高等數(shù)學(xué)之微分方程課件

大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教程大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教程第7章常微分方程主要內(nèi)容:

一、微分方程的基本概念二、一階微分方程三、可降階的微分方程四、二階常系數(shù)線性微分方程第7章常微分方程主要內(nèi)容:一、微分方程的基本概念解：一、微分方程的基本概念解：解：解：定義2定義1由上兩例，得如下相關(guān)定義：定義2定義1由上兩例，得如下相關(guān)定義：定義4定義3定義4定義3定義5★注意：通解不一定包含所有特解，因?yàn)橛衅娼猓x6定義5★注意：通解不一定包含所有特解，因?yàn)橛衅娼猓x6定義7定義8定義7定義8解:例1解:例1即：即：二、一階微分方程1、可分離變量的微分方程先看一個(gè)實(shí)例：二、一階微分方程1、可分離變量的微分方程先看一個(gè)實(shí)例：形式：解法：兩邊積分特點(diǎn)：形式：解法：兩邊積分特點(diǎn)：解：例2解：例2解：即：故所求特解為：例3解：即：故所求特解為：例3解：例4解：例4如：可化為：2、齊次方程如：可化為：2、齊次方程得其解法為：由齊次方程的形式：思路：得其解法為：由齊次方程的形式：思路：解：例5解：例5解：例6解：例6高等數(shù)學(xué)之微分方程課件定義3、一階線性微分方程定義3、一階線性微分方程其解法為：其解法為：高等數(shù)學(xué)之微分方程課件高等數(shù)學(xué)之微分方程課件解:例7解:例7解:例8解:例8三、可降階的微分方程1、右端僅含x的方程對(duì)這類方程，只須兩端分別積分一次就可化為n-1階方程：同理可得：依此法繼續(xù)進(jìn)行，接連積分n次，便得方程①的含有n個(gè)任意常數(shù)的通解.微分方程①…三、可降階的微分方程1、右端僅含x的方程對(duì)這類方程，只須兩端解:例9解:例92、右端不顯含y的方程其特點(diǎn)：解法：微分方程2、右端不顯含y的方程其特點(diǎn)：解法：微分方程解:例10解:例10高等數(shù)學(xué)之微分方程課件3、右端不顯含x的方程微分方程其特點(diǎn)：解法：這是一階微分方程，可解．3、右端不顯含x的方程微分方程其特點(diǎn)：解法：這是一階微分方程解:例11解:例11高等數(shù)學(xué)之微分方程課件四、二階常系數(shù)線性微分方程1、二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)四、二階常系數(shù)線性微分方程1、二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理7.1證明即：定理7.1證明即：★理解如：?jiǎn)栴}：★理解如：?jiǎn)栴}：線性相關(guān)性：線性相關(guān)性：如：如：高等數(shù)學(xué)之微分方程課件定理7.2

如：定理7.2如：高等數(shù)學(xué)之微分方程課件定理7.3如：定理7.3如：高等數(shù)學(xué)之微分方程課件2、二階常系數(shù)線性齊次微分方程2、二階常系數(shù)線性齊次微分方程分三種情形討論：1)2)如何求得第二個(gè)特解呢？分三種情形討論：1)2)如何求得第二個(gè)特解呢？由于由于3)3)綜上所述即：綜上所述即：解:例13解:例12解:例13解:例12例14解:例14解:3、二階常系數(shù)線性非齊次微分方程3、二階常系數(shù)線性非齊次微分方程，則：情形1：，則：情形1：高等數(shù)學(xué)之微分方程課件綜上，綜上，例15解:例15解:例16解:例16解:高等數(shù)學(xué)之微分方程課件高等數(shù)學(xué)之微分方程課件其中：

其中：高等數(shù)學(xué)之微分方程課件其中例17解:其中例17解:高等數(shù)學(xué)之微分方程課件例18解:例18解:高等數(shù)學(xué)之微分方程課件高等數(shù)學(xué)之微分方程課件大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教程大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教程第7章常微分方程主要內(nèi)容:

一、微分方程的基本概念二、一階微分方程三、可降階的微分方程四、二階常系數(shù)線性微分方程第7章常微分方程主要內(nèi)容:一、微分方程的基本概念解：一、微分方程的基本概念解：解：解：定義2定義1由上兩例，得如下相關(guān)定義：定義2定義1由上兩例，得如下相關(guān)定義：定義4定義3定義4定義3定義5★注意：通解不一定包含所有特解，因?yàn)橛衅娼猓x6定義5★注意：通解不一定包含所有特解，因?yàn)橛衅娼猓x6定義7定義8定義7定義8解:例1解:例1即：即：二、一階微分方程1、可分離變量的微分方程先看一個(gè)實(shí)例：二、一階微分方程1、可分離變量的微分方程先看一個(gè)實(shí)例：形式：解法：兩邊積分特點(diǎn)：形式：解法：兩邊積分特點(diǎn)：解：例2解：例2解：即：故所求特解為：例3解：即：故所求特解為：例3解：例4解：例4如：可化為：2、齊次方程如：可化為：2、齊次方程得其解法為：由齊次方程的形式：思路：得其解法為：由齊次方程的形式：思路：解：例5解：例5解：例6解：例6高等數(shù)學(xué)之微分方程課件定義3、一階線性微分方程定義3、一階線性微分方程其解法為：其解法為：高等數(shù)學(xué)之微分方程課件高等數(shù)學(xué)之微分方程課件解:例7解:例7解:例8解:例8三、可降階的微分方程1、右端僅含x的方程對(duì)這類方程，只須兩端分別積分一次就可化為n-1階方程：同理可得：依此法繼續(xù)進(jìn)行，接連積分n次，便得方程①的含有n個(gè)任意常數(shù)的通解.微分方程①…三、可降階的微分方程1、右端僅含x的方程對(duì)這類方程，只須兩端解:例9解:例92、右端不顯含y的方程其特點(diǎn)：解法：微分方程2、右端不顯含y的方程其特點(diǎn)：解法：微分方程解:例10解:例10高等數(shù)學(xué)之微分方程課件3、右端不顯含x的方程微分方程其特點(diǎn)：解法：這是一階微分方程，可解．3、右端不顯含x的方程微分方程其特點(diǎn)：解法：這是一階微分方程解:例11解:例11高等數(shù)學(xué)之微分方程課件四、二階常系數(shù)線性微分方程1、二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)四、二階常系數(shù)線性微分方程1、二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理7.1證明即：定理7.1證明即：★理解如：?jiǎn)栴}：★理解如：?jiǎn)栴}：線性相關(guān)性：線性相關(guān)性：如：如：高等數(shù)學(xué)之微分方程課件定理7.2

如：定理7.2如：高等數(shù)學(xué)之微分方程課件定理7.3如：定理7.3如：高等數(shù)學(xué)之微分方程課件2、二階常系數(shù)線性齊次微分方程2、二階常系數(shù)線性齊次微分方程分三種情形討論：1)2)如何求得第二個(gè)特解呢？分三種情形討論：1)2)如何求得第二個(gè)特解呢？由于由于3)3)綜上所述即：綜上所述即：解:例13解:例12解:例13解:例12例14解:例14解:3、二階常系數(shù)線性非齊次微分方程3、二階常系數(shù)線性非齊次微分方程，則：情形1：，則：情形1：高等數(shù)學(xué)之微