計算方法離散數(shù)據(jù)曲線擬合

第三章數(shù)據(jù)擬合知識點：曲線擬合概念，最小二乘法。背景已知一些離散點值時，可以通過構(gòu)造插值函數(shù)來近似描述這些離散點的運動規(guī)律或表現(xiàn)這些點的隱藏函數(shù)觀測到的數(shù)據(jù)信息曲線擬合方法也可以實現(xiàn)這個目標(biāo)，不同的是構(gòu)造擬合函數(shù)。兩種方法的一個重要區(qū)別是：由插值方法構(gòu)造的插值函數(shù)必須經(jīng)過所有給定離散點，而曲線擬合方法則沒有這個要求，只要求擬合函數(shù)(曲線)能“最好”靠近這些離散點就好。曲線擬合概念實踐活動中，若能觀測到函數(shù)y=f(x)的一組離散的實驗數(shù)據(jù)(樣點)：(氣,?i=1，2…,n。就可以采用插值的方法構(gòu)造一個插值函數(shù)^(x)，用中⑴逼近f(x)。插值方法要求滿足插值原則此尤)=昨蘊(yùn)涵插值函數(shù)必須通過所有樣點。另外一個解決逼近問題的方法是考慮構(gòu)造一個函數(shù)9（x）最優(yōu)靠近樣點，而不必通過所有樣點。如圖。即向量t=（中（％），中（x2），…傾氣））與y=（y1，y2，_°，yn）的某種誤差達(dá)到最小。按T和Y之間誤差最小的原則作為標(biāo)準(zhǔn)構(gòu)造的逼近函數(shù)稱擬合函數(shù)。曲線擬合問題:如何為f（x）找到一個既簡單又合理的逼近函數(shù)gx）。曲線擬合：構(gòu)造近似函數(shù)此x），在包含全部基節(jié)點x,（i=1，2...,n）的區(qū)間上能“最好”逼近f（x）（不必滿足插值原則）。逼近/近似函數(shù)y*（x）稱經(jīng)驗公式或擬合函數(shù)/曲線。擬合法則：根據(jù)數(shù)據(jù)點或樣點（x雙），i=1，2...,n，構(gòu)造出一條反映這些給定數(shù)據(jù)一般變化趨勢的逼近函數(shù)y=g（x），不要求曲線g（x）經(jīng)過所有樣點，但要求曲線或x）盡可能靠近這些樣點，即各點誤差6=g（x）-yi按某種標(biāo)準(zhǔn)達(dá)到最小。均方誤差/誤差平方和/誤差的2-范數(shù)平方：II5||2=咒82=1常用誤差的2-范數(shù)平方作為總體誤差的度量，以誤差平方和達(dá)到最小作為最優(yōu)標(biāo)準(zhǔn)構(gòu)造擬合曲線的方法稱為曲線擬合的最小二乘法（最小二乘原理）。多項式擬合(1)線性擬合給定一組(*,*)，i=1，2...,n。構(gòu)造線性擬合函數(shù)p1(x)=a+bx，使均方差I(lǐng)I8||2=&2=尤(p(x)-y.)2=1l(a+bx一y)2=F(a,b)2i1iiiii=1i=1i=1達(dá)到最小。即如何選擇a、b使F(a,b)達(dá)到最??？考慮多元函數(shù)極小值問題：dF(a,b)萬—-——-=2乙(a+bx-y)=0i=1dF(a,b)萬db整理得=2乙(a+bx一y)x=db整理得f\n工xfa)f\￡y￡f，x，x2IbJ=f1^xx"JLJi=1此式稱為擬合曲線的法方程組或正則方程組。用消元法或克萊姆法則求解方程組得TOC\o"1-5"\h\za=a命2一?命y)/(n￡x2一(?)2)iiiiiiii=1i=1i=1i=1i=1i=1b=(^xy一??)/(n乙2一(乙)2)iiiiiii=1i=1i=1i=1i=1這就是均方誤差意義下的擬合函數(shù)P1(x)。例子見P49。(2)二次擬合(選)給定一組(x/y)i=1，2...,n。用二次多項式擬合這組數(shù)據(jù)。設(shè)P2(x)=a0+aix+。慶2,作出擬合函數(shù)與數(shù)據(jù)序列的均方誤差：F(a,a,a)=E(p(x)一y)2=E(a+ax+ax2—y)20122ii01i2iii=1i=1其中II8I|2=1L8.2i=1類似線性擬合，根據(jù)最小二乘和極值原理:dFJ—2^^(a+ax+ax2—y)—0da01i2ii0i=1竺—22^(a+ax+ax2—y)x=0《計！算方?法引論1》、°徐翠樹，高等教育出版社2008年4月第三版第三章數(shù)據(jù)擬合2hdF:=2"(a+ax+ax2—y)x2—0da01i2iii2i=1整理得到二次多項式函數(shù)擬合的法方程:i￡乙尤i￡乙尤2i￡乙尤3ii=1乙］￡X3i￡X4i=1i7aa1Ia7、2yr、￡，i￡-i

三xxyy/解法方程，便得到均方誤差意義下的擬合函數(shù)p2（x）。不過當(dāng)多項式的階數(shù)n>5時，法方程的系數(shù)矩陣病態(tài)。計算中要用雙精度或一些特殊算法以保護(hù)解得準(zhǔn)確性。（3）一般情況（類似線性擬合處理，從略）4.例（從略）用二次多項式擬合如下一組數(shù)據(jù)X-3-2-10123Y4230-1-2-5解設(shè)P2(x)=a0+a1X+a#，經(jīng)計算得XyxyXx2yx3x4-34-12936-2781-22-448-816-13-313-1100000001-1-11-1112-2-44-8816

3-5-159-452781E01-3928-70196相應(yīng)的法方程為:"7a0+0a1+28a2=1Y0a0+28a1+0a2=-39.28a0+0a1+196a2=-7解方程得：a0=0.66667,a1=-1.39286，a2=-0.13095d所以p2(x)=0.66667-1.39286x-0.13095)2擬合曲線均方誤差：II8||2=￡82=￡(p3)-y)2=3.095242i2i2i=1i=1如何根據(jù)測量的數(shù)據(jù)設(shè)計和確定“最貼近”的擬合曲線？關(guān)鍵在于找到適當(dāng)?shù)臄M合曲線類型，可以根據(jù)專業(yè)知識