建筑結(jié)構(gòu)抗震原理-多自由度體系地震反應(yīng)分析

工程抗震原理

PrinciplesofSeismicEngineering土木工程專業(yè)本科專業(yè)課

主要內(nèi)容工程結(jié)構(gòu)抗震原理2/322第一章工程抗震基礎(chǔ)知識第二章場地與地基基礎(chǔ)抗震原理第三章建筑結(jié)構(gòu)抗震原理第六章橋梁結(jié)構(gòu)抗震原理第七章工程結(jié)構(gòu)減震控制原理第三章建筑結(jié)構(gòu)抗震原理§1概述§2單自由度體系地震反應(yīng)分析§3單自由度體系水平地震作用§4多自由度體系地震反應(yīng)分析§5地震分析振型分解反應(yīng)譜法§6水平地震作用的底部剪力法§7考慮扭轉(zhuǎn)的水平地震作用§8結(jié)構(gòu)豎向地震作用§9建筑結(jié)構(gòu)抗震驗算§10結(jié)構(gòu)自振周期和頻率的實用計算方法§11工程結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)的時程分析方法§12地基與結(jié)構(gòu)動力相互作用效應(yīng)§4

多自由度體系地震反應(yīng)分析4.1動力方程的建立實際工程結(jié)構(gòu)的質(zhì)量都是沿結(jié)構(gòu)幾何形狀連續(xù)分布的，因此，嚴(yán)格地說，其動力自由度應(yīng)該是無限的。但是，采用無限自由度模型，一方面計算過于復(fù)雜；另一方面也沒這種必要，因為，選用有限多自由度模型的計算結(jié)果已能充分滿足一般工程設(shè)計的精度要求。因此，在研究和應(yīng)用中，一般通過結(jié)構(gòu)的離散化方法，將無限自由度體系轉(zhuǎn)化為有限自由度體系?！?

多自由度體系地震反應(yīng)分析由結(jié)構(gòu)動力學(xué)理論可知，結(jié)構(gòu)離散化的基本方法有廣義坐標(biāo)法、有限元法和集中質(zhì)量法。集中質(zhì)量法是最早提出、也是最簡單的方法。這一方法人為地將質(zhì)量集中于一些點處，與之相對應(yīng)，結(jié)構(gòu)的剛度特性、阻尼特性、荷載特征則被集中于質(zhì)量的平移自由度方向。集中質(zhì)量法所帶來的計算便利是顯而易見的，但是，對于動力問題，不適當(dāng)?shù)丶匈|(zhì)量也可能導(dǎo)致較大的計算誤差。因此，對集中質(zhì)量法應(yīng)附加動能等效原則，即集中前后體系的動能不發(fā)生顯著變化?！?

多自由度體系地震反應(yīng)分析§4

多自由度體系地震反應(yīng)分析定義影響系數(shù)αij是由j坐標(biāo)單位物理量在i坐標(biāo)方向上引起的力，其具體含義可以是剛度系數(shù)、阻尼系數(shù)、質(zhì)量等。對于一般多自由度體系，假定任意時刻t，j坐標(biāo)方向的位移（相對于平衡位置）為uj，相應(yīng)的速度、加速度分別為

、

。則在此時刻，所有j坐標(biāo)處的物理量（包括i坐標(biāo)處）與相應(yīng)于坐標(biāo)i處的影響系數(shù)乘積之和即為i坐標(biāo)方向所受到的力，即：§4

多自由度體系地震反應(yīng)分析慣性力：其中mij—質(zhì)量，對于集

中質(zhì)量法，i≠j時mij=0；恢復(fù)力：kij—剛度系數(shù)；

n—動力自由度數(shù);阻尼力:cij—阻尼系數(shù)。根據(jù)達朗貝爾原理，上述各力之和

即等于i坐標(biāo)處作用的外力pi(t)，即：8/180§4

多自由度體系地震反應(yīng)分析全部n個坐標(biāo)的運動方程可用矩陣形式表示為式中，[M]、[C]和[K]—分別為結(jié)構(gòu)離散體系的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣，對于集中質(zhì)量法，[M]為對角矩陣；{uj}、{}和{}—分別為結(jié)構(gòu)離散體系的位移向量、速度向量和加速度向量；{P}—動外力向量?！?

多自由度體系地震反應(yīng)分析圖示多自由度彈性體系在水平地震運動作用下的變形情況。這時，體系上并無動外力p(t)作用，僅有地震引起的地面運動

。此時，i質(zhì)點的慣性力為：§4多自由由度體體系地地震反反應(yīng)分分析注意到到彈性性力和和阻尼尼力僅僅與相相對位位移和和相對對速度度有關(guān)關(guān)，因因此，，由達達朗貝貝爾原原理可可得水水平地地震運運動作作用下下的運運動方方程為為：寫成矩矩陣形形式為：式中，{I}—慣性性力指指示向向量，，§4多自由由度體體系地地震反反應(yīng)分分析4.2地震反反應(yīng)分分析的的振型型疊加加法1.振型與與自振振頻率率求解彈性體體系的自振頻頻率和和振型型稱為為自振特特性分析。。由于體體系的的固有頻頻率和相應(yīng)應(yīng)的振型都僅取取決于于體系系自身身的性性質(zhì)，，而與與時間間無關(guān)關(guān)，所所以從從廣義義的觀觀點，，自振振特性性分析析的基基本手手段是是變量量分離離法，，即把時間間因素素與結(jié)結(jié)構(gòu)位位置因因素分分離后，利用特特征方方程具具有非非零解解的充充分必必要條條件求求取自振振頻率及相應(yīng)應(yīng)的振型?！?多自由由度體體系地地震反反應(yīng)分分析無阻尼尼多自由由度彈性體體系的的自由振振動方方程為：設(shè)結(jié)構(gòu)構(gòu)作簡諧振振動，其位位移反反應(yīng)為為：式中，ω—自振振頻率率；θ—初始始相位角;{?}—僅與位位置坐坐標(biāo)有有關(guān)的的向量量?？梢缘玫玫教靥卣鞣椒匠蹋海焊鶕?jù)線線性代代數(shù)的的知識識，特征方方程存存在非非零解解的充要要條件件是系數(shù)行行列式式等于于零，即得到頻率方方程：§4多自由由度體體系地地震反反應(yīng)分分析對于穩(wěn)穩(wěn)定結(jié)結(jié)構(gòu)體體系，，其質(zhì)質(zhì)量矩矩陣和和剛度度矩陣陣具有有實對對稱性性和正正定性性，所所以，，相應(yīng)應(yīng)的頻率方方程的的根都都是正正實根根。對于處處于隨遇平平衡狀狀態(tài)或不穩(wěn)定定狀態(tài)的的結(jié)構(gòu)構(gòu)體系系，頻頻率方方程會會出現(xiàn)現(xiàn)等于于零的的重根或或虛根根。一般地地，地地震工工程中中遇到到的結(jié)結(jié)構(gòu)體體系多多為穩(wěn)穩(wěn)定體體系。?！?多自由由度體體系地地震反反應(yīng)分分析根據(jù)特征方方程：對應(yīng)于于頻率率方程程中的的每一個個根，都存存在特特征方方程的的一個個非零零解{?j}，稱為振型向量，，或叫叫特征向量，，或叫叫模態(tài)向量。。由于特特征方方程的的齊次性，該非零解解是不不定的的，即振型向向量幅幅值是是任意意的，但形狀是是唯一一的。因此，，振型型定義義為結(jié)結(jié)構(gòu)位移形形狀保保持不不變的振動動形式式。根據(jù)可知，，若結(jié)結(jié)構(gòu)體體系按按某一一振型型振動動，則則體系系的所有質(zhì)質(zhì)點將將按同同一頻頻率作作簡諧諧振動動。§4多自由由度體體系地地震反反應(yīng)分分析為了對對不同同頻率率的振振型進進行形形狀上上的比比較，，需要要將其其化為為無量量綱形形式，，這種種轉(zhuǎn)化化過程程稱為為振型的的規(guī)格格化。振型規(guī)規(guī)格化化的方方法可可采用用下述述三種種方法法之一一：(1)特定坐坐標(biāo)的的規(guī)格格化方方法：：指定定振型型向量量中某一坐坐標(biāo)值值為1，其它它元素素按比比例確確定；(2)最大位移移值的的規(guī)格格化方方法：：將振振型向向量各元素素分別別除以以其中中的最最大值值；§4多自由由度體體系地地震反反應(yīng)分分析(3)正交規(guī)規(guī)格化化方法法：令其中對于于[M]為對對角角質(zhì)質(zhì)量量矩矩陣陣時時，，可可簡簡寫寫為為：：式中中，?ji—j振型型向向量量第第i坐標(biāo)標(biāo)處處的的值值；；Mj—j振型型的的廣廣義義質(zhì)質(zhì)量量。。§4多自自由由度度體體系系地地震震反反應(yīng)應(yīng)分分析析2.振型型的的正正交交性性根據(jù)據(jù)特征征方方程程：分別別對對振振型型i、j列出出運運動動方方程程：：左式(a)兩邊邊乘乘以以向向量量{?j}的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)置置{?j}T，右式兩兩邊邊乘乘以以向向量量{?i}的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)置置{?i}T，則則有有：：左式式不不變變，，而而對對右右式式進進行行轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)置置運運算算可可得得18/180§4多自自由由度度體體系系地地震震反反應(yīng)應(yīng)分分析析將右右式式減減去去左左式式，，可可得得：：若ωj≠ωωi，則則有有：：同時時有：：分別別稱稱為為振振型型對對質(zhì)質(zhì)量量矩矩陣陣的的正正交交性性和和振振型型對對剛剛度度矩矩陣陣的的正正交交性性。?！?多自自由由度度體體系系地地震震反反應(yīng)應(yīng)分分析析振型型對對質(zhì)量量矩陣陣的的正交交性性的的物物理理意意義義是：：某某一一振振型型在在振振動動過過程程中中所所引引起起的的慣慣性性力力在在其其它它振振型型上上所所作作的的功功為為零零。。這說說明明某某一一個個振振型型的的動動能能不不會會轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)移移到到其其它它振振型型上上去去，，或或者者說說體體系系按按某某一一振振型型作作自自由由振振動動時時不不會會激激起起該該體體系系其其它它振振型型的的振振動動。。振型型對對剛度度矩陣陣正交交性性的的物物理理意意義義是，，體體系系按按某某一一振振型型振振動動時時，，它它的的位位能能不不會會轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)移移到到其其它它振振型型上上去去。?！?多自自由由度度體體系系地地震震反反應(yīng)應(yīng)分分析析振型型的的兩兩兩兩正正交交特特性性說說明明它它們們具具備備作為為一一類類線線性性空空間間基基底底的的基基本本條條件件。事實實上上，，由由振振型型向向量量所所張張成成的的線線性性空空間間正正是是一一般般動動力力反反應(yīng)應(yīng)空空間間，，在在這這空空間間的的任任一一點點表表示示一一個個特特定定的的動動力力反反應(yīng)應(yīng)，，并并且且這這一一點點的的坐坐標(biāo)標(biāo)值值可可由由關(guān)關(guān)于于基基底底（（振振型型））的的廣廣義義坐坐標(biāo)標(biāo)給給出出。?！?多自自由由度度體體系系地地震震反反應(yīng)應(yīng)分分析析3.正交交阻阻尼尼若無無外外部部能能量量輸輸入入，，則則任任何何原原來來振振動動的的物物理理系系統(tǒng)統(tǒng)都都會會隨隨著著時時間間的的增增長長趨趨于于靜靜止止，這是是因因為為系系統(tǒng)統(tǒng)的的能能量量會會因因為為某某些些原原因因而而耗耗散散。。產(chǎn)生生振振動動系系統(tǒng)統(tǒng)能能量量耗耗散散的的原原因因稱稱為為阻阻尼尼。。目前，關(guān)于結(jié)結(jié)構(gòu)振動的耗耗能機理并不不十分清楚，，已經(jīng)提出的的許多材料阻阻尼的數(shù)學(xué)模模型，每一種種模型都有其其適應(yīng)范圍和和局限性。由于結(jié)構(gòu)的阻阻尼機制十分分復(fù)雜，工程程上常采用簡簡單的正交阻阻尼模型?！?多自由度體系系地震反應(yīng)分分析目前工程上廣泛應(yīng)用的是是瑞雷阻尼模模型，其數(shù)學(xué)學(xué)表達式為：：式中，α0、α1—瑞雷阻尼系系數(shù)。由于振型向量量對質(zhì)量矩陣陣和剛度矩陣陣具有正交性性，因此，對對于瑞雷阻尼尼模型，也有有：即振型對阻尼尼矩陣也具有有正交性。利用上述正交交性條件，并并注意到：§4多自由度體系系地震反應(yīng)分分析其中：為為第j振型的廣義質(zhì)質(zhì)量；為第j振型的廣義剛剛度；為第j振型的廣義阻阻尼；為第j振型阻尼比。。因此有：若已知任意兩兩階振型的阻阻尼比，則可定定出阻尼系數(shù)數(shù)：§4多自由度體系系地震反應(yīng)分分析4.求解地震反應(yīng)應(yīng)的振型分解解法§4多自由度體系系地震反應(yīng)分分析§4多自由度體系系地震反應(yīng)分分析§4多自由度體系系地震反應(yīng)分分析§4多自由度體系系地震反應(yīng)分分析§4多自由度體系系地震反應(yīng)分分析§4多自由度體系系地震反應(yīng)分分析§4多自由度體系系地震反應(yīng)分分析4.求解地震反應(yīng)應(yīng)的振型分解解法一組正交向量量可以作為線線性空間的一一組基底，這這些基的適當(dāng)當(dāng)線性組合構(gòu)構(gòu)成空間的點點。根據(jù)這一觀點點，線性結(jié)構(gòu)構(gòu)的動力反應(yīng)應(yīng)必然是其振振型向量所張張成的線性空空間中的點，，點的規(guī)跡則則反映動力反反應(yīng)的時程變變化過程。為簡單明了地地說明問題，，先考慮兩個自自由度的體系系?！?多自由度體系系地震反應(yīng)分分析將質(zhì)點m1和m2在水平向地震震作用下任一一時刻的位移移u1(t)和u2(t)用兩個振型的的線性組合表表示：其中，第一振振型向量，第二振型向向量。這實際上是一個個坐標(biāo)變換式式，原來的變變量u1(t)和u2(t)為幾何坐標(biāo)，，而新的坐標(biāo)標(biāo)q1(t)和q2(t)可稱為廣義坐坐標(biāo)。由于體系的振振型是唯一確確定的，因此此，當(dāng)q1(t)和q2(t)確定后，質(zhì)點點的位移u1(t)和u2(t)也將隨之確定定。§4多自由度體系系地震反應(yīng)分分析對此也可以這樣理理解：體系的位移可可看作是由各各振型向量乘乘以相應(yīng)的組組合系數(shù)q1(t)和q2(t)后疊加而成的的。換句話講，這這種方法是將將實際位移按按振型加以分分解，故稱為為振型分解法法。另外，由于q1(t)和q2(t)是隨時間變化化的，因此，，同一振型在在不同時刻對對總位移“貢貢獻”的大小小是不一樣的的?！?多自由度體系系地震反應(yīng)分分析對于一般的多多自由度線彈彈性體系，有：式中，為為位移向量量；為廣義坐標(biāo)向向量；為振型矩陣，，其中{?j}為體系的第j個振型向量。將上式兩邊分別前乘{?j}T[M]，利用振型關(guān)關(guān)于質(zhì)量矩陣陣的正交性及及上式，可導(dǎo)出廣廣義坐標(biāo)與一一般位移反應(yīng)應(yīng)的關(guān)系。一般用于決定各振振型的初始條條件?！?多自由度體系系地震反應(yīng)分分析在水平地震作作用下，多自自由度彈性體體系的運動方方程為：為應(yīng)用振型分分解法，一般般采用瑞雷阻阻尼模型。將：代入，并前乘振型向向量的轉(zhuǎn)置