精品解析：河北省邢臺(tái)市六校聯(lián)考2023屆高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

第22頁(yè)/共22頁(yè)2022-2023學(xué)年第一學(xué)期第一次月考高三數(shù)學(xué)試題考試范圍：不等式部分、函數(shù)2.1-2.9、導(dǎo)數(shù)3.1一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分別解二次不等式和對(duì)數(shù)不等式，求得集合，進(jìn)而利用交集的定義求得.【詳解】A，則.故選：B2.命題：“，”為假命題的充要條件是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)命題的否定為真命題求解，分，兩種情況，分別驗(yàn)證或由一元二次不等式恒成立求解.【詳解】命題為假命題，即命題為真命題.首先，時(shí)，恒成立，符合題意；其次時(shí)，則且，即，綜上可知，.故選：A3.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)四則運(yùn)算法則和簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則計(jì)算出結(jié)果.【詳解】對(duì)于A，，故A不正確；對(duì)于B，，B錯(cuò)誤.對(duì)于C，，C正確對(duì)于D，，D錯(cuò)誤.故選：C4.函數(shù)圖像大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，得到函數(shù)為奇函數(shù)，排除A，再根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)排除D選項(xiàng)，根據(jù)在y軸左側(cè)附近時(shí)，排除C，選出正確答案.【詳解】由于，∵，∴是奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除A，令，得，∴，，∴，，∴函數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè)零點(diǎn)，排除D.當(dāng)，，排除C故選：B.5.設(shè)，，則下列說(shuō)法中正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意，利用函數(shù)單調(diào)性，求解的大小關(guān)系，根據(jù)作差法和估計(jì)取值范圍，逐項(xiàng)驗(yàn)證，可得答案.【詳解】令，因?yàn)樵谏线f增，且，所以函數(shù)在在上遞減，所以，即，對(duì)于A，因?yàn)椋?，即，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，故，即，故D錯(cuò)誤.故選：C.6.2020年12月1日22時(shí)57分，嫦娥五號(hào)探測(cè)器從距離月球表面處開始實(shí)施動(dòng)力下降，7500牛變推力發(fā)動(dòng)機(jī)開機(jī)，逐步將探測(cè)器相對(duì)月球縱向速度從約降為零．14分鐘后，探測(cè)器成功在月球預(yù)選地著陸，記與月球表面距離的平均變化率為v，相對(duì)月球縱向速度的平均變化率為a，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)距離的平均變化率及平均速率的定義計(jì)算可得；【詳解】解：探測(cè)器與月球表面距離逐漸減小，所以；探測(cè)器的速度逐漸減小，所以故選：D7.已知直線l是曲線與曲線的一條公切線，直線l與曲線相切于點(diǎn)，則a滿足的關(guān)系式為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)與的切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得斜率相等，再結(jié)合斜率公式得到等式，將代入即可得到滿足的關(guān)系式.【詳解】記，得，記，得，設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，由于是公切線，故可得，即，即，又因?yàn)椋?，將代入，得，即，整理?故選：C.8.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意，利用作差法，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，可得答案.【詳解】①令，則，故在上單調(diào)遞減，可得，即，所以；②令，則，令，所以，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，可得，即，所以上單調(diào)遞增，可得，即，所以.故.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.下列說(shuō)法正確的是（）A.若不等式的解集為，則B.若命題p：，，則p的否定為，C.已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是D.已知.若的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)m的取值范圍【答案】AB【解析】【分析】對(duì)于A，不等式解集的端點(diǎn)即對(duì)應(yīng)方程的根，可求出，判斷正誤；對(duì)于B，使用含有一個(gè)量詞的命題的否定的知識(shí)進(jìn)行判斷；對(duì)于C，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義，結(jié)合分段函數(shù)單調(diào)性知識(shí)進(jìn)行判斷；對(duì)于D，可使用復(fù)合函數(shù)的值域知識(shí)進(jìn)行判斷.【詳解】對(duì)于A，不等式的解集為，則和是方程的兩個(gè)根，故，解得，所以，故A正確；對(duì)于B，全稱量詞命題“，”的否定為存在量詞命題“，”因此命題，則其否定為，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，需滿足當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，所以，解得，故C不正確；對(duì)于D，令，，的值域?yàn)镽，則的值域?yàn)镽，即為值域的子集，當(dāng)時(shí)，，值域?yàn)镽，滿足題意，當(dāng)時(shí)，需，即，解得，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故D不正確.故選：AB.10.高斯是德國(guó)著名數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”稱號(hào)，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，也稱為取整函數(shù).如，，，以下關(guān)于“高斯函數(shù)”的性質(zhì)應(yīng)用是真命題的有（）A.，B.，，則C.，D.若的定義域?yàn)?，值域?yàn)镸，的定義域?yàn)镹，則【答案】AB【解析】【分析】A選項(xiàng)可舉出實(shí)例；B選項(xiàng)可進(jìn)行推導(dǎo)；C選項(xiàng)可舉出反例；D選項(xiàng)求出和，從而求出并集.【詳解】時(shí)，，故A為真命題；設(shè)，則，，∴，故B真命題；，時(shí)，有，但，故C為假命題．因?yàn)榈亩x域?yàn)?，值域?yàn)?，的定義域?yàn)?，解得：，所以，對(duì)于D，，所以D不正確.故選：AB11.已知函數(shù)，若直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，，，且，則下列命題中錯(cuò)誤的是（）A.函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)和B.C.方程有六個(gè)不同的根D.當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)A，由零點(diǎn)的定義可判斷；對(duì)B，由的單調(diào)性可得，即有，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算化簡(jiǎn)即可；對(duì)C，由方程得或3，由單調(diào)性及值域可判斷根的個(gè)數(shù)；對(duì)D，，可轉(zhuǎn)化成的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由剛好在相切即可判斷【詳解】由題意，在、單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，對(duì)A，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)0或2，A錯(cuò)；對(duì)B，，可得，即，B正確；對(duì)C，可得或3，由單調(diào)性及值域，只有4個(gè)不同的根，不可能有六個(gè)不同的根，C錯(cuò)；對(duì)D，如圖，作出函數(shù)的大致圖象，當(dāng)時(shí)，，故在點(diǎn)處的切線斜率為，當(dāng)時(shí)，方程過(guò)且與相切，故只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，D錯(cuò).故選：ACD12.已知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的定義域均為R，記．若為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】分析得到關(guān)于直線對(duì)稱，函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，結(jié)合已知分析即得解.【詳解】解：為偶函數(shù)，可得，所以關(guān)于直線對(duì)稱，設(shè)，，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；為奇函數(shù)，，所以函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.令得.故選項(xiàng)B正確；關(guān)于直線對(duì)稱，所以所以，即所以，所以，故選項(xiàng)C正確；所以，所以，故選項(xiàng)D正確.故選：BCD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.計(jì)算結(jié)果是__________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算，進(jìn)行化簡(jiǎn)求值，可得答案.【詳解】因?yàn)?，，，，所?故答案為：14.二次函數(shù)與在它們的一個(gè)交點(diǎn)處切線互相垂直，則的最小值為________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)交點(diǎn)處切線垂直得到，再利用基本不等式中的乘1法即可得到最值.【詳解】解：設(shè)該交點(diǎn)為，因?yàn)?，則，因?yàn)?，則，因?yàn)閮珊瘮?shù)在交點(diǎn)處切線互相垂直，所以，，分別化簡(jiǎn)得，，上述兩式相加得，又，其中，當(dāng)且僅當(dāng)，且即時(shí)取等號(hào).故所求最小值為，故答案為：.【點(diǎn)睛】切線問題是導(dǎo)數(shù)中常遇到的問題，本題設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)交點(diǎn)處切線垂直得到等式，再轉(zhuǎn)化為基本不等式中的最值問題.15.若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，則a的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】令，分和兩種情況討論，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到不等式組，解得即可.【詳解】解：令，則，當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，由在區(qū)間上為減函數(shù)，則在上為減函數(shù)，故，即，解得；當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，由在區(qū)間上為減函數(shù)，則在上為增函數(shù)，故，即，解得，綜上，的取值范圍是..故答案為：16.設(shè)定義域?yàn)榈膯握{(diào)可導(dǎo)函數(shù)，對(duì)任意的，都有，若是方程的一個(gè)解，且，，則實(shí)數(shù)________.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)的解析式，再借助零點(diǎn)存在性定理推理作答.【詳解】對(duì)任意的，都有，且是上的單調(diào)函數(shù)，因此為定值，設(shè)，則，顯然，即，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，于是得，從而，求導(dǎo)得，方程，依題意，是函數(shù)的零點(diǎn)，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，即函數(shù)的零點(diǎn)，又，所以.故答案為：2四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17.關(guān)于x的不等式：.（1）設(shè)的最小值為a，求此時(shí)不等式的解集；（2）求關(guān)于x的不等式的解集：.【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)最小值求出最小值為8，代入解出一元二次不等式即可.（2）對(duì)含參一元二次不等式進(jìn)行分類討論即可.【小問1詳解】因?yàn)?，所以的最小值?．原不等式為，解集為.【小問2詳解】，①當(dāng)時(shí)，不等式為，解集為，時(shí)，不等式分解因式可得，②當(dāng)時(shí)，故，此時(shí)解集為．③當(dāng)時(shí)，，故此時(shí)解集為，④當(dāng)時(shí)，可化為，又，解集為．⑤當(dāng)時(shí)，可化為，又，解集為，綜上所述：時(shí)，解集為，時(shí)，解集為，時(shí)，解集為，時(shí)，解集為，時(shí)，解集為．18.已知函數(shù)為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且.（1）求函數(shù)和的解析式；（2）若在恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1），（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性，為題干條件可以新加入一個(gè)方程，聯(lián)立解出和；（2）利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，換元后，參變分離來(lái)解決.【小問1詳解】為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，，由得：，.【小問2詳解】由（1）得：，由得：，根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，，在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，故，令，則，，即對(duì)恒成立，即上恒成立，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)，在時(shí)單調(diào)遞增，所以，于是，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.19.環(huán)保生活，低碳出行，電動(dòng)汽車正成為人們購(gòu)車的熱門選擇．某型號(hào)的電動(dòng)汽車在一段國(guó)道上進(jìn)行測(cè)試，汽車行駛速度低于80km/h．經(jīng)多次測(cè)試得到該汽車每小時(shí)耗電量（單位：Wh）與速度（單位：km/h）的數(shù)據(jù)如下表所示：為了描述國(guó)道上該汽車每小時(shí)耗電量與速度的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：，且，，（）．（1）當(dāng)時(shí)，請(qǐng)選出你認(rèn)為最符合表格中所列數(shù)據(jù)的函數(shù)模型，并說(shuō)明理由；（2）求出（1）中所選函數(shù)模型的函數(shù)解析式；（3）根據(jù)（2）中所得函數(shù)解析式，求解如下問題：現(xiàn)有一輛同型號(hào)電動(dòng)汽車從地駛到地，前一段是200km的國(guó)道，后一段是60km的高速路（汽車行駛速度不低于80km/h），若高速路上該汽車每小時(shí)耗電量（單位：Wh）與速度（單位：km/h）的關(guān)系滿足，則如何行使才能使得總耗電量最少，最少為多少？【答案】（1），理由見解析（2）（3）當(dāng)該汽車在國(guó)道上的行駛速度為，在高速路上的行駛速度為時(shí)，總耗電量最少，最少為【解析】【分析】（1）由表格數(shù)據(jù)判斷合適的函數(shù)關(guān)系，（2）代入數(shù)據(jù)列方程組求解，（3）分別表示在國(guó)道與高速路上的耗電量，由單調(diào)性求其取最小值時(shí)的速度.【小問1詳解】若選，則當(dāng)時(shí)，該函數(shù)無(wú)意義，不合題意．若選，顯然該函數(shù)減函數(shù)，這與矛看，不合題意．故選擇．【小問2詳解】選擇，由表中數(shù)據(jù)得，解得，所以當(dāng)時(shí)，．【小問3詳解】由題可知該汽車在國(guó)道路段所用時(shí)間為，所耗電量，所以當(dāng)時(shí)，．該汽車在高速路段所用時(shí)間為，所耗電量，易知在上單調(diào)遞增，所以．故當(dāng)該汽車在國(guó)道上的行駛速度為，在高速路上的行駛速度為時(shí)，總耗電量最少，最少為．20.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，曲線上存在分別以和為切點(diǎn)兩條互相平行的切線，求的最大值.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；（2）由題意知，化簡(jiǎn)得，則，令，利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值，從而可求出的最大值.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)?，所以，即，所以曲線在處的切線方程為，即；【小問2詳解】由題意知，，即，整理得，因?yàn)?，所以，所以，令，則，因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞增，即，所以，即所以的最大值為.21.已知定義在上的函數(shù)滿足，且，.（1）求的值；若函數(shù)的定義域?yàn)?，求的值?（2）設(shè)，若對(duì)任意的，存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；值域?yàn)椋?）【解析】【分析】（1）利用可求得；根據(jù)復(fù)合函數(shù)定義域的求法可求得的定義域，結(jié)合的解析式可求得值域；（2）根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)可確定在上單調(diào)遞增，由此可得在上的最小值為，根據(jù)能成立的思想，結(jié)合，分離變量可將問題轉(zhuǎn)化為，由此可求得的取值范圍.【小問1詳解】，，解得：，；若定義域?yàn)?，則由得：，即的定義域?yàn)?；，，?dāng)時(shí)，，值域?yàn)?【小問2詳解】由（1）得：；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，又在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，；對(duì)任意的，存在，使得，存在，，即，在上單調(diào)遞增，，，解得：，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.22.已知函數(shù)，（，且）.（1），，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）設(shè)，在（1）的條件下，是否存在，使在區(qū)間上的值域是？若存在，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；若不存在，試說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）不存在，理由見解析【解析】【分析】（1）考察恒成立問題，構(gòu)建新函數(shù)，對(duì)進(jìn)行分類討論即可；（2）利用韋達(dá)定理構(gòu)建成，是方程的大