裂項(xiàng)相消和放縮法解數(shù)列專題

數(shù)列專題3、裂項(xiàng)求和法裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）目的.分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如：通項(xiàng)為分式結(jié)構(gòu)，分母為兩項(xiàng)相乘，型如:數(shù)列。常用裂項(xiàng)形式有：111氣?an+1{a}是d豐0的等差n,1=1(1n(n+1)nn+1n(n+k)knn+k\o"CurrentDocument"11「11~:T-=二[(2n)2(2n-1)(2n+1)=1+2(和-切=—I—]；n(n-1)(n+2)2n(n+1)(n+1)(n+2)11Ja-金)；、、/a+--Jba—b.一=1（（n+k-、'n）特別地：vn+k+xnk、用放縮法證明數(shù)列中的不等式將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小以達(dá)證題目的方法，叫放縮法。常見(jiàn)的數(shù)列不等式大多與數(shù)列求和或求積有關(guān)，其基本結(jié)構(gòu)形式有如下4種：①￡avk（k為常數(shù)）；②Zavf（n）:③Havf（n）:④Havk（k為常數(shù)）.iiiii=1i=1i=1i=1放縮目標(biāo)模型一可求和（積）一等差模型、等比模型、裂項(xiàng)相消模型幾種常見(jiàn)的放縮方法（1）添加或舍去一些項(xiàng)，如:如2+1>|a|；t'n（n+1）>n（2）將分子或分母放大（或縮?。?\n+1—\n偵n+1+\：n11,1(程度大)(n+1)nn+1—^r)(n>2)(程度小)n+1\o"CurrentDocument"11n++…+=v1n+1n+1n+1\o"CurrentDocument"11n1-+——+…+——=2n2n2n\o"CurrentDocument"1111111n1+——+——++——>——+——++—==——=、：n<2<3<ntn?.'n、nvn14411平方型：一=「v——-=2(—--一)；n24n24n2一12n一12n+1\o"CurrentDocument"11111=—(

-1)4n-111①1n2v1n(n-1)_1——n-11—?n1—n2>—n②1n2v1_n2-11(n-1)(n+1)=m1n-1③1n+11++n+21+-n+3??+1——<2n1n+1或-111++n+1n+2n+3+…1'+——2n1>—2nv(2n-1)⑦指數(shù)型:24n2-4n4n(n111—v=9-n3n(n2-1)2(11⑥立方型:<an-bnan-1(a-b)1](n>2)n(n+1)11(a>b>1)；<an-ban-1(a-b)(a>b>1)&k+1-\k=—v—=；■vk+1+M2\；k利用基本不等式，n(n+1)<"+(；+°，如：log3?】g5v(lg3；lg5)2AA(一)放縮目標(biāo)模型可求和一等比數(shù)列或等差數(shù)列1111例如：(1)求證：—+—+—+—H—<1(ngN*).222232n1(2)求證：++2+122+123+111++v1(ngN*).1(3)求證：一-++++2+122+223+32n+nn一v2(ngN*).總結(jié)：放縮法證明與數(shù)列求和有關(guān)的不等式，若才a可直接求和，就先求和再放縮；若不能直接求和的，

ii=1一般要先將通項(xiàng)a^放縮后再求和.問(wèn)題是將通項(xiàng)an放縮為可以求和且“不大不小”的什么樣的bn才行呢？其實(shí)，能求和的常見(jiàn)數(shù)列模型并不多，主要有等差模型、等比模型、錯(cuò)位相減模型、裂項(xiàng)相消模型等實(shí)際問(wèn)題中，型或裂項(xiàng)相消模型.(1)先求和再放縮例1.設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，滿足4Sn=an+i2—4n—1，nEN*，且a2數(shù)列.nnnn12證明：a=J4a+5；求數(shù)列｛；｝的通項(xiàng)公式；n證明：對(duì)一切正整數(shù)n，b大多是等比模n+上+..?+二v1.aa2(2)先放縮再求和例如：求證：1+—+—HH—<2(neN*).TOC\o"1-5"\h\z2232n2\o"CurrentDocument"…11,、例如：函數(shù)f(x)=求證：f⑴+f(2)+…+f(n)>n+——(neN*).例如：函數(shù)f(x)=2n+12例2.設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，滿足22^=3^-2^+1,nE珂*，且叩a2+5,a3成等差數(shù)列.求a1的值；求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；證明：對(duì)一切正整數(shù)n,有—-^+―+-+^<-.ala2a3an2111,總結(jié)：一般地，形如a=an-bn或a=an-b(這里a>b>1)的數(shù)列，在證明一+—++一<k12n

(k為常數(shù))時(shí)都可以提取出an利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將其放縮為等比模型練習(xí)：1.設(shè)數(shù)列｛a｝滿足a。0，a=1，a=(1-2n)aa+a(n>2)，數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和為Snn1nnn-1n-1nn求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式；n一一求證：當(dāng)n>2時(shí)，—--<S<2；6n-5試探究：當(dāng)n>2時(shí)，是否有(乃+原.+])vSnv§？說(shuō)明理由.(3)形如Yavf(n)ii=1例如：設(shè)S=辰+^2^3++.：n(n+1)，求證：+1)vSvn(n+2)(ngN*).n2n2一，…，，一2--—a+b■a2+b2根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特征來(lái)選取所需要的不等式，不等式關(guān)系：一1Jab<—^V,一2一—+—ab注：①應(yīng)注意把握放縮的“度”：上述不等式右邊放縮用的是均值不等式福<坪，若放縮成~7—4寸(n+1)(n+3)(n+1)2就放過(guò)“度”了。疽n(n+1)vn+1，則得SvYk+1=>，=1總結(jié)：形如Yavf(n)的數(shù)列不等式證明：就放過(guò)“度”了。ii=1設(shè)Sn和Ti=1設(shè)Sn和Tn分別為數(shù)列｛an｝和｛bn｝的前n項(xiàng)和，若an基本性質(zhì)，則有SnvJ.要證明不等式￡a,vf(n)，vbn(ngN*)，利用不等式的“同向可加性”這一如果記T=f(n)看作是數(shù)列｛b｝的前n項(xiàng)和，則nni=1b=T-T(n>2)，b=T，那么只要證其通項(xiàng)滿足avb即可.nnn-111nn(二)放縮目標(biāo)模型一可求積放縮法證明與數(shù)列求積有關(guān)的不等式，方法與上面求和相類(lèi)似，只不過(guò)放縮后的：是可求積的模型，能求積的常見(jiàn)的數(shù)列模型是b=鼻(分式型)，累乘后約簡(jiǎn)為Ub=，.nC.i1Cbb+mbb+m姐妹不等式：—>(b>a>0，m>0)和一<(a>b>0,m>0)aa+maa+mTOC\o"1-5"\h\z記憶口訣：“小者小，大者大”，(解釋：看b，若b小，則不等號(hào)是小于號(hào)，反之)。352n-1\o"CurrentDocument"例如：求證：=x^x^x…x一<,一-(neN*).2462n2n+例如:求證：(1+1)(1+1)(1+1)…(1+^—)>12n+1。例如:52n-1總結(jié)：形如Ha=f(n)的數(shù)列不等式證明：設(shè)A和B分別為數(shù)列｛a｝和｛b｝的前n項(xiàng)積，若innnni=10<a”<bn，利用不等式的“正數(shù)同向可乘性”這一基本性質(zhì)，則有An<Bn.要證明不等式^^^a=f(n)，i=1如果記B=f(n)看作是數(shù)列｛b｝的前n項(xiàng)積，則b==(n>2)，b=B，那么只要證其通項(xiàng)滿足nnnB11n-10<a<b即可.例3.已知數(shù)列｛a｝滿足a=2，a=告一2(neN*).n13n+12a—3n，1、，、求證：｛二^丁是等差數(shù)列，并求出｛an｝的通項(xiàng)an；n1證明：對(duì)于neN*，aaa…a<.1-2.3.?n,；n+1(二)添加或舍去一些正項(xiàng)(或負(fù)項(xiàng))若多項(xiàng)式中加上一些正的值，多項(xiàng)式的值變大，多項(xiàng)式中加上一些負(fù)的值，多項(xiàng)式的值變小。由于證明不等式的需要，有時(shí)需要舍去或添加一些項(xiàng)，使不等式一邊放大或縮小，利用不等式的傳遞性，達(dá)到證明的目的。n1aaa例如：已知a=2n-1(neN*)，求證：方-3V廣+才+…+云卜(neN*).TOC\o"1-5"\h\z23n+1例4.已知數(shù)列｛a」的各項(xiàng)為正數(shù)，其前n項(xiàng)和S〃滿足S〃=(巳/)2.\o"CurrentDocument"⑴求a”與?！?i(n>2)之間的關(guān)系式，并求｛a〃｝的通項(xiàng)公式；1〃一11i”(II)求證k+k+…+kV2?S1S2S例5.已知數(shù)列■.::滿足：」'，，.,.-?二呼二"，記■■■'+2iJw-hl求證：數(shù)列是等比數(shù)列；若"?「對(duì)任意“「恒成立，求t的取值范圍；證明：-I土’-4nEN*.(三)固定一部分項(xiàng)，放縮另外的項(xiàng)例6.設(shè)數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和為S.已知a=1,—n—a――n2—n——nn1nnnEN*.求a的值；求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式；n證明：對(duì)一切正整數(shù)n,有11H<—.aaa4練習(xí)：2.設(shè)s=1+-L+_L++，則s的整數(shù)部分是()<2v3v100A.17B.18C.19D.203.已知｛aj3.已知｛aj是各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列，S為其前n項(xiàng)和，且ai=1,求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)?！?；求證：二++…+S3S1(n+1)Sn<2(1—數(shù)列專題3一、裂項(xiàng)求和法裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的.通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如:數(shù)列。常用裂項(xiàng)形式有：1數(shù)列專題3一、裂項(xiàng)求和法裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的.通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如:數(shù)列。常用裂項(xiàng)形式有：111=——:n（n+1）nn+1通項(xiàng)為分式結(jié)構(gòu)，分母為兩項(xiàng)相乘，型如：，｛。｝是d豐0的等差a^an1—1(11)(2n)2，，小,i,、—uJIu)；—1+()；n(n+幻knn+k(2n—1)(2n+1)22n—12n+11n(n一1)(n+2)—2[n(n+1)1(n+1)(n+2)］；v'a+<b.1————1Gn+km）特別地：————<n+1一、：n、:n+k+、：nkn+1+\：n、用放縮法證明數(shù)列中的不等式將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小以達(dá)證題目的方法，叫放縮法。1.常見(jiàn)的數(shù)列不等式大多與數(shù)列求和或求積有關(guān)，其基本結(jié)構(gòu)形式有如下4種:①￡a<k（k為常數(shù)）；②￡a<f（n）:③Ha<f（n）:④Ha<k（k為常數(shù)）.iiiii—1i—1i—1i—1放縮目標(biāo)模型一可求和（積）一等差模型、等比模型、裂項(xiàng)相消模型2.幾種常見(jiàn)的放縮方法（1）添加或舍去一些項(xiàng)，^如"2+1>|a|；.\：n（n+1）>n（2）將分子或分母放大（或縮?。?11—v—111—v—一一n2n(n一1)n一1n1111——>=_一n2n(n+1)nn+1（程度大）11②——vn2n2一11(n一1)(n+1)=2（吉一￡）（〃-2）（程度?。㏕OC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1111111n③+++…+——<++…+=v1n+1n+2n+32nn+1n+1n+1n+11111111n1或+++…+——>——+——+…+———n+1n+2n+32n2n2n2n2n1111111④1+——+——+...+——>——+——++—=\2<3xnt’n\：n<nxn144?11、⑤平方型：n—航v4n^r="百一*r）；——1—v——1————1———上(-^-1(2n一1)24n2一4n4n(n一1)4n一1n111r11一⑥立方型：扁<疝頃=2[(^一1n一布)"〃>2)⑦指數(shù)型:1an—⑦指數(shù)型:1an—bn1an—1(a一b)(a>b>1)；<an一ban—1(a一b)(a>b>1)⑧vk+1-tk=1——=v-^；<k+1+<k2、k⑨利用基本不等式，，.n(n+1)vn+(；+，如：log3-lg5v(lg3；lg5)2AA(一)例如:分析:解析:放縮目標(biāo)模型可求和一等比數(shù)列或等差數(shù)列……1111(1)求證：2+2+2+…+2-<1(nGN*).不等式左邊可用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求和。1(1-—)J左邊二2刀=J_!v12n1-12表面是證數(shù)列不等式，(2)求證：1實(shí)質(zhì)是數(shù)列求和。112~1+1+1HF2^1<1(〃eN*).分析：左邊不能直接求和，須先將其通項(xiàng)放縮后求和，將通項(xiàng)放縮為等比數(shù)列。11]11]1(1-—)];解析：,「^――，二左邊<X+-+^^=—1~――<12n+12n222232n12n1——2123n(3)求證：+++…+v2(ngN*).2+122+223+32n+nnn分析：注意到——v—，將通項(xiàng)放縮為錯(cuò)位相減模型。2n+n2n…lnn—i123n-n+2_解析：2?m<京.?左邊v2+云+客+一+客=2—虧<2總結(jié)：放縮法證明與數(shù)列求和有關(guān)的不等式，若才。可直接求和，就先求和再放縮；若不能直接求和的，

ii=1一般要先將通項(xiàng)a放縮后再求和.n問(wèn)題是將通項(xiàng)an放縮為可以求和且“不大不小”的什么樣的印才行呢？其實(shí)，能求和的常見(jiàn)數(shù)列模型并不多，主要有等差模型、等比模型、錯(cuò)位相減模型、裂項(xiàng)相消模型等實(shí)際問(wèn)題中，b大多是等比模型或裂項(xiàng)相消模型.(1)先求和再放縮例1.設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和為S，滿足4S=a2—4n—1，nEN*，且a數(shù)列.nnnn12證明：%=J4<+5；求數(shù)列｛；｝的通項(xiàng)公式；n證明：對(duì)一切正整數(shù)n，ai4構(gòu)成等比有上+上+...+▲v1.

aaaaaa21223nn+1.解析：(1)當(dāng)n=1時(shí)，4a1=a22—5，Aa22=4a1+5.Van>0，Aa2=』4a、+5.⑵當(dāng)nN2時(shí)，4Sn—1=an2—4(n—1)—1，①；4Sn=an+12—4n—1，②由②一①，得4a=4S—4S=a2—a2—4，.?a2=a2+4a+4=(a+2)2.Va>0，nnn—1n+1nn+1nnnn.??當(dāng)n^2時(shí)，｛aj是公差d=2的等差數(shù)列.?.?氣，氣，氣構(gòu)成等比數(shù)列，a52=a2?a^，(a2+6)2=a?，停?*24)，解得a?=3.由(1)可知，4a=a2—5=4，?a=1.Va—a=3—1=2，?｛a｝是首項(xiàng)a=1，公差d=2的等差數(shù)列.?.?數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式為a=2n—1.21n1/、1n11n11⑶一aa12??氣+1=an+2,1—X2+——aa一++="1x3aa211)3n(11"n+1(11"1—3)+———V35)+V5——-7)???+1+3X5+5X7+~+(2n_1).(2n+1)^~7-^77]V2n—12n+1)_\/1\1^—7V2n+1J總結(jié)：(3)問(wèn)左邊可用裂項(xiàng)相消法求和，先求和再放縮，表面是證數(shù)列不等式，實(shí)質(zhì)是數(shù)列求和。(2)先放縮再求和TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"例如：求證：1+—+—+…+—<2(ngN*).2232n2分析：左邊不能求和，應(yīng)先將通項(xiàng)放縮為裂項(xiàng)相消模型后求和，保留第一項(xiàng)，從第二項(xiàng)開(kāi)始放縮?！?111解析：.—<=—(n—2)n2n(n—1)n—1n11111..?左邊V1+(1__)+(-—-)+…+(——一_)=1+1__<2(n—2)\o"CurrentDocument"23n—1nn當(dāng)n=1時(shí)，不等式顯然也成立.x11例如：函數(shù)f(x)=—，求證：f(1)+f(2)+…+f(n)>n+——八(ngN*).1+4x2n+12分析：此題不等式左邊不易求和，此時(shí)根據(jù)不等式右邊特征，先將分子變?yōu)槌?shù)，再對(duì)分母進(jìn)行放縮，從而對(duì)左邊可以進(jìn)行求和.若分子，分母如果同時(shí)存在變量時(shí)，要設(shè)法使其中之一變?yōu)槌Ａ浚质降姆趴s對(duì)于分子分母均取正值的分式，如需放大，則只要把分子放大或分母縮小即可；如需縮小，則只要把分子縮小或分母放大即可。證明：]\fw=[+4"2-2'得/(1)(2)(n)>i-1-1-+■■-1-1,例2.設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，滿足況廣己血-2兇+1,/，且叩a2+5,a3成等差數(shù)列.求a1的值；求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有—-^+―+--H^<^|.ala2a3an2解：(1)在2Sn=an+1-2n+1+1中，令n=1得：2S「a2-22+1，令n=2得：2S2=a3-23+1，解得：a2=2a1+3，a3=6a1+13，又2(a2+5)=a1+a3解得a1=1(2)由2Sn=an+1-2n+1+1，S招1二己職一2展+1得an+2=3an+1+2n+1，又a1=1，a2=5也滿足a2=3a1+21，所以an+1=3an+2n對(duì)n(N*成立，0an+1+2n+1=3(an+2n)，又a1=1，a1+21=3，0an+2n=3n，0an=3n-2n；(3)分析：(3)左邊不能直接求和，考慮將通項(xiàng)放縮后求和。利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性放縮為等比模型。

當(dāng)n>2時(shí)總結(jié)：一般地，形如a=an—bn或a=an—b(這里a>b21)的數(shù)列，在證明—+—++—<knnaaa(k為常數(shù))時(shí)都可以提取出an利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將其放縮為等比模型.n練習(xí)：當(dāng)n>2時(shí)1.設(shè)數(shù)列｛a｝滿足a。0，a=1，a=(1—2n)aa+a(n>2)，數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和為Snn1nnn—1n—1nn求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式；n一一求證：當(dāng)n>2時(shí)，-—1<Sn<2；⑶試探究：當(dāng)心2時(shí)，是否有(n+J；+1)<5計(jì)<3？說(shuō)明理由.解：(1)■■■an7^0■■-細(xì)乏||--2).&(1-：山l“花"科一：即—即有又—=1也通合上式，

(ri-11J即需如+1>6,顯然設(shè)在h法3時(shí)成豆也成立〔甘一1)⑵什1〕即當(dāng)時(shí)，;(M-1jC2j?+1j益上所述：條丸時(shí)，有(3)形如^a<f(n)ii=1例如：設(shè)S=\作+v元3++En+1)，求證：n(n+1)<S即—即有又—=1也通合上式，(ri-11J即需如+1>6,顯然設(shè)在h法3時(shí)成豆也成立〔甘一1)⑵什1〕即當(dāng)時(shí)，;(M-1jC2j?+1j益上所述：條丸時(shí)，有分析不等式形姑左、右兩邊面式子都是某i=l等差數(shù)列的和，因此考慮將通項(xiàng)血而放縮為笠差摸型后求和，懸路"冷淄+屋…頃L=b『+么十么+…+九虬=勺+勺+烏+…+4顯然不等式的中間是數(shù)列<=S+1)的前點(diǎn)項(xiàng)和，設(shè)為島，要證7；<S&<Rn,則只要證么<ati<c/t即可.利用公式知=二一二_血之2)易得：bit=nT同理cn-n+—,因此，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為只要證,Y伽"1)5+：證明二捋!12$k<反+后+…+Jg+1)?1一_心+2)虹I22_,-…，…，，一2--■―a+b、a2+b2根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特征來(lái)選取所需要的不等式，不等式關(guān)系：一i<<ab<—^V：一2一—+—aba+b注：①應(yīng)注意把握放縮的“度”：上述不等式右邊放縮用的是均值不等式Mb<——，若放縮成?Jm(n+1)vn+1，則得Sn<Y勺+1=("+；n+3)>(n；1)2，就放過(guò)“度”了。i=1

總結(jié)：形如8。<f(n)的數(shù)列不等式證明：ii=1設(shè)Sn和Tn分別為數(shù)列｛氣｝和｛bn｝的前n項(xiàng)和，若an<bn(neN*)，利用不等式的“同向可加性”這一基本性質(zhì)，則有Sn<J.要證明不等式￡a、<f(n)，如果記孔=f(n)看作是數(shù)列｛b〃｝的前n項(xiàng)和，則i=1b=T-T(n>2)，b=T，那么只要證其通項(xiàng)滿足a<b即可.nnn-111nn(二)放縮目標(biāo)模型一可求積放縮法證明與數(shù)列求積有關(guān)的不等式，方法與上面求和相類(lèi)似，只不過(guò)放縮后的bn是可求積的模型，能求積的常見(jiàn)的數(shù)列模型是b=鼻(分式型)，累乘后約簡(jiǎn)為Ub=%.nC.]iCbb+秫一bb+m姐妹不等式：—>(b>a>0，m>0)和一<(a>b>0,m>0)aa+maa+m記憶口訣：“小者小，大者大”，(解釋：看b，若b小，則不等號(hào)是小于號(hào)，反之)?！觥?neN*)\2n+152n-1例如：求證：廠x^x^x…x一v思路2462n■—(neN*)\2n+1思路利用公式二—(州>2),每=易得：btt-Br-\2n-l因此，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為只要證"—<左邊<2/z-l2h+12/1+1例如：求證：(1+1)(1+：)(1+：)…(1+^^)fn+1。2n-l因此，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為只要證"—<左邊<2/z-l2h+12/1+152n一1濁I利用齦分?jǐn)?shù)的一儼脫空、空蘭＞4或＞Q)可得a口十町12162w357135-1246InTOC\o"1-5"\h\z#—r=_._—(2^+1}n[—?—?—)13S2w-l246由242卯I352^-1罪(1+1)(1+—XI+~)■11(I■+■)＞■+lh總結(jié)：形如Ua=f(n)的數(shù)列不等式證明：設(shè)A和B分別為數(shù)列｛a｝和｛b｝的前n項(xiàng)積，若

innnni=10vanvbn，利用不等式的“正數(shù)同向可乘性”這一基本性質(zhì)，則有AnvB『要證明不等式Ua‘=f(n)，i=1如果記B=f(n)看作是數(shù)列｛b｝的前n項(xiàng)積，則b=云_(n>2)，b=B，那么只要證其通項(xiàng)滿足nnnB11n-10vavb即可.2a—2例3.已知數(shù)列｛叩滿足。廣3,氣廣E（n-N*）.n，1、一，.，，，…十（1）求證：｛——-｝是等差數(shù)列，并求出｛a｝n，1、一，.，，，…十（1）求證：｛——-｝是等差數(shù)列，并求出｛a｝的通項(xiàng)a；a-1（2）證明：對(duì)于ngN*、T證明：(1)由a-=!，^n+"=\,-r舊1iIf司信平，■■一1二-1=77'由曠3*曠311_-2?1aaa…av.1-2.3.?n<：n+1<n^N)■即有T二—7"混：-1山T貝11有｛土｝是首成為-3,公■差為2的等差數(shù)列，口曠1即有=-3-2Cn-1，“曠1⑵令…3崢挎.?備2}?由于M-L2折十2miL—357:抒一146S2??-F2n04Sf1?-1即有#-一._L34SS島-iH_12彩一2一川-L5即為』科一1則原不等式成立.（二）添加或舍去一些正項(xiàng)（或負(fù)項(xiàng)）若多項(xiàng)式中加上一些正的值，多項(xiàng)式的值變大，多項(xiàng)式中加上一些負(fù)的值，多項(xiàng)式的值變小。由于證明不等式的需要，有時(shí)需要舍去或添加一些項(xiàng)，使不等式一邊放大或縮小，利用不等式的傳遞性，達(dá)到證明的目的。n1aa例如：已知a=2n一1(ngN*)，求證：二—^v—+—+…+n231a—(ngN*).a證明:n+1—1一22(2*T—1)n1a〃ah<—1-F—+…丁一^<—5wN）.23%%與+]2本題在放縮時(shí)舍去了2k—2，從而使和式得到了化簡(jiǎn)。例4.已知數(shù)列｛七｝的各項(xiàng)為正數(shù)，其前n項(xiàng)和S〃滿足S〃=（壬旦）2.⑴求氣與氣1（n>2）之間的關(guān)系式，并求｛七｝的通項(xiàng)公式；（II）求證：+-1++-1v2.TOC\o"1-5"\h\zSSS解己（I）=-\o"CurrentDocument"而4Sn_j=［an_~?，得唱n二％一一羸曠［一?―］一一*，*一占二1一2（?十獨(dú)-1）=臼=3?廠叫-1）（的廠?-「2）=臼，..?描異是公差肚2的等差數(shù)列，'■■4也二（口1-1）'，■■-如三1，■'■an=2n~1.（II）VS?J=??2?=_J_*1，…我P22例5.已知數(shù)列<::滿足：門(mén)-，：，-"*=「?二”，記七一"ciM+2曰（I）求證：數(shù)列『.：是等比數(shù)列；（II）若，T對(duì)任意"；.?「：恒成立，求t的取值范圍；（III）證明：?I*2'-解：（I）證明：由a=蘭三得n+1a+2n23a+22a-2n+1a+2a+2a+1=3^+1=40412n+1a+2a+2:.芻+^2=1?二即b=1b，

a+1+14a+1n+14n且b1a—21=——=-a1+14..?數(shù)列勺是首項(xiàng)為4，公比為4的等比數(shù)列(II)由(1)可知b二1(1)〃-1=—二^2...a=1+2""n444na+1n4n-1nC1c1n2+2+-由a<t?4n得t>1,24=―紅，易得一也是關(guān)于n的減函數(shù)n(4n-1)4n4n-14n-12+—2+1―<—4=3,.?.t>-4n-14-1442?4n+1c3C3(m)an="7TT=2+E<2+4n,小3、g..a1+a2+…+an<(2+4)+(2+4233333)+…+(2+—)=2n+(—+—+…+—)4n4424n1-(!)n12n+卜=2n+1-(一)n<2n1-144得證(三)固定一部分項(xiàng)，放縮另外的項(xiàng)例6.設(shè)數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和為Sn.已知a1=1,—n=a—_n2—n—_，n^N*.nn+133求a的值；求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式；n1117證明：對(duì)一切正整數(shù)n,有一+—++—＜.\o"CurrentDocument"aaa41212"…解：(1)依題意，2S]=a2一^—1—尋，又Si=ai=1,所以a2=4.(2)當(dāng)nN2時(shí)，2S=na—-n3—n2^—n，2S=(n—1)a—上(n—1)3—(n—1)2—2(n—1)，nn+133n—1n3312兩式相