精華：特殊平行四邊形知識歸納和題型精講

八年級平行四邊形相關(guān)知識歸納和常見題型精講性質(zhì)和判定總表矩形菱形正方形的矩形菱形正方形性質(zhì)邊對邊平行且相等對邊平行，四邊相等對邊平行，四邊相等角四個角都是直角對角相等四個角都是直角對角線互相平分且相等互相垂直平分，且每條對角線平分一組對角互相垂直平分且相等,每條對角線平分一組對角判定·有三個角是直角;·是平行四邊形且有一個角是直角;·是平行四邊形且兩條對角線相等.·四邊相等的四邊形；·是平行四邊形且有一組鄰邊相等；·是平行四邊形且兩條對角線互相垂直。·是矩形，且有一組鄰邊相等；·是菱形，且有一個角是直角。對稱性既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形一.矩形矩形定義:有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形(通常也叫長方形或正方形).矩形是中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點，矩形也是軸對稱圖形，對稱軸是通過對邊中點的直線，有兩條對稱軸；矩形的性質(zhì):(具有平行四邊形的一切特征)矩形性質(zhì)1:矩形的四個角都是直角．矩形性質(zhì)2:矩形的對角線相等且互相平分．如圖，在矩形ABCD中，AC、BD相交于點O，由性質(zhì)2有AO=BO=CO=DO=AC=BD．因此可以得到直角三角形的一個性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．矩形的判定方法．矩形判定方法1：對角錢相等的平行四邊形是矩形．矩形判定方法2：有三個角是直角的四邊形是矩形．矩形判定方法3：有一個角是直角的平行四邊形是矩形．矩形判定方法4：(4)對角線相等且互相平分的四邊形是矩形．例1已知：如圖，矩形ABCD，AB長8cm，對角線比AD邊長4cm．求AD的長及點A到BD的距離AE的長．例2已知：如圖，矩形ABCD中，E是BC上一點，DF⊥AE于F，若AE=BC．求證：CE＝EF．例3．如圖，已知矩形ABCD中，E是AD上的一點，F(xiàn)是AB上的一點，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周長為32cm，求AE的長．例4、如圖，在ABCD中，E為BC的中點，連接AE并延長交DC的延長線于點F．(1)求證：AB=CF；(2)當(dāng)BC與AF滿足什么數(shù)量關(guān)系時，四邊形ABFC是矩形，并說明理由．二．菱形菱形定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．【強調(diào)】菱形（1）是平行四邊形；（2）一組鄰邊相等．菱形的性質(zhì)性質(zhì)1菱形的四條邊都相等；性質(zhì)2菱形的對角線互相平分，并且每條對角線平分一組對角；菱形的判定菱形判定方法1:對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．注意此方法包括兩個條件：（1）是一個平行四邊形；（2）兩條對角線互相垂直．菱形判定方法2:四邊都相等的四邊形是菱形．例1

已知：如圖，四邊形ABCD是菱形，F(xiàn)是AB上一點，DF交AC于E．求證：∠AFD=∠CBE．例2已知：如圖ABCD的對角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別交于E、F．求證：四邊形AFCE是菱形．例3、如圖，在ABCD中，O是對角線AC的中點，過點O作AC的垂線與邊AD、BC分別交于E、F，求證：四邊形AFCE是菱形.例4、已知如圖，菱形ABCD中，E是BC上一點，AE、BD交于M，若AB=AE,∠EAD=2∠BAE。求證：AM=BE。例5．（10湖南益陽）如圖，在菱形ABCD中，∠A=60°,=4,O為對角線BD的中點，過O點作OE⊥AB，垂足為E．(1)求線段的長．例6、（2023四川自貢）如圖，四邊形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延長線于E，DF⊥BC，交BC的延長線于F。請你猜想DE與DF的大小有什么關(guān)系？并證明你的猜想例7、（2023山東煙臺）如圖，菱形ABCD的邊長為2，BD=2，E、F分別是邊AD，CD上的兩個動點，且滿足AE+CF=2.（1）求證：△BDE≌△BCF；（2）判斷△BEF的形狀，并說明理由；（3）設(shè)△BEF的面積為S，求S的取值范圍.三．正方形正方形是在平行四邊形的前提下定義的，它包含兩層意思：①有一組鄰邊相等的平行四邊形（菱形）②有一個角是直角的平行四邊形（矩形）正方形不僅是特殊的平行四邊形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．正方形定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形．正方形是中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點，正方形又是軸對稱圖形，對稱軸是對邊中點的連線和對角線所在直線，共有四條對稱軸；因為正方形是平行四邊形、矩形，又是菱形，所以它的性質(zhì)是它們性質(zhì)的綜合，正方形的性質(zhì)總結(jié)如下：邊：對邊平行，四邊相等；角：四個角都是直角；對角線：對角線相等，互相垂直平分，每條對角線平分一組對角．注意：正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形，對角線與邊的夾角是45°；正方形的兩條對角線把它分成四個全等的等腰直角三角形，這是正方形的特殊性質(zhì)．正方形具有矩形的性質(zhì)，同時又具有菱形的性質(zhì)．正方形的判定方法：(1)有一個角是直角的菱形是正方形；(2)有一組鄰邊相等的矩形是正方形．注意：1、正方形概念的三個要點：（1）是平行四邊形；（2）有一個角是直角；（3）有一組鄰邊相等．2、要確定一個四邊形是正方形，應(yīng)先確定它是菱形或是矩形，然后再加上相應(yīng)的條件，確定是正方形.例1已知：如圖，正方形ABCD中，對角線的交點為O，E是OB上的一點，DG⊥AE于G，DG交OA于F．求證：OE=OF．例2已知：如圖，四邊形ABCD是正方形，分別過點A、C兩點作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直線MB、DN分別交l2于Q、P點．求證：四邊形PQMN是正方形．例3、（2023海南）如圖，P是邊長為1的正方形ABCD對角線AC上一動點（P與A、C不重合），點E在射線BC上，且PE=PB.（1）求證：①PE=PD；②PE⊥PD；（2）設(shè)AP=x,△PBE的面積為y.①求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；②當(dāng)x取何值時，y取得最大值，并求出這個最大值.AABCPDE例4．（2006年河南省）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，E為底邊BC的中點，且DE∥AB，試判斷△ADE的形狀，并給出證明．例5：（2023深圳）如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，DB平分∠ADC，過點A作AE∥BD，交CD的延長線于點E，且∠C＝2∠E．（1）求證：梯形ABCD是等腰梯形．（2）若∠BDC＝30°，AD＝5，求CD的長．例題講解例一.分析：（1）因為矩形四個角都是直角，因此矩形中的計算經(jīng)常要用到直角三角形的性質(zhì)，而此題利用方程的思想，解決直角三角形中的計算，這是幾何計算題中常用的方法．解：設(shè)AD=xcm，則對角線長（x+4）cm，在Rt△ABD中，由勾股定理：，解得x=6．則AD=6cm．（2）“直角三角形斜邊上的高”是一個基本圖形，利用面積公式，可得到兩直角邊、斜邊及斜邊上的高的一個基本關(guān)系式：AE×DB＝AD×AB，解得AE＝4.8cm．例二分析：CE、EF分別是BC，AE等線段上的一部分，若AF＝BE，則問題解決，而證明AF＝BE，只要證明△ABE≌△DFA即可，在矩形中容易構(gòu)造全等的直角三角形．證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=90°，且AD∥BC．∴∠1=∠2．∵DF⊥AE，∴∠AFD=90°．∴∠B=∠AFD．又AD=AE，∴△ABE≌△DFA（AAS）．∴AF=BE．∴EF=EC．此題還可以連接DE，證明△DEF≌△DEC，得到EF＝EC．菱形例1證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴CB=CD，CA平分∠BCD．∴∠BCE=∠DCE．又CE=CE，∴△BCE≌△COB（SAS）．∴∠CBE=∠CDE．∵在菱形ABCD中，AB∥CD，∴∠AFD=∠FDC∴∠AFD=∠CBE．例2證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AE∥FC．∴∠1=∠2．又∠AOE=∠COF，AO=CO，∴△AOE≌△COF．∴EO=FO．∴四邊形AFCE是平行四邊形．又EF⊥AC，∴AFCE是菱形(對角線互相垂直的平行四邊形是菱形)．例6、解：DE＝DF證明如下：連結(jié)BD∵四邊形ABCD是菱形∴∠CBD＝∠ABD(菱形的對角線平分一組對角)∵DF⊥BC，DE⊥AB∴DF＝DE(角平分線上的點到角兩邊的距離相等)例7、正方形例1分析：要證明OE=OF，只需證明△AEO≌△DFO，由于正方形的對角線垂直平分且相等，可以得到∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO，再由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO=∠FDO，根據(jù)ASA可以得到這兩個三角形全等，故結(jié)論可得．證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO（正方形的對角線垂直平分且相等）．又DG⊥AE，∴∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°．∴∠EAO=∠FDO．∴△AEO≌△DFO．∴OE=OF．例2分析：由已知可以證出四邊形PQMN是矩形，再證△ABM≌△DAN，證出AM=DN，用同樣的方法證AN=DP．即可證出MN=NP．從而得出結(jié)論．證明：∵PN⊥l1，QM⊥l1，∴PN∥QM，∠PNM=90°．∵PQ∥NM，∴四邊形PQMN是矩形．∵四邊形ABCD是正方形∴∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=DC（正方形的四條邊都相等，四個角都是直角）．∴∠1+∠2=90°．又∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3．∴△ABM≌△DAN．∴AM=DN．同理AN=DP．∴AM+AN=DN+DP即MN=PN．∴四邊形PQMN是正方形（有一組鄰邊相等的矩形是正方形）．例3（1）證法一：①∵四邊形ABCD是正方形，AC為對角線，∴BC=DC,∠BCP=∠DCP=45°.∵PC=PC，∴△PBC≌△PDC（SAS）.∴PB=PD，∠PBC=∠PDC.又∵PB=PE，∴PE=PD.ABCDPE12H②（i）當(dāng)點E在線段BC上(ABCDPE12H∵PB=PE，∴∠PBE=∠PEB，∴∠PEB=∠PDC，∴∠PEB+∠PEC=∠PDC+∠PEC=180°，∴∠DPE=360°-(∠BCD+∠PDC+∠PEC)=90°，∴PE⊥PD.）（ii）當(dāng)點E與點C重合時，點P恰好在AC中點處，此時，PE⊥PD.（iii）當(dāng)點E在BC的延長線上時，如圖.∵∠PEC=∠PDC，∠1=∠2，∴∠DPE=∠DCE=90°，∴PE⊥PD.綜合（i）（ii）（iii）,PE⊥PD.ABCPDEF（2）①過點P作PF⊥BC，垂足為ABCPDEF∵AP=x，AC=，∴PC=-x，PF=FC=.BF=FE=1-FC=1-()=.∴S△PBE=BF·PF=().即(0＜x＜).②.∵＜0，∴當(dāng)時，y最大值.（1）證法二：ABCPDEFG123①過點P作GF∥AB，分別交ABCPDEFG123∵四邊形ABCD是正方形，∴四邊形ABFG和四邊形GFCD都是矩形，△AGP和△PFC都是等腰直角三角形.∴GD=FC=FP，GP=AG=BF，∠PGD=∠PFE=90°.又∵PB=PE，∴BF=FE，∴GP=FE，∴△EFP≌△PGD（SAS）.∴PE=PD.②∴∠1=∠2.∴∠1+∠3=∠2+∠3=90°.∴∠DPE=90°.∴PE⊥PD.（2）①∵AP=x，∴BF=PG=，PF=1-.∴S△PBE=BF·PF=().即(0＜x＜).②.∵＜0，∴當(dāng)時，y最大值.(注：用其它方法求解參照以上標(biāo)準(zhǔn)給分.)例4【解析】△ADE是等邊三角形．理由如下：∵AB=CD，∴梯形ABCD為等腰梯形，∵∠B=∠C．∴E為BC的中點，∵BE=CE．