導(dǎo)學(xué)案 向量加法運(yùn)算及其幾何意義

向量加法運(yùn)算及其幾何意義自主學(xué)習(xí)知識(shí)梳理1．向量加法的定義求____________的運(yùn)算，叫做向量的加法．兩個(gè)向量的和仍然是一個(gè)向量．2．向量的加法法則(1)三角形法則如圖所示，已知非零向量a，b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，則向量__________叫做a與b的和(或和向量)，記作__________，即a＋b＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝________.上述求兩個(gè)向量和的方法，叫做向量加法的三角形法則．對(duì)于零向量與任一向量a的和有a＋0＝______＋______＝______.(2)平行四邊形法則如圖所示，已知兩個(gè)不共線向量a，b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則O、A、B三點(diǎn)不共線，以________，________為鄰邊作______________，則對(duì)角線上的向量________＝a＋b，這個(gè)法則叫做兩個(gè)向量求和的平行四邊形法則．(3)多邊形法則已知n個(gè)向量，依次把這n個(gè)向量首尾相連，以第一個(gè)向量的______為始點(diǎn)，第n個(gè)向量的________為終點(diǎn)的向量叫做這n個(gè)向量的和向量．即eq\o(A1A2,\s\up6(→))＋eq\o(A2A3,\s\up6(→))＋…＋eq\o(AnA,\s\up6(→))n＋1＝__________.這個(gè)法則叫做向量求和的多邊形法則．3．向量加法的運(yùn)算律(1)交換律：a＋b＝__________.(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝__________.自主探究根據(jù)向量加法的三角形法則完成下列填空．當(dāng)向量a與b__________時(shí)，總有：|a＋b|<|a|＋|b|.當(dāng)向量a與b____________時(shí)，總有：|a＋b|＝|a|＋|b|.當(dāng)向量a與b__________時(shí)，總有：|a＋b|＝||a|－|b||.此時(shí)，若|a|≥|b|，則有|a＋b|＝____________；若|a|≤|b|，則有|a＋b|＝__________.總之，對(duì)于任意向量a、b，總有：______________≤|a＋b|≤__________.對(duì)點(diǎn)講練知識(shí)點(diǎn)一運(yùn)用向量加法法則作和向量例1如圖所示，已知向量a、b，求作向量a＋b.回顧歸納作兩向量和，若用三角形法則，要保持兩向量“首尾相接”；若用平行四邊形法則，要保持兩向量的起點(diǎn)相同．變式訓(xùn)練1如圖所示，已知向量a、b、c，試作和向量a＋b＋c.知識(shí)點(diǎn)二運(yùn)用向量加法法則化簡(jiǎn)和向量例2化簡(jiǎn)：(1)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))；(2)eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))；(3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→)).回顧歸納解決該類題目要靈活應(yīng)用向量加法運(yùn)算律，注意各向量的起、終點(diǎn)及向量起、終點(diǎn)字母排列順序．變式訓(xùn)練2如圖，在平行四邊形ABCD中，O是AC和BD的交點(diǎn)．(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝________；(2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DO,\s\up6(→))＝________；(3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝________；(4)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝________.1．三角形法則和平行四邊形法則都是求向量和的基本方法，兩個(gè)法則是統(tǒng)一的．當(dāng)兩個(gè)向量首尾相連時(shí)常選用三角形法則，當(dāng)兩個(gè)向量共始點(diǎn)時(shí)，常選用平行四邊形法則．2．向量的加法滿足交換律和結(jié)合律，因此在進(jìn)行多個(gè)向量的加法運(yùn)算時(shí)，可以按照任意的次序和任意的組合去進(jìn)行.課時(shí)作業(yè)一、選擇題1．如圖，在平行四邊形ABCD中，O是對(duì)角線的交點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是()\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))2．在四邊形ABCD中，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，則()A．四邊形ABCD一定是矩形B．四邊形ABCD一定是菱形C．四邊形ABCD一定是正方形D．四邊形ABCD一定是平行四邊形3．已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，則eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))的模等于()A．0 B．5\r(13) D．2eq\r(13)4.如圖所示，在平行四邊形ABCD中，eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))等于()\o(BD,\s\up6(→)) \o(DB,\s\up6(→))\o(BC,\s\up6(→)) \o(CB,\s\up6(→))5.如圖所示，在正六邊形ABCDEF中，若AB＝1，則|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))|等于()A．1 B．2C．3 D．2eq\r(3)二、填空題6．已知|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝5，則|eq\o(AC,\s\up6(→))|的取值范圍是________．7．已知點(diǎn)G是△ABC的重心，則eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝________.8．設(shè)E是平行四邊形ABCD外一點(diǎn)，如圖所示，化簡(jiǎn)下列各式：(1)eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＝________；(2)eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＝______；(3)eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))＝______；(4)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝______.三、解答題9．一艘船以5km/h的速度向垂直于對(duì)岸方向行駛，航船實(shí)際航行方向與水流方向成30°角，求水流速度和船實(shí)際速度．10．求證：三角形的三條中線構(gòu)成的向量首尾相連正好構(gòu)成一個(gè)三角形．2．向量加法運(yùn)算及其幾何意義答案知識(shí)梳理1．兩個(gè)向量和2．(1)eq\o(AC,\s\up6(→))a＋beq\o(AC,\s\up6(→))0aa(2)OAOB平行四邊形eq\o(OC,\s\up6(→))(3)始點(diǎn)終點(diǎn)A1An＋13．(1)b＋a(2)a＋(b＋c)自主探究不共線共線且同向共線且反向|a|－|b||b|－|a|||a|－|b|||a|＋|b|對(duì)點(diǎn)講練例1解方法一在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，如圖1所示，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，則eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b.圖1圖2方法二在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，如圖2所示，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，以O(shè)A、OB為鄰邊作?OACB，連接OC，則eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b.變式訓(xùn)練1解如圖所示，首先在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，接著作向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，則向量eq\o(OB,\s\up6(→))就是a＋c，即eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋c，然后作向量eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，則向量eq\o(OC,\s\up6(→))＝a＋b＋c為所求和向量．例2解(1)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).(2)eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝0.(3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝0.變式訓(xùn)練2(1)eq\o(AC,\s\up6(→))(2)eq\o(AO,\s\up6(→))(3)eq\o(AD,\s\up6(→))(4)0課時(shí)作業(yè)1．C2．D[∵eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，即BC綊AD.∴四邊形ABCD是平行四邊形．]3．D[|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2eq\r(AB2＋BC2)＝2eq\r(13).]4．C[eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→)).]5．B[|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝2.]6．[2,8]解析|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))|≤|eq\o(AB,\s\up6(→))|＋|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝8，且|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))|≥||eq\o(AB,\s\up6(→))|－|eq\o(BC,\s\up6(→))||＝2.∴2≤|eq\o(AC,\s\up6(→))|≤8.7．0解析如圖所示，連接AG并延長(zhǎng)交BC于E點(diǎn)，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AE到D點(diǎn)，使GE＝ED，則eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝eq\o(GD,\s\up6(→))，eq\o(GD,\s\up6(→))＋eq\o(GA,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0.8．(1)eq\o(DA,\s\up6(→))(2)0(3)eq\o(DB,\s\up6(→))(4)eq\o(DC,\s\up6(→))9．解如圖所示，eq\o(OA,\s\up6(→))表示水流速度，eq\o(OB,\s\up6(→))表示船垂直于對(duì)岸的方向行駛的速度，eq\o(OC,\s\up6(→))表示船實(shí)際航行的速度，∠AOC＝30°，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝5km/h.∵四邊形OACB為矩形，∴|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝eq\f(|\o(AC,\s\up6(→))|,tan30°)＝5eq