切線問題 練習題（解析版）

專題22切線問題一、單選題（2021?云南紅河?高三月考（理））下列關于三次函數(shù)/（xXar'+bY+cx+dSwO）（xeK）敘述正確的是（）①函數(shù)/（幻的圖象一定是中心對稱圖形；②函數(shù)/（x）可能只有一個極值點；時，，（x）在x=x。處的切線與函數(shù)y=/（x）的圖象有且僅有兩個交點；時，則過點（%，/（%））的切線可能有一條或者三條.A.①③ B.②③ C.①④ D.②④【答案】A【分析】根據(jù)對稱中心的性質，導數(shù)與單調性，導數(shù)的幾何意義求解后判斷.【詳解】, b ①/'（x）=3or+2hx+。的對稱軸為X=-h的軸對稱圖形，所以/（X）=OT+6廠+ex+d必定是中心對稱圖3a形，且對稱中心為,卷,所以①正確：（或者可用/[-捺+*]+/]-57）=2/1一1^]證明）②由于函數(shù)/（X）的圖象是中心對稱圖形，如果存在極大值，那么一定存在極小值，故②錯誤；③設切點為（%，/（%））,〃/）=*+版+/+",斜率k=/'（%）=3o^+2Z%+c,切線為y-/（x0）=/c（x-x0）,所以（渥+慮+cx+d）-（渥+bxl+cx0+d^=（x-%）（3ar：+2bxo+c）,化簡得：^一七興奴+孫+為=。，,x=x0或者x=-網產，所以當%=-注心時，即毛=一,時，切線與/（x）有唯一的交點，當與X-二時，切線與/（x）有兩個不同的交a 5a 5a點，所以③正確；④過點（%,〃與））的切線的切點不一定是■，“％））,設切點為（不〃3）），則切線方程為y-/（xJ=r（xJ（x-X1）,因為（％,/（%））在切線上，所以/（X。）一= ，將/（天）=渥+4+5+d,/（xj=or：+如2+6]+d,f（X））= +2bx1+c代入/（%）-/（%）=/（%）（七一為）化簡可得：（3-%）2（叫+2叫）+6）=0,.?.%=%或者占=-25+”,所以當人>=-初立也時，即與=-,時，切線只有一條，當及時，切線有兩條，所以④錯誤；a 3a 3a故選：A【點睛】本題考查導數(shù)與函數(shù)的對稱性的關系，考查導數(shù)與極值，考查導數(shù)的幾何意義，解題中難度較大.特別是求切線方程，計算難度很大，對學生的邏輯思維能力，運算求解能力要求較高，本題屬于困難題.(2019?江西?南昌二中高三月考(文))若函數(shù)/(x)=x2+l的圖象與曲線C:g(x)=2a-e'+l(a>0)存在公共切線，則實數(shù)"的取值范圍為A.(0,司 B.C.9收)D.住,+8)【答案】A【分析】本道題結合存在公共切線，建立切線方程，結合待定系數(shù)法，建立等式，構造新函數(shù)，將切線問題轉化為交點問題，計算a的范圍，即可.【詳解】設函數(shù)f(x)的切點為&，k+1)，該切線斜率％=2玉,，所以切線方程為V=2v-x02+1,g(x)的切點為(X，2ae"+1),所以切線方程為+1,由于該兩切線方程為同一方程，利用待定系數(shù)法，可得2x0=2aeXl,-x02+1=-2aex'x]+2aex'+1,解得.v0=aeX},x0=2x1-2得到新方程為2x-2=ae'7 2構造函數(shù)Mx)=e1(x)=￡(x-1)解得，=,(》-1),表示〃(*)與，")存在著共同的交點,而/(6過定點(1,0),得到人(力過(LO)的切線方程，設切點為卜2，淖),則y=e"(x-l),該切點在該直線上，代入，得到*=/仇-1),解得<=2,所以直線斜率為Z=e?,要使得〃(可與?x)存在著交點，則A=e2w2,結合々>0,所以a的取值范圍為(0,4,故選A.【點睛】本道題考查了利用導數(shù)計算過曲線一點的切線方程，關鍵掌握好曲線上的點的切線方程計算方法，難度偏難.(2021?江西?高安中學高二期中(文))已知函數(shù)了=『的圖象在點處的切線為/,若/也與函數(shù)y=lnx,xe(0,l)的圖象相切，則方必滿足A?O<Xo<g B.-<x0<1C.—<x0<s/2 D.叵<飛<有【答案】D【詳解】函數(shù)y=』的導數(shù)為y'=2x,圖像在點(%,與2)處的切線的斜率為&=2x°,切線方程為y-x02=2x0(x-x0),即y=2x0x-x：,設切線與y=lnx相切的切點為(/n,ln.),0</n<l,由y=Inx的導數(shù)為歹=」，切線方程.VTOC\o"1-5"\h\z1 1 1 2為y_lnm=—(x-m),即y=—x-\+\nm,/.2x0=—,x0=l-\nm.m tn m1 匕 7由可得毛>5,且與.>1,解得%>1,消去加，可得與-ln(2xo)-l=O,令/(x)=x2-ln(2x)-l,x>l,f\x)=2x-->0,x〃x)在(I,+00)上單調遞增，且/(&)=2-ln2應-l<0,/(>/3)=3-ln2>/3-l>0,所以有x。?-ln(2x0)-l=0的根不€(&,/),故選D.(2021?江蘇如皋?高三月考)已知。為坐標原點，過曲線C：y=lnx(0<x<l)上一點尸作C的切線，交x軸于點A,貝LAOP面積取最大值時，點尸的縱坐標為( )A. B.苔型C.-JLtlD.-e2 2 2【答案】C【分析】先將aAOP的面積用P點坐標表示出來，再利用導數(shù)求出aAOP面積為最大值時P的坐標，進而得出答案.【詳解】解：設點P的坐標為(毛,In%)y'=一，當x=x。時，<=—X 玉).1,、?.切線方程為yTn/=：(x-Xo),令y=。，得入0???點戶的坐標為(%-%ln%,0)v0<x<l,aInx0<0\40P=|x|Inxo|x(Ao--xolnAo)=-1,nxo(Ai)-^)lnxo)=-1roln^o+1-ro(In-ro)2令g(x)=一；%In/+ix0(ln^j)2g'(x)=-J%?:—Jin%+:(111%)2 -2x0-21nx0=i(lnx0)2+^lnx0-i/>人f)4 4 4 J J J令f=ln%,(r<0),%)=y+；"；=0解得，尸斗叵>0(舍去)，，2=士"z 2.??/⑴在|—,士|好)單調遞增，在［二空，o］上單調遞減??.當ln%=色薩時，g(x)最大，即aAOP面積最大故點戶的縱坐標為士正.2故選：C.【點睛】關鍵點睛：求復雜函數(shù)的最值時，通常利用導數(shù)求出函數(shù)的單調性以及單調區(qū)間，必要時，需要利用換元法進行處理，進而得出函數(shù)的極值或最值.(2021?全國?高二單元測試)若過點(。力)可以作曲線N=e、的兩條切線，貝IJ()A.eh<a B.eb>a C.0<a<e* D.0<b<ea【答案】D【分析】結合已知條件，利用導數(shù)的幾何意義將問題轉化成函數(shù)的交點問題，然后通過構造新函數(shù)，并求出新函數(shù)的單調區(qū)間以及最值，利用數(shù)形結合的方法即可求解.【詳解】設切點■，%),%>°,因為y=e、，即y'E,=e*,則切線方程為y-b=e'v(x-a),yn-h=ex° r, 、，得鏟（lf+加"則由題意知，關于工的方程/，(1-%+〃)=6有兩個不同的解.設/(x)=e"(l-x+a),貝ij尸(x)=e*(l-x+a)-e*=-e*(x-a),由f'(x)=O得x=%所以當x<a時，r(x)>0?/(x)在(—,a)上單調遞增；當x>a時，r(x)<0,/(x)在3,伊)上單調遞減，所以f(x)的最大值為f{a)=e"(1-a+a)=e">0,當x<a時，a-x>0,所以/(x)>0,當xf-8時，y(x)->0；當x->400時，/(x)fYO,故/(x)的圖像如下圖所示：0|~1-r-?故0<b<e".故選:D.(2021?廣東荔灣?高三月考)已知函數(shù)f(x)=(k+Jlnx-x+g,%?4,y),曲線y=〃x)上總存在兩點N(w，%),使得曲線在“，N兩點處的切線互相平行，則占+》2的取值范圍為( )A.(E,+sjB.(1，司 C.[*+8)D.[￡，+(?)【答案】A【分析】4求得了(幻的導數(shù)八幻，由題意可得廣儲)=/'。2)(內，^>o,且“尸與)，化為(5+9)=/+7況占，因此k

X+X,X+X,> 1urA八3對"14,功都成立，令g⑹…口*”+%利用導數(shù)研究其最值即可得出.解:函數(shù)/（力=1+￡|Inx—解:函數(shù)/（力=1+￡|Inx—41 1,導數(shù)八刈=伏+丑 7-1.kxx"由題意可得/'（占）=廣（與）（為，七＞o,且演*三）.4 4c1rtkT—〔 kt—?即有—L_±_1=_,2 2\x,x2Xj4化為a+電）=伏+7）%乂,k而小與＜（1匹）2,a+%）＜伏+t）（~2 ，4化為不+毛〉三對％e[4,y）都成立，I令g（?）=k+。,在34,內）單調遞增，k4.?.^+-＞5,當且僅當％=4取得等號，4 4二聲§，k"+七＞[,即占+占的取值范圍是]1,+8故選：A.（2021?山東膠州?高二期中）若函數(shù)y=f（x）的圖象上存在兩個不同的點A8,使得曲線y=f（x）在這兩點處的切線重合，稱函數(shù)y=/a）為“自重合”函數(shù).下列函數(shù)中是“自重合”函數(shù)的為（）B.y=e"B.y=e"+1D.y=x-cosx【答案】D【分析】切線在兩點處切線重合，先保證在不同點處導數(shù)相同，則A,B錯誤，導數(shù)相同的情況下，確定切線相同,故C錯誤；D選項中，能夠找到導數(shù)相同，且切線相同的兩個點，所以正確【詳解】若曲線y=f（x）在這兩點處的切線重合，首先要保證兩點處導數(shù)相同;A選項中，y=』+1;B選項中，y=e*;X導數(shù)為單調函數(shù)，切點不同時，導數(shù)值不同，所以切線不可能重合，所以A8錯誤；C選項中，y=3/,若斜率相同，則切點為和（一與,一與3）,代入解得切線方程分別為：y=和y=3xo2x+2x；,若切線重合，則%=0,此時兩切點為同一點，不符合題意，故C錯誤；D選項中,y'=l+sinx，令d=l+sinx=l得：*=%肛（左w2）,則有點（0,-1）,（2^,2萬一1）,切線分別為y=x-\和N=xT,存在不同的兩點使得切線重合，故D正確故選：D【點睛】題目是新定義的題型，本質是求不同兩點處的切線，保證切線相同，所以可以先保證斜率相同，在斜率相同的情況下，求出切線所過的點，寫出切線方程，保證方程相同（2021?四川?射洪中學高二月考（文））已知函數(shù)〃"=尸+加+1的圖象在x=l處的切線與直線x+3y-l=0垂直，若對任意的xeR,不等式/（力-右20恒成立，則實數(shù)&的最大值為（ ）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【分析】由題意得了'⑴=3,可求得”=1,從而可得/（1）=01+/+1,則對任意的xeR,不等式〃x）-hN0恒成立，分x=0,x>0,x<0三種情況通過分離變量轉化為最值問題分別求得k的范圍，最后取交集得上的范圍，進而可得k的最大值.【詳解】由/（》）=61+加+1,得r（x）=ei+2or,因為函數(shù)/（力=尸+加+1的圖象在》=］處的切線與直線x+3y-l=0垂直，所以/'⑴=3,則。=1,所以〃x）=e，T+x2+l,對VxeR,/（x）-H>0gpet-1+x2+l>fcv,①當x=0時，顯然keR.TOC\o"1-5"\h\zx-1 2 ?②當x>。時，+'+1恒成立.X人〃\ +1 (x-l)(er-1+x+l)令/?(x)= ,貝心，⑺二—— L.X Xx>0時，e*T+x+l>0恒成立.所以當x>l時，"(x)>0,〃(x)單調遞增；當0<x<l時，〃'(x)<0,〃(x)單調遞減，所以〃(x)在(0,也)內的最小值為久1)=3,故氏43.et-14-r24-1③當x<0時，出2二二恒成立.x當x<0時，顯然人("=士子出<0,由②知，因為x-l<0,所以由"(x)=0得ei+x+l=0.令zn(x)=e*T+x+l,顯然鞏x)在(-oo,0)單調遞增，又皿-2)=e--1<0,/n(-l)=e2>0,所以存在/e(-2,-1)使得加(x°)=0,即b+xo+l=O.當x<x()時，m(x)<0,h'(x)>0,Mx)單調遞增；當Xo<x<O時，m(x)>0,h'(x)<0,4(x)單調遞減，所以Mx)在(-oo,0)內的最大值為一~+A|1+，=~A|)+A"-=x0-1e(-3,-2),故.綜合①②③可知為-14%43,故實數(shù)k的最大值為3.故選：C【點睛】方法點睛：在處理有關恒成立問題時，經常通過分離變量轉化為最值問題.9.(2021?江西?模擬預測(理))已知函數(shù)〃x)=lnM—nr+l(m>l),/(力是其導函數(shù)，若曲線)，=/(x)的一條切線為直線/：2x-y+l=0,且Va?0,l),be[\,2],不等式”>1114+/(6)恒成立，則實數(shù)，"的取值范圍為()A.(2,4<?) B.[2,+oo) C.(e,+o>) D.[e,+oo)【答案】C【分析】通過切線方程求出切點橫坐標玉=5,令g(x)=m-lnx并討論它的單調性得出8(力.而=1+血〃；討論/'(X)單調性并得尸(x)a=3-，<l+lns,令/7(〃?)=：+ln機-2并討論其單調性得出/z(m)>0,解出”的取值范圍.【詳解】設切點為優(yōu),%),故%=2xo+l,而/(x)=2-〃，尸(毛)==-〃，故/(%)==-〃=2,故與=」，X % xo 〃+2e fji故叫)=1-2%，因為In叫-叫)+1=2與+1,故In出>=1,故叫=e,故.％=一,故一=〃+2；令m eg(x)=mr-lnx,故對任意Va?O,l),be[l,2],ma>\na+f'(b),只需[g(x)L>[/(初皿，而g'(x)=/n-L史」，令g(x)=O,解得x=_L,故當xe(0」)時,g[x)<0,當xe化|時，g'(x)>0,故g(x)Ng(《J=l+ln/n,即gGj刖T+lnm；因為1(x)=1-〃在[1,2]上為減函數(shù)，故/'(x)max=f。)=1一"=3-：，貝l]l+1ns>3-：，即：+ln/n-2>()；^h(m)=^+\nm-2,易知"(m)在(L+oo)上單調遞增，所以〃(e)=0,所以〃(〃?)>0,故實數(shù)”的取值范圍為(e,+oo),故選：C.【點睛】利用導數(shù)解決不等式恒成立問題的方法(1)分離參數(shù)法求范圍：若/(x)2?；騡(x)4a恒成立，只需滿足/(初加2。或g(x)a4a即可，利用導數(shù)方法求出fM的最小值或g(x)的最大值，從而解決問題；⑵把參數(shù)看作常數(shù)利用分類討論方法解決：對于不適合分離參數(shù)的不等式，常常將參數(shù)看作常數(shù)直接構造函數(shù)，常用分類討論法，利用導數(shù)研究單調性、最值，從而得出參數(shù)范圍.(2021?全國?高二專題練習)函數(shù)/(x)=or+sinx的圖象上存在兩條相互垂直的切線，則實數(shù)"的取值范圍是()A.{0,1} B.{0} C.[0,1) D.[l,+oo)【答案】B【分析】求導，由導函數(shù)的幾何意義和直線垂直的條件可得方程/+(cosx+cosx,)a+cos^cosj^+l=0一定有解，再由根的判別式和余弦函數(shù)的值域可得選項.【詳解】因為/(x)=or+sinx,所以f(x)=a+cosx,因為函數(shù)/(x)=or+sinx的圖象上存在兩條相互垂直的切線，所以不妨設在x='和、=三處的切線互相垂直，則(a+cosx,>(a+cosw)=-l,即/+(cos%+cosw)a+cos芭cosj^+I=0①，因為a的值一定存在，即方程①一定有解，filrA=(cosx,+cosx2)2-4(coscosx2+1)>0,即(cos%—cosjc2y>4,解得cos±-cos/22或cosX|-cosx?<-2,又18sHs1,所以有COSX1=1,COSX2=-1或COSX|=-Lcosx2=1,A=o,所以方程①變?yōu)?=0,所以a=0,故選：B.【點睛】關鍵點睛：本題考查導函數(shù)的幾何意義，關鍵在于根據(jù)直線垂直的條件將問題轉化為方程有解，再由根的判別式和余弦函數(shù)的值域得以解決.(2021?全國?高三專題練習)若曲線/(x)=alnx+(a+l)x2+l(aeR)在點(1J⑴)處的切線與直線7x+y-2=0平行，且對任意的再,々e(0,+oo),再二七，不等式/(大>由后-xj恒成立，則實數(shù)m的最大值為()A.6 B.2也 C.4月 D.5石【答案】C【分析】由函數(shù)解析式得/'")且定義域為(0，也)，結合已知有尸⑴=-7求a值，進而可知/(x)的單調性，根據(jù)已知不等式恒成立，令占>%>。易得/(%)+做2>/(菁)+〃6恒成立,若8(*)=/(司+/71">0即有8'(力40,結合基本不等式即可求m的最大值.【詳解】f'(x)=-+2(a+\)x=2(^1U2—,定義域為(0，xo),又/'⑴=一7,2(^-1)—=-7,可得a=-3.A/(x)=-31nx-2x2+l,K/V)= ~3<0,故在(0,+?)內單減.不妨設%>%>。，則/(5)</優(yōu))，由|/(xJ-/(W)|>向為一百/(x2)-/(x1)>?n(xl-x2),即/(毛)+3>/(%)+，加1恒成立.令g(x)=/(x)+，nx,x>0,則g(x)在(0,+?)內單減，即g'(x)40..?.g'(x)=f'(x)+m=：-4x+，〃40(x>0),而^+4x24后當且僅當'=當時等號成立，m<4-73?故選：C.【點睛】關鍵點點睛：利用導數(shù)的幾何意義及兩線平行求參數(shù)a,進而判斷函數(shù)的單調性，再根據(jù)不等式恒成立，將其變形并構造新函數(shù)且可知其單調性，利用導數(shù)的符號求參數(shù)m的最值.TOC\o"1-5"\h\z(2021?全國?高三專題練習)若直線y=^+6是曲線y=*2的切線，也是曲線丫=--1的切線，則k+b=( )A-ln2 l-ln2 Cln2-l ln2A. B. C. D.—2 2 2 2【答案】D【分析】設出兩個切點坐標，求得兩個曲線的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的幾何意義可得切線方程，聯(lián)立方程可分別求得答案得選項.【詳解】設曲線y=e—上的點P(X|,y),y'=e"2,%=e-；曲線y=e*-l上的點Q(孫必),y=e\玲=泮;/1：y—cx'~x+~_xq*'-, 1,：y=e'"x+e”,_1_/e"|>一2=產，"x2=-ln2[ex'-2-x]e''-2=eX2-x2eX2-\一故選：D.【點睛】方法點睛：本題主要考查利用導數(shù)的幾何意義，屬于難題.應用導數(shù)的幾何意義求切點處切線的斜率，主要體現(xiàn)在以下幾個方面：(1)已知切點4(/，/(%))求斜率k,即求該點處的導數(shù)女=/'(不)；(2)己知斜率k求切點小%,〃%)),即解方程/'&)=%;(3)巳知切線過某點(不是切點)求切點，設出切點A(玉))，利用女=咐二/㈤=)求解.x一小(2021?福建?泉州五中高二期中)若函數(shù)了=奴+〃為函數(shù)/(x)=1nx-‘圖象的一條切線，則勿+匕X的最小值為()A.In2 B.In2-- C.1 D.22【答案】B【分析】求得了(x)的切線方程，由此求得2a+b的表達式，利用導數(shù)求得2a+8的最小值.【詳解】設點(修，110-十)是函數(shù)“X)圖象上任一點，其中%>0,/(x)=：+3，f(%)=}+[,所以過點I七,、/一■的切線方程為y-In^o=?+-t\x-jco)?\xoJ kJ\-^i)xoJ即'=|'+[xT +1叫，1/玉)J玉)I21故〃=—+-+111與%%與2a+b=—；—1+Inx0(x0>0),%構造函數(shù)g(x)=4-l+lnx(x>0),g，(x)=-3+'=七^X XXX(x+2)(x-2)=、?所以g(x)在區(qū)間(0,2)上g(x)<0,g(x)遞減，在區(qū)間(2,XO)上g(x)>0,g(x)遞增，所以g(x)在區(qū)間(0,十動上的極小值也即是最小值為8⑵二百一1+姑2=1。2-5，即為+b的最小值為ln2-；.故選：B【點睛】本小題解題關鍵是將“，人表示成％的形式，然后利用導數(shù)求得2〃+b的最小值.14.(2021?山西?靈丘縣第一中學校高二月考(理))已知曲線G：f")=xe'在x=0處的切線與曲線G：g(x)=@^(aeR)在x=l處的切線平行，令〃(x)=/(x)g(x),則心)在(0,+8)上( )xA.有唯一零點 B.有兩個零點 C,沒有零點D,不確定【答案】A【分析】先對函數(shù)〃x)=x"和=求導，根據(jù)兩曲線在x=l處的切線平行，由導數(shù)的幾何意義求出“，得X到函數(shù)/?(x)=/(x)g(x)=e'lnx,對其求導，利用導數(shù)的方法判定單調性，確定其在(。,+功上的最值，即可確定函數(shù)零點個數(shù).【詳解】=r.r(x)=(l+x)e*,又心)-色吧"s-'(x}-a~alnX由題設知，/'(0)=g'⑴，即(1+0)/=佇券,：.a=\,InV貝ij〃(x)=/(x)g(x)=xe'--^=e*lnx,???/(x)=e，lnx+〈=GEx+l)g,*>0,X X令zn(x)=xlnx+l,x>0,貝Ij〃z'(x)=lnx+l,當時，/n(x)<0,即函數(shù)m(x)=xlnx+l單調遞減；當時，m(x)>0,即函數(shù)"(x)=xlnx+l單調遞增；...在(0,+8)上加(X)的最小值為機(；)=1-：>0,.,ezn(x)>0,貝|J〃(X)>O,在(0,切)上單調遞增,且M1)=o.〃(力在(0,+8)上有唯一零點，故選：A.【點睛】思路點睛：利用導數(shù)的方法判定函數(shù)零點個數(shù)時，一般需要先對函數(shù)求導，利用導數(shù)的方法判定函數(shù)單調性，確定函數(shù)極值和最值，即可確定函數(shù)零點個數(shù).(有時也需要利用數(shù)形結合的方法進行判斷)(2021?北京?臨川學校高三期末)已知函數(shù)八x)=4(A+?)lnx+匕三，林[2,同，曲線y=〃x)上kx總存在兩點N伍,%),使曲線y=/(x)在M,N兩點處的切線互相平行，則為+%的取值范圍為()TOC\o"1-5"\h\zA.(|,+8) B.(同 C.]|,+8) D/同【答案】B【分析】121 1 、 2由題設可知八此二一二+4伏+丁)?一一1且內(0,內)，令，=一即總存在g⑺=一/+4伏+7)/-1=根在(0,+00)kx x k1 1 2上有兩個不同的解L=—=G=一,則％+，2=4(k+7),利用基本不等式求為+超的范圍即可.芯 x? k【詳解】| 21 1由題設，r(x)=--y+4伏+7)--1且xe(0,+oo),令/=一w(0,y),x kx x要使y=/(x)上總存在兩點m(x，x),'伍,月)，使曲線y=〃x)在m，n兩點處的切線互相平行，g(t)=f'(x)=-t2+4(k+\-l,tt=-*^2=—,k 為 ”22.,.在(0,y)上總存在g(r)=機有兩個解分別為L、G,而g⑺的對稱軸r=2伏+不)，k故…2=3F=4伏+，而中2<空立，Xj人1 K 4...2+a=4(2+])>——整理得、+】> 2,k?2,+00)上&+算[3收)，中2 k為+為 k+-L7k

xy+x2>q即可.故選：B【點睛】TOC\o"1-5"\h\z1 c ?關鍵點點睛：由題設求/(x)及定義域，令/=一€(0，+8)有8?)=-/+4(*+7)/-1,結合已知條件：總存在x kc 1I 2gQ)=加在(0,xo)上有兩個不同的解。=一j=一,即乙+。=4伏+：),應用基本不等式求為+七范圍.(2021?全國?高三專題練習)已知函數(shù)+ 曲線y=/(x)在點(3,/(8))處與點(七，/(七))處的切線均平行于*軸，則為+W+X毛+〃占)+/優(yōu))的取值范圍是( )A. oo,———2In2^ B. —21n2,——21n2^jC.11-21n2,+8) D.(-：-21n2,+oo)【答案】A【分析】本題首先可根據(jù)函數(shù)/(x)解析式得出尸(x)=ax-a+1=柜二"然后根據(jù)題意得出演、々是方程取?-以+i=o的兩個不相等的正根，即可得出占+工2=1、占以及。>4,再然后令ah(a)=x}+x2+x]x2+f(x})+f(x2),通過轉化得出〃(a)=-；a-lna+[,最后根據(jù)函數(shù)〃(a)=-ga-lna+：的單調性即可求出取值范圍.【詳解】因為函數(shù)f(x)因為函數(shù)f(x)=-ar2-ar+lnx2所以定義域為(0,+8),f'(X)=ax~a+-=ax2~aX+lX X因為曲線y=〃x)在點a，/a))處與點(々j(w)處的切線均平行于*軸,所以為、X?是方程ax2-ar+l=0的兩個不相等的正根，xt+x2=l,xtx2=-,a-4ci>0則,解得。>4,->o令〃(4)=與+吃+占%+〃％)+/(9),貝l]/?(a)=14 F—tW1~—ciXy+In%)4--ux^—ux,+Int1 f115g2 1, 1=1+—a+ln-+—a攝—=a?lna+—,aa2粉〃 2a易知〃(a)=-ga-Ina+2在(4,*o)上是減函數(shù)，2a故網a)<-1-21n2,%+七+%玉+/(%)+/(々)的取值范圍是(Y,-t-Zlnz),故選：A.【點睛】關鍵點點睛：本題考查導函數(shù)性質的應用以及利用函數(shù)單調性求取值范圍，能否將大+毛+石玉+/(占)+/(W)轉化為-；a-lna+：是解決本題的關鍵，若切線與x軸平行，則切點處的導函數(shù)值為0,考查計算能力，是難題.TOC\o"1-5"\h\z(2021?全國?高二單元測試)已知函數(shù)f(x)=2x'+ax+a.過點M(T,0)引曲線C:y=/(x)的兩條切線，這兩條切線與y軸分別交于5,3兩點，若則f(x)的極大值點為( )a 30 03加 0 瓜 n#A. D. L. D.4 4 3 3【答案】A【分析】設切點的橫坐標為/,利用切點與點M連線的斜率等于曲線C在切點處切線的斜率，利用導數(shù)建立有關f的方程，得出，的值，再由四得出兩切線的斜率之和為零，于此得出"的值，再利用導數(shù)求出函數(shù)y=〃x)的極大值點.【詳解】設切點坐標為(。，2?+。+勾,-/y'=6x2+a,.\6r+a=2' ~?即4戶+6產=0,解得，=0或f=_g.；|A44|=IM，.??外皿+了匚廣。，即2a+6x(_j=0,貝1]。=-?,尸(x)=6x2-?.當x<一逑或x>逑時，r(x)>。；當-逑<*<邁時，r(x)<。.故4 4 4 4 4 4“X)的極大值點為一季.4【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義，考查利用導數(shù)求函數(shù)的極值點，在處理過點作函數(shù)的切線時，一般要設切點坐標，利用切線與點連線的斜率等于切線的斜率，考查計算能力，屬于中等題.(2021?安徽?阜陽市潁東區(qū)衡水實驗中學高二月考(文))已知曲線y=￡在x=為處的切線為1，e曲線y=lnx在處的切線為“，且/山2,則-馬-王的取值范圍是( )A.[g] B.(F-1)C.(-oo,0)D.[f]【答案】B【分析】求出兩個函數(shù)的導數(shù)，可得用=上半，玲=,，根據(jù)可得X2-x=0-x-x,>l,構造函數(shù)e1x2 e1/z(x)=丁-X,X>1,通過求導數(shù)，判斷函數(shù)的單調性，進而可得〃(力的取值范圍為(yo,T),即可得出結果.【詳解】令f(x)=5，g(x)=lnx,1—V* 1 1—.V則r(x)=1-,g'(x)=-,所以匕=—^,k2=—,€ X € ^2[一X] y_1因為/l，/：:,故不所以％=-41，x因為W>。，故玉>1.又￡一X=:一一X，令/z(x)=J!-x,x>\,ex貝匹卜子1="衿，當xe(l,+oo)時，y=2-x-e*為減函數(shù)，故2-x-e、<2-l-e'<0,所以〃(x)<0在(L+oo)上恒成立，故人(同在(1,內)上為減函數(shù)，所以〃(x)<〃(l)=T,所以〃(x)的取值范圍為(f,T),即*2-％=千1-占的取值范圍為(yo,-1)故選：B.【點睛】本題考查了導數(shù)的幾何意義、導數(shù)的綜合應用，考查了運算求解能力和邏輯推理能力，屬于難題.二、多選題(2021?海南?海口中學高三月考)如果兩地的距離是600公里，駕車走完這600公里耗時6小時，那么在某一時刻，車速必定會達到平均速度100公里/小時.上述問題轉換成數(shù)學語言：f(x)是距離關于時間的函數(shù)，那么一定存在：八?二(嘰八c), 就是c時刻的瞬時速度.前提條件是函數(shù)在［a,同上連續(xù)，/(x)在(46)內可導，且a<c<尻也就是在曲線的兩點間作一條割線，割線的斜率就是竺必b-ar(c)是與割線平行的一條切線，與曲線相切于c點.已知對任意實數(shù)內,工2《a3),且為>馬，不等式/(%)一/(工2)<%(%-工2)恒成立，若函數(shù)/(x)=2x2—-n為，則實數(shù)人的可能取值為()A.7 B.8 C.9 D.10【答案】CD【分析】根據(jù)題意，問題轉化為氏N/'(x)在xe(l,3)上恒成立，進而通過分參和構造函數(shù)得到答案.【詳解】由已知/(%)-/(毛)<%&-毛)，%>%恒成立，可得在x?l,3)上恒成立.因為『(x/Zr2-Alnx,L L Ar2 4所以r(力=41-勺，所以4x—*?攵，即竺整理得4(x+l)+---8<*①.X X x+1 x+1因為xe(l,3),所以x+l?2,4).令r=x+l,則fe(2,4),①式化為4r+；-84%.記g")=4f+：-8,f?2,4),8()=4卜_訃4(，+?(—)>0,所以g(r)在(2,4)上單調遞增，所以g(/)e(2,9),所以k29,故選：CD.【點睛】關鍵點睛：在證明恒成立問題時，構造函數(shù)利用導數(shù)求函數(shù)最值是解決問題的關鍵.(2021?全國?高二課時練習)已知函數(shù)f(x)=/,g(x)=ln5+；的圖象與直線V=加分別交于A、8兩點，貝IJ( )A.|A卻的最小值為2+ln2B.熱?使得曲線f(x)在A處的切線平行于曲線g(x)在8處的切線c.函數(shù)/(x)-g(x)+機至少存在一個零點D.加使得曲線外力在點A處的切線也是曲線g(x)的切線【答案】ABD【分析】求出A、8兩點的坐標，得出|AB|關于加的函數(shù)表達式，利用導數(shù)求出的最小值，即可判斷出A選項的正誤；解方程r(ln/n)=g'(2e'"B，可判斷出B選項的正誤；利用導數(shù)判斷函數(shù)尸“力一8⑺+機的單調性，結合極值的符號可判斷出C選項的正誤；設切線與曲線y=g(x)相切于點C(〃,g(〃))，求出兩切線的方程，得出方程組，判斷方程組是否有公共解，即可判斷出D選項的正誤.進而得出結論.【詳解】令/(x)=e，=zn,得x=lnm,令g(x)=ln：+；=/n,得x=2e"4,則點A(ln孫吟、B\2em由圖象可知，|A8|=2emw_inm，其中機>。，令由圖象可知，|A8|=2emw_inm，其中機>。，令〃(m)=2emT-inm，則〃'(m)= 一方，則函數(shù)y="(m)單調遞增，且〃(￡)=0,當。</n<g時,當〃時，機)>0.所以，函數(shù)Mm)=2jT_in,〃在上單調遞減，在［；，+8)上單調遞增，所以，MB1n=〃(；)=2-ln；=2+ln2,A選項正確；

?：f(x)=e',g(x)=%+；,則r(x)=e[g[x)=B，曲線y=/(x)在點A處的切線斜率為/'(lnm)=機,曲線y=曲線y=g(x)在點5處的切線斜率為g'm—2e21rm—2e2令r(ln/n)=g(2J21令r(ln/n)=g(2J2，即桁=不，即2%叮=1，2e2則m=g滿足方程2〃/嗎=1，所以，前使得曲線y=A、)在A處的切線平行于曲線y=g(x)在B處的切線,B選項正確；Y I

構造函數(shù)尸(x)=〃x)-g(x)+/"=e*_l叱+%,可得尸數(shù)卜三一1,當0<x<s時，G'（x）>0,當x>s時，G（x）<0.函數(shù)9(切=/-：在(0,用)上為增函數(shù)，由于尸4e-2<0,r(l)=e-l>0,則存在re1，1,使得F'(r)=e'-；=O,函數(shù)9(切=/-：在(0,用)上為增函數(shù)，由于尸4e-2<0,r(l)=e-l>0,則存在re1，1,使得F'(r)=e'-；=O,可得，=—lnr,當0<x<f時，尸'(x)<0；當x>f時，F(xiàn)f(x)>0./.F(x),=F(r)=ez-In-4-zn--=ez-Inr+/n4-ln2--=-4-f+/??4-ln2--\/min、， 2 2 2t 2l-i i 3>2J，?一+〃z+In2——=—+In2+機>0,V/ 22所以，函數(shù)尸(x)=f(力-g(x)+m沒有零點，C選項錯誤;設曲線y=〃x)在點a處的切線與曲線y=g(x)相切于點c(〃,g(〃)),則曲線y=f(x)在點A處的切線方程為y-m=eln,"(x-lnni),gpy=mr+m(l-lnni),,、 1n1同理可得曲線y=g(x)在點c處的切線方程為.丫=-*+1咤-彳，n22所以，"2=一?7 1,消去〃得m—(m—l)lnm+ln2+—=0,、 7 22令G(x)=x-(x-l)lnx+ln2+g,貝l]Gz(x)=l---lnx=--lnx,函數(shù)y=G'(x)在(0,也)上為減函數(shù)，?.?G'(l)=l>。，G'(2)=g-ln2<0,則存在se(l,2),使得G'(s)=g-lns=O,且5=).5 17所以，函數(shù)y=G（x）在（2,田）上為減函數(shù)，?.?G（2）=5>0,G（8）=y-201n2<0,由零點存在定理知，函數(shù)y=G（x）在（2,內）上有零點，即方程加一（加一1）心力+1112+1=。有解.所以，協(xié)使得曲線y=/（x）在點a處的切線也是曲線y=g（x）的切線.故選：ABD.【點睛】本題考查導數(shù)的綜合應用，涉及函數(shù)的最值、零點以及切線問題，計算量較大，屬于難題.（2021?全國?高三期中）已知函數(shù)/（x）=e*,g（x）=ln]+g下列說法正確的是（ ）A.對于切《€/?,〃（力=/（力一8（1：）+m都存在零點B.若匕>"（0￥）-0￥2》-8（2》）+：恒成立，則正實數(shù)a的最小值為1c.若〃x）,g（x）圖像與直線y=m分別交于4B兩點，貝1]|他|的最小值為2+1112D.存在直線丫="與/（x）,g（x）的圖像分別交于B兩點，使得“X）在工處的切線與g（x）在3處的切線平行【答案】BCD【分析】利用導數(shù)求出函數(shù)的單調性即可得到函數(shù)的最小值，從而判斷A;對于B利用同構的思想將不等式轉化為or>Inx,參變分離得心Tmor>Inx,參變分離得心Tm,再構造函數(shù)求出參數(shù)的取值范圍；依題意可得A（ln〃?,〃?），B\2e則lABbaeMT-lnm，再構造函數(shù)利用導數(shù)求出函數(shù)的最小值，即可判斷C;根據(jù)導數(shù)的幾何意義得到方程，解得m,即可判斷D;【詳解】解：對于因為Mx）=e*-lW-：+〃7,所以人'（x）=e*-L,令〃'（x）=e*-4=。，存在％使得人=7，故心）在（0,與）單調遞減，在區(qū)間小,3）單調遞增，心）的最小值為Mx°）=eJ吟-；+m,當機Aln5+g-*時，人(x)不存在零點，故？1錯誤.對于⑸不等式化為= y=ex-x9則y=e，-l,所以y=e*-x在(。，內)上遞增，故同構可得：orNlnx,即“2叱的最大值，令""=皿，貝l]r'(x)=l^,所以xe(O,e)時?x)>0,X X X當xw(e,??)時/(x)<0,所以r(x)g=r(e)=：,所以成立，故3正確.(吁：I 1 12e，mJ，|A8|=2e'"E-ln/n，令9(x)=2e*W-Inx“(》)=2/：」在(0,+<?)上遞增，且“;1=0,當xw(0,g}d(x)<0,當xe(g,+oo)Mx)>0,所以，夕(可“=°(；)=2+ln2,故C正確.對于。，假設存在、=加滿足題意，可知A(ln/n,m),B12eT,，”)j'(x)=e\g'(x)=g.(⑷11f'(lnm)=enm=m,g'\2e2=—y,因為在〃幻在/處與g(x)在B處的切線平行所以有，m= ,〈 ,2e2 Ie2即2me"1=l，得m=J，故存在功符合題意，故。正確?故選：BCD(2021?福建師大附中高三月考)如果兩地的距離是600公里，駕車走完這600公里耗時6小時，那么在某一時刻，車速必定會達到平均速度100公里/小時.上述問題轉換成數(shù)學語言：f(x)是距離關于時間的函數(shù)，那么一定存在：/("(“)=/，(c),/'(c)就是。時刻的瞬時速度.前提條件是函數(shù)/(x)在[。，耳上連續(xù)，在(。⑼內可導，且a<c<b.也就是在曲線的兩點間作一條割線，割線的斜率就是"牛"0,7'(c)是與割線平行的一條切線,與曲線相切于C點.已知對任意實數(shù)占，毛e(l,3),且%>々，b-a不等式/a)—/(Z)<Mx-毛)恒成立，若函數(shù)/(力="--門，則實數(shù)工的可能取值為()A.8 B.9 C.10 D.11【答案】BCD【分析】根據(jù)題意，問題轉化為42/'(x)在xe(l,3)上恒成立，進而通過分參和構造函數(shù)得到答案.【詳解】由已知/(%)-/(々)<女(再一毛)，恒成立，可得々Nf'(x)在xe(l,3)上恒成立.因為〃x)=2x2-Alnx,k kAy? 4所以尸(x)=4x--,所以4x——VA,BP—<Jt,整理得4(x+l)+---8<*①.X X x+l x+1因為xe(l,3),所以x+l?2,4).令，=x+l,則小(2,4),①式化為4r+；-84%.記g(r)=4f+；-8,f?2,4),8'。)=4(1-白=業(yè)羋心>0,所以g”)在(2,4)上單調遞增，所以g(/)e(2,9),所以k29,故選：BCD.(2021?江蘇?無錫市青山高級中學高二期中)已知函數(shù).丫=*+,，過凡1,0)作切線交函數(shù)圖像于點XM和點N,記|MN|=g(r),則下列說法中正確的有( )r」時，PM1PN4g(r)在定義域內單調遞增r=g時，M,7V和(0,1)共線g(l)=6【答案】AC【分析】fxM+xN=It先判斷出 ，和%w=2,再對四個選項一一驗證：[XMXN=-t對于A：直接計算即可判斷pa/_lpn.I對于C:用同一法證明：假設MN和(Q,1)共線，得到直線方程X224.將其與y=x+2聯(lián)立，利用韋x達定理計算，發(fā)現(xiàn)其與山，心所滿足的韋達定理相同，即可判斷；求出g(r)=2>/^>/廠+1,對于B:判斷出g(，)=2石"77定義域為(yo,T]U[0，E)的單調性，即可判斷；.對于D:直接求出g(l),即可判斷.【詳解】

對于y=x+1,該函數(shù)上任一點x處的切線方程為y=r(%)(x-%)+/(%),那么過卬,0)的切線方程就滿足o=r(%)(1一天)+/(%),即o=(i-亦即過y=x+1上的點的兩個切線方程均經過RL。),此點即題目所給的此兒故由韋達定理，有＜XM+XN=-21XMX故由韋達定理，有＜XM+XN=-21XMXN=一'那么g_yM-yN?t,所以&的=2為定值.二1 XM~XNXMXN再依次驗證四個選項:對于A：因為XM+一XMXN+一XNXMXNPM^PNPM^PNXMXN-1 1-（XM-Xn）+XMXN所以當5時，⑥―,所以改CM故A正確;對于C：XM+XN=T..__1，又有3N=2為定值，那么若MN和(Q,1)共線,則直線必為片2X+1.將其與XMXN=_/、「丫:2聯(lián)立，有*+2元-1=0.利用韋達定理計算，發(fā)現(xiàn)其與山，4所滿足的韋達定理相同.故和(Q,y-—X1)共線.故c正確;由= 有8（/）=國（如+X〃）2-4。仃"=26/產+\,對于B：g(r)=2石爐工定義域為(Yo,-l]U[0,y),由復合函數(shù)單調性可得g(f)在上單調遞減,在[0,內)是單調遞增.故B錯誤.對于D:g⑺=2石右二，所以g(f)=2石5=2加.故D錯誤;故選：AC【點睛】用導數(shù)求切線方程常見類型:（1）在P（x。,%）出的切線:%），%）為切點,直接寫出切線方程：y-%=r（%Xx-%）；(2)過P(x。,％)出的切線：P(x。,%)不是切點，先設切點，聯(lián)立方程組，求出切點坐標(大,%),再寫出切線方程：y-x=ra)(x-xj.(2021?福建寧德?高二期中)若以函數(shù)y=f(x)的圖象上任意一點尸(xJ(xJ)為切點作切線Jy=/(x)圖象上總存在異于尸點的點Q(&J(電))，使得以。為切點的切線〃與4平行，則稱函數(shù)/(X)為“和諧函數(shù)”，下面函數(shù)中是“和諧函數(shù)”的有( )A.y=x3-3x B.y=3x+—xC.y=sinx D.y=(x-2)2+lnx【答案】BC【分析】求出導函數(shù)/'(x),判斷對函數(shù)定義域內任意為，是否都存在使得/")=/&).【詳解】y=X3-3x,/=3x2-3,當西=0時，丫'=-3是最小值，不存在當滿足題意；/(x)=3x+L定義域是｛xIxwO),/'(x)=3-4,它是偶函數(shù)，因此對任意的為#0,取七=一a都有X X-f'(xl)=f'(x2),滿足題意，f(x)=sinx,r(x)=cosx,它是周期函數(shù)，最小值正周期是2%，因此對任意占6*,取馬=占+2萬，都有r(4)=/a),滿足題意，/(x)=(x-2)2+lnx,定義域是(0,也)，r(x)=2(x-2)+-,X? 1or2_1令g(x)=f\x)=2(x-2)+-(x>0),sf(x)=2-4=三三二,X xX當0<x<立時，g'(x)<0,g(x)遞減，當x>也時，g'(x)>0,g(x)遞增,2 2g(《)=2夜-4是極小值也是最小值，取士=4，則不存在士力士使得八為)=/也)，不滿足題意.故選：BC.【點睛】本題考查新定義，解題關鍵是理解新定義，并利用新定義進行轉化.本題解題實質就是求出導函數(shù)/'(X),然后確定對函數(shù)定義域內任意的為，是否存在々片占，使得/'(卬=/'區(qū))，由此可確定導函數(shù)「(X)的奇偶性與單調性、最值，從而得出結論.(2021?遼寧大連?高二期末)設函數(shù)/(x)=e2，_l〃，+10x,若曲線y=〃力在點P(%J(x。))處的切線與該曲線恰有一個公共點尸，則滿足條件的％可以是()A.In8 B.In6 C.In4 D.In3【答案】ABD【分析】利用導數(shù)求出切線方程，轉化為/(力=/'(%)(兀-%)+/(毛)有且只有一個根局.令晨力=/(耳-/'優(yōu))&-與)-〃與),則函數(shù)有唯一零點私對函數(shù)g(x)求導，討論，確定單調區(qū)間，根據(jù)有一個零點求出事的范圍，對照四個選項即可得到答案.【詳解】因為/(x)=e2'-12e'+10x,所以尸(力=2^-1"+10,則在點尸處的切線方程為y=/'(%)(x-$)+/(%).若在點尸處的切線與該曲線恰有一個公共點A則方程組;二:((:)(.*)+〃丫)有且只有一組解,即方程〃x)=r(%)(*-％)+/(玉))有且只有一個根為令8(*)=/(力-/伉)(萬一下)一/(為),則函數(shù)■角有唯一零點9而g'(x)=/'(x)_/'(與)=2elx-\2ex-(2^-I2e*)=2(e*—e* +e*-6).當e*N6時，即吃Nln6,e'+e*-6>0恒成立，令g'(x)=0,得x=x().當x<x()時，有g'(x)<0；當x>x0時，有g'(x)>0;所以g(x)在(fo,%)上單減，在伍,收)上單增，所以當x=x,時，g(x)取得最小值，又g($)=0,所以y=g(x)由唯一零點，故/2In6滿足題意.當*=3時，即/=m3,有短(力=2佇一1)々。恒成立，所以g(x)在R上單增，又g(%)=0,所以此時函數(shù)有唯一零點.故當％=In3時滿足題意.當e”<6且ee=3,即x<ln6且*iEn3時，方程e*+e"-6=0有且只有一個根，設為均,則的*司，令g'(x)=O,得X=X?；騒=X|,若芭>飛,則當器兩或A>Xi時，g'(X)>0,當X0<X<X|時，g'(x)<0,所以g(x)在S，%），(%,??)上單增，在(如Xj)上單減，又g(Ao)=O,所以g(x)<o,又當Xfy時,g(x)f+00，所以由零點存在定理可得，存在aea，+oo),使得g(a)=0,所以函數(shù)g(x)有兩個零點兩和a,不符合題意；若冬〈飛，則當x"或x>x0時，g'(x)>0,當不<x<x°時，g'(x)<0,所以函數(shù)g(x)在(T?,X1),(Xo，+oO)上單調遞增，在(公與)上單調遞減，又g(%)=0,所以g(W)>0,又當xfy時,g(x)->fo，所以由零點存在定理可得，存在￡e(-8，xj,使得g(0=。,所以函數(shù)g(x)有兩個零點飛和尸,不符合題意.綜上可知,只有當天21n6或毛=ln3時符合題意,由選項ABD符合.故選:ABD.【點睛】利用導數(shù)研究零點問題：(1)確定零點的個數(shù)問題：可利用數(shù)形結合的辦法判斷交點個數(shù)，如果函數(shù)較為復雜，可用導數(shù)知識確定極值點和單調區(qū)間從而確定其大致圖象；(2)方程的有解問題就是判斷是否存在零點的問題，可參變分離，轉化為求函數(shù)的值域問題處理.可以通過構造函數(shù)g(x)的方法，把問題轉化為研究構造的函數(shù)g(x)的零點問題；(3)利用導數(shù)研究函數(shù)零點或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數(shù)形結合思想研究；③構造輔助函數(shù)研究，(2021?全國?高二單元測試)已知曲線/(x)=ae"2(a>0)與曲線g(x)=f-加(加>0)有公共點，且在第一象限內的公共點處的切線相同(e是自然對數(shù)的底數(shù))，則當m變化時，實數(shù)a取以下哪些值能滿足以上要求()A.1 B.e C.2e D.e1【答案】AB【分析】兩個函數(shù)有公切線，則在切點處函數(shù)值相同，導數(shù)值相同，可以得到參數(shù)a,m與切點的關系，從而可以構造函數(shù)，把問題轉化為函數(shù)交點問題，求參數(shù)取值范圍，然后觀察選項是否在區(qū)間內即可.【詳解】設公切點為(X。，%),(%>。)，則yo=ae3=x：-/n,求導得，f'(x)=aei,g'(x)=2x,由切線相同知，r（4）=g'（%）,即四貝I]x?—m=2x0=>w=Xq—2x0>0=>x0>2,a=,令"x)=W，(》>2),2-2xhf(x)=--r9在x>2時，h\x)<0,〃(外單調遞減，h(x)</z(2)=4；e故函數(shù)〃*）的值域為（。，4）,即只需〃w（0,4）均可滿足條件.易知，a=l或e時均滿足，a=2e或『時不滿足;故選：AB.【點睛】方法點睛：將變量與切點的關系，構造函數(shù)，通過導數(shù)來研究參數(shù)的取值范圍.（2021?全國?高二專題練習）若直線丫=雙與曲線〃x）=e'相交于不同兩點4（菁,兇），8（私月）,曲線/（x）=，在48點處切線交于點M（Xo，%）,則（ ）A.a>e B.x,+x2-x0=1C.kAM+kBM>2kAU D.存在。，使得ZAMB=135°【答案】ABC【分析】對于A:求出過原點的切線的斜率為e,根據(jù)直線丫=以與曲線/（x）=e*有兩個不同的交點，可得出。和范圍；對于B:由已知得由=e*\ax2=ex-,不妨設占（x2,則0<芭<1<%，分別求出/（x）=e"在點/,點B處的切線方程，由兩切線方程求得交點的橫坐標，可得結論；對于C:要證心“+即”>2號”即證爐+*>2。，即證叫+%>2a,因為a>e,所以需證占+々>2.構造函數(shù)g（x）=W，G（x）=g（x）-g（2-x）（0<x<l）,求導，分析導函數(shù)的正負，得出所構造的函數(shù)的單調性和X最值，可得結論；對于D：設直線Z"交x軸于C,直線EW交x軸于點。，作ME_Lx軸于點E.若ZAMB=135。，貝ljZAMD=45,即NM￡>E-NMC￡>=45,根據(jù)正切函數(shù)的差角公式和切線的斜率得e--ex'=l+ex,x*=1+e*”?,【詳解】對于A:當aVO時，直線了=◎與曲線，(x)=e'沒有兩個不同交點，所以。＞0,如圖1所示,當直線廣公與曲線/*)=e'相切時，設切點為尸(rj(r)),則/(x)=e、,所以切線方程為：y-e'=e'(x-t),代入點(0,0)解得f=l,此時"=e,所以直線"Q與曲線f(x)=e'相切，所以當a>e時直線y=or與曲線/a)=，有兩個不同的交點，當0<a<e時，直線.v=Q與曲線/(x)=e'沒有交點，故A正確；對于B:由已知得叫=d，ax2=eXz,不妨設耳</，貝lJ0<x1Vl〈天，又/(x)=e、在點力處的切線方程為：y=A(x-xJ+e",在點B處的切線方程為y=*(、一工2)+升，兩式相減得(e*' )(x+l)-中、+標*2=0,將叼=e*1,ax2=泊代入得(時一%)(1+1)-％?(叫)+%2(ar2)=0,因為4(%一9)工0,所以x+w-1=1,即玉+大2-工0=1,故B正確;對于C:要證心”+&詞>238,即證e』+*>2a,即證時+0^>2〃，因為。>e,所以需證石+々>2.令ar=e1則。="，令g(x)=巳，則點43是丫=。與y=J的兩個交點，令X X XG(x)=g(x)-g(2-x)(0<x<l),所以G(x)=(x-1)所以G(x)=(x-1)%-(2-x)2,令〃(x)=》(x>0),則"(x)=e?)所以當xe(0,2)時，"(x)<0,〃(x)單調遞減,M0<x<l,0<x<l<2-x<2,所以h(x)>h(2-x),所以0<x<l時，G(x)<0,所以G(x)單調遞減,所以G(x)>G⑴=0,即g&)-g(2-%)>0,又g&)=g(X2)=a,所以g(w)>g(2f),而g《)=空更，所以當x>l時，g(x)>0,g(x)單調遞增，又赴>1,2-±>1,所以￡>2-辦，即為+x?>2,故C正確；對于D:設直線交x軸于C,直線交x軸于點。，作ME_Lx軸于點E.若ZAM8=135。，則ZAMD=45,化簡得距m=1+Kmx&bm,即e*2=l+e"x*=1+爐”2,所以公2-公i=1+公1，即即NMDE-NMCD即NMDE-NMCD=45,所以tan(Z.MDE-ZMCD)=tan4MDE—tanNMC￡>1+tanZ.MDExtanZ.MCDkfiM-1+L乂1^令m=/一% 工2,則加=王一%一XW=—（大一1）（巧+1）+1,又0＜王＜1＜彳2,所以m=x2-xy-xix2=一(司-1)(/+1)+1>1,而a＞e,所以方程。（毛一%-為毛）=1無解，所以不存在“，使得NAM8=135。，故D不正確,方法點睛：導函數(shù)中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}.注意分類討論與數(shù)形結合思想的應用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉化為函數(shù)的單調性、極（最）值問題處理.（2021?河北?石家莊二中高二月考）已知函數(shù)f（x）=：or2-or+lnx的圖象在點處與點（七，/（七））處的切線均平行于8軸，則（）/（x）在（1,+?）上單調遞增%1+x2=2%+毛+卬//（占）+/（々）的取值范圍是（F,￡-21n2）D.若。若，則只有一個零點【答案】ACD【分析】求導，根據(jù)題意進行等價轉化，得到。的取值范圍；對于A,利用導數(shù)即可得到/（x）在（1,?）

上的單調性；對于B,利用根與系數(shù)的關系可得占+々=1；對于C,化簡內+%+%玉+/&）+〃9）,構造函數(shù)，利用函數(shù)的單調性可得解；對于D,將。=三代入了'（X）,令尸（力=0,可得〃x）的單調性，進而求得/（力的極大值小于0,再利用零點存在定理可得解.【詳解】由題意可知，函數(shù)/（X）的定義域為（0,+8）,且尸（回=如-4+'=竺!二竺±1,X X△=6-4a>0則占，士是方程依2-如+1=0的兩個不等正根，貝M 1八，解得〃>4,XjX2=—>0、a當xw（l,+co）時，函數(shù).丫=公2-"+1>0,此時/'（x）>0,所以〃x）在。,+8）上單調遞增，故A正確；因為為，々是方程cd-5+1=0的兩個不等正根，所以為+%=1,故B錯誤;7ax^—ax217ax^—ax2因為X1+X1+A?]/+/(%)+f(“2)= blflX]+—61X]—6L￥|+If)X?+~易知函數(shù)〃（4）=-；4-1114+5在（4,+00）上是減函數(shù),7則當a>4時，〃（a）<〃（4）=-121n2,所以為+%2+為%2+/（%）+/（々）的取值范圍是［-<?,-1-21112）,故C正確；當a當時，r（x）=/x弋+L令/'（x）=0,得x=；或］3 3SX 4 4則/（X）在（o,"）上單調遞增，在15q）上單調遞減，在（（，+8］上單調遞增,所以“X）在X=：取得極大值，且/（；）<。，〃2）=ln2>0,所以〃x）只有一個零點，故D正確.故選：ACD.【點睛】關鍵點點睛：導數(shù)幾何意義的應用主要抓住切點的三個特點:①切點坐標滿足原曲線方程；②切點坐標滿足切線方程；

③切點的橫坐標代入導函數(shù)可得切線的斜率.三、雙空題(2021?全國?高二單元測試)牛頓迭代法又稱牛頓-拉夫遜方法，它是牛頓在17世紀提出的一種在實數(shù)集上近似求解方程根的一種方法，具體步驟如下：設，?是函數(shù)丁=/(力的一個零點，任意選?。プ鳛椤傅某跏冀浦?，過點(玉J(xJ)作曲線y=f(x)的切線乙，設4與x軸交點的橫坐標為士，并稱占為「的1次近似值；過點(和/&))作曲線y=/(x)的切線*設4與x軸交點的橫坐標為稱為『的2次近似值，過點(天,/(%)乂〃€^)作曲線y=〃x)的切線加，記心與x軸交點的橫坐標為x,…并稱x,m為r的〃+1次近似值，設/(x)=x3+2x-2(xN0)的零點為r,取毛=0,則廠的2次近似值為:設3/+??=2>+2，，(ngN，)>數(shù)列｛4｝的前〃項積為若任意的〃eV,(<%恒成立，則整數(shù)2的最小值為4TOC\o"1-5"\h\z【答案】y 2【分析】利用導數(shù)求出直線配的方程，可得出兌“=%?，結合%=?？汕蟪龀闹担茖С隹汕蟮?x；+2 x〃+iTn=—,由已知條件可得出4f1e(l,2),由此可求得整數(shù)彳的最小值.%+1 r【詳解】v/(x)=x3+2x-2,貝(x)=3x?+2,/”“)=34+2,所以，曲線y=/(x)在點(X"J(xJ(〃gN)處的切線方程為y-(W+2x“-2)=(3x；+2)(x-x3即y=(3x：+2)x-2x：-2,由題意可知點(3，0)在直線丫=(34+2卜-24-2上,所以，士+i=f?+?,???x0=。，則占=所以，士+ix“（3x;+x“（3x;+2）_x“21；+1）J=-<q=五二巴??…旦=五=，X?x3x4xn+lxn+1X“M因為函數(shù)/(x)=V+2x-2(xN0)的零點近似值為r,且函數(shù)/(x)在［0,xo)上為增函數(shù),因為= /（1）=1>°，由零點存在定理可知re由題意可知，V一->：w（l，2）,故整數(shù)之的最小值為2.Xn+\r4故答案為：y；2.【點睛】關鍵點點睛：本題考查數(shù)列不等式恒成立問題，解題的關鍵在于利用導數(shù)求出切線方程，得出數(shù)列｛xj的遞推公式，利用數(shù)列的遞推公式求解.四、填空題（2021?遼寧?渤海大學附屬高級中學高三期中）已知函數(shù)/（x）=|lnx-l|,0<xt<e<x2<e2,函數(shù)op的圖象在點收（與,/a））和點ng,/伍））的兩條切線互相垂直，且分別與y軸交于p,q兩點,則點的取值范圍是.【答案】（3,+8）【分析】OPOQ的范利用導數(shù)的幾何意義可求得在M,N處的切線方程，并得到|04,|0@；根據(jù)切線互相垂直可得為芻=1,OPOQ的范此得到粵=1^等，令，=1眸，可得以/）=答，利用分離常數(shù)法可求得了（，）的范圍，即為ogz—inx, z-t圍.【詳解】當0cx<e,時/（x）=l-Inx,/（力=一再），.*=一；,

x\???在M處的切線方程為y-1+lnX] ，即y=_—彳+2_]呻,.\|OP|=2-\nXy；^e<x<e2,f（x）=lnx-l, =同理可求得：在N處的切線方程為：y=；x-2+lnx2,/.|OQ|=|lnx,-2|=2—InA^,?兩條切線互相垂直，?二OP?兩條切線互相垂直，?二OP_2-lnXj_2+InX?OQ2-lnx22-Inx2令f=lnx2,f?L2)、幾\2+f-(2-/)+4 4 (,o\^/(r)=7_~='=VIZ，z-I Z-I z-I則/⑺在(1,2)上單調遞增，”(f)e(3,y),即:普0收).故答案為：(3,+8).【點睛】關鍵點點睛：本題解題關鍵是能夠利用導數(shù)的幾何意義求得|。耳|。@,將圖表示為關于變量f=ln±的函數(shù)的形式，從而利用函數(shù)值域的求解方法求得結果.(2021?廣東天河?高三月考)過定點P(Le)作曲線y=ae'(a>0)的切線，恰有2條，則實數(shù)〃的取值范圍是.【答案】。，口)【分析】設切點為(天，“”)，利用導數(shù)幾何意義求得切線方程為y=ae^(x-x0+}),由題意知。=工;^^;在/W2上有兩個不同解，構造g(x)=":一、且XX2,利用導數(shù)研究單調性及值域，進而確定。的范圍.【詳解】由y'=ae*,若切點為(%,熊”)，則y=k=ae”>。，???切線方程為丫=(x-x0+1),又P(1,e)在切線上，???a*(2-x°)=e,即a= : 在/w2上有兩個不同解，c e(x—1)令g(x)=-77；—7,即原問題轉化為g。)與了=。有兩個交點，而g")=',1、當x>2時，g'M>0,g(x)遞增，且她g(x)->(T,2、當2>x>l時，g'(x)>0,g(x)遞增；當x<l時，g'(x)<0,g(x)遞減；g（x）Ng⑴=1,又!吧g（x）-x,l<x<2時g（x）>0且|i黑g（x）f+<?,?,要使°="總不在/*2上有兩個不同解，即a?1,內）.故答案為：（1,收）（2021?黑龍江?大慶實驗中學高二期末（文））已知函數(shù)f（x）=lnx-nr+lnm+l（加>1）,尸（x）是其導函數(shù)，若曲線y=/（x）的一條切線為直線/：2x-y+l=0,則機”的最小值為.【答案】-e【分析】設直線/與曲線相切的切點為（/，%）,借助導數(shù)的幾何意義用為表示出m,A即可作答.【詳解】設直線/與曲線相切的切點為a。,%）,而尸“）2-〃，則直線/的斜率/'（%）=’一",TOC\o"1-5"\h\zx xo于是得二〃=2,即"=——2,[y0=2x0+1 - e由｛ , , ，得111入0-5）+111%=2工0,而“+2%=1,于是得Inm+lnx。=1,即，”=一[y0=lnx0-7t^+lnm+l xQ因m>l,貝l]0<Xo<e, =—（--2）=4（-當且僅當為=1時取"="，所以小〃的最小值為-e.故答案為：r【點睛】結論點睛：函數(shù)片男兄是區(qū)間。上的可導函數(shù)，則曲線尸在點（/，/（/））（/6。）處的切線方程為：y-f（x0）=f（x0）（x-x0）.（2021?四川?三模（理））切x軸于點A、對稱軸平行于）‘軸的拋物線和曲線y= 交于點8,并且兩曲線在B點的切線相互垂直，A、8兩點的橫坐標分別為1、2,女和。是正的常數(shù)，則k的值為【答案】1【分析】

首先可設拋物線方程為(x-1)2=2py,即y=/(x)=9},然后根據(jù)8⑵:/⑵得出4^3=已，再然后根據(jù)兩曲線在B點的切線相互垂直得出：？和金]=-1,最后聯(lián)立兩式，通過運算即可得出結果.【詳解】因為A點的橫坐標為1,2所以A(1,O),可設拋物線方程為(x-l『=2py,即丫=/(')=哥1y=g(x)=ky/c-x的定義域為(-?,q,因為拋物線和曲線y