。形式活潑，有親切感。127正文證明體。比如：山東蘭陵美酒，曾榮獲1915年128ΧΧ牌超濃縮洗衣粉

該產(chǎn)品全國(guó)首創(chuàng)，使用方便，效力極強(qiáng)，特別經(jīng)濟(jì)，省時(shí)省力，最佳選擇。簡(jiǎn)析文從字順，但沒有意象，更無(wú)生動(dòng)感人的藝術(shù)意境。沒有隨文，缺少相關(guān)商品信息。128簡(jiǎn)析文從字順，但沒有意象，更無(wú)生動(dòng)感人的藝術(shù)意境。沒有129美國(guó)一家電話公司的廣告電視畫面：傍晚，一對(duì)老年夫婦正在餐廳里用餐，電話鈴響，老婦人起身接電話，一會(huì)兒，老婦人回到餐桌旁。老先生：誰(shuí)的電話？老婦人：是女兒打來的。老先生：有什么事？老婦人：沒事。老先生：沒事？幾千里地打來電話？老婦人：（嗚咽）她說她愛我們。（兩位老人相視無(wú)言，激動(dòng)不已。）旁白：用電話傳遞你的愛吧！

129美國(guó)一家電話公司的廣告130

簡(jiǎn)析這是一則對(duì)話體廣告。標(biāo)題使用直接式標(biāo)題，讓人一看就清楚。正文描繪了一幅普通的生活畫面，蘊(yùn)涵著深切的親情與摯愛。以情感人。強(qiáng)烈的感情訴求。最后的旁白畫龍點(diǎn)睛地揭示廣告的主旨，使人恍然有悟，感染力強(qiáng)。

130簡(jiǎn)析這是一則對(duì)話體廣告。標(biāo)題使用直接式標(biāo)131廣告標(biāo)語(yǔ)

也叫廣告口號(hào)，它是企業(yè)在一定時(shí)期內(nèi)反復(fù)使用的特定宣傳語(yǔ)言。一般有以下幾種形式：

1、贊揚(yáng)式

如：白里透紅、與眾不同。

2、號(hào)召式

如：今年過節(jié)不收禮，收禮只收腦白金。

3、情感式

4、綜合式131廣告標(biāo)語(yǔ)也叫廣告口號(hào)，它是企業(yè)在132練習(xí)：某餐館的廣告詞是:”好吃,您告訴大家;不好吃,您告訴我們?！边@兩句話看似挺自信,但仔細(xì)想想,這樣說顯得該餐館對(duì)自己的飯菜質(zhì)量還是沒有十分把握。如果稍做改動(dòng)，改為：“___________________________________________________”132練習(xí)：某餐館的廣告詞是:”好吃,您告訴大家;不好吃,您快樂高爾夫青少年暑期活動(dòng)計(jì)劃

快樂高爾夫青少年暑期活動(dòng)計(jì)劃青少年興趣培養(yǎng)計(jì)劃云集達(dá)體育發(fā)展有限公司青少年興趣培養(yǎng)計(jì)劃云集達(dá)體育發(fā)展有限公司補(bǔ)充材料:張量分析初步高等復(fù)合材料力學(xué)AdvancedMechanicsofCompositeMaterials陳玉麗航空科學(xué)與工程學(xué)院135補(bǔ)充材料:張量分析初步高等復(fù)合材料力學(xué)Advanced目錄

引言

張量的基本概念，愛因斯坦求和約定符號(hào)ij與erst

坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律，張量方程張量代數(shù)，商法則常用特殊張量，主方向與主分量張量函數(shù)及其微積分AppendixA目錄引言AppendixA引言

廣義相對(duì)論（1915）、理論物理連續(xù)介質(zhì)力學(xué)（固體力學(xué)、流體力學(xué)）現(xiàn)代力學(xué)的大部分文獻(xiàn)都采用張量表示主要參考書:W.Flugge,TensorAnalysisandContinuumMechanics,Springer,1972.黃克智等，張量分析，清華大學(xué)出版社，2003.引言廣義相對(duì)論（1915）、理論物理主要參考書:張量基本概念標(biāo)量（零階張量）例如：質(zhì)量，溫度質(zhì)量密度應(yīng)變能密度等等。其值與坐標(biāo)系選取無(wú)關(guān)。

張量基本概念標(biāo)量（零階張量）張量基本概念矢量（一階張量）例如：位移，速度，加速度，力，法向矢量,等等。張量基本概念矢量（一階張量）矢量（一階張量）矢量u在笛卡爾坐標(biāo)系中分解為其中u1,u2,u3

是u的三個(gè)分量，e1,

e2,e3是單位基矢量。張量基本概念矢量（一階張量）其中u1,u2,u3是u的三個(gè)分矢量（一階張量）既有大小又有方向性的物理量;其分量與坐標(biāo)系選取有關(guān)，滿足坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系；遵從相應(yīng)的矢量運(yùn)算規(guī)則。張量基本概念矢量（一階張量）既有大小又有方向性的物理量;張量基本概念矢量(可推廣至張量)的三種記法：實(shí)體記法：u

分解式記法：分量記法：AppendixA.1張量基本概念矢量(可推廣至張量)的三種記法：AppendixA.1AppendixA.1張量基本概念指標(biāo)符號(hào)用法三維空間中任意點(diǎn)P的坐標(biāo)（x,y,z）可縮寫成xi,其中x1=x,x2=y,x3=z。兩個(gè)矢量a和b的分量的點(diǎn)積(或稱數(shù)量積)為：AppendixA.1張量基本概念指標(biāo)符號(hào)用法愛因斯坦求和約定如果在表達(dá)式的某項(xiàng)中，某指標(biāo)重復(fù)地出現(xiàn)兩次，則表示要把該項(xiàng)在該指標(biāo)的取值范圍內(nèi)遍歷求和。該重復(fù)的指標(biāo)稱為啞指標(biāo)，簡(jiǎn)稱啞標(biāo)。張量基本概念愛因斯坦求和約定張量基本概念

由于aibi=biai，即矢量點(diǎn)積的順序可以交換：由于啞標(biāo)i僅表示要遍歷求和，故可成對(duì)地任意交換。例如：只要指標(biāo)j或m在同項(xiàng)內(nèi)僅出現(xiàn)兩次，且取值范圍和i相同。張量基本概念由于aibi=biai，即矢量點(diǎn)積的順序可以交換：只要指標(biāo)約定：

如果不標(biāo)明取值范圍，則拉丁指標(biāo)i,j,k,…表示三維指標(biāo)，取值1,2,3；希臘指標(biāo),,

,…均為二維指標(biāo)，取值1,2。張量基本概念約定：張量基本概念

拉丁指標(biāo)

希臘指標(biāo)張量基本概念拉丁指標(biāo)希臘指標(biāo)張量基本概念二階張量應(yīng)變，應(yīng)力，速度梯度，變形梯度，等。三階張量壓電張量，等。四階張量彈性張量，等。張量基本概念二階張量張量基本概念二階（或高階）張量的來源描述一些復(fù)雜的物理量需要二階（或高階）張量；低階張量的梯度；低階張量的并積；更高階張量的縮并，等。張量基本概念二階（或高階）張量的來源張量基本概念應(yīng)力張量張量基本概念應(yīng)力張量張量基本概念張量的三種記法：實(shí)體記法：分解式記法：分量記法：張量基本概念張量的三種記法：張量基本概念張量基本概念愛因斯坦求和約定張量基本概念愛因斯坦求和約定采用指標(biāo)符號(hào)后，線性變換表示為利用愛因斯坦求和約定，寫成：其中j是啞指標(biāo)，i是自由指標(biāo)。張量基本概念采用指標(biāo)符號(hào)后，線性變換表示為利用愛因斯坦求和約定，寫成：其

例如一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)要用應(yīng)力張量來表示，它是具有二重方向性的二階張量，記為

（或）。矢量和標(biāo)量是特殊的張量，矢量為一階張量，標(biāo)量為零階張量。AppendixA.1張量基本概念例如一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)要用應(yīng)力張量來表示，它是具在表達(dá)式或方程中自由指標(biāo)可以出現(xiàn)多次，但不得在同項(xiàng)內(nèi)出現(xiàn)兩次，若在同項(xiàng)內(nèi)出現(xiàn)兩次則是啞指標(biāo)。例：若i為自由指標(biāo)★張量基本概念在表達(dá)式或方程中自由指標(biāo)可以出現(xiàn)多次，但不得在同項(xiàng)內(nèi)出現(xiàn)兩自由指標(biāo)表示：若輪流取該指標(biāo)范圍內(nèi)的任何值，關(guān)系式將始終成立。例如：表達(dá)式在自由指標(biāo)i取1，2，3時(shí)該式始終成立，即有張量基本概念★自由指標(biāo)表示：若輪流取該指標(biāo)范圍內(nèi)的任何值，關(guān)系式將始終成立同時(shí)取值的自由指標(biāo)必須同名，獨(dú)立取值的自由指標(biāo)應(yīng)防止重名。自由指標(biāo)必須整體換名，即把方程或表達(dá)式中出現(xiàn)的同名自由指標(biāo)全部改成同一個(gè)新名字。i換成k★★張量基本概念同時(shí)取值的自由指標(biāo)必須同名，獨(dú)立取值的自由指標(biāo)應(yīng)防止重名。指標(biāo)符號(hào)也適用于微分和導(dǎo)數(shù)表達(dá)式。例如，三維空間中線元長(zhǎng)度ds和其分量dxi之間的關(guān)系可簡(jiǎn)寫成：場(chǎng)函數(shù)f(x1,x2,x3)的全微分：★張量基本概念158指標(biāo)符號(hào)也適用于微分和導(dǎo)數(shù)表達(dá)式。例如，三維空間中線元長(zhǎng)度可用同項(xiàng)內(nèi)出現(xiàn)兩對(duì)(或幾對(duì))不同啞指標(biāo)的方法來表示多重求和。例如：若要對(duì)在同項(xiàng)內(nèi)出現(xiàn)兩次以上的指標(biāo)進(jìn)行遍歷求和，一般應(yīng)加求和號(hào)。如：★★張量基本概念159可用同項(xiàng)內(nèi)出現(xiàn)兩對(duì)(或幾對(duì))不同啞指標(biāo)的方法來表示多重求和。一般說不能由等式兩邊消去ai導(dǎo)得但若ai可以任意取值等式始終成立，則可以通過取特殊值使得上式成立?！飶埩炕靖拍?60一般說不能由等式兩邊消去ai導(dǎo)得但若ai可以任意取值等式始終小結(jié)通過啞指標(biāo)可把許多項(xiàng)縮寫成一項(xiàng)，通過自由指標(biāo)又把許多方程縮寫成一個(gè)方程。一般說，在一個(gè)用指標(biāo)符號(hào)寫出的方程中，若有k個(gè)獨(dú)立的自由指標(biāo)，其取值范圍是1～n，則這個(gè)方程代表了nk個(gè)分量方程。在方程的某項(xiàng)中若同時(shí)出現(xiàn)m對(duì)取值范圍為1～n的啞指標(biāo)，則此項(xiàng)含相互迭加的nm個(gè)項(xiàng)。張量基本概念161小結(jié)通過啞指標(biāo)可把許多項(xiàng)縮寫成一項(xiàng)，通過自由指標(biāo)又把許多方程目錄AppendixA

引言張量的基本概念，愛因斯坦求和約定符號(hào)ij與erst

坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律，張量方程張量代數(shù)，商法則常用特殊張量，主方向與主分量張量函數(shù)及其微積分162目錄AppendixA引言28符號(hào)ij與erst

ij符號(hào)

(Kroneckerdelta)

定義(笛卡爾坐標(biāo)系)(i,j=1,2,…,n)

特性1.對(duì)稱性，由定義可知指標(biāo)i和j是對(duì)稱的，即163符號(hào)ij與erst

ij符號(hào)(Kronecker3.換標(biāo)符號(hào)，具有換標(biāo)作用。例如：2.ij

的分量集合對(duì)應(yīng)于單位矩陣。例如在三維空間即：如果符號(hào)的兩個(gè)指標(biāo)中，有一個(gè)和同項(xiàng)中其它因子的指標(biāo)相重，則可以把該因子的那個(gè)重指標(biāo)換成的另一個(gè)指標(biāo)，而自動(dòng)消失。符號(hào)ij與erst

1643.換標(biāo)符號(hào)，具有換標(biāo)作用。例如：2.ij的分量集合

類似地有符號(hào)ij與erst

165類似地有符號(hào)ij與erst

31erst符號(hào)(排列符號(hào)或置換符號(hào)，Eddington)

定義(笛卡爾坐標(biāo)系)當(dāng)r,s,t為正序排列時(shí)當(dāng)r,s,t為逆序排列時(shí)當(dāng)r,s,t中兩個(gè)指標(biāo)值相同時(shí)(1,2,3)及其輪流換位得到的(2,3,1)和(3,1,2)稱為正序排列。(3,2,1)及其輪流換位得到的(2,1,3)和(1,3,2)稱為逆序排列。或符號(hào)ij與erst

166erst符號(hào)(排列符號(hào)或置換符號(hào)，Eddington)

特性共有27個(gè)元素，其中三個(gè)元素為1，三個(gè)元素為-1，其余的元素都是0對(duì)其任何兩個(gè)指標(biāo)都是反對(duì)稱的，即當(dāng)三個(gè)指標(biāo)輪流換位時(shí)(相當(dāng)于指標(biāo)連續(xù)對(duì)換兩次)，erst的值不變

符號(hào)ij與erst

167特性符號(hào)ij與erst

33

常用實(shí)例三個(gè)相互正交的單位基矢量構(gòu)成正交標(biāo)準(zhǔn)化基。它具有如下重要性質(zhì)：每個(gè)基矢量的模為1，即eiej＝1(當(dāng)i＝j(luò)時(shí))

不同基矢量互相正交，即eiej＝0

(當(dāng)i≠j時(shí))

上述兩個(gè)性質(zhì)可以用ij表示統(tǒng)一形式：eiej＝ij符號(hào)ij與erst

168常用實(shí)例符號(hào)ij與erst

34

當(dāng)三個(gè)基矢量ei,ej,ek構(gòu)成右手系時(shí)，有

而對(duì)于左手系，有：

符號(hào)ij與erst

169當(dāng)三個(gè)基矢量ei,ej,ek構(gòu)成右手系時(shí)，有2.矢量的點(diǎn)積：3.矢量的叉積(或稱矢量積)：

如果沒有特殊說明，我們一般默認(rèn)為右手系。符號(hào)ij與erst

1702.矢量的點(diǎn)積：如果沒有特殊說明，我們一般默認(rèn)為右手系。叉積的幾何意義是“面元矢量”，其大小等于由矢量a和b構(gòu)成的平行四邊形面積，方向沿該面元的法線方向?！锓?hào)ij與erst

171叉積的幾何意義是“面元矢量”，其大小等于由矢量a和b★★★符號(hào)ij與erst

172★★★符號(hào)ij與erst

38三個(gè)矢量a,b,c的混合積是一個(gè)標(biāo)量，其定義為：符號(hào)ij與erst

★若交換混合積中相鄰兩個(gè)矢量的順序，混合積的值反號(hào)。當(dāng)a,b,c構(gòu)成右手系時(shí)，混合積表示這三個(gè)矢量所構(gòu)成的平行六面體體積。若構(gòu)成左手系，則為體積的負(fù)值。173三個(gè)矢量a,b,c的混合積是一個(gè)標(biāo)量，其定義為：符號(hào)i由此可見符號(hào)ij和erst分別與矢量代數(shù)中的點(diǎn)積和叉積有關(guān)。利用(1)和(2)式有符號(hào)ij與erst

174由此可見符號(hào)ij和erst分別與矢量代數(shù)中的點(diǎn)積和叉4.三階行列式的值符號(hào)ij與erst

1754.三階行列式的值符號(hào)ij與erst

41符號(hào)ij與erst

4.三階行列式的值176符號(hào)ij與erst

4.三階行列式的值42符號(hào)ij與erst

4.三階行列式的值177符號(hào)ij與erst

4.三階行列式的值435.e-

恒等式，其一般形式為：即退化形式為：符號(hào)ij與erst

1785.e-恒等式，其一般形式為：符號(hào)ij與erst

1.平衡方程：如何用張量改寫彈性力學(xué)基本方程？179xyz1.平衡方程：如何用張量改寫彈性力學(xué)基本方程？45xyz2.幾何方程：如何用張量改寫彈性力學(xué)基本方程？1802.幾何方程：如何用張量改寫彈性力學(xué)基本方程？463.本構(gòu)方程（各向同性材料）：如何用張量改寫彈性力學(xué)基本方程？提示：可以用到σkk和δij

γij=2εij

G=E/[2(1+ν)]1813.本構(gòu)方程（各向同性材料）：如何用張量改寫彈性力學(xué)基本4.變形協(xié)調(diào)方程（平面應(yīng)變）：如何用張量改寫彈性力學(xué)基本方程？提示：二維指標(biāo)為希臘字母,,,…，取值1,2。1824.變形協(xié)調(diào)方程（平面應(yīng)變）：如何用張量改寫彈性力學(xué)基本目錄AppendixA

引言張量的基本概念，愛因斯坦求和約定

符號(hào)ij與erst

坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律，張量方程張量代數(shù)，商法則常用特殊張量，主方向與主分量張量函數(shù)及其微積分183目錄AppendixA引言49坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換笛卡爾坐標(biāo)系(單位直角坐標(biāo)系)184坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換笛卡爾坐標(biāo)系(單位直角坐標(biāo)系)50

笛卡爾坐標(biāo)系(單位直角坐標(biāo)系)坐標(biāo)變化時(shí)，矢徑的變化為

坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換185笛卡爾坐標(biāo)系(單位直角坐標(biāo)系)坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換51

任意坐標(biāo)系坐標(biāo)變化時(shí)，矢徑的變化為

坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換186任意坐標(biāo)系坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換52

概念

坐標(biāo)線

當(dāng)一個(gè)坐標(biāo)任意變化而另兩個(gè)坐標(biāo)保持不變時(shí)，空間點(diǎn)的軌跡，過每個(gè)空間點(diǎn)有三根坐標(biāo)線。

基矢量

矢徑對(duì)坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)定義的三個(gè)基矢量gi

坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換187概念坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換53

參考架空間每點(diǎn)處有三個(gè)基矢量，它們組成一個(gè)參考架或稱坐標(biāo)架。任何具有方向性的物理量都可以對(duì)其相應(yīng)作用點(diǎn)處的參考架分解。對(duì)笛卡爾坐標(biāo)系：坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換188參考架坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換54三個(gè)相互正交的單位基矢量ei構(gòu)成正交標(biāo)準(zhǔn)化基坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換189三個(gè)相互正交的單位基矢量ei構(gòu)成正交標(biāo)準(zhǔn)化基坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換5歐氏空間中的一般坐標(biāo)系現(xiàn)在的坐標(biāo)線可能不再正交；不同點(diǎn)處的坐標(biāo)線可能不再平行；基矢量的大小和方向都可能隨點(diǎn)而異；各點(diǎn)處的參考架不再是正交標(biāo)準(zhǔn)化基。

坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換190歐氏空間中的一般坐標(biāo)系坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換56

坐標(biāo)轉(zhuǎn)換坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換191坐標(biāo)轉(zhuǎn)換坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換57將新基對(duì)老基

分解：轉(zhuǎn)換系數(shù)：反之：

坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換192將新基對(duì)老基分解：坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換58向新坐標(biāo)軸

投影，即用點(diǎn)乘上式兩邊，則左邊：右邊：坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換193向新坐標(biāo)軸投影，即用點(diǎn)乘上式兩邊，則左邊：由上述兩式可得新坐標(biāo)用老坐標(biāo)表示的表達(dá)式

經(jīng)過類似推導(dǎo)可得老坐標(biāo)用新坐標(biāo)表示的表達(dá)式

坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換194由上述兩式可得新坐標(biāo)用老坐標(biāo)表示的表達(dá)式坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換60坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的矩陣形式(設(shè)新老坐標(biāo)原點(diǎn)重合)

坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換195坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的矩陣形式(設(shè)新老坐標(biāo)原點(diǎn)重合)坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換61

坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的一般定義設(shè)在三維歐氏空間中任選兩個(gè)新、老坐標(biāo)系，和是同一空間點(diǎn)P的新、老坐標(biāo)值，則方程組定義了由老坐標(biāo)到新坐標(biāo)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，稱正轉(zhuǎn)換。其逆變換為對(duì)(*)式微分(*)坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換196坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的一般定義(*)坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換62處處不為零，則存在相應(yīng)的逆變換，即可反過來用唯一確定其系數(shù)行列式(雅克比行列式)坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換197其系數(shù)行列式(雅克比行列式)坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換63容許轉(zhuǎn)換由單值、一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)、且J處處不為零的轉(zhuǎn)換函數(shù)所實(shí)現(xiàn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換正常轉(zhuǎn)換

J

處處為正，把右手系轉(zhuǎn)換右手系反常轉(zhuǎn)換

J

處處為負(fù)，把右手系轉(zhuǎn)換成左手系坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換198容許轉(zhuǎn)換由單值、一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)、且J處處不為零的轉(zhuǎn)換目錄AppendixA

引言張量的基本概念，愛因斯坦求和約定符號(hào)ij與erst

坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律，張量方程張量代數(shù)，商法則常用特殊張量，主方向與主分量張量函數(shù)及其微積分199目錄AppendixA引言65

張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律張量，都不會(huì)因人為選擇不同參考坐標(biāo)系而改變其固有性質(zhì)，然而其分量的值則與坐標(biāo)選擇密切相關(guān)。所以，張量的分量在坐標(biāo)轉(zhuǎn)換時(shí)應(yīng)滿足一定的規(guī)律，以保證其坐標(biāo)不變性。張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律200張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律66

標(biāo)量分量轉(zhuǎn)換規(guī)律設(shè)一個(gè)標(biāo)量在新、老坐標(biāo)系中的值為t和t’，則矢量分量轉(zhuǎn)換規(guī)律

張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律201標(biāo)量分量轉(zhuǎn)換規(guī)律張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律67張量分量轉(zhuǎn)換規(guī)律以三維空間的二階張量為例，其分解式是：其中，Tij

為張量分量，eiej稱為基矢量，就是把兩個(gè)基矢量并寫在一起，不作任何運(yùn)算，成為構(gòu)成矢量的基。張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律202張量的分量表示法張量的實(shí)體表示法（并矢表示法）張量分量轉(zhuǎn)換規(guī)律張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律68張量的分量表示法張量

張量分量轉(zhuǎn)換規(guī)律即張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律203張量分量轉(zhuǎn)換規(guī)律張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律69高階張量的分量滿足如下轉(zhuǎn)換規(guī)律張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律204高階張量的分量滿足如下轉(zhuǎn)換規(guī)律張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律70注：在一個(gè)表示全部張量分量集合的指標(biāo)符號(hào)中，自由指標(biāo)的數(shù)目等于張量的階數(shù)K，每個(gè)自由指標(biāo)的取值范圍等于張量的維數(shù)n，各指標(biāo)在其取值范圍內(nèi)的任何一種可能組合都表示了張量的一個(gè)分量，所以n維K階張量共有nK個(gè)分量。張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律205注：張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律71

張量方程

定義每項(xiàng)都由張量組成的方程稱為張量方程。

特性具有與坐標(biāo)選擇無(wú)關(guān)的重要性質(zhì)，可用于描述客觀物理現(xiàn)象的固有特性和普遍規(guī)律。張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律206張量方程張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律72目錄

引言張量的基本概念，愛因斯坦求和約定符號(hào)ij與erst

坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律，張量方程

張量代數(shù)，商法則常用特殊張量，主方向與主分量張量函數(shù)及其微積分207目錄引言73張量代數(shù)&商判則

相等若兩個(gè)張量和相等則對(duì)應(yīng)分量相等若兩個(gè)張量在某個(gè)坐標(biāo)系中的對(duì)應(yīng)分量相等，則它們?cè)谌魏纹渌鴺?biāo)系中對(duì)應(yīng)分量也相等。208張量代數(shù)&商判則相等74

和、差兩個(gè)同階張量與之和(或差)是另一個(gè)同階張量其分量關(guān)系為張量代數(shù)&商判則209和、差張量代數(shù)&商判則75

數(shù)積張量A和一個(gè)數(shù)(或標(biāo)量函數(shù))相乘得另一同維同階張量T其分量關(guān)系為張量代數(shù)&商判則210數(shù)積張量代數(shù)&商判則76

并積兩個(gè)同維不同階（或同階）張量A和B的并積T是一個(gè)階數(shù)等于A、B階數(shù)之和的高階張量。設(shè)則其分量關(guān)系為注意：張量代數(shù)&商判則211并積注意：張量代數(shù)&商判則77

縮并若對(duì)基張量中的任意兩個(gè)基矢量求點(diǎn)積，在張量將縮并為低二階的新張量。

其分量關(guān)系為張量代數(shù)&商判則212縮并張量代數(shù)&商判則78若在基張量中取不同基矢量的點(diǎn)積，則縮并的結(jié)果也不同。例如若張量代數(shù)&商判則

縮并213若在基張量中取不同基矢量的點(diǎn)積，則縮并的結(jié)果也不同。例如若張

內(nèi)積并積加縮并運(yùn)算稱為內(nèi)積。例如和

的一種內(nèi)積是其分量關(guān)系為張量代數(shù)&商判則214內(nèi)積張量代數(shù)&商判則80

點(diǎn)積前張量A的最后基矢量與后張量B的第一基矢量縮并的結(jié)果，記為，是最常用的一種內(nèi)積。兩個(gè)二階張量的點(diǎn)積相當(dāng)于矩陣乘法。張量代數(shù)&商判則215點(diǎn)積張量代數(shù)&商判則81對(duì)前、后張量中兩對(duì)近挨著的基矢量縮并的結(jié)果稱為雙點(diǎn)積，共有兩種：并雙點(diǎn)積串雙點(diǎn)積張量代數(shù)&商判則

雙點(diǎn)積216對(duì)前、后張量中兩對(duì)近挨著的基矢量縮并的結(jié)果稱為雙點(diǎn)積，共有兩

并矢把K個(gè)獨(dú)立矢量并寫在一起稱為并矢量，它們的并積是一個(gè)K階張量。矢量的并積不服從交換律，并矢量中各矢量的順序不得任意調(diào)換。張量代數(shù)&商判則217并矢矢量的并積不服從交換律，并矢量中各矢量的順序不得任和任意矢量的內(nèi)積（包括點(diǎn)積）為K-1階張量的量一定是個(gè)K階張量。一個(gè)K階張量連續(xù)地和n個(gè)任意矢量求內(nèi)積，其縮并的結(jié)果是一個(gè)K-n階張量。張量代數(shù)&商判則

商判則218一個(gè)K階張量連續(xù)地和n個(gè)任意矢量求內(nèi)積，其縮并的結(jié)果OperationNumberoforder并積差乘-1點(diǎn)乘-2雙點(diǎn)乘-4張量乘法運(yùn)算和結(jié)果的階數(shù)219OperationNumberoforder并積目錄

引言張量的基本概念，愛因斯坦求和約定符號(hào)ij與erst

坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律，張量方程張量代數(shù)，商法則

常用特殊張量，主方向與主分量張量函數(shù)及其微積分220目錄引言86特殊張量，主方向與主分量

常用特殊張量零張量則：

221特殊張量，主方向與主分量常用特殊張量87

單位張量

笛卡爾坐標(biāo)系中分量為ij的二階張量I，即單位張量和任意張量的點(diǎn)積就等于該張量本身：I·a＝a，I·A＝A特殊張量，主方向與主分量222單位張量單位張量和任意張量的點(diǎn)積就等于該張量本身：特殊張?zhí)厥鈴埩浚鞣较蚺c主分量

球形張量主對(duì)角分量為，其余分量為零的二階張量。它是數(shù)

與單位張量的數(shù)積。即223特殊張量，主方向與主分量球形張量89

轉(zhuǎn)置張量對(duì)于二階張量，由對(duì)換分量指標(biāo)而基矢量順序保持不變所得到的新張量稱為張量T的轉(zhuǎn)置張量。特殊張量，主方向與主分量224轉(zhuǎn)置張量特殊張量，主方向與主分量90

對(duì)稱張量

反對(duì)稱張量特殊張量，主方向與主分量225對(duì)稱張量特殊張量，主方向與主分量91轉(zhuǎn)置張量等于其負(fù)張量的張量。即滿足反對(duì)稱張量的主對(duì)角張量均為零。三維二階反對(duì)稱張量的獨(dú)立分量只有三個(gè)。n維二階對(duì)稱張量有

個(gè)獨(dú)立分量。特殊張量，主方向與主分量

反對(duì)稱張量226特殊張量，主方向與主分量反對(duì)稱張量92任意二階張量T均可分解為對(duì)稱張量S和反對(duì)稱張量A之和：特殊張量，主方向與主分量

加法分解227任意二階張量T均可分解為對(duì)稱張量S和反對(duì)稱張量A任意二階對(duì)稱張量S均可分解為球形張量P和偏斜張量D之和：其中特殊張量，主方向與主分量

偏斜張量

228任意二階對(duì)稱張量S均可分解為球形張量P和偏斜張量D偏斜張量為偏斜張量三個(gè)對(duì)角分量之和為零：特殊張量，主方向與主分量

偏斜張量

229偏斜張量為特殊張量，主方向與主分量偏斜張量95笛卡爾系中以erst為分量的三階張量，又稱排列張量特殊張量，主方向與主分量

置換張量230特殊張量，主方向與主分量置換張量96所有分量均不因坐標(biāo)轉(zhuǎn)換而改變的張量。例如：?jiǎn)挝粡埩縄、球形張量、置換張量等。標(biāo)量是零階的各向同性張量，而矢量則不是各向同性的。特殊張量，主方向與主分量

各向同性張量231所有分量均不因坐標(biāo)轉(zhuǎn)換而改變的張量。特殊張量，主方向與主分量

主方向與主分量二階張量可定義為一種由矢量a到矢量b的線性變換，即一般說，矢量a與b并不同向。對(duì)于給定的任意二階張量T能否找到某個(gè)矢量，它在線性變換后能保持方向不變，即或特殊張量，主方向與主分量232主方向與主分量特殊張量，主方向與主分量98其中是標(biāo)量。上式是求j

的線性齊次代數(shù)方程組，存在非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式為零特殊張量，主方向與主分量233其中是標(biāo)量。上式是求j的線性齊次代數(shù)方程組，存在非零這是關(guān)于的特征方程；其中是[Tij]的主對(duì)角分量之和，稱為張量T的跡，記作trT是矩陣[Tij]的二階主子式之和。

特殊張量，主方向與主分量234這是關(guān)于的特征方程；其中特殊張量，主方向與主分量100是矩陣的行列式，記作detT。特征方程的三個(gè)特征根稱為張量T的主分量。當(dāng)T是實(shí)對(duì)稱張量時(shí)，存在三個(gè)實(shí)特征根

特殊張量，主方向與主分量235是矩陣的行列式，記作detT。特殊張量，主方向與主分量101由特征方程求特征根：由每個(gè)(k)

分別求特征方向：方向矢量j