高中數(shù)學(xué) 第三章 用數(shù)形結(jié)合法解一元二次不等式要點(diǎn)解讀素材 北師大版必修5

一二不式法啟—數(shù)結(jié)解等相信同學(xué)們都熟知，在教材中有一個(gè)圖表，這個(gè)圖表深刻地揭示了：一元二次不等式的解集與一元二次方程的根及一元二次函數(shù)的圖像三者的密切關(guān)系這個(gè)圖表很多老師可能就是要求同學(xué)們熟記其中的結(jié)論而沒有更多的指導(dǎo)同學(xué)們也就機(jī)械地進(jìn)行硬背這個(gè)圖表的結(jié)論而沒有理解又么能記得牢固呢？也很少同學(xué)會(huì)從這種利用二次方程的根及二次函數(shù)的圖像來解一元二次不等式的方法中得到什么啟示。我認(rèn)為在這個(gè)圖表中，我們的重點(diǎn)應(yīng)該是看二次函數(shù)的圖像：在圖1）中函數(shù)y的圖像被軸分兩部分：在x軸上方即y0對(duì)著x或x，在x軸下即y0對(duì)應(yīng)x；此由圖像直觀地一元二次不等式（a）

x

1

O

x

2

xyax

的解為

xx

或

xx

，而不等式（

）

圖（1yax

2

bx的解為x

。在另兩個(gè)圖中情況類似。如果我們把x軸成函數(shù)

y0

，

x

，那么就可以從上面這種一元二次不等式的解法得到啟示并把這種方法推廣到解其它的不等式中去一般地有在同一直角坐標(biāo)系中，畫出兩個(gè)函數(shù)

yf(x)f(

的圖像，則①兩圖像的交點(diǎn)的x坐就是方程f(x)f(x)

的解，其中有幾個(gè)交點(diǎn)就有幾個(gè)解，沒有交點(diǎn)就沒有解；②在某些區(qū)間內(nèi)均有

yf(x)1

的圖像在

yf(

的上（下）方，那么這些區(qū)間就是不等式

f()f(x)（或

f(x)f(x)2

）的解。下面我們來看幾個(gè)例子：例1、解不等式

2

。

y解：易知方程

2

的為2，2

圖（）又函數(shù)

y1

和函數(shù)

y

的圖像草圖如圖2）則直觀地原不

O

3x等式的解為

3

。評(píng)注這我們只需解方程并畫數(shù)的圖像草圖即可直觀地得出不等式的解常規(guī)的解法需要把原不等式化為標(biāo)準(zhǔn)式

ax

2

bx其a，是規(guī)方法解一元二次不等式的關(guān)鍵步驟很同學(xué)容在這關(guān)鍵步驟中出兩方面的錯(cuò)誤是有注意到要化二

次項(xiàng)系數(shù)大于零是化二次系數(shù)大于零的過程中沒有注意到不等式要改變不等號(hào)是在最后寫出不等式的解時(shí)仍套用原不等號(hào)時(shí)的不等式的情況。例2、解不等式解：易知方程

xx

x0。x0無解。又函數(shù)

x1

和函數(shù)

yx2

的圖像草圖如圖（3）則直觀地原不等式的解為x3。

O3

x評(píng)注樣里我們只需解方程并畫函數(shù)的圖像草圖即可直觀地得出不等式

圖（）的解。而不用像常規(guī)方法一樣先去解被開方數(shù)大于零的不等式組步驟往往是同學(xué)們?nèi)菀淄浀脑賰蛇吰剑ê芏鄬W(xué)往往也不注意不等式兩邊能夠平方的條件無理式化成整式，最后還要取不等式的交集。例3、解不等式

x解易方程

2

6的解為2，，624

。

y又函數(shù)

yx1

2

和函數(shù)

y

的圖像草圖如圖4）則直觀地有不等式

的解為

x

或

3

或

x

。例4、解不等式

x2

。

O

36x圖（）解：容易知不等式等價(jià)于

yx

方程

x2x

的解為

x5

而方程xx

無解函數(shù)

yx，y2

，

y

的

O1/25x圖像草圖如圖（5）則直觀地有不等式的解為

12

x

。

圖（）評(píng)注：例3、例4中與常規(guī)方法較均避免了解繁瑣的不等式組。例5、解不等式

2

。

y

a=1

解易方程

2

的解為

x0

x

2a1

（當(dāng)

a時(shí)僅有一解函數(shù)

ax

的圖像草圖如圖6）

O2a/(1-a)x直觀地有原不等式的解為當(dāng)

時(shí)是

x0

，當(dāng)

時(shí)是

（）0x

2a1

。評(píng)注：雖然避免不了對(duì)參數(shù)a論，但利用函數(shù)的圖像使討論非常直觀，且避免了解

繁瑣的不等式組。數(shù)形結(jié)合