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二次函數(shù)專題訓(xùn)練(正方形的存在性問題)含答案二次函數(shù)專題訓(xùn)練(正方形的存在性問題)含答案二次函數(shù)專題訓(xùn)練(正方形的存在性問題)含答案xxx公司二次函數(shù)專題訓(xùn)練(正方形的存在性問題)含答案文件編號:文件日期:修訂次數(shù):第1.0次更改批準(zhǔn)審核制定方案設(shè)計,管理制度1.如圖,已知拋物線y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A(l,0),B(﹣3,0),與y軸交于點C,拋物線的頂點為D,對稱軸與x軸相交于點E,連接BD.(1)求拋物線的解析式.(2)若點P在直線BD上,當(dāng)PE=PC時,求點P的坐標(biāo).(3)在(2)的條件下,作PF⊥x軸于F,點M為x軸上一動點,N為直線PF上一動點,G為拋物線上一動點,當(dāng)以點F,N,G,M四點為頂點的四邊形為正方形時,求點M的坐標(biāo).2.如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點A和點B,與y軸交于點C,點B坐標(biāo)為(6,0),點C坐標(biāo)為(0,6),點D是拋物線的頂點,過點D作x軸的垂線,垂足為E,連接BD.(1)求拋物線的解析式及點D的坐標(biāo);(2)點F是拋物線上的動點,當(dāng)∠FBA=∠BDE時,求點F的坐標(biāo);(3)若點M是拋物線上的動點,過點M作MN∥x軸與拋物線交于點N,點P在x軸上,點Q在坐標(biāo)平面內(nèi),以線段MN為對角線作正方形MPNQ,請寫出點Q的坐標(biāo).3.如圖,已知拋物線y=ax2+bx﹣3過點A(﹣1,0),B(3,0),點M、N為拋物線上的動點,過點M作MD∥y軸,交直線BC于點D,交x軸于點E.過點N作NF⊥x軸,垂足為點F(1)求二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3的表達(dá)式;(2)若M點是拋物線上對稱軸右側(cè)的點,且四邊形MNFE為正方形,求該正方形的面積;(3)若M點是拋物線上對稱軸左側(cè)的點,且∠DMN=90°,MD=MN,請直接寫出點M的橫坐標(biāo).4.(2015貴州省畢節(jié)地區(qū))如圖,拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A(﹣1,0),B(3,0)兩點,頂點M關(guān)于x軸的對稱點是M′.(1)求拋物線的解析式;(2)若直線AM′與此拋物線的另一個交點為C,求△CAB的面積;(3)是否存在過A,B兩點的拋物線,其頂點P關(guān)于x軸的對稱點為Q,使得四邊形APBQ為正方形若存在,求出此拋物線的解析式;若不存在,請說明理由.5.(2016遼寧省鐵嶺市).如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點A,點B,與y軸交于點C,點B坐標(biāo)為(6,0),點C坐標(biāo)為(0,6),點D是拋物線的頂點,過點D作x軸的垂線,垂足為E,連接BD.(1)求拋物線的解析式及點D的坐標(biāo);(2)點F是拋物線上的動點,當(dāng)∠FBA=∠BDE時,求點F的坐標(biāo);(3)若點M是拋物線上的動點,過點M作MN∥x軸與拋物線交于點N,點P在x軸上,點Q在平面內(nèi),以線段MN為對角線作正方形MPNQ,請直接寫出點Q的坐標(biāo).6.(2016廣東省茂名市).如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A(﹣1,0),B(3,0)兩點,且與y軸交于點C,點D是拋物線的頂點,拋物線的對稱軸DE交x軸于點E,連接BD.(1)求經(jīng)過A,B,C三點的拋物線的函數(shù)表達(dá)式;(2)點P是線段BD上一點,當(dāng)PE=PC時,求點P的坐標(biāo);(3)在(2)的條件下,過點P作PF⊥x軸于點F,G為拋物線上一動點,M為x軸上一動點,N為直線PF上一動點,當(dāng)以F、M、G為頂點的四邊形是正方形時,請求出點M的坐標(biāo).二次函數(shù)專題訓(xùn)練(正方形的存在性問題)參考答案1.如圖,已知拋物線y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A(l,0),B(﹣3,0),與y軸交于點C,拋物線的頂點為D,對稱軸與x軸相交于點E,連接BD.(1)求拋物線的解析式.(2)若點P在直線BD上,當(dāng)PE=PC時,求點P的坐標(biāo).(3)在(2)的條件下,作PF⊥x軸于F,點M為x軸上一動點,N為直線PF上一動點,G為拋物線上一動點,當(dāng)以點F,N,G,M四點為頂點的四邊形為正方形時,求點M的坐標(biāo).【解答】解:(1)∵拋物線y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A(1,0),B(﹣3,0),∴,∴,∴拋物線的解析式為y=x2+2x﹣3;(2)由(1)知,拋物線的解析式為y=x2+2x﹣3;∴C(0,﹣3),拋物線的頂點D(﹣1,﹣4),∴E(﹣1,0),設(shè)直線BD的解析式為y=mx+n,∴,∴,∴直線BD的解析式為y=﹣2x﹣6,設(shè)點P(a,﹣2a﹣6),∵C(0,﹣3),E(﹣1,0),根據(jù)勾股定理得,PE2=(a+1)2+(﹣2a﹣6)2,PC2=a2+(﹣2a﹣6+3)2,∵PC=PE,∴(a+1)2+(﹣2a﹣6)2=a2+(﹣2a﹣6+3)2,∴a=﹣2,∴y=﹣2×(﹣2)﹣6=﹣2,∴P(﹣2,﹣2),(3)如圖,作PF⊥x軸于F,∴F(﹣2,0),設(shè)M(d,0),∴G(d,d2+2d﹣3),N(﹣2,d2+2d﹣3),∵以點F,N,G,M四點為頂點的四邊形為正方形,必有FM=MG,∴|d+2|=|d2+2d﹣3|,∴d=或d=,∴點M的坐標(biāo)為(,0),(,0),(,0),(,0).2.如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點A和點B,與y軸交于點C,點B坐標(biāo)為(6,0),點C坐標(biāo)為(0,6),點D是拋物線的頂點,過點D作x軸的垂線,垂足為E,連接BD.(1)求拋物線的解析式及點D的坐標(biāo);(2)點F是拋物線上的動點,當(dāng)∠FBA=∠BDE時,求點F的坐標(biāo);(3)若點M是拋物線上的動點,過點M作MN∥x軸與拋物線交于點N,點P在x軸上,點Q在坐標(biāo)平面內(nèi),以線段MN為對角線作正方形MPNQ,請寫出點Q的坐標(biāo).【解答】解:(1)把B、C兩點坐標(biāo)代入拋物線解析式可得,解得,∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+6,∵y=﹣x2+2x+6=﹣(x﹣2)2+8,∴D(2,8);(2)如圖1,過F作FG⊥x軸于點G,設(shè)F(x,﹣x2+2x+6),則FG=|﹣x2+2x+6|,∵∠FBA=∠BDE,∠FGB=∠BED=90°,∴△FBG∽△BDE,∴=,∵B(6,0),D(2,8),∴E(2,0),BE=4,DE=8,OB=6,∴BG=6﹣x,∴=,當(dāng)點F在x軸上方時,有=,解得x=﹣1或x=6(舍去),此時F點的坐標(biāo)為(﹣1,);當(dāng)點F在x軸下方時,有=﹣,解得x=﹣3或x=6(舍去),此時F點坐標(biāo)為(﹣3,﹣);綜上可知F點的坐標(biāo)為(﹣1,)或(﹣3,﹣);(3)如圖2,設(shè)對角線MN、PQ交于點O′,∵點M、N關(guān)于拋物線對稱軸對稱,且四邊形MPNQ為正方形,∴點P為拋物線對稱軸與x軸的交點,點Q在拋物線的對稱軸上,設(shè)Q(2,2n),則M坐標(biāo)為(2﹣n,n),∵點M在拋物線y=﹣x2+2x+6的圖象上,∴n=﹣(2﹣n)2+2(2﹣n)+6,解得n=﹣1+或n=﹣1﹣,∴滿足條件的點Q有兩個,其坐標(biāo)分別為(2,﹣2+2)或(2,﹣2﹣2).3.如圖,已知拋物線y=ax2+bx﹣3過點A(﹣1,0),B(3,0),點M、N為拋物線上的動點,過點M作MD∥y軸,交直線BC于點D,交x軸于點E.過點N作NF⊥x軸,垂足為點F(1)求二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3的表達(dá)式;(2)若M點是拋物線上對稱軸右側(cè)的點,且四邊形MNFE為正方形,求該正方形的面積;(3)若M點是拋物線上對稱軸左側(cè)的點,且∠DMN=90°,MD=MN,請直接寫出點M的橫坐標(biāo).【解答】解:(1)把A(﹣1,0),B(3,0)代入y=ax2+bx﹣3,得:,解得,故該拋物線解析式為:y=x2﹣2x﹣3;(2)由(1)知,拋物線解析式為:y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,∴該拋物線的對稱軸是x=1,頂點坐標(biāo)為(1,﹣4).如圖,設(shè)點M坐標(biāo)為(m,m2﹣2m﹣3),其中m>1,∴ME=|﹣m2+2m+3|,∵M(jìn)、N關(guān)于x=1對稱,且點M在對稱軸右側(cè),∴點N的橫坐標(biāo)為2﹣m,∴MN=2m﹣2,∵四邊形MNFE為正方形,∴ME=MN,∴|﹣m2+2m+3|=2m﹣2,分兩種情況:①當(dāng)﹣m2+2m+3=2m﹣2時,解得:m1=、m2=﹣(不符合題意,舍去),當(dāng)m=時,正方形的面積為(2﹣2)2=24﹣8;②當(dāng)﹣m2+2m+3=2﹣2m時,解得:m3=2+,m4=2﹣(不符合題意,舍去),當(dāng)m=2+時,正方形的面積為[2(2+)﹣2]2=24+8;綜上所述,正方形的面積為24+8或24﹣8.(3)設(shè)BC所在直線解析式為y=px+q,把點B(3,0)、C(0,﹣3)代入表達(dá)式,得:,解得:,∴直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y=x﹣3,設(shè)點M的坐標(biāo)為(t,t2﹣2t﹣3),其中t<1,則點N(2﹣t,t2﹣2t﹣3),點D(t,t﹣3),∴MN=2﹣t﹣t=2﹣2t,MD=|t2﹣2t﹣3﹣t+3|=|t2﹣3t|.∵M(jìn)D=MN,∴|t2﹣3t|=2﹣2t,分兩種情況:①當(dāng)t2﹣3t=2﹣2t時,解得t1=﹣1,t2=2(不符合題意,舍去).②當(dāng)3t﹣t2=2﹣2t時,解得t3=,t2=(不符合題意,舍去).綜上所述,點M的橫坐標(biāo)為﹣1或.4.(2015貴州省畢節(jié)地區(qū))如圖,拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A(﹣1,0),B(3,0)兩點,頂點M關(guān)于x軸的對稱點是M′.(1)求拋物線的解析式;(2)若直線AM′與此拋物線的另一個交點為C,求△CAB的面積;(3)是否存在過A,B兩點的拋物線,其頂點P關(guān)于x軸的對稱點為Q,使得四邊形APBQ為正方形若存在,求出此拋物線的解析式;若不存在,請說明理由.分析:(1)根據(jù)待定系數(shù)法,可得函數(shù)解析式;(2)根據(jù)軸對稱,可得M′的坐標(biāo),根據(jù)待定系數(shù)法,可得AM′的解析式,根據(jù)解方程組,可得B點坐標(biāo),根據(jù)三角形的面積公式,可得答案;(3)根據(jù)正方形的性質(zhì),可得P、Q點坐標(biāo),根據(jù)待定系數(shù)法,可得函數(shù)解析式.解答:解:(1)將A、B點坐標(biāo)代入函數(shù)解析式,得,解得,拋物線的解析式y(tǒng)=x2﹣2x﹣3;(2)將拋物線的解析式化為頂點式,得y=(x﹣1)2﹣4,M點的坐標(biāo)為(1,﹣4),M′點的坐標(biāo)為(1,4),設(shè)AM′的解析式為y=kx+b,將A、M′點的坐標(biāo)代入,得,解得,AM′的解析式為y=2x+2,聯(lián)立AM′與拋物線,得,解得,C點坐標(biāo)為(5,12).S△ABC=×4×12=24;(3)存在過A,B兩點的拋物線,其頂點P關(guān)于x軸的對稱點為Q,使得四邊形APBQ為正方形,由ABPQ是正方形,A(﹣1,0)B(3,0),得P(1,﹣2),Q(1,2),或P(1,2),Q(1,﹣2),①當(dāng)頂點P(1,﹣2)時,設(shè)拋物線的解析式為y=a(x﹣1)2﹣2,將A點坐標(biāo)代入函數(shù)解析式,得a(﹣1﹣1)2﹣2=0,解得a=,拋物線的解析式為y=(x﹣1)2﹣2,②當(dāng)P(1,2)時,設(shè)拋物線的解析式為y=a(x﹣1)2+2,將A點坐標(biāo)代入函數(shù)解析式,得a(﹣1﹣1)2+2=0,解得a=﹣,拋物線的解析式為y=﹣(x﹣1)2+2,綜上所述:y=(x﹣1)2﹣2或y=﹣(x﹣1)2+2,使得四邊形APBQ為正方形.5.(2016遼寧省鐵嶺市).如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點A,點B,與y軸交于點C,點B坐標(biāo)為(6,0),點C坐標(biāo)為(0,6),點D是拋物線的頂點,過點D作x軸的垂線,垂足為E,連接BD.(1)求拋物線的解析式及點D的坐標(biāo);(2)點F是拋物線上的動點,當(dāng)∠FBA=∠BDE時,求點F的坐標(biāo);(3)若點M是拋物線上的動點,過點M作MN∥x軸與拋物線交于點N,點P在x軸上,點Q在平面內(nèi),以線段MN為對角線作正方形MPNQ,請直接寫出點Q的坐標(biāo).分析(1)由點B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式,再利用配方法將拋物線解析式變形成頂點式即可得出結(jié)論;(2)設(shè)線段BF與y軸交點為點F′,設(shè)點F′的坐標(biāo)為(0,m),由相似三角形的判定及性質(zhì)可得出點F′的坐標(biāo),根據(jù)點B、F′的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線BF的解析式,聯(lián)立直線BF和拋物線的解析式成方程組,解方程組即可求出點F的坐標(biāo);(3)設(shè)對角線MN、PQ交于點O′,如圖2所示.根據(jù)拋物線的對稱性結(jié)合正方形的性質(zhì)可得出點P、Q的位置,設(shè)出點Q的坐標(biāo)為(2,2n),由正方形的性質(zhì)可得出點M的坐標(biāo)為(2﹣n,n).由點M在拋物線圖象上,即可得出關(guān)于n的一元二次方程,解方程可求出n值,代入點Q的坐標(biāo)即可得出結(jié)論.解答解:(1)將點B(6,0)、C(0,6)代入y=﹣x2+bx+c中,得:,解得:,∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+6.∵y=﹣x2+2x+6=﹣(x﹣2)2+8,∴點D的坐標(biāo)為(2,8).(2)設(shè)線段BF與y軸交點為點F′,設(shè)點F′的坐標(biāo)為(0,m),如圖1所示.∵∠F′BO=∠FBA=∠BDE,∠F′OB=∠BED=90°,∴△F′BO∽△BDE,∴.∵點B(6,0),點D(2,8),∴點E(2,0),BE=6﹣4=4,DE=8﹣0=8,OB=6,∴OF′=?OB=3,∴點F′(0,3)或(0,﹣3).設(shè)直線BF的解析式為y=kx±3,則有0=6k+3或0=6k﹣3,解得:k=﹣或k=,∴直線BF的解析式為y=﹣x+3或y=x﹣3.聯(lián)立直線BF與拋物線的解析式得:①或②,解方程組①得:或(舍去),∴點F的坐標(biāo)為(﹣1,);解方程組②得:或(舍去),∴點F的坐標(biāo)為(﹣3,﹣).綜上可知:點F的坐標(biāo)為(﹣1,)或(﹣3,﹣).(3)設(shè)對角線MN、PQ交于點O′,如圖2所示.∵點M、N關(guān)于拋物線對稱軸對稱,且四邊形MPNQ為正方形,∴點P為拋物線對稱軸與x軸的交點,點Q在拋物線對稱軸上,設(shè)點Q的坐標(biāo)為(2,2n),則點M的坐標(biāo)為(2﹣n,n).∵點M在拋物線y=﹣x2+2x+6的圖象上,∴n=﹣+2(2﹣n)+6,即n2+2n﹣16=0,解得:n1=﹣1,n2=﹣﹣1.∴點Q的坐標(biāo)為(2,﹣1)或(2,﹣﹣1).6.(2016廣東省茂名市)】.如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A(﹣1,0),B(3,0)兩點,且與y軸交于點C,點D是拋物線的頂點,拋物線的對稱軸DE交x軸于點E,連接BD.(1)求經(jīng)過A,B,C三點的拋物線的函數(shù)表達(dá)式;(2)點P是線段BD上一點,當(dāng)PE=PC時,求點P的坐標(biāo);(3)在(2)的條件下,過點P作PF⊥x軸于點F,G為拋物線上一動點,M為x軸上一動點,N為直線PF上一動點,當(dāng)以F、M、G為頂點的四邊形是正方形時,請求出點M的坐標(biāo).分析(1)利用待定系

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