導(dǎo)學(xué)案：向量的數(shù)量積

.向量的數(shù)量積目標(biāo)導(dǎo)航學(xué)習(xí)目標(biāo)重點(diǎn)、難點(diǎn)1．能記住向量數(shù)量積的定義；2．能說(shuō)出向量數(shù)量積的運(yùn)算律；3．能進(jìn)行向量數(shù)量積的運(yùn)算，會(huì)求兩個(gè)向量的數(shù)量積及夾角.重點(diǎn)：向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算；難點(diǎn)：向量數(shù)量積的運(yùn)算；疑點(diǎn)：向量數(shù)量積與實(shí)數(shù)乘法以及向量與實(shí)數(shù)相乘的區(qū)別.預(yù)習(xí)導(dǎo)引1．向量的數(shù)量積(1)定義：設(shè)a，b是任意兩個(gè)向量，〈a，b〉是它們的夾角，取值范圍是[0，π]，則定義a·b＝|a||b|cos〈a，b〉稱(chēng)為a與b的數(shù)量積．(2)兩個(gè)向量的數(shù)量積是實(shí)數(shù)而不是向量．(3)數(shù)量積a·b也稱(chēng)為a與b的內(nèi)積．(4)數(shù)量積a·b一定要在a與b之間用一點(diǎn)“·”表示，因此也稱(chēng)為“點(diǎn)積”或“點(diǎn)乘”，不能將a·b寫(xiě)成a×b或ab.(5)向量a，b的夾角規(guī)定為a，b之間所夾的最小非負(fù)角，用〈a，b〉表示，其取值范圍規(guī)定為[0，π]，且有〈a，b〉＝〈b，a〉．(6)如果a，b共線，則有a·b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|a||b|，當(dāng)a，b方向相同；,－|a||b|，當(dāng)a，b方向相反.))(7)當(dāng)a，b之中有一個(gè)為零時(shí)，它們的夾角〈a，b〉沒(méi)有確定的值，但a，b仍有確定的值0，即a·b＝0.預(yù)習(xí)交流1向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，它的正負(fù)與什么有關(guān)？提示：由a·b＝|a||b|cos〈a，b〉知，當(dāng)a·b＞0時(shí)，〈a，b〉∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))；當(dāng)a·b＜0時(shí)，〈a，b〉∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))；當(dāng)a·b＝0時(shí)，〈a，b〉＝eq\f(π,2)，因此a·b取值的正負(fù)由這兩個(gè)向量的夾角所決定．預(yù)習(xí)交流2由a·b＝0一定能推出a或b是零向量嗎？提示：不一定，當(dāng)a·b＝0時(shí)，可能有a≠0，b≠0，而〈a，b〉＝eq\f(π,2)，此時(shí)a⊥b.預(yù)習(xí)交流3在△ABC中，與的夾角是什么？與的夾角等于B嗎？提示：〈，〉＝A，但〈，〉≠B，而是〈，〉＝π－B，一定要注意向量的方向．2．向量數(shù)量積的運(yùn)算律數(shù)量積滿足如下的運(yùn)算律：(1)交換律：a·b＝b·a，對(duì)任意向量a，b成立；(2)與數(shù)乘的結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)，對(duì)任意向量a，b和實(shí)數(shù)λ成立；(3)分配律(distributivelaw)：(a＋a′)·b＝a·b＋a′·b，對(duì)任意向量a，a′，b成立．預(yù)習(xí)交流4實(shí)數(shù)運(yùn)算中滿足消去律，即若a，b，c為實(shí)數(shù)，當(dāng)b≠0時(shí)，由ab＝bc可得a＝c；那么在數(shù)量積運(yùn)算中，當(dāng)a，b，c為向量，且b≠0時(shí)，由a·b＝b·c能否可得a＝c?提示：對(duì)于向量的數(shù)量積，該推理不正確，即a·b＝b·ca＝c.由圖很容易看出，雖然a·b＝b·c，但a≠c.預(yù)習(xí)交流5向量的數(shù)量積運(yùn)算是否滿足結(jié)合律(a·b)c＝a(b·c)呢？提示：對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，c有(ab)c＝a(bc)；但對(duì)向量a，b，c，(a·b)c＝a(b·c)未必成立，這是因?yàn)?a·b)c表示一個(gè)與c共線的向量，而a(b·c)表示一個(gè)與a共線的向量，而c與a不一定共線，所以(a·b)c＝a(b·c)未必成立．自我感悟在預(yù)習(xí)中，還有哪些問(wèn)題需要你在聽(tīng)課時(shí)加以關(guān)注？請(qǐng)?jiān)谙铝斜砀裰凶鰝€(gè)備忘吧！我的學(xué)困點(diǎn)我的學(xué)疑點(diǎn)問(wèn)題導(dǎo)學(xué)一、向量的夾角問(wèn)題活動(dòng)與探究1在正方形ABCD中，兩對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，求：(1)與的夾角；(2)與的夾角；(3)與的夾角；(4)與的夾角．思路分析：按照向量夾角的定義，以及正方形的性質(zhì)求解．解：(1)，反向共線，故〈eq\x\to(AB)，〉＝π；(2)〈，〉＝∠BAC＝eq\f(π,4)；(3)與垂直，故〈，〉＝eq\f(π,2)；(4)〈，〉＝π－〈，〉＝π－eq\f(π,4)＝eq\f(3π,4).遷移與應(yīng)用在等邊△ABC中，求(1)〈，〉；(2)〈，〉；(3)〈，〉．解：(1)〈，〉＝eq\f(π,3)；(2)〈，〉＝π－〈，〉＝eq\f(2π,3)；(3)〈，〉＝〈，〉＝eq\f(π,3).名師點(diǎn)津求兩個(gè)向量的夾角時(shí)，一定要注意向量的方向，通常把兩個(gè)向量平移到共同的起點(diǎn)，再求它們之間的夾角．二、向量數(shù)量積的計(jì)算活動(dòng)與探究2已知|a|＝4，|b|＝5，當(dāng)(1)a∥b，(2)a⊥b，(3)a與b的夾角為30°時(shí)，分別求a與b的數(shù)量積．思路分析：已知|a|與|b|，求a·b，只需確定其夾角θ.注意當(dāng)a∥b時(shí)，有θ＝0°和θ＝180°兩種可能．解：(1)a∥b，若a與b同向，則θ＝0°，a·b＝|a||b|cos0°＝4×5＝20；若a與b反向，則θ＝180°，∴a·b＝|a||b|cos180°＝4×5×(－1)＝－20.(2)當(dāng)a⊥b時(shí)，θ＝90°.∴a·b＝|a||b|cos90°＝0.(3)當(dāng)a與b的夾角為30°時(shí)，a·b＝|a||b|cos30°＝4×5×eq\f(\r(3),2)＝10eq\r(3).遷移與應(yīng)用1．已知a·b＝6eq\r(2)，|a|＝3，a和b的夾角為45°，則|b|＝________.答案：4解析：由題意知6eq\r(2)＝3|b|cos45°，∴|b|＝4.2．在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，·＝______.答案：4解析：依題意||＝2eq\r(2)，||＝2，〈，〉＝eq\f(π,4)，于是·＝2eq\r(2)×2×coseq\f(π,4)＝4.名師點(diǎn)津求兩個(gè)向量數(shù)量積的關(guān)鍵是求出兩個(gè)向量的模以及它們之間的夾角，然后利用數(shù)量積的定義進(jìn)行計(jì)算．三、利用數(shù)量積求兩個(gè)向量的夾角活動(dòng)與探究3在等腰△ABC中，已知AB=AC=6，·=－18，求∠B的大?。悸贩治觯合扔蓴?shù)量積的定義求出∠A的大小，再求∠B．解：因?yàn)椤?||·||·cos〈，〉=6×6×cosA=36cosA．所以36cosA=－18.所以cosA=.因此∠A=120°，于是∠B==30°.即∠B等于30°.遷移與應(yīng)用已知向量a，b滿足|a|＝2，|b|＝2，且a·b＝2eq\r(2)，則a與b的夾角為()A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,3)D．eq\f(π,2)答案：B解析：設(shè)向量a與b的夾角為θ.∵a·b＝|a||b|cosθ，∴cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(2\r(2),2×2)＝eq\f(\r(2),2).∴θ＝eq\f(π,4).名師點(diǎn)津求兩個(gè)向量的夾角的關(guān)鍵是求出兩個(gè)向量的模以及它們的數(shù)量積，利用數(shù)量積的定義式求出夾角的余弦，再求夾角，注意夾角的取值范圍．當(dāng)堂檢測(cè)1．在邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC中，·＝()A．eq\f(\r(3),2)B．－eq\f(\r(3),2)C．eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2)答案：C解析：·＝1×1×cos60°＝eq\f(1,2).2．若|a|＝|b|＝2，且a·b＝2，則a與b的夾角為()A．180°B．90°C．60°D．0°答案：C解析：設(shè)a與b的夾角為θ，則a·b＝2×2×cosθ＝2，∴cosθ＝eq\f(1,2).又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝60°.3．對(duì)非零向量a，b，若a·b＝－|a||b|，則必有()A．a(chǎn)＝bB．|a|＝|b|C．a(chǎn)⊥bD．a(chǎn)∥b答案：D解析：由a·b＝－|a||b|知〈a，b〉＝180°，因此a∥b.4．若|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝120°，則a·(4b)的值為()A．12B．－12C．12eq\r(3)D．－12eq\r(3)答案：B解析：a·(4b)＝4(a·b)＝4|a||b|cos〈a，b〉＝4×2×3×cos120°＝－12