教學(xué)設(shè)計：平擺線與圓的漸開線

課題平擺線與圓的漸開線課時教學(xué)目標(biāo)知識與技能了解圓的漸開線的參數(shù)方程,了解擺線的生成過程及它的參數(shù)方程.過程與方法學(xué)習(xí)用向量知識推導(dǎo)運動軌跡曲線的方法和步驟情感態(tài)度與價值觀通過觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造性過程，培養(yǎng)創(chuàng)新意識。教學(xué)重點圓的漸開線的參數(shù)方程，擺線的參數(shù)方程教學(xué)難點用向量知識推導(dǎo)運動軌跡曲線的方法教學(xué)方法自學(xué)指導(dǎo)教學(xué)過程：一.復(fù)習(xí)：1.過點M(a、b)，傾斜角為的直線參數(shù)方程提問：①.式中參數(shù)t的幾何意義是什么？②.若點A和點B對應(yīng)的參數(shù)分別為和，試問中點P對應(yīng)的參數(shù)是什么？當(dāng)堂檢測：1．已知直線的方程為4x+3y=2，它與曲線(y－2)2－x2＝1交于A、B兩點．(1)求|AB|的長；(2)求點P(－1，2)到線段AB中點C的距離．2.已知直線l經(jīng)過點P(1，1)，傾斜角α＝eq\f(π,3).(1)寫出直線l的參數(shù)方程；(2)設(shè)l與圓C：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝2sinθ))(θ為參數(shù))相交于點A、B，求點P到A、B兩點的距離之積．二.探究演示：把一條沒有彈性的細繩繞在一個圓盤上，在繩的外端系上一支鉛筆，將繩子拉緊，保持繩子與圓相切而逐漸展開，那么鉛筆會畫出一條曲線。這條曲線的形狀怎樣？能否求出它的軌跡方程？動點（筆尖）滿足什么幾何條件？當(dāng)外端展開到點M時，因為繩子對圓心角的一段弧，展開以后成為切線，所以切線BM的長就是的長，這是動點（筆尖）滿足的幾何條件。我們把筆尖畫出的曲線叫做圓的漸開線，相應(yīng)的定圓叫做漸開線的基圓。三、漸開線的參數(shù)方程以基圓圓心O為原點，直線OA為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系。設(shè)基圓的半徑為r，繩子外端M的坐標(biāo)為（x，y）。顯然，點M由角唯一確定。由于向量是與同方向的單位向量因而向量是與向量同方向的單位向量。所以，即所以，圓漸開線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）在機械工業(yè)中，廣泛地使用齒輪傳遞動力。由于漸開線齒行的齒輪磨損少，傳動平穩(wěn)，制造安裝較為方便，因此大多數(shù)齒輪采用這種齒形。設(shè)計加工這種齒輪，需要借助圓的漸開線方程。四、擺線的參數(shù)方程1、擺線的定義思考：如果在自行車的輪子上噴一個白色印記，那么自行車在筆直的道路上行使時，白色印記會畫出什么樣的曲線？上述問題抽象成數(shù)學(xué)問題就是：當(dāng)一個圓沿著一條定直線無滑動地滾動時，圓周上一個定點的軌跡是什么？OAOABM演示：同樣地，我們先分析圓在滾動過程中，圓周上的這個動點滿足的幾何條件。我們把點M的軌跡叫做平擺線，簡稱擺線，又叫旋輪線。2、擺線的參數(shù)方程根據(jù)點M滿足的幾何條件，我們?nèi)《ㄖ本€為X軸，定點M滾動時落在定直線上的一個位置為原點，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)圓的半徑為r。xyxyODAEBMC所以，擺線的參數(shù)方程為：思考：在擺線的參數(shù)方程中，參數(shù)的取值范圍是什么？一個拱的寬度與高度各是什么？五、典型示例例1求半徑為4的圓的漸開線參數(shù)方程。變式訓(xùn)練1當(dāng)，時，求圓漸開線上對應(yīng)點A、B坐標(biāo)并求出A、B間的距離。變式訓(xùn)練2求圓的漸開線上當(dāng)對應(yīng)的點