求解通項(xiàng)公式常用方法

nn2求解數(shù)列通公式的常用法nn2數(shù)列是高考中的重點(diǎn)內(nèi)容之一，每年的高考題都會(huì)考察到，小題一般較易，大題一般較難。而為給出數(shù)列的一種形式——通項(xiàng)公式，在求數(shù)列問題中尤其重要。本文給出了求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法。一觀法(猜想)由列前項(xiàng)特觀猜出列通公，鍵找各項(xiàng)項(xiàng)的系例：據(jù)數(shù)列的前項(xiàng)，寫出它的一個(gè)通項(xiàng)公式：（1，，，9999，…（）

11,2,（3251017

23

,

12

,

25

,（4

12,2

34610,（）,,,415析（1

（2）

an

n

n2

2

;

（3

an

2n;（）(nn

（5

n

n11

二定法直接利等差數(shù)列或比數(shù)列定義求通項(xiàng)方法叫義法，這種法適應(yīng)已知數(shù)列類的題目例．差數(shù)列，項(xiàng)和為解：設(shè)數(shù)列(d

n

，且

,a,a9

成等比數(shù)列，

25

．求數(shù)列

.∵∵∵

,a成比數(shù)列，∴a2a，(a)2)dd39319111，∴a…………①52∴5aad)2………②5由①②得：

a

33，d∴n555點(diǎn)：用定義法求數(shù)列通項(xiàng)時(shí)要注意不用錯(cuò)定義，設(shè)法求出首項(xiàng)與公差（公比）后再寫出通項(xiàng)。三、

累法（加）求形如aa(為差或比數(shù)列其它求和的列）的數(shù)列項(xiàng)，可累加法，即n13…n—到個(gè)式子累求得通項(xiàng)。aa))))f(2)(3)f(n)n3nn1例3已數(shù)列

{}

滿足

n1

，求數(shù)列

{}

的通項(xiàng)公式。解：由

a

n

得n

n

n

則aa)a)n132

a))nnnnn

評(píng)注題解題的關(guān)鍵是把遞推系式a

n

轉(zhuǎn)nn3)n

(12n

2

為

n

n

，

進(jìn)

而

求

出以數(shù)列

{}

的通項(xiàng)公式為

a

。

))nnnn即得數(shù)列{}通項(xiàng)公式。n

(a)(a321

所四累法疊法a對(duì)如a

f(n)的列通，用乘，令，，—1得到—1個(gè)子乘得通。/

n11nn1na當(dāng)na21nnn2snnn11nn1na當(dāng)na21nnn2snnnnnn1nn1naa1

aan(2)(3)ann

(n)例：數(shù)列｛a｝，·a·a，an表達(dá)式。nan解：由(n+1)·a·a得，annna2n1a=a34…n所a4nnn1五公法若知列前n項(xiàng)和S與的關(guān)，求列n

項(xiàng)a可公n求注意是需驗(yàn)n=1時(shí)論否立例：已知下列兩數(shù)列{n}的前和s的式，求{n}的通項(xiàng)公式。

）（1）nn。（2n解：（）當(dāng)nS1111n3n)n1)(n1)時(shí)，==nn

=3

n2n此時(shí)，a足上式。∴為求數(shù)列的通項(xiàng)公式。1n（2n時(shí)011當(dāng)時(shí)asnn(n由于a不合于此等式?！郺n(2)注意要先分

兩種情況分別進(jìn)行運(yùn)算，然后驗(yàn)證能否統(tǒng)一。例6設(shè)列3求n時(shí)3即111n時(shí),由a3得a3sn

兩相減

3s

1

3a

解讀：

112aa所以a是首為-1,公為的比數(shù)，于22

1例.設(shè)列a，前項(xiàng)S足關(guān)系3(2tt2,3,4,)n求證：數(shù)列列。解讀：因?yàn)閠StStt2,3,4,nn所以tS(2(tn)(2)nn(2)得：3t（)3)(S)0(0,n2,3,4,nnna3(2a0(n2,n)atn

)所，數(shù)列a是等比數(shù)列。例、列{}的前項(xiàng)和為1a20(n2),ann

n

，

且滿足（）求證：成差數(shù)列）數(shù)列的項(xiàng)公式當(dāng)n2，由a得s所以2s（1證明：11又故是項(xiàng)為2，公為2的等差列a11/

111nnn111nnn（2解：由（1）得

n

nn

n

當(dāng)2時(shí)，2sn1當(dāng)1時(shí)不適合式

1,2故ann22n六構(gòu)等或比列有數(shù)本并是差等數(shù)，可經(jīng)適的形構(gòu)造一新數(shù)為差等數(shù)，而用這數(shù)求通公。1、如

n1

panpn

其pq均常解法：這種類型一般是等兩邊倒后化為

n

pqa1qn即paappnnn例8：已知數(shù)

n

aa

n

anan

1，求證：等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式。解：

n

11n，，即annn

13.an11首項(xiàng)為1，公差為3等差數(shù)列。

1an

n

13n

.3、如

a

n

pan

（中，均為常數(shù)

((0)

。解（定數(shù)：原推式化：

a

n1

tp(t)n

，中

1

，利換法化等數(shù)求。例已知數(shù)列

a1

，

a

n

an

，求

a

n

解：設(shè)遞推公式

a

n

an

可以轉(zhuǎn)化為

a

n