3簡介中值定理

星期①理論方面，得到幾個中值定理1星期

§4.1最優(yōu)選擇簡導數(shù)發(fā)展的問題之一就是求最值問題。當微積分一章將詳細討論最值的求法以及相關的單調(diào)、凹凸等問題2星期一、Rolle定

§4.2微分中值定如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]零yyf(x)oabx零yyf(x)oabx3星期定理如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導，且f(a)=f(b)，則存在∈(a,b)，使f()yyCABOabx4星期證f(x)在[ab連續(xù),必有最大值M和最小值若

則f(x)M.由此得f(x)

ξ(a,b),

都有

)若

f(a)f

最值不可能同時在端點取得設M

f

則在(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ使 f

x)f(ξ

f

x)f

)5星期xx

則有f則有f

x)fx)f

))

f(x)f(

f(x)f(

f(ξ

)存在

(ξ)

只有f(ξ)6星期yABaOyABaO yBOc aA OByaAf(x不滿足條件

f(x不滿足條件

f(x不滿足條件結論只有一個：有一個ξ∈(a,b)，使f'(ξ)=0，至于這個7星期對某些方程，有時可用Rolle定理確定解的個數(shù)，討例1證明方程xn+xn-1+…+x=1在(0,1)中有唯一實根(n>1)記f(x)=xn+xn-1+…+x-1f′(x)=nxn-1+(n-1)xn-2+…+1由f(0)=-1<0f(1)=n-1>0f(x)在[0,1]連續(xù)，由零值定假設方程xn+xn-1+…+x=1在(0,1)內(nèi)的解不止一個，設其中的兩個解為x1、x2。則f(x)在[x1x2]連續(xù)，在(x1,x2)內(nèi)可導，且f(x1)=f(x2)。由Rolle定理知存在ξ∈(x1,x2)，使f′(ξ)=0，即而ξ>x1>0，。因此原方程在(0,1)中有唯一實根8星期例 證明方程

5x1

0有且僅有一個小于1的正實根證設f(x)

x55x

則f(x)在[0,1]連續(xù)

且f(0)1,f(1)由零值定理,x0(0,1),使fx00.即為方程的小于1設另有x1(0,1

x0

使f(x1 在x1

間滿足定理的條件至少存在一個

,x1(

f

)但f(x)5(x4

0,

為唯一實根9星期星期二、Lagrange定定理(微分中值定理分析證分析證

(a,b)

f(b)fbyyBAOabx星期

f(b)

f

(a,bf(b)

f(a)(ba)

(a,b)f(b)

f(a)(ba)

(b

f

x)

f(x0)

推論

推論2若任意x∈I，f′(x)≡g′(x)，則 例 證

xarccosx2

1)記F(x)=arcsinx+arccosx，則F′(x)=0。因此x∈[-1,1]。又F(0)=π/2，

xarccosx2

1)星期三、Couchy定定理函數(shù)f(x)、g(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)

f()

f(b)

f

g(b)

g(a)簡要證記F(x

f(x)

f(b)

f

g(x)可以驗證F(x)g(b)

g(a)足Rolle定理的條件，因此存在ξ∈(a,b)使F′(ξ)=0，

f(b)

f

g()g(b)

g(a)星期三個中值定理之間的關f(a)fg(x)其x，改寫成F′(x)=0的形式，選取合適的F(x)，必要時可乘以不星期中值定理的應用一證明題

”的存在性

構造輔助函數(shù)二.證明不等 -----利用lagrange定理，定例

(a,b)，使f()g證明設F(xf(x)g(x)，則F(x)在[a,b]上連續(xù)，(a,b)導，且F(a)=F(b)=0,由Rolle定理知(a,b)，使F()0，f()g()f()g()星期例

設F(xf(x)eg(x)，則F(x)在[a,b]上連續(xù)，(a,b)內(nèi)f()f星期例 已知f′(x)在[a,b]上連續(xù)，求證：存在M>0，使對中的任意x1、x2|f(x1)-f(x2)|≤M|x1-f′(x)在[a,b]上連續(xù)，由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的有界性定理，對(a,b)中的任意x1、x2f(x)在[x1,x2](x1x2)內(nèi)可導，由Lagrange中值定理知，存在ξ(x1x2)f(x1)-f(x2)=f′(ξ)(x1-|f(x1)-f(x2)|≤M|x1-星期例4證明當

1x

ln(1x)證設f(x)ln(1fx)在[0,x]上滿足拉氏定理f(x)f(0)

f

)(x0),(0

f(0)

0,f(x)

1 1x

由上式

ln(1x)

x 1ξ又0ξ

11

1

1

1ξ

1x

1ξ

即x1x

ln(1x)星期例 函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，(a,b)內(nèi)可導0

f

(lnba例 至少存在一點

(0,1),

f證分析:結論可變形為f(1)f(0)1

f(ξ)

f(x2

xξ

設g(x)

x2則f(x

(x[)0,

滿足中值定理的條件在(0,1)內(nèi)至少存在一點ξf(1)f(0)1

f(ξ)

即f(ξ

星期

§4.3L’Hospital法JohannBernoulli首先發(fā)現(xiàn)的。GuillaumeL’Hospital是一位

0、

、0則顯示了巨大的星期型0型一、0定理(L’Hospital法則

f

2在點a的某空心鄰

存在g(x)

g(x)

xa注對自變量的其它變化趨勢此定理仍適用星期令f(a)g(a)0，則f(x)和g(x在點a的某一鄰域內(nèi)連f(x)f g(x) g(x)

g(顯然當xa時a。于

f

f(

f

g(x)

g(

g(x)星期注

f(x)

f(x)x

x 羅必達法則可當條

可能存在，要用

星期x原式

x

1

x

極限不存極限不存原式

x

cosx)

星期分子、分母分別求導后得到的極限若不存在，說明不x2sin例如對極限lim sinx2sin coslim xlim(2x sin1 x

sin

x2sin

x2sin

x

sin

星期x4

例 求

x解

x4

4x3

x

例 求

xxcosx sin3解

xxcos

cosxcosx

xsin

1

3sin

xcos 星期例

1e 解

arctan11e

2

ex2

1[

1ex]

x

x22

1

ln(11練習求極限

x2答案⑴ ⑵

arccot星期二 定理設函數(shù)f(x)、g(x)滿足條件

f

2在點a的某空心鄰

存在g(x)

g(x)

xa星期

lnx例

2tan21lnx 2 x

cos2解

2 22

tan

x2

x222

2cosxsinx12練習

x。xex答案0星期其他型0f(x)g(g(x) 例1

lim

xex1 星期 x

1ex1

1e1x21lim

x

lim x

lim x2練習

xmlnx答案(極限不存 星期例 求lim

x

lnxx1

11lim

lim x1

x

lnx

(x1)ln

x1x1ln

x21x2

2xx星期例

ax(x2

a2)

a

(ax

x設

時

t

a

2 2limax(x a)

x

x

t0 at(1a2t2)ln(1

2taa

lim 1 t

2a2

tln(1at)

a22

星期、001、0

f(x)g(

elimgxlnfx)步驟

00

取數(shù)

lnln1

0.0 ln星期例 求

xsin

(limsinxln

)

ln

1

sin2解

xsin

ex0csc

ex0cscxcot

lim

xcosxx2lim( xcosx

lim

e0 例

1x

(1

1(1 x

ln11

1

x x 1 1

x 解limx

lim x x

lim

e1 星期例

lim(cotx)lnxx0

(01 (cotx)ln

eln

, x0

x0

1x

sin2 x0

x cosxsin

原式

e1.星期練習

tanxsin

arccosx

1limx

x0

答案 2e

L’Hospital法則是計算極限的重要方法，運用時注意以①運算熟練后，特別是多次運用L’Hospital法則時，每②當計算后的極限不存在且不是無窮大時，或計算時發(fā)xx

limx

sinsin星期

x

lnx

xsin

3

4lim(cotx1

ln

星期最后要證明的結果為F′(ξ)=0。而現(xiàn)在要證明的結果為f()