線性代數(shù)第6章二次型討論性質(zhì)與化

6次型討論二次型的性質(zhì)與標(biāo)準(zhǔn)化常常需要討論含有n個(gè)變量(字母本章我們討論二次型的性質(zhì)與標(biāo)準(zhǔn)化問(wèn)題,采用的方法主要是矩陣的方法,61節(jié)二次型及其矩陣表定義6.1二次型的概念標(biāo)準(zhǔn)形只含平方項(xiàng)在數(shù)域P上含有n個(gè)變量(或稱文字)的二次齊次多項(xiàng)式f(x,x ,x)=ax22axx 2ax

11 121 1n122 2n2ax2 22 2n2

nnax2nn稱為n元二次若f零多項(xiàng)式,則稱f為零二次型,若P實(shí)數(shù)域,則稱f實(shí)二次型；若P是復(fù)數(shù)域,則稱f為復(fù)二次型,f1(x,y)x2xy2y2;f2(x)2x2; f3(x1x2x3123都是二次型 其中f2和f3是標(biāo)準(zhǔn)形二、二次型的矩陣表 f的A絕對(duì)對(duì)在(1)式中令aijf(x,x ,x)=ax2axx 11 121 13122 232a21x2x1ax222 232

xnnnan1xnx1an2xnx2an3xnx3 ax2nn,xn)a11x1a12x2,xn)xax ax=(x1,x2

21 22 2nnaxax axn1 n2 nnn=(x1,x2

a1nx1,xn),xn)a2n2 xannnxA稱為對(duì)稱矩 為二次型的矩f(x1x2 xnXAX(3)稱為矩陣表達(dá)式說(shuō)明,對(duì)非對(duì)稱矩陣A=(ajf(x1,x2 ,xn)=Xn=ax2(aa)x

ii

1i

i2這時(shí),二次型f的對(duì)稱矩陣是AA,不是2二次型的矩陣絕對(duì)對(duì)稱的在數(shù)域P上對(duì)稱A 易見,任意給定數(shù)域P上n級(jí)對(duì)稱矩陣就唯一確定數(shù)域P上一個(gè)二次型f(x1,x2 ,xn)=XAX.反之,數(shù)域P上任意一個(gè)二次型f(x1,也唯一確定一個(gè)數(shù)域P上的n級(jí)對(duì)稱矩陣,即二次型f(x1,x2, ,xn)的矩陣,因此,數(shù)域P上全體二次型的集與數(shù)域P上n對(duì)稱矩陣的集11的關(guān)系,寫出二次型f(x,x ,x)=2x2x

x

x2的矩陣 20 20

1 2 1解A 2 1 寫出對(duì)稱矩陣A= 3所對(duì)應(yīng)的二次型f(x,y,z) 1313 解f(x,y,z)x2+4xy+2xz2y26yz標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形 對(duì)角矩 f的秩是A的λ2nf(x,x ,x)=λx2λ2n

1 2

x1 x=[x1,x2 ,xn] x

2 =X

nn 可見標(biāo)準(zhǔn)形的矩陣是對(duì)角矩陣定義6.2二次型f=XAX矩陣A秩稱為二次型的秩二次型的標(biāo)準(zhǔn)節(jié)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形化一般為標(biāo)準(zhǔn)形本節(jié)我們研究化一般二次型為標(biāo)準(zhǔn)二次型的問(wèn)題定義6.3線性替換設(shè)P為一個(gè)數(shù)域,x1,x2 ,xn與y1,y2 ,yn為兩組變量(字母x1c11y1c12y2 c1nynxcycy cy我們稱關(guān)系式

21 22 2n

(其中cijPi,j1,2,nxncn1y1cn2y2 為由x1,x2, ,xn到y(tǒng)1,y2, x1

c1ny1x

y2=

2n2 x

yn nX=其中X=(x1,x2 ,xn),Y=(y1,y2 若行列式|cij|≠0則稱(4)為非 又若P為實(shí)數(shù)域R,C為正交矩陣,則稱XCY一個(gè)正交線性替換設(shè)二次型f(XXAX矩陣為經(jīng)過(guò)線性替換XCY得到新二次型g(Yf(X)新二次型的矩陣是C當(dāng)C可逆，X 引理 f經(jīng)過(guò)X=CY后A變?yōu)镃AC秩不設(shè)二次型f(X)XAX的矩陣為則經(jīng)過(guò) 線性替換X化成的新二次型g(Y)=f(X)Y(CAC)Y的矩陣是C引理的前一部分已證明我們只要證明rCAC)=這可由第4章習(xí)題4.4的第10題結(jié)論得出 定義 如果B=CAC那么AB合同設(shè)A,B為數(shù)域P上n級(jí)矩陣,如果存在P上n可逆CB=C則稱矩陣A與B合同(或相合合同的性質(zhì) 稱傳如果存在可逆P,Q那么B等價(jià)如果存在可逆,=C1C那么AB相似它也滿足：自反性：任意n級(jí)矩陣A都與自身合同對(duì)稱性：若A與B合同,則B也與A合同傳遞性：若AB同,BC同A與C合同,可以決定數(shù)域P上全體n級(jí)方陣集合Mn(P)上的一個(gè)分類利用矩陣合同的語(yǔ)言引理1合同改述f經(jīng)過(guò)XCY后A與CAC同引理1經(jīng)過(guò) 線性替所得到的新二次型的矩陣與原二次型的矩陣合同先介紹化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的配方法 例1化二次型f(xx,x)=

x24xx2xx4x22x2標(biāo)準(zhǔn) 解f(x1x2x3

1 1 =[x22x(2xx)]4x2 =(x12x2x3)2(2x2x3)24x2 3=(x12x2x3)24x2x33=(x12x2x3)2(4x24xxx2) 2 2=(x12x2x3)2(2x2x3)22y1x12x2x3 x1y1y24y3y 2xx,解得x y y x

x3

y22y3 這是一個(gè) 線性替換 f(x1,x2,x3)y2y2 C同標(biāo)準(zhǔn)形不z1x12x2x3 x1

1z1若令z x 得

= 0z

2

2z3 2x2x3

這也是一個(gè) 線性替換f(x,x,x)=z24z2 由此可見

二次型的標(biāo)準(zhǔn)形隨所選擇的 線性替換的變化可能會(huì)不同化二次型f(x1x2x32x1x26x2x32x1x3為標(biāo)準(zhǔn)形,為采用例1的思路,需要先造出平方項(xiàng)x1

0y1

x1y1y2解令

=

0

即

yy2

2

x3

y3則f(x1x2x3

=2(y1y2)(y1y2)6(y1y2)y32(y1y2=2y22y24yy8y l 2=(2y24yy2y2)2y2+8yy 1 2 2 =2(y1y3)2(2y28yy+8y2 2 3=2(y1y3)22(y22y3)23z1y1y3 z1

1y1令zy2y,即

=

2y

2

2z3y3 y1

1z1

1y3解得y= 2z2

2

且f(xxx)=2z22z2 其中所作的總的 線性替換x1

0 1z1

3z1x=

0 2

=

1z2

2

2

1 利用例1,例2提供的方法,不難證( 的讀者可以用歸納法自行證明定理6.1 f經(jīng)過(guò)X=CY 數(shù)域P上任意一個(gè)二次型都可以經(jīng)過(guò) 線性替換化成標(biāo)準(zhǔn)形合同變換的定設(shè)Q為數(shù)域P上的一個(gè)初等矩陣變換QAQ相當(dāng)于對(duì)A先作適當(dāng)?shù)某醯攘凶儞Q(得到再對(duì)AQ作相同的初等行變換(得到事實(shí)上,若Q則QAQ相當(dāng)于交換A的第i列與第j列后再交換其第i行與第j行；若QE(i,j(k)),則QEj于是QAQ相當(dāng)于把A的第i列的k倍加到第j列上去后,再把所得到的矩陣的第i行的k倍加到第j行;若QE(iccP則QAQ相當(dāng)于用c乘A的第i列后,再用c乘所得到的矩陣的第i行,為證明定理6.,只要說(shuō)明A可經(jīng)過(guò)一系列合同變換化成對(duì)角形矩陣即可,利用矩陣的語(yǔ)言定理61以改述定理6.1f經(jīng)過(guò)X A合同對(duì)角矩?cái)?shù)域P上任意一個(gè)n級(jí)對(duì)稱矩陣A都合同于一個(gè)對(duì)角形矩(稱為A在P的合同標(biāo)準(zhǔn)形).下面我們證明定理6.1,證對(duì)A的級(jí)數(shù)n作歸納當(dāng)n1A身就是對(duì)角形矩陣,定理6.1顯然成立,下設(shè)n假設(shè)定理6.1一個(gè)對(duì)n-1級(jí)對(duì)稱矩陣成立我們考慮數(shù)域P上任意一個(gè)n級(jí)對(duì)稱矩陣A=(aj分下列三種惰況可以把A的(i,j)元素變成0；再把所得到的矩陣的第1行的相同倍數(shù)加到第j行上,必然把j,1)元素也變成0,其中這是因?yàn)槲覀兯鞯某醯茸儞Q是合同變而A為對(duì)稱矩陣,對(duì)j=2,3,…,n依次進(jìn)行上述合同變換A變成的矩陣 0必然是對(duì)稱矩陣 從而B是數(shù)域P上的n-1級(jí)對(duì)稱矩陣由歸納假設(shè)存在數(shù)域P上n-1級(jí)可逆矩陣1使CBC為對(duì)角形矩陣1令C= 0 C則C

10C=

為對(duì)角形矩陣

CBC a11=

1但存在某個(gè)a1j0j{2,3,…,n我們可以把A的第j加1上去,再把第j行加到第1行上去,利用這樣的合同變換就把A變成了(1,1)位置元素不為且與A合同的矩陣,歸為a1j=0,j=1,2,…,這時(shí)我們有aj10,j于是A本身就等于 0 1其中A1為n1對(duì)稱矩陣設(shè)A為數(shù)域Pn對(duì)稱矩陣,C為P上的n級(jí)可逆矩陣,且BCAC為對(duì)角形矩陣如何求出C,B？A成對(duì)角由A得B,由E得由于可逆矩陣C是一系列初等矩陣的乘積即C 這里Q1,Q2

Qs,Qs為初等矩陣所以

E我們構(gòu)造2nxn矩陣AE 對(duì)A作一系列合同變但每次都只對(duì)E作與A的合同變換相對(duì)應(yīng)的初等列變換,如果把A化成對(duì)角形矩陣B,同時(shí)也就把E化成了所求的矩陣這時(shí),必然有CAC 設(shè)A= 0 210 210 求二次型f(X)XAX的標(biāo)準(zhǔn)形 A=

E E

②①(2) 2②①(2) 2③①(1) 1③①(1) 1②③(2) 1②③(2)

令X=CY,C= f(XX =Y 0 =y24y2 求二次型f(X)=X 3X的標(biāo)準(zhǔn)形 11

EAE

① ① 0①②

1

②①()

②①(1)

③①

③① 0212 02122 2

012 012

11112 11112

2 2

②③(1) ②③(1) 1111 11112 2

2 2 令C=,X 則f(X)=Y

0 =2y23y2 2 在實(shí)數(shù)域R上實(shí)f陣A對(duì)特別對(duì)于P為實(shí)數(shù)域R時(shí)實(shí)二次型f(X)XAX的矩陣A為實(shí)對(duì)稱矩陣存在正交矩陣T發(fā)生TATT1ATB為對(duì)角形矩陣,于是令X=TY代人f(X)=XAX,得f(XY(TAT)YYBY為標(biāo)準(zhǔn)形定理 實(shí)f都可經(jīng)過(guò)正交替換化為λ標(biāo)準(zhǔn)任意一個(gè)實(shí)二次型f(XXAX都可以經(jīng)過(guò)正交替換X=TY化為標(biāo)準(zhǔn)形

1 2 nλy2λy2 1 2 n其中λ1,λ2, ,λn恰為A的n個(gè)實(shí)特征值, 求正交替換X使實(shí)二次型f(X)=2x22xx2xx+2x 為標(biāo)準(zhǔn)形 1 1 12x22x2x3 32x2 344 解矩陣A= 重復(fù)第五章33步驟 1 2

1 2

正交矩陣T=

3 1TAT= 2 1 1 令X

2則f(X

=y2y2y2 二次型的規(guī)范節(jié)二次型的規(guī)范從6.2例2可以看出數(shù)域P上一個(gè)二次型f(x1,x2 其標(biāo)準(zhǔn)形一般不是唯一的但標(biāo)準(zhǔn)形中非零的平方項(xiàng)系數(shù)的個(gè)數(shù)是由標(biāo)準(zhǔn)形的矩陣決下面我們分別在復(fù)數(shù)域C和實(shí)數(shù)域R上先在復(fù)數(shù)域C上討論設(shè)f(x1,x2, ,xn)為秩r的復(fù)二次型, f可化為f(x,x ,x)=dy2dy2 d 1 2 rdi0i12r其中di為復(fù)數(shù) 1 y1 z1y z再作 線性替換

2= 2

y zn

r f(x ,x)=z2z2 z2對(duì)應(yīng)矩陣為 定義如果復(fù)二次型f(x1 ,xn)的秩為則f(x ,x)=z2z2 稱為復(fù)數(shù)域C上二次型f(x1 ,xn)的規(guī)范形顯然,復(fù)數(shù)域C上二次型的規(guī)范形且規(guī)范形對(duì)應(yīng)的矩陣為 定理 復(fù)f性替換復(fù)規(guī)范 并且規(guī)范形由該二次型的秩唯一確用矩陣語(yǔ)言可改述定理6.3復(fù)對(duì)稱A合同于對(duì)角 0,r為A的 任意一個(gè)復(fù)對(duì)稱矩陣都在復(fù)數(shù)域上合同于一個(gè)形如 0的對(duì)角形矩陣 其中r為A的秩不難得出兩個(gè)n級(jí)復(fù)對(duì)稱矩陣合同當(dāng)且僅當(dāng)它們的秩相等,n復(fù)對(duì)稱矩陣的集合,在合同的意義下可分成n11求復(fù)二次型f(xxx=-2x24x

2x

2x2的規(guī)范形

1 1 解f(x,x,x)的系數(shù)矩陣A=2

行列式|A| 故r(A

因此復(fù)二次型f(xxx)的規(guī)范形為z2z2 再研究實(shí)二次型的情況設(shè)f(x1,x2 ,xn)是秩為r的實(shí)二次型經(jīng)過(guò)實(shí)數(shù)域上適當(dāng)?shù)?線性X=CY替換可設(shè)f的標(biāo)準(zhǔn)形為fdy2dy2 dy2

dy21 2 p P1 r其中p為非負(fù)整數(shù),prdi為正實(shí)數(shù),i=1,2,…, 1 y1 z1y z再令

2= 2

y yn

z nz z2 z2 r 定義f(x,x ,x)=z2z2 z2 稱為實(shí)二次型f(x1,x2 ,xn)的一個(gè)規(guī)范形顯然,實(shí)二次型f的規(guī)范由正平方項(xiàng)系數(shù)的個(gè)數(shù)p與二次型的秩r完全確定,下面的定理6.4(通常稱為慣性定理) 定理 實(shí)f性替換 規(guī)范形且f決定p和定理 證明定理6.4的前一部分已證明我們只證明規(guī)范形可由原二次型f唯一確定即只要證明規(guī)范形中的p由實(shí)二次型唯一確定即可,設(shè)實(shí)二次型f(x1,x2, ,xn)的秩為r先讓f經(jīng)過(guò)實(shí)數(shù)域上 線性替換X=CY化成規(guī)范f(x,x ,x)=y2y2 y2 y2 再讓f經(jīng)過(guò)實(shí)數(shù)域上 線性替換X=BZ化為規(guī)范f(x,x ,x)=z2z2 z2 z2 所y2 y2

=z2 z2 z2. 由XCY與XBZ得zij令G=B1C=(g).則實(shí)矩陣Gij在實(shí)數(shù)域上 線性替換Z把規(guī)范形z2 z2 化成規(guī)范形y2 y2 如果pg11y1g12y2 g1nyngygy gy21 22

2n我 齊次線性方程組gygy gys1 s2 sn yp1它的方程個(gè)數(shù)為(n-p)+s<n,所以它有非零解,令(k1,k2, ,kp,kp1, ,kn)為它的一個(gè)非零解,則kp1 kn0從而k1 ,kp不全為再由Z=GY知相應(yīng)的z1 zs 這樣,(*)式的左端=k2 k2

yn而右端= z2 ,從而同理可證sp,故p定理6.4可用矩陣語(yǔ)言改述為定理6.4實(shí)對(duì)稱A合同于對(duì)角

且A決定p和 任意n級(jí)實(shí)對(duì)稱矩陣A都在實(shí)數(shù)域上合同于對(duì)角矩陣

其中rr(Aqrp且p,r都由A一確定0pr稱p實(shí)二次型f(XXAX或A正慣性指數(shù),稱q實(shí)二次型f(XXAX或A負(fù)慣性指數(shù),稱p-q為實(shí)二次型f(XXAX或A的符號(hào)差兩個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣在實(shí)數(shù)域上合n級(jí)實(shí)對(duì)稱矩陣的集合在合同的意義下可以分成(r1)(n1)(n2) 用 線性替把實(shí)二次型f(xxx)=x22x22xx3x2化為規(guī)范形 1 正慣性指數(shù)、負(fù)慣性指數(shù)和符號(hào)差 解f(x,x,x)的矩陣為A=

A= 3

E

令XCYC

②

2 2 ③

②

2

(

2③

2 22

2

2 2 0 0 令X=CY,其中C= 2可逆, 2 0 2 02 02 則f(xxxy2y2 所以正慣性指數(shù)p負(fù)慣性指數(shù)q符號(hào)差為以及工程數(shù)學(xué)上都有很廣泛的應(yīng)用，定義6.7正定半正定負(fù)定半負(fù)定不設(shè)f(XXAX實(shí)二次型其中A為二次型f(X)的矩陣X(x1x2, xn)為實(shí)n維列向量.若對(duì)任意XRn,X≠0,都有f(X)>0,則稱實(shí)二次型f(X)是一個(gè)正定二次型，這時(shí)稱為正定矩陣，又稱A是正定的若對(duì)任意XRn,都有f(X)≥0,且存在X≠0,使則稱實(shí)二次型f(X)是一個(gè)半正定二次型，這時(shí)稱矩陣A半正定矩陣，又稱A是半正定的若對(duì)任意XR,X≠0,都有則稱實(shí)二次型f(X)為一個(gè)負(fù)定二次型，這時(shí)，稱A負(fù)定矩陣，又稱A是負(fù)定的若對(duì)任意XR,都有f(x)≤0,且存在X≠0使則稱實(shí)二次型f(X)是一個(gè)半負(fù)定二次型，這時(shí)，稱A半負(fù)定矩陣，又稱A是半負(fù)定的若存在兩個(gè)向量X1X2Rn,使f(X1)>0,f(X2則稱二次型f(X)是不定二次型，這時(shí)，稱A不定矩陣，又稱A不定的，充要條件與性顯然實(shí)對(duì)稱矩陣A是個(gè)負(fù)定矩陣的充要條件是-A是個(gè)正定矩陣，實(shí)對(duì)稱矩陣A是半負(fù)定矩陣的充要條件是-A是半正定矩陣若實(shí)對(duì)稱矩陣A是正定的，則A的主對(duì)角線上元素都大于0；為什么若實(shí)對(duì)稱矩陣A是負(fù)定的，則A的主對(duì)角線上元素都小于0.若實(shí)對(duì)稱矩陣A是半正定的，則A的主對(duì)角線上元素都大于或等于0；若實(shí)對(duì)稱矩陣A是半負(fù)定的，則A的主對(duì)角線上元素都小于或等于01 2 n設(shè)di1 2 n,xn),xn)

dx2dx2 dx2是正定二次型我們主要研究正定二次型定理 f正定 p為n元實(shí)二次型f(x1,x2 ,xn)正定的充要條件是它的正慣性指數(shù)為我們先給出兩個(gè)引引理 f正定

ff(x,x ,x)=dx2dx2n1 2dx2是負(fù)定二次nf(x,x ,x)=dx2dx2n1 2dx2(r<n)是半正定二次rf(x,x ,x)=dx2dx2n1 2dx2r<n)是半負(fù)定二次rf(x,x ,x)=dx2dx2n1 2dx2n>1)是不定二次n實(shí)二次型f(x,x ,x)=dx2dx2 dx2正定的充要條 1 2 n是di,i=1,2,…,n,均為正數(shù)，引理1可由定義直接得出引理 AB合 A正定 B正設(shè)A,B為n級(jí)實(shí)對(duì)稱矩陣，且A,B在實(shí)數(shù)域上合同，則A正定的充要條件是B正定換言之，合同變換不改變實(shí)對(duì)稱陣的正定性證充分性B定,會(huì)發(fā)生,A由假設(shè)條件知存在實(shí)可逆矩陣C,使B=如果B定，則對(duì)任意非零列向量XRnXBX>0即(CX)A(CX注意C為實(shí)可逆矩因此，隨著X遍取Rn中的非零列向量,CX也可遍取Rn中所有非零列向量,f(CX)=(CX)A(CX>0i(CX2系數(shù)為正所以A正定的，i同理可證，若A正定，則B也正定類似可證明變前矩陣與變后矩陣同時(shí)為正定或負(fù)定或半正定或半負(fù)定或不定的定理6.5的證實(shí)二次型f(X)=XAX(A實(shí)對(duì)稱) 線性替換X=CY化成實(shí)二次型BC

(CY)A(CYYCACYYBY(B實(shí)對(duì)稱我們可以假設(shè)B為對(duì)角形矩陣由引理1,B正定的充要條件是B的正慣性指數(shù)為注意實(shí)對(duì)稱矩陣的正慣性指數(shù)在合同變換下不變所以由引理2知A正定當(dāng)且僅當(dāng)A的正慣性指數(shù)為利用引理1,引理2及定理5.6,不難證定理 A正定 A的λ全實(shí)對(duì)稱矩陣A正定的充要條件是A的特征值全為正數(shù)，由定理6.5,n元二次型正定的充要條件n 是其規(guī)范形為y2n 定理 A正定 A與E合實(shí)矩陣A正定的充要條件是A與單位矩陣合同，即存在實(shí)可逆矩C使ACECCC推論A定正定行列式>0負(fù)定行列式未必正定矩陣的行列式大于例如,A=(aj)nn為n級(jí)矩陣，

則行列式DaD

a12…D

分別稱為A的1,2，…，n級(jí)順序主子式，定理6.8實(shí)對(duì)稱A正定要 定理6.8利用順序主子式判斷一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣是否正n級(jí)實(shí)對(duì)稱矩陣A正定的充要條件是A的所有順序主子式全都大于證明必要性設(shè)A定，即n二次型f(X)=X'AX定，所以對(duì)一切XRn,X0,有XAX>0.設(shè)Aaj)nn,xk ,0)X,xk ,0)其中x1 ,xk為任意不全為0的實(shí)數(shù)

x1

1n 則XAX=[x ,x ,0]

a2nxk 0

ann 0 x1

a

ax 0a0 ,x ,0],