二次函數(shù)專題訓(xùn)練(正方形的存在性問題)含答案

二次函數(shù)專題訓(xùn)練(正方形的存在性問題)含答案二次函數(shù)專題訓(xùn)練(正方形的存在性問題)含答案二次函數(shù)專題訓(xùn)練(正方形的存在性問題)含答案xxx公司二次函數(shù)專題訓(xùn)練(正方形的存在性問題)含答案文件編號(hào)：文件日期：修訂次數(shù)：第1.0次更改批準(zhǔn)審核制定方案設(shè)計(jì)，管理制度1．如圖，已知拋物線y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（l，0），B（﹣3，0），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)E，連接BD．（1）求拋物線的解析式．（2）若點(diǎn)P在直線BD上，當(dāng)PE=PC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．（3）在（2）的條件下，作PF⊥x軸于F，點(diǎn)M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，N為直線PF上一動(dòng)點(diǎn)，G為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)F，N，G，M四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為正方形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．2．如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B坐標(biāo)為（6，0），點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，6），點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，過點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為E，連接BD．（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)F是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠FBA=∠BDE時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN∥x軸與拋物線交于點(diǎn)N，點(diǎn)P在x軸上，點(diǎn)Q在坐標(biāo)平面內(nèi)，以線段MN為對(duì)角線作正方形MPNQ，請(qǐng)寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．3．如圖，已知拋物線y=ax2+bx﹣3過點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），點(diǎn)M、N為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MD∥y軸，交直線BC于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)E．過點(diǎn)N作NF⊥x軸，垂足為點(diǎn)F（1）求二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3的表達(dá)式；（2）若M點(diǎn)是拋物線上對(duì)稱軸右側(cè)的點(diǎn)，且四邊形MNFE為正方形，求該正方形的面積；（3）若M點(diǎn)是拋物線上對(duì)稱軸左側(cè)的點(diǎn)，且∠DMN=90°，MD=MN，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)．4.(2015貴州省畢節(jié)地區(qū))如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，頂點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是M′．（1）求拋物線的解析式；（2）若直線AM′與此拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為C，求△CAB的面積；（3）是否存在過A，B兩點(diǎn)的拋物線，其頂點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q，使得四邊形APBQ為正方形若存在，求出此拋物線的解析式；若不存在，請(qǐng)說明理由．5.(2016遼寧省鐵嶺市)．如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B坐標(biāo)為（6，0），點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，6），點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，過點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為E，連接BD．（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)F是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠FBA=∠BDE時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN∥x軸與拋物線交于點(diǎn)N，點(diǎn)P在x軸上，點(diǎn)Q在平面內(nèi)，以線段MN為對(duì)角線作正方形MPNQ，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．6.(2016廣東省茂名市)．如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸DE交x軸于點(diǎn)E，連接BD．（1）求經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)P是線段BD上一點(diǎn)，當(dāng)PE=PC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，過點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，G為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，N為直線PF上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以F、M、G為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．二次函數(shù)專題訓(xùn)練（正方形的存在性問題）參考答案1．如圖，已知拋物線y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（l，0），B（﹣3，0），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)E，連接BD．（1）求拋物線的解析式．（2）若點(diǎn)P在直線BD上，當(dāng)PE=PC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．（3）在（2）的條件下，作PF⊥x軸于F，點(diǎn)M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，N為直線PF上一動(dòng)點(diǎn)，G為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)F，N，G，M四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為正方形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵拋物線y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），B（﹣3，0），∴，∴，∴拋物線的解析式為y=x2+2x﹣3；（2）由（1）知，拋物線的解析式為y=x2+2x﹣3；∴C（0，﹣3），拋物線的頂點(diǎn)D（﹣1，﹣4），∴E（﹣1，0），設(shè)直線BD的解析式為y=mx+n，∴，∴，∴直線BD的解析式為y=﹣2x﹣6，設(shè)點(diǎn)P（a，﹣2a﹣6），∵C（0，﹣3），E（﹣1，0），根據(jù)勾股定理得，PE2=（a+1）2+（﹣2a﹣6）2，PC2=a2+（﹣2a﹣6+3）2，∵PC=PE，∴（a+1）2+（﹣2a﹣6）2=a2+（﹣2a﹣6+3）2，∴a=﹣2，∴y=﹣2×（﹣2）﹣6=﹣2，∴P（﹣2，﹣2），（3）如圖，作PF⊥x軸于F，∴F（﹣2，0），設(shè)M（d，0），∴G（d，d2+2d﹣3），N（﹣2，d2+2d﹣3），∵以點(diǎn)F，N，G，M四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為正方形，必有FM=MG，∴|d+2|=|d2+2d﹣3|，∴d=或d=，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0），（，0），（，0），（，0）．2．如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B坐標(biāo)為（6，0），點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，6），點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，過點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為E，連接BD．（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)F是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠FBA=∠BDE時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN∥x軸與拋物線交于點(diǎn)N，點(diǎn)P在x軸上，點(diǎn)Q在坐標(biāo)平面內(nèi)，以線段MN為對(duì)角線作正方形MPNQ，請(qǐng)寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【解答】解：（1）把B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可得，解得，∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+6，∵y=﹣x2+2x+6=﹣（x﹣2）2+8，∴D（2，8）；（2）如圖1，過F作FG⊥x軸于點(diǎn)G，設(shè)F（x，﹣x2+2x+6），則FG=|﹣x2+2x+6|，∵∠FBA=∠BDE，∠FGB=∠BED=90°，∴△FBG∽△BDE，∴=，∵B（6，0），D（2，8），∴E（2，0），BE=4，DE=8，OB=6，∴BG=6﹣x，∴=，當(dāng)點(diǎn)F在x軸上方時(shí)，有=，解得x=﹣1或x=6（舍去），此時(shí)F點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，）；當(dāng)點(diǎn)F在x軸下方時(shí)，有=﹣，解得x=﹣3或x=6（舍去），此時(shí)F點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，﹣）；綜上可知F點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，）或（﹣3，﹣）；（3）如圖2，設(shè)對(duì)角線MN、PQ交于點(diǎn)O′，∵點(diǎn)M、N關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，且四邊形MPNQ為正方形，∴點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線的對(duì)稱軸上，設(shè)Q（2，2n），則M坐標(biāo)為（2﹣n，n），∵點(diǎn)M在拋物線y=﹣x2+2x+6的圖象上，∴n=﹣（2﹣n）2+2（2﹣n）+6，解得n=﹣1+或n=﹣1﹣，∴滿足條件的點(diǎn)Q有兩個(gè)，其坐標(biāo)分別為（2，﹣2+2）或（2，﹣2﹣2）．3．如圖，已知拋物線y=ax2+bx﹣3過點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），點(diǎn)M、N為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MD∥y軸，交直線BC于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)E．過點(diǎn)N作NF⊥x軸，垂足為點(diǎn)F（1）求二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3的表達(dá)式；（2）若M點(diǎn)是拋物線上對(duì)稱軸右側(cè)的點(diǎn)，且四邊形MNFE為正方形，求該正方形的面積；（3）若M點(diǎn)是拋物線上對(duì)稱軸左側(cè)的點(diǎn)，且∠DMN=90°，MD=MN，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx﹣3，得：，解得，故該拋物線解析式為：y=x2﹣2x﹣3；（2）由（1）知，拋物線解析式為：y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴該拋物線的對(duì)稱軸是x=1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣4）．如圖，設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為（m，m2﹣2m﹣3），其中m＞1，∴ME=|﹣m2+2m+3|，∵M(jìn)、N關(guān)于x=1對(duì)稱，且點(diǎn)M在對(duì)稱軸右側(cè)，∴點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為2﹣m，∴MN=2m﹣2，∵四邊形MNFE為正方形，∴ME=MN，∴|﹣m2+2m+3|=2m﹣2，分兩種情況：①當(dāng)﹣m2+2m+3=2m﹣2時(shí)，解得：m1=、m2=﹣（不符合題意，舍去），當(dāng)m=時(shí)，正方形的面積為（2﹣2）2=24﹣8；②當(dāng)﹣m2+2m+3=2﹣2m時(shí)，解得：m3=2+，m4=2﹣（不符合題意，舍去），當(dāng)m=2+時(shí)，正方形的面積為[2（2+）﹣2]2=24+8；綜上所述，正方形的面積為24+8或24﹣8．（3）設(shè)BC所在直線解析式為y=px+q，把點(diǎn)B（3，0）、C（0，﹣3）代入表達(dá)式，得：，解得：，∴直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y=x﹣3，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（t，t2﹣2t﹣3），其中t＜1，則點(diǎn)N（2﹣t，t2﹣2t﹣3），點(diǎn)D（t，t﹣3），∴MN=2﹣t﹣t=2﹣2t，MD=|t2﹣2t﹣3﹣t+3|=|t2﹣3t|．∵M(jìn)D=MN，∴|t2﹣3t|=2﹣2t，分兩種情況：①當(dāng)t2﹣3t=2﹣2t時(shí)，解得t1=﹣1，t2=2（不符合題意，舍去）．②當(dāng)3t﹣t2=2﹣2t時(shí)，解得t3=，t2=（不符合題意，舍去）．綜上所述，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為﹣1或．4.(2015貴州省畢節(jié)地區(qū))如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，頂點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是M′．（1）求拋物線的解析式；（2）若直線AM′與此拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為C，求△CAB的面積；（3）是否存在過A，B兩點(diǎn)的拋物線，其頂點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q，使得四邊形APBQ為正方形若存在，求出此拋物線的解析式；若不存在，請(qǐng)說明理由．分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；（2）根據(jù)軸對(duì)稱，可得M′的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得AM′的解析式，根據(jù)解方程組，可得B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式，可得答案；（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得P、Q點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式．解答：解：（1）將A、B點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得，解得，拋物線的解析式y(tǒng)=x2﹣2x﹣3；（2）將拋物線的解析式化為頂點(diǎn)式，得y=（x﹣1）2﹣4，M點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，﹣4），M′點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，4），設(shè)AM′的解析式為y=kx+b，將A、M′點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得，解得，AM′的解析式為y=2x+2，聯(lián)立AM′與拋物線，得，解得，C點(diǎn)坐標(biāo)為（5，12）．S△ABC=×4×12=24；（3）存在過A，B兩點(diǎn)的拋物線，其頂點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q，使得四邊形APBQ為正方形，由ABPQ是正方形，A（﹣1，0）B（3，0），得P（1，﹣2），Q（1，2），或P（1，2），Q（1，﹣2），①當(dāng)頂點(diǎn)P（1，﹣2）時(shí)，設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣1）2﹣2，將A點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得a（﹣1﹣1）2﹣2=0，解得a=，拋物線的解析式為y=（x﹣1）2﹣2，②當(dāng)P（1，2）時(shí)，設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣1）2+2，將A點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得a（﹣1﹣1）2+2=0，解得a=﹣，拋物線的解析式為y=﹣（x﹣1）2+2，綜上所述：y=（x﹣1）2﹣2或y=﹣（x﹣1）2+2，使得四邊形APBQ為正方形．5.(2016遼寧省鐵嶺市)．如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B坐標(biāo)為（6，0），點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，6），點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，過點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為E，連接BD．（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)F是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠FBA=∠BDE時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN∥x軸與拋物線交于點(diǎn)N，點(diǎn)P在x軸上，點(diǎn)Q在平面內(nèi)，以線段MN為對(duì)角線作正方形MPNQ，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．分析（1）由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式，再利用配方法將拋物線解析式變形成頂點(diǎn)式即可得出結(jié)論；（2）設(shè)線段BF與y軸交點(diǎn)為點(diǎn)F′，設(shè)點(diǎn)F′的坐標(biāo)為（0，m），由相似三角形的判定及性質(zhì)可得出點(diǎn)F′的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)B、F′的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線BF的解析式，聯(lián)立直線BF和拋物線的解析式成方程組，解方程組即可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；（3）設(shè)對(duì)角線MN、PQ交于點(diǎn)O′，如圖2所示．根據(jù)拋物線的對(duì)稱性結(jié)合正方形的性質(zhì)可得出點(diǎn)P、Q的位置，設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，2n），由正方形的性質(zhì)可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2﹣n，n）．由點(diǎn)M在拋物線圖象上，即可得出關(guān)于n的一元二次方程，解方程可求出n值，代入點(diǎn)Q的坐標(biāo)即可得出結(jié)論．解答解：（1）將點(diǎn)B（6，0）、C（0，6）代入y=﹣x2+bx+c中，得：，解得：，∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+6．∵y=﹣x2+2x+6=﹣（x﹣2）2+8，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，8）．（2）設(shè)線段BF與y軸交點(diǎn)為點(diǎn)F′，設(shè)點(diǎn)F′的坐標(biāo)為（0，m），如圖1所示．∵∠F′BO=∠FBA=∠BDE，∠F′OB=∠BED=90°，∴△F′BO∽△BDE，∴．∵點(diǎn)B（6，0），點(diǎn)D（2，8），∴點(diǎn)E（2，0），BE=6﹣4=4，DE=8﹣0=8，OB=6，∴OF′=?OB=3，∴點(diǎn)F′（0，3）或（0，﹣3）．設(shè)直線BF的解析式為y=kx±3，則有0=6k+3或0=6k﹣3，解得：k=﹣或k=，∴直線BF的解析式為y=﹣x+3或y=x﹣3．聯(lián)立直線BF與拋物線的解析式得：①或②，解方程組①得：或（舍去），∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣1，）；解方程組②得：或（舍去），∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣3，﹣）．綜上可知：點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣1，）或（﹣3，﹣）．（3）設(shè)對(duì)角線MN、PQ交于點(diǎn)O′，如圖2所示．∵點(diǎn)M、N關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，且四邊形MPNQ為正方形，∴點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線對(duì)稱軸上，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，2n），則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2﹣n，n）．∵點(diǎn)M在拋物線y=﹣x2+2x+6的圖象上，∴n=﹣+2（2﹣n）+6，即n2+2n﹣16=0，解得：n1=﹣1，n2=﹣﹣1．∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，﹣1）或（2，﹣﹣1）．6.(2016廣東省茂名市)】．如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸DE交x軸于點(diǎn)E，連接BD．（1）求經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)P是線段BD上一點(diǎn)，當(dāng)PE=PC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，過點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，G為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，N為直線PF上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以F、M、G為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．分析（1）利用待定系