【精品】小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克競賽真題集錦及解答

小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克競賽真題集錦及解答小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克競賽真題集錦及解答一、填空題1．三個連續(xù)偶數(shù)，中間這個數(shù)是m，則相鄰兩個數(shù)分別是___m-2____和___m+2___。2．有一種三位數(shù)，它能同時被2、3、7整除，這樣的三位數(shù)中，最大的一個是____966___，最小的一個是____126____。解題過程：2×3×7=42；求三位數(shù)中42的倍數(shù)126、168、……9663．小麗發(fā)現(xiàn)：小表妹和讀初三哥哥的歲數(shù)是互質(zhì)數(shù)，積是144，小表妹和讀初三哥哥的歲數(shù)分別是_____9____歲和____16____歲。解題過程：144=2×2×2×2×3×3；（9、16）=14．一個四位數(shù)，它的第一個數(shù)字等于這個數(shù)中數(shù)字0的個數(shù)，第二個數(shù)字表示這個數(shù)中數(shù)字1的個數(shù)，第三個數(shù)字表示這個數(shù)中數(shù)字2的個數(shù)，第四個數(shù)字等于這個數(shù)中數(shù)字3的個數(shù)，那么這個四位數(shù)是____1210___。5．2310的所有約數(shù)的和是__6912____。解題過程：2310=2×3×5×7×11；約數(shù)和=（1+2）×（1+3）×（1+5）×（1+7）×（1+11）6．已知2008被一些自然數(shù)去除，得到的余數(shù)都是10，這些自然數(shù)共有____11____個。解題過程：2008-10=1998；1998=2×33×37；約數(shù)個數(shù)=（1+1）×（1+3）×（1+1）=16（個）其中小于10的約數(shù)共有1，2，3，6，9；16-5=11（個）7．從1、2、3、…、1998、1999這些自然數(shù)中，最多可以取多少個數(shù)，才能使其中每兩個數(shù)的差不等于4？__1000__。解題過程：1，5，9，13，……1997（500個）隔1個取1個，共取250個2，6，10，14，……1998（500個）隔1個取1個，共取250個3，7，11，15，……1999（500個）隔1個取1個，共取250個4，8，12，16，……1996（499個）隔1個取1個，共取250個8．黑板上寫有從1開始的若干個連續(xù)的奇數(shù)：1，3，5，7，9，11，13…擦去其中的一個奇數(shù)以后，剩下的所有奇數(shù)之和為1998，那么擦去的奇數(shù)是____27____。解題過程：1+3+5+……+（2n-1）=n2；45×45=2025；2025-1998=279．一個1994位的整數(shù)，各個數(shù)位上的數(shù)字都是3。它除以13，商的第200位（從左往右數(shù)）數(shù)字是_____5____，商的個位數(shù)字是_____6____，余數(shù)是____5_____。解題過程：……3÷13=256410256410……10．在小于5000的自然數(shù)中，能被11整除，并且數(shù)字和為13的數(shù)，共有____18____個。解題過程：能被11整除的條件是：奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和相差為11的倍數(shù)；1位數(shù)不滿足條件；2位數(shù)也不滿足條件（各位數(shù)字應(yīng)相等，數(shù)字和不等于13）；應(yīng)為3或4位數(shù)；13=12+1；偶數(shù)位數(shù)字和=1，奇數(shù)位數(shù)字和=12時，共有14個；偶數(shù)位數(shù)字和=12，奇數(shù)位數(shù)字和=1時，共有4個；14+4=18（個）11．設(shè)n是一個四位數(shù)，它的9倍恰好是其反序數(shù)（例如：123的反序數(shù)是321），則n＝___1089___。解題過程：千位只能是1；個位只能是9；百位只能是0或1；如百位是1，則十位必須為0，但所得數(shù)1109不滿足題意；如百位是0，則十位必須為8，得數(shù)1089滿足題意12．555555的約數(shù)中，最大的三位數(shù)是___555____。解題過程：555555=3×5×11×37×91；3×5×37=55513．設(shè)a與b是兩個不相等的自然數(shù)，如果它們的最小公倍數(shù)是72，那么a與b之和可以有____17____種不同的值。解題過程：72=2×2×2×3×3；a=72，b=（1+3）×（1+2）-1=12-1=11；a=36，b=8或24；a=24，b=9或18；a=18，b=8；a=9，b=8；11+6=1714．小明的兩個衣服口袋中各有13張卡片，每張卡片上分別寫著1，2，3，……，13。如果從這兩個口袋中各拿出一張卡片來計算它們所寫兩數(shù)的乘積，可以得到許多不相等的乘積，那么，其中能被6整除的乘積共有____21____個。解題過程：6×1，2，3，……13共13個；12×7，8，9，……13=6×14，16，18，……26共7個；9×10=6×15共1個；13+7+1=21（個）15．一列數(shù)1，2，4，7，11，16，22，29，…這列數(shù)的組成規(guī)律是第2個數(shù)比第1個數(shù)多1；第3個數(shù)比第2個數(shù)多2；第4個數(shù)比第3個數(shù)多3；依此類推。那么這列數(shù)左起第1992個數(shù)除以5的余數(shù)是____2_____。nn-1=n-1；解題過程：a2-a1=1；a3-a2=2；……an-1-an-2=n-2；a-aan-a1=1+2+3+……+n-1=n（n-1）/2；an=n（n-1）/2+1；a1992=1992×（1992-1）/2+1=996×1991+1=（995+1）×（1990+1）+116．兩個自然數(shù)的和是50，它們的最大公約數(shù)是5，則這兩個數(shù)的差是_20或40_。解題過程：（a、b）=5；5|a，5|b；a=5，b=45或a=15，b=3517．將一個兩位數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字交換后得到一個新數(shù)，它與原數(shù)相加，得到的和恰好是某個自然數(shù)的平方，這個和是____121___。解題過程：和可能為兩位數(shù)，也可能為三位數(shù)，但肯定是11的倍數(shù)，即11的平方。18．100以內(nèi)所有被5除余1的自然數(shù)的和是____970___。解題過程：1+6+11+16+……91+96=（1+96）×20÷2=97019．9個連續(xù)的自然數(shù)，它們都大于80，那么其中質(zhì)數(shù)至多_____4____個。解題過程：9個連續(xù)的自然數(shù)，末尾可能是0-9，末尾是0、2、4、6、8的一定被2整除，末尾是5的一定被5整除，每連續(xù)3個自然數(shù)中一定有一個是3的倍數(shù)，只有末尾是1、3、7、9的數(shù)可能是質(zhì)數(shù)．于是質(zhì)數(shù)只可能在這5個連續(xù)的奇數(shù)中，所以質(zhì)數(shù)個數(shù)不能超過420．如果一個自然數(shù)的約數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)，我們稱這個自然數(shù)為“希望數(shù)”，那么，1000以內(nèi)最大的“希望數(shù)”是___961____。解題過程：自然數(shù)的因數(shù)都是成對出現(xiàn)的，比如1和本身是一對，出現(xiàn)奇數(shù)個因數(shù)的時候是因為其中有一對因數(shù)是相等的，即這個自然數(shù)是完全平方數(shù)。1000以內(nèi)最大的完全平方數(shù)是312=961，所以這個希望數(shù)是96121．兩個數(shù)的最大公約數(shù)是21，最小公倍數(shù)是126。這兩個數(shù)的和是__105或147__。解題過程：126=21×2×3；這兩個數(shù)是42和63，或21和12622．甲數(shù)是36，甲乙兩數(shù)的最小公倍數(shù)是288，最大公約數(shù)是4，乙數(shù)應(yīng)該是____32____。解題過程：4|364×8=3236÷4=9288÷4÷9=823．一個三位數(shù)能同時被2、5、7整除，這樣的三位數(shù)按由小到大的順序排成一列，中間的一個是___560____。解題過程：2×5×7=70；70×2，3，4，……13，14=140，210，280，……910，98024．有四個互不相等的自然數(shù)，最大數(shù)與最小數(shù)的差等于4，最小數(shù)與最大數(shù)的積是一個奇數(shù)，而這四個數(shù)的和是最小的兩位奇數(shù)，那么這四個數(shù)的乘積是____30____。解題過程：最小數(shù)、最大數(shù)均為奇數(shù)，中間有一個偶數(shù)，4個數(shù)和為11，分別為1、2、3、525．兩個整數(shù)相除得商數(shù)是12和余數(shù)是26，被除數(shù)、除數(shù)、商數(shù)及余數(shù)的和等于454，除數(shù)是____30____。解題過程：設(shè)除數(shù)是X，則12X+26+X+12+26=454；X=3026．在1×2×3×…×100的積的尾部有____21___個連續(xù)的零。解題過程：尾數(shù)為5的共10個，尾數(shù)1個0的9個，2個0的1個，共21個027．有0、1、4、7、9五個數(shù)字，從中選出四個數(shù)組成一個四位數(shù)（例如1409），把其中能被3整除的這樣的四位數(shù)，從小到大排列起來，第5個數(shù)的末位數(shù)字是____9_____。解題過程：1047、1074、1407、1470、1704、1740、4017、4071、4107、4170……1479、1497、1749、1794……28．一些四位數(shù)，百位數(shù)字都是3，十位數(shù)字都是6，并且他們既能被2整除又能被3整除。甲是這樣四位數(shù)中最大的，乙是最小的，則甲乙兩數(shù)的千位數(shù)字和個位數(shù)字（共四個數(shù)字）的總和是____18____。解題過程：求?36?中能被3整除的偶數(shù)；甲為9366，乙為1362；9+6+1+2=1829．把自然數(shù)按由小到大的順序排列起來組成一串?dāng)?shù)：1、2、3、…、9、10、11、12、…，把這串?dāng)?shù)中兩位以上的數(shù)全部隔開成一位數(shù)字，組成第二串?dāng)?shù)：1、2、…、9、1、0、1、1、1、2、1、3、…。則第一串?dāng)?shù)中100的個位數(shù)字0在第二串?dāng)?shù)中是第____192___個數(shù)。解題過程：1-9（共9個），10-99（共180個），100（共3個）30．某個質(zhì)數(shù)與6、8、12、14之和都仍然是質(zhì)數(shù)，一共有_____1____個滿足上述條件的質(zhì)數(shù)。解題過程：除2和5以外，其它質(zhì)數(shù)的個位都是1，3，7，9；6，8，12，14都是偶數(shù)，加上唯一的偶數(shù)質(zhì)數(shù)2和仍然是偶數(shù)，所以不是2；14加上任何尾數(shù)是1的質(zhì)數(shù)，最后的尾數(shù)都是5，一定能被5整除；12加上任何尾數(shù)是3的質(zhì)數(shù)，尾數(shù)也是5；8加上任何尾數(shù)是7的質(zhì)數(shù)，尾數(shù)也是5；6加上任何尾數(shù)是9的質(zhì)數(shù)，尾數(shù)也是5；所以，這個質(zhì)數(shù)的末位一定不是1，3，7，9；只有5符合31．已知a與b的最大公約數(shù)是12，a與c的最小公倍數(shù)是300，b與c的最小公倍數(shù)也是300。那么滿足上述條件的自然數(shù)a、b、c共有____30____組。（例如a＝12，b＝300，c＝300，與a＝300，b＝12，c＝300是不同的兩個自然數(shù)組）解題過程：∵（a，b）=12，∴a=12m，b=12n（m，n=1或5或25，且（m，n）=1）；∵[a，c]=300，[b，c]=300，∴c=25k（k=1，2，3，4，6，12）；當(dāng)m=1，n=1時，a=12，b=12，c=25k當(dāng)m=1，n=5時，a=12，b=60，c=25k當(dāng)m=1，n=25時，a=12，b=300，c=25k當(dāng)m=5，n=1時，a=60，b=12，c=25k當(dāng)m=25，n=1時，a=300，b=12，c=25k故有30組32．從左向右編號為1至1991號的1991名同學(xué)排成一行。從左向右1至11報數(shù)，報數(shù)為11的同學(xué)原地不動，其余同學(xué)出列；然后留下的同學(xué)再從左向右1至11報數(shù)，報數(shù)為11的同學(xué)留下，其余同學(xué)出列；留下的同學(xué)第三次從左向右1至11報數(shù)，報到11的同學(xué)留下，其余同學(xué)出列。那么最后留下的同學(xué)中，從左邊數(shù)第一個人的最初編號是___1331___。解題過程：11×11×11=133133．在1，9，8，9后面寫一串這樣的數(shù)字：先計算原來這4個數(shù)的后兩個之和8＋9＝17，取個位數(shù)字7寫在1，9，8，9的后面成為1，9，8，9，7；再計算這5個數(shù)的后兩個之和9＋7＝16；取個位數(shù)字6寫在1，9，8，9，7的后面成為1，9，8，9，7，6；再計算這6個數(shù)的后兩個之和7＋6＝13，取個位數(shù)字3寫在1，9，8，9，7，6的后面成為1，9，8，9，7，6，3。繼續(xù)這樣求和，這樣填寫，成為數(shù)串1，9，8，9，7，6，3，9，2，1，3，4…那么這個數(shù)串的前398個數(shù)字的和是___1990___。解題過程：1，9，|8，9，7，6，3，9，2，1，3，4，7，1，|8，9，7，6，3，……398-2=396；396÷12=33；8+9+7+6+3+9+2+1+3+4+7+1=60；60×33+10=1990二、判斷題1．兩個連續(xù)整數(shù)中必有一個奇數(shù)一個偶數(shù)。（√）2．偶數(shù)的個位一定是0、2、4、6或8。（√）3．奇數(shù)的個位一定是1、3、5、7或9。（√）4．所有的正偶數(shù)均為合數(shù)。（×）5．奇數(shù)與奇數(shù)的和或差是偶數(shù)。（√）6．偶數(shù)與奇數(shù)的和或差是奇數(shù)。（√）7．奇數(shù)與奇數(shù)的積是奇數(shù)。（√）8．奇數(shù)與偶數(shù)的積是偶數(shù)。（√）9．任何偶數(shù)的平方都能被4整除。（√）10．任何奇數(shù)的平方被8除都余1。（√）11．相鄰偶數(shù)最大公約數(shù)為2，最小公倍數(shù)為它們乘積的一半。（√）12．任何一個自然數(shù)，不是質(zhì)數(shù)就是合數(shù)。（×）13．互質(zhì)的兩個數(shù)可以都不是質(zhì)數(shù)。（√）14．如果兩個數(shù)的積是它們的最小公倍數(shù)，這兩個數(shù)一定是互質(zhì)數(shù)。（√）三、計算題1．能不能將（1）505；（2）1010寫成10個連續(xù)自然數(shù)之和？如果能，把它寫出來；如果不能，說明理由。解題過程：S=n+（n+1）+（n+2）+（n+3）+（n+4）+（n+5）+（n+6）+（n+7）+（n+8）+（n+9）=10n+45（一定是奇數(shù)）（1）505=45+46+47+48+49+50+51+52+53+54（2）1010是偶數(shù)，不能寫成10個連續(xù)自然數(shù)之和2．（1）從1到3998這3998個自然數(shù)中，有多少個能被4整除？（2）從1到3998這3998個自然數(shù)中，有多少個數(shù)的各位數(shù)字之和能被4整除？解題過程：（1）3998÷4=999（個）……2（2）考慮個位，選法有10種;十位，選法有10種;百位選法有10種;選定之后個位、十位、百位數(shù)字之和除以4的余數(shù)有3種情況，余0、余1、余2、余3，對應(yīng)這四種在千位上剛好有一種與之對應(yīng)，共有1000個；1000-1=999（個）3．請將1，2，3，…，99，100這一百個自然數(shù)中既是奇數(shù)又是合數(shù)的自然數(shù)排成一行，使每兩個相鄰的數(shù)都不互質(zhì)（若一行寫不下，可移至第二行接著寫，若第二行仍寫不下，可移至第三行接著寫）。解題過程：9，15，21，27，33，39，45，51，57，63，69，75，81，87，93，9915，25，35，55，65，85，9521，35，49，77，9133，55，77，9925，35，55，65，85，95；15，9，21，27，33，39，45，51，57，63，69，75，81，87，93，99；77，91，494．一個自然數(shù)除以8得到的商加上這個數(shù)除以9的余數(shù)，其和是13。求所有滿足條件的自然數(shù)。解題過程：設(shè)這個數(shù)為n，除以9的余數(shù)r≤8，所以除以8得到的商q≥13-8=5，且q≤13n=8q+k=9p+r==>k=9p+r-8p=9p+r-8×（13-r）=9×（p+r）-104=4q=5，n=8×5+4=44q=6，n=8×6+4=52q=7，n=8×7+4=60q=8，n=8×8+4=68q=9，n=8×9+4=76q=10，n=8×10+4=84q=11，n=8×11+4=92q=12，n=8×12+4=100q=13，n=8×13+4=1085．有紅、黃、藍(lán)、綠四種顏色的卡片，每種顏色的卡片各有3張。相同顏色的卡片上寫相同的自然數(shù)，不同顏色的卡片上寫不同的自然數(shù)。老師把這12張卡片發(fā)給6名同學(xué)，每人得到兩張顏色不同的卡片。然后老師讓學(xué)生分別求出各自兩張卡片上兩個自然數(shù)的和。六名同學(xué)交上來的答案分別為：92、125、133、147、158、191。老師看完6名同學(xué)的答案后說，只有一名同學(xué)的答案錯了。問：四種顏色卡片上所寫各數(shù)中最小數(shù)是多少？解題過程：設(shè)四張卡片上的數(shù)從小到大分別為A、B、C、D，則六位同學(xué)所計算的分別為A+B、A+C、A+D、B+C、B+D、C+D這6個和數(shù)，且最小的兩個依次為A+B、A+C，最大的兩個依次為C+D、B+D。（A+B）+（C+D）=（A+C）+（B+D）=（A+D）+（B+C）；而92+191=283=125+158，133+147=280≠283；所以，A+B=92，A+C=125，B+D=158，C+D=191；133、147中有一個不正確。若147是正確的，則B+C=147，A+D=283-147=136。C-B=（A+C）-（A+B）=125-92=33==>C=90，B=57，A=92-57=35，D=191-90=101若133是正確的，則A+D=133，B+C=283-133=150。C-B=（A+C）-（A+B）=125-92=33==>B=50，C=83，A=92-50=42，D=191-83=108所以，四種顏色卡片上所寫各數(shù)中最小數(shù)是35或42。6．有三個數(shù)字能組成6個不同的三位數(shù)，這6個三位數(shù)的和是2886，求所有這樣的6個三位數(shù)中最小的三位數(shù)。（說明理由）解題過程：設(shè)這三個數(shù)字從小到大分別為A、B、C，顯然，它們互不相等且都不等于0。則222×（A+B+C）=2886==>A+B+C=2886÷222=13百位數(shù)為1是最小的，另兩個數(shù)分別為3和9；所以最小的三位數(shù)為1397．求小于1001且與1001互質(zhì)的所有自然數(shù)的和。解題過程：1001＝7×11×131＋2＋…＋1000=（1＋1000）×1000÷2＝5005007＋14＋21＋…＋994＝（7＋994）×142÷2＝7107111＋22＋…＋990＝（11＋990）×90÷2＝4504513＋26＋…＋988＝（13＋988）×76÷2＝3803877+154+231+…+924=（77+924）×12÷2=600691+182+273+…+910=（91+910）×10÷2=5005143+286+429+…+858=（143+858）×6÷2=3003500500－71071－45045－38038+6006+5005+3003＝3603608．三張卡片，在它們上面各寫一個數(shù)字（如圖）。從中抽出一張、二張、三張，按任意次序排列起來，可以得到不同的一位數(shù)、二位數(shù)、三位數(shù)。請你將其中的質(zhì)數(shù)都寫出來。解題過程：2、3、13、23、319．一串?dāng)?shù)排成一行，它們的規(guī)律是這樣的：頭兩個數(shù)都是1，從第三個數(shù)開始，每一個數(shù)都是