解析幾何與微分幾何SECTION9

§9空間曲線一、曲線的基本概念與公式［曲線的方程與正向］曲線方程的形式曲線的正向交面式〈參數(shù)式，U為任矢量式J（頃）=[F(3,Z)=O中0,y,z)=oX=x(t)X=x(s)y=y(O或<y=y(s).z=z(/)[z=z(s):意參數(shù)，s為曲線的弧長)r=r(，域/?=，($)x(0i+y(t)j+Z(0k,t,s同上)，（或s）增加時，曲線上一點運動的方向［活動標(biāo)架的三個單位矢量］t為單位切線矢量,方向與曲線的正向一致；〃為單位主法線矢量，它指向曲線的凹方;b為單位副法線矢量,b=tx〃.mb構(gòu)成右手系（圖7.18）.這三個矢量稱為曲線在點M的活動標(biāo)架（或叫動標(biāo)三面形、伴隨三面形，也叫活動標(biāo)形）.［活動標(biāo)架所在直線和平面的方程］設(shè)M為（xogo）（圖7.18）.1°切線過曲線上兩點N,M的直線NM,當(dāng)N-M時的極限位置.其方程為參數(shù)式匕旦=匚^=二^（以/為參數(shù)）X。光Zo式中x0表示11在點M0O,），O,ZO）處的值，等等.參數(shù)-可以取為弧長s,這時用,i-0表示必，笙笙dr矢量式r=rQ+Af（以t為參數(shù)）式中*表示半在點Wo,vo,zo）處的值，2為另一個參數(shù).at交面式式中F表示？在M點的值，等等.2。法面與切線垂直的平面（通過M的法面上一切直線都稱為曲線在M的法線）.其方程為參數(shù)式X。Qf））+y00小）+Z。（z-zo）=o（以t為參數(shù)）式中也可取弧長s為參數(shù).矢量式（r-ro）r=0（以，為參數(shù)）x-x。y—），oZ-Z。交面式F、F、.F.=0?o*0①、。①x%）3°密切面通過曲線上三點M,P,N作一平面，當(dāng)N,PtM時，平面的極限位置（切線在密切面上）.其方程為工一孔）?-JoZ—Zo參數(shù)式％j0舄=0（以f為參數(shù)）%9oZo式中X。表示學(xué)在M點的值，等等，參數(shù)，也可取為弧長S.df-矢量式（（5）戶。"）=0（以t為參數(shù)）4。主法線法面與密切面的交線.其方程為參數(shù)式光Z。ZoAo*0y0mnnIImif一>f-.vo-z-z。（以/為參數(shù)）式中1=%zo2參數(shù)式光Z。ZoAo*0y0mnnIImif一>f-.vo-z-z。（以/為參數(shù)）式中1=%zo2。萬*0jo，m=,n=y0z°z。X。禮JoX-X。（以S為參數(shù)）*表示掃在點心的值，等笙ds-矢量式r=ro^AfQx（rQxr0）r=ro十〃"式中人為另一個參數(shù).5。副法線垂直于密切面的直線.其方程為參數(shù)式（以/為參數(shù)）（以S為參數(shù)）二^=（以/為參數(shù)）Imn式中頃J1如（1）式定義.矢量式roFo+m。x%）（以，為參數(shù)）6。從切面通過切線與副法線的平面.其方程為Imn席（s&）+如）」無）+1愆-私）=0（以s為參數(shù)）矢量式（（r-r0）r0（r0xro））=0（以，為參數(shù)）（，-尸。）片=0（以$為參數(shù)）［曲率與撓率的定義與公式］公式與意義1Sn*MNds曲率半徑1k表示包含點M的部分曲線偏離直線的程度，也是切線方向?qū)τ诨￠L的轉(zhuǎn)動率時=血】|旦，亞=|婦I1^\MN\ds11撓率半徑n*MNds曲率半徑1k表示包含點M的部分曲線偏離直線的程度，也是切線方向?qū)τ诨￠L的轉(zhuǎn)動率時=血】|旦，亞=|婦I1^\MN\ds11撓率半徑1r=—KX表示包含點M的部分曲線偏離平面曲線的程度.K=0的曲線是平面曲線.時是曲線在點M撓率爪的絕對值，它等于副法線方向?qū)τ诨￠L的轉(zhuǎn)動率.撓率x的符號：當(dāng)點M沿曲線的正向移動時，矢量祟與〃反向，ds則K取正號，反之取負(fù)號（圖向）(b)［曲率與撓率的計算公式］1°曲率參數(shù)式（尸+尹+日3矢量式2。撓率的絕對值參數(shù)式矢量式k=Jx〃2+y〃2+廣（以S為參數(shù)）W或罕（以5k=\rn\（以s為參數(shù)）xyZx（尸+尹+日3矢量式2。撓率的絕對值參數(shù)式矢量式k=Jx〃2+y〃2+廣（以S為參數(shù)）W或罕（以5k=\rn\（以s為參數(shù)）xyZxyzxyzk-(x2+)「+3)3Vy'z'X")，〃z”X”ymZm"7ft\x^+y+z|(沂)||(g)|對叮(rxr)~|中略

k-（以，為參數(shù)）（以s為參數(shù)）（以，為參數(shù)）（以S為參數(shù)）式中s為弧長，t為任意參數(shù)，〃”’表示對s求導(dǎo)，〃?〃表示對t求導(dǎo)［雪列-弗萊納公式（或基本公式）］dZndn-tb（\bn—I■dsp'dspT'dsT式中mb為活動標(biāo)架的三個基本單位矢量w為曲率半徑《為撓率半徑.這組公式的特點就是基本矢量頃力關(guān)于弧長s的導(dǎo)數(shù)可以用，,〃力的線性組合來表達(dá)，它的系數(shù)組成一個反對稱方陣：p

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p【o0T這組公式與宜=t合并起來描述了點M在曲線上移動時活動標(biāo)架的運動規(guī)律.ds把活動標(biāo)架看作一個剛體，就是當(dāng)M沿曲線移動時，M的活動標(biāo)架好象剛體那樣繞M轉(zhuǎn)動.這時把s看作時間，則根據(jù)運動學(xué)的原理可以得出活動標(biāo)架的瞬時轉(zhuǎn)動速度的表達(dá)式為C0=Kt+Kb這表明轉(zhuǎn)動矢量落在從法面上.這個瞬時轉(zhuǎn)動矢量稱為達(dá)布矢量.它僅分解為兩個矢量和Kb，因此活動標(biāo)架的瞬時轉(zhuǎn)動可以看作兩個轉(zhuǎn)動之和.一個轉(zhuǎn)動對應(yīng)于?，按轉(zhuǎn)動速度的定義,它繞著方向為心的軸轉(zhuǎn)動；另一個繞著方向為M的軸轉(zhuǎn)動.因此得到曲率與撓率的運動學(xué)意義：曲線的曲率等于活動標(biāo)架繞著副法線的轉(zhuǎn)動支量，撓率等于繞著切線的轉(zhuǎn)動支量.最后，由口=沖+炒可以驗證，空間曲線的雪列-弗萊納公式就是rd/——=a）xtdsd〃——=fijxndsdb「——=a）xbds這就是雪列-弗萊納公式的運動學(xué)意義.［基本定理與自然方程］在一閉區(qū)間a<s<b上給定任意兩個連續(xù)函數(shù)雄）和k（s）,其中輪）>0，則除了空間的位置差別外，唯一地存在一條空間曲線，它以s為弧長，可雄）為曲率,K⑸為撓率.方程組k=k（s）,k=k（s）稱為空間曲線的自然方程.二、螺旋線的方程與圖形［一般螺旋線］與柱面母線的交角為定角（。）的空間曲線稱為一般螺旋線（或定傾曲線）.這種曲線具有性質(zhì)：1°曲率與撓率的比等于常數(shù)伙小血】。）.2°切線與一固定方向的交角為定角（。）.3。主法線與一固定方向垂直.4。副法線與一固定方向的交角為定角

［圓柱螺旋線］一動點繞一直線作等速轉(zhuǎn)動，并沿這直線作等速移動，則稱這個動點的軌跡為圓柱螺旋線（圖7.19）,其參數(shù)方程為x=acQsO<y=osin。Z=土b。==±oQcot/72勿式中。=以，”為角速度，h稱為螺距"稱為螺旋角，式中對右螺旋線取正號，對左螺旋線取負(fù)號，如果以弧長S為參數(shù),其方程為圖7.19x=acos—==yla2+b2?s

=asui-.圖7.19Ja2+b2bsZ=±t=曲率與撓率都是常數(shù)：k=—^,爪==

a2+b2a2+b［圓錐螺旋線］與一圓錐面母線的交