2020年江蘇卷(含答案)

絕密★啟用前2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（江蘇卷）數(shù)學(xué)I注意事項考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求1．本試卷共4頁，均為非選擇題（第1題~第20題，共20題）。本卷滿分為160分，考試時間為120分鐘?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3．請認真核對監(jiān)考員從答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4．作答試題，必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.5?如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.參考公式：柱體的體積V=Sh，其中S是柱體的底面積，h是柱體的高.一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分．請把答案填寫在答．題．卡．相．應(yīng)．位．置．上．TOC\o"1-5"\h\z1.已知集合A二｛T,0,l,2｝,B二｛0,2,3｝，則AB=.2?已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z=（1+D（2-D的實部是.3?已知一組數(shù)據(jù)4,2a,3―a,5,6的平均數(shù)為4,則a的值是?4.將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數(shù)，則點數(shù)和為5的概率是5?如圖是一個算法流程圖，若輸出y的值為-2，則輸入x的值是?TOC\o"1-5"\h\zX2y2y/56.在平面直角坐標系xOy中，若雙曲線一-匚=l(a〉0)的一條漸近線方程為y=x,則該雙曲線的離心a252率是.7?已知yfx)是奇函數(shù)，當(dāng)x>0寸，f(x)二x；，則f(-8)的值是—.兀2已知sm2(丁+a)=￡，則sin2a的值是.43如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構(gòu)成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長為2cm，46設(shè)｛an｝是公差為d的等差數(shù)列，｛bn｝是公比為q的等比數(shù)列.已知數(shù)列｛an+bn｝的前n項和nnnnS二n2-n+2n-1(neN+)，貝卩d+q的值是.n已知5x2y2+y4二1(x,yeR)，則x2+y2的最小值是.在AABC中，AB二4,AC二3，ZBAC=90。,。在邊BC上，延長AD到P，使得AP=9，若則ARAB面積的最大值是.二、解答題：本大題共6小題，共計90分，請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答寸應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB丄AC，BC丄平面ABC，E，F(xiàn)分別是AC，BC的中點.(1)求證：EF〃平面AB1C1；

(2)求證：平面AB1C丄平面ABB].16.在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a=3,c=、込,B=45。.求sinC的值；4在邊BC上取一點D,使得cosZADC=-5，求tanADAC的值.17?某地準備在山谷中建一座橋梁，橋址位置的豎直截面圖如圖所示：谷底O在水平線MN上、橋AB與MN平行，OO'為鉛垂線(O'在AB上)?經(jīng)測量，左側(cè)曲線AO上任一點D到MN的距離件咪)與D到OO'的距離a(米)之間滿足關(guān)系式h=丄a2；右側(cè)曲線BO上任一點F到MN的距離h咪)與F到OO'的距離b(米)140求橋AB求橋AB的長度；計劃在谷底兩側(cè)建造平行于OO'的橋墩CD和EF,且CE為80米，其中C,E在AB上(不包括端點).之間滿足關(guān)系式h=--1-b3+6b.已知點B到OO'的距離為40米.2800橋墩EF每米造價k(萬元)、橋墩CD每米造價2k(萬元)(k>0).問01為多少米時，橋墩CD與EF的總造價最低?x2y218.在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓E:--+才=1的左、右焦點分別為F],F2，點A在橢圓E上且在第一象限內(nèi)，AF2丄F]F2，直線AF]與橢圓E相交于另一點B.求aafxf2的周長；在x軸上任取一點P,直線AP與橢圓E的右準線相交于點Q,求0P-QP的最小值；設(shè)點M在橢圓E上，記AOAB與AMAB的面積分別為S],S2，若S2=3S1，求點M的坐標.已知關(guān)于x的函數(shù)y=f(x),y=g(x)與h(x)=kx+b(k,bgR)在區(qū)間D上亙有f(x)>h(x)>g(x).若f(x)=x2+2x，g(x)=-x2+2x，D=(—a,+a)，求h(x)的表達式；若f(x)=x2一x+1,g(x)=klnx,h(x)=kx一k,D=(0,+a),求k的取值范圍；若f(x)=x4一2x2,g(x)=4x2一8,h(x)=4(t2—t)x一3t4+2t2(0<|t|wT2),D=[m,n]匸[一逅[求證：n-m^■-'7.已知數(shù)列｛a｝(ngN*)的首項a1=1，前n項和為Sn.設(shè)九與k是常數(shù)，若對一切正整數(shù)n,均有TOC\o"1-5"\h\zn1ns:-S：=血:成立，則稱此數(shù)列為“「k”數(shù)列.n+1nn+1若等差數(shù)列｛a｝是“入-1”數(shù)列，求九的值；n若數(shù)列｛a｝是“竺一2”數(shù)列，且an〉0,求數(shù)列｛a｝的通項公式；n3nn對于給定的入，是否存在三個不同的數(shù)列｛a｝為“入-3”數(shù)列，且an>0?若存在，求入的取值范圍；若不nn存在，說明理由.數(shù)學(xué)11(附加題)【選做題】本題包括A、B、C三小題，請選定其中兩小題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答.若多做，則按作答的前兩小題評分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．A.［選修4-2：矩陣與變換］1平面上點A(2,-l)在矩陣M=J對應(yīng)的變換作用下得到點B(3,-4)._一1b_求實數(shù)a,b的值；求矩陣M的逆矩陣M-1.B?［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］在極坐標系中，已知點A(P’,￡)在直線l:Pcos0=2上，點B(p夕)在圓C:p=4sin0上(其中p>°,1326°<0<2兀).求P］，P2的值求出直線/與圓C的公共點的極坐標.C?［選修4-5：不等式選講］設(shè)xeR，解不等式21x+11+1x1<4.【必做題】第24題、第25題，每題10分，共計20分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．在三棱錐A—BCD中，已知CB=CD=^'5,BD=2,O為BD的中點，AO丄平面BCD,AO=2,E為AC的中點.(1)求直線AB與DE所成角的余弦值；1(2)若點F在BC上，滿足BF=4BC,設(shè)二面角F—DE—C的大小為0,求sinO的值.25.甲口袋中裝有2個黑球和1個白球，乙口袋中裝有3個白球．現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復(fù)n次這樣的操作，記甲口袋中黑球個數(shù)為X“，恰有2個黑球的概率為#“，恰有1個黑球的概率為qn．求Pfq1和p2?q2；求2p+qn與2pn1+qn1的遞推關(guān)系式和X“的數(shù)學(xué)期望E(X“)(用n表示).

2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試江蘇卷）參考答案數(shù)學(xué)I一、填空題（共計70分）15.-334?-6.—7.-4925兀4182411.412.—13.0或558-314.10斗51.8-314.10斗59.1衣3-才10.x-1.【解析】TA={一1,0,1,2},B={0,2,3}AB={),2}.故答案為：{°,2}.2.【解析】???復(fù)數(shù)z=(1+"(2—i)z=2-i+2i-i2=3+i???復(fù)數(shù)的實部為3?故答案為：3.【解析】???數(shù)據(jù)4,2a,3-a,5,6的平均數(shù)為4???4+2a+3-a+5+6=20，即a=2.故答案為：2.【解析】根據(jù)題意可得基本事件數(shù)總為6x6=36個.點數(shù)和為5的基本事件有（1,4），（4,1），（2,3），（3,2）共4個.???出現(xiàn)向上的點數(shù)和為5的概率為p=36=9?故答案為:3695.【解析】由于2x>0，所以y=x+1=-2，解得x=-3?故答案為：—36.【解析】雙曲線乂-琴=1，故b?5?由于雙曲線的一條漸近線方程為y=邁x，即-=亙na—52a2x，2，a2所以c=広莎=干5=3，雙曲線的離心率為C=-故案為：—TOC\o"1-5"\h\za227.【解析】f⑻=8；=4，因為f（x）為奇函數(shù)，所以/（-8）=-/⑻=-4,故答案為：-48.【解析】J冗込庖1sin2(+a)=(sina+cosa)2=(1+sin2a)42221211二2(1+sin2^)=3二sin2a=3?故答案為：—只1兀9.【解析】正六棱柱體積為6&x22x2=12盡圓柱體積為兀（2）2-2=2

所求幾何體體積為12J3-￡.故答案為：1^3-弓TOC\o"1-5"\h\z兀兀?！窘馕觥縴—3sin[2(x—)+]—3sin(2x—)6412兀兀7兀k兀2x—=—+k兀(kGZ)x—+——(kGZ)1222427,5兀5兀當(dāng)k——1時x=—旁?故答案為：x=—可【解析】設(shè)等差數(shù)列｛a｝的公差為d，等比數(shù)列｛b｝的公比為q，根據(jù)題意q豐1.nnn，/)廠n(n-1n，等差數(shù)列仏了的前n項和公式為P—na+nn12等比數(shù)列｛"的前n項和公式為￡-忖bb1—qn+1—1—q等比數(shù)列｛"的前n項和公式為￡-忖bb1—qn+1—1—q1—q依題意S=P+Q，即n2一n+2n一1=—n2+a2vbbn—1qn+—1—q1—q通過對比系數(shù)可知1d二12d1a———112q—2b11—qa—012，故d+q—4.故答案為：4q=2b—1112.【解析】?5x2y2+y4—1,?y豐0且x2—5y21y414y2??x2+y2—+y2—+>25y25y25節(jié)-f，當(dāng)且僅當(dāng)盍=如31，即x2二一,y2二-時取等1024號，??x2+y2的最小值為§13.【解析】JA,D,P三點共線，.??可設(shè)PA二九PD(九〉0),PA二mPB+‘3、、2——mPC，?:九PD—mPB+1丄一mPC,丿(2mPD二〒PB+3若m豐0且初—,則B,D,C三點共線，二m2廠?.?AP—9，?AD—3.?.?AB—4,AC—3,ZBAC—90。，?BC—5.設(shè)CD—x，ZCDA=0，則BD—5—x，ZBDA—兀一0.??.根據(jù)余弦定理可得cos0AD2+CD2-AC2-2AD-CDcosG-0)=AD2+BD2-AB22AD-BD(5-x匕-76(5-x)*.*cos0+cosG-0)=0,x(5-x)2-71818?6+6(5—X^=0，解得x=~5，?:CD的長度為-5.當(dāng)m=0時，PA二3PC,C,D重合，此時CD的長度為0,233當(dāng)m=三時，pa二3pb，B,D重合，此時PA=12，不合題意，舍去.2一2一、18故答案為：0或5-14.【解析】?/pa二pb,???pc丄AB-設(shè)圓心C到直線AB距離為d，則IABI=2\：36-d2,1PC1=+=144所以S<--2\：36-d2(d+1);'(36-d2)(d+1)2PAB2△令y=(36-d2)(d+1)2(0<d<6)/.y'=2(d+1)(-2d2-d+36)=0/.d=4(負值舍去)當(dāng)0<d<4時，_/>0；當(dāng)4<d<6時，y<0，因此當(dāng)d=4時，y取最大值，即SPAB取最大值為10”5,故答案為：10^5A二、解答題（共計90分）15.【解析】（1）由于E,F分別是AC,B1C的中點，所以EF//AB1.由于EF広平面AB1C1,AB1u平面AB1C1，所以EF//平面AB1C1.⑵由于B1C丄平面ABC，AB平面ABC，所以Bf丄AB.由于AB丄AC,ACcBf=C，所以AB丄平面AB,由于AB平面ABB】，所以平面AB1C丄平面ABB1.=5，16.【解析】(1)由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=9+2-2x=5，所以b-壬由正弦定理得衆(zhòng)=島-sinC=甞=音.2)由于cosZADC=—4ZADCe，所以sinAADC=需1一cos2ZADC由于ZADCefc,兀、V2丿z、兀，所以Ce°，3V2丿所以cosC=vi—sin2C=2薦~~5~所以sinZDAC=sin(兀—ZDAC)=sin(ZADC+ZC)x=——525=sinZADC-cosC+cosZADC-sinC=x=——525V2丿由于ZDACeg，所以cosZDAC=J1-sin2ZDACV2丿TOC\o"1-5"\h\zsinZDAC2所以tanZDAC=——-=訂.cosZDAC1117.【解析】(1)由題意得厶\O'A\2=—呂x40i+6x40.?」O'A\=8040800IAB1=1O'AI+IOfB1=80+40=120米(2)設(shè)總造價為f(x)萬元，IO'OI=x802=160，設(shè)1O'E\=x，40131f(x)=k(160+xi—6x)+k[160—(80—x)2],(0<x<40)8002401336f(x)=k(160+xi一x2),.?.f'(x)=k(x2一x)=0x=20(0舍去)8008080080k丿當(dāng)0<x<20時，廣(x)<0；當(dāng)20<x<40時，廣(x)>0，因此當(dāng)x20時，f(x)取最小值，答：當(dāng)O'E=20米時，橋墩CD與EF的總造價最低.18.【解析】(1)V橢圓E的方程為〒+罕=F(—1,0),F(1,0)4312由橢圓定義可得：AF1+AF2=4.A△AFF的周長為4+2=61212(2)設(shè)p(x。，0)，根據(jù)題意可得x0主1.(I\???點A在橢圓E上，且在第一象限，AF2丄fF2，AA1,2212V2丿???準線方程為x=4,aQ(4,yQ)AOP-QP=(x,0)?C一4,—y)=(x-4)x=(x一2)z一4>—4，當(dāng)且僅當(dāng)x=2時取等號00Q0000AOP-QP的最小值為—4.

（3）設(shè)M（X],yi），點（3）設(shè)M（X],yi），點M到直線AB的距離為d.?/Aif,F(—1,0),.?.直線afi的方程為y=f(x+1)V2丿1143???點O到直線AB的距離為7,S二3S521???S二3S1212二3x-xABx3二-AB-d.52'?心-4叮3=9①；寧+于=1②x二2???聯(lián)立①②解得]10y二01y17.12.刁?M(2,0)或［-y,1219.【解析】(1)由題設(shè)有-X2+2x<kx+b<x2+2x對任意的xeR恒成立.令x=0，貝y0<b<0，所以b=0.因此kx<x2+2x即x2+(2—k)x>0對任意的xeR恒成立，所以A=(2—k)2<0，因此k=2.故h(x)=2x.(2)令F(x)=h(x)—g(x)=k(x—1—Inx)(x>0)，F(xiàn)(1)=0.又Fr(x)=k-x-1.x若k<0，則F(x)在0,1上遞增，在上遞減，則F(x)<F(1)=0，即h(x)—g(x)<0，不符合題意.當(dāng)k=0時，F(xiàn)(x)=h(x)—g(x)=0,h(x)=g(x)，符合題意.當(dāng)k>0時，F(xiàn)(x)在0,1上遞減，在d+x)上遞增，則F(x)>F(1)=0，即h(x)—g(x)>0，符合題意.綜上所述，k>0.—(k+1)x+(k+1)>0由f(x)—h(x)=x—(k+1)x+(k+1)>0k+1

~T<0，即k<—1時，y=x2—(k+1)x+k+1在G,+x)為增函數(shù),因為f(0)—h(0)=k+1<0，故存在x0e(0,+s),使f(x)—h(x)<0，不符合題意.當(dāng)x=罕1=0，即k=—1時，f(x)—h(x)=x2>0，符合題意.k+1當(dāng)x=>0，即k>—1時，則需A=(k+1匕—4(k+1)<0，解得—1<k<3.綜上所述，k的取值范圍是ke【0,3].(3)Vx4一2x2?4(t3一t)x-3t4+2t2?4x2一8對任意xe[m,n]u[—J2,J2]恒成立,x4一2x2>4C一t)x-3t4+2t2對任意xe[m,n]u[—J2,12]恒成立，等價于(x—t)2(x2+2tx+3t2—2)>0對任意xe[m,n]u[—€2,邁]恒成立.故x2+2tx+3t2—2>0對任意xe[m,n]u[一€2,p2]恒成立令M(x)=x2+2tx+3t2一2,當(dāng)0<12<1,A=一8》2+8>0,—1<一》<1，此時n—mW空2+<\Q+1<、訂，當(dāng)1<12<2,A=—8t2+8<0,但4x2-8>4(t3—t)x一3t4+2t2對任意的xe[m,n]u[—￡2,€2]恒成立.等價于4x2—4(t3—t)x+(3t2+4)C—2)<0對任意的xe[m,n]u[r‘2,倆恒成立.4x2—4C3—t)x+(3t2+4)(t2—2)=0的兩根為x,x,123t4—2t2—8則x+x=13—t,x-x=—m=|xm=|x—x|=\；'(x令12=X,Xe[1,2],所以n-:+x)2—4xx=\t6—5t4+3t2+所以n-1212貝yn一m=JX3—5九2+3九+8.構(gòu)造函數(shù)P(九)=九3—5九2+3九+8(Xe11,2]),P，(X)=3九2—10九+3=(九—3)(3九-1),所以Xe11,2]時，P，(X)<0,P(x)遞減，P(x)=P(1)=7.max所以(n一m)=P7，即n—m<\：7max20.【解析】（1）TS一S=Xaa=20.【解析】（1）TS一S=XaTOC\o"1-5"\h\zn+1nn+1n+1n+11n+1(2)丁a>0，?:S>S，?:S丄‘S丄?丄??丄<31-nn+1nSn+12?Sn2S—S2=(S，—S)2n+12n23n+1n

：（s1—s2）2=!（sn+1n3丄：（s1—s2）2=!（sn+1n3丄丄11'2—S2）（S2+S2）n+1nn+1n...s1—S2=1（Sn+1n3丄丄丄丄2+S2）：S2=2S2：S=4S：S=4n-1n+1nn+1nn+1nnS=a=1，S=4n-1..?.a=4n—1—4n—2=3-4n—2,n>211nn1,n=13-4n-2,n>2（3）假設(shè)存在三個不同的數(shù)列｛a｝為"九-3"數(shù)列.n11111S3—S3=xa3.（S3—S3）3=X3（S—S）n+1nn+1n+1nn+1n11亠112211?S3=S3或（S3—S3）2=X3（S3+S3+S3S3）n+1nn+1nn+1nn+1n:S=S或（九3—1）S3+（九3—1）S3+（九3+2）S1S1=0n+1nn+1n?.?對于給定的九，存在三個不同的數(shù)列｛a｝為"九-3"數(shù)列，且a>0nnn+1n：an1,n=10n2或（九3—1）S3+（九3—1）S3+（九3+2）S1S3=0（九H1）有兩個不等的正根.0,n2n+1nn+1n（九3—1）S2+（九3—1）S:+（九3+2）S1S1=0（九H1）可轉(zhuǎn)化為n+1nn+1nc2C丄（九3—1）S3n（九3+2）S3n（.八、、n+1+（九3—1）+n+1=0（九H1），不妨設(shè)21S3S3nn—n+1ISn、丄3=x（x>0），則（九3—1）x2+（九3+2）x+（九3—1）=0（九H1）有兩個不等正根,即0V九V1，此時f（0）=九3—1V0,設(shè)f（x）=（九3—1）x2+（九3即0V九V1，此時f（0）=九3—1V0,①當(dāng)九V1時，A=（九3+2）2—4（九3—1）2>0n0<九3<4,（九3+2）爲=—2（17^1）>0，滿足題意.②當(dāng)九〉1時，A=（九3+2）2—4（九3—1）2>0n0<九3v4，即1v九v34，此時f（°）=九3—1>0,x對=—2；二）<0，此情況有兩個不等負根，不滿足題意舍去.綜上，0V九V1

數(shù)學(xué)11（附加題）【選做題】A.［選修4-2：矩陣與變換］21.【解析】（1）???平面上點A（2,—1）在矩陣M=::對應(yīng)的變換作用下得到點B（3,-4）-1ba1_一2]_3__—a1_一2]_3__—1b__-1__-4_mn(2)設(shè)M-1=cd2m+c=12n+d=0-m+2c=0—n+2d=1解得12a—1=3-2—b=—4則MM-1=1n=——51c=一5M-1=2n+dj0_—n+2d__01_2m+c-m+2cB?［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］22.【解析】（1）以極點為原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系,兀

p兀

pcos—13=2,p1=4，因為點B為直線°冷上’故其直角坐標方程為y又p=4sin0對應(yīng)的圓的直角坐標方程為：x2+y2—4y=0,由1y=——由13解得ix2+y2—4y=0對應(yīng)的點為(0,0對應(yīng)的點為(0,0),(3,1),故對應(yīng)的極徑為P2=0或P2=2?(2)pcos0=2,p=4sin04sin0cos0=2,「.sin20