2020高中數(shù)學(xué) 8 最小二乘估計(jì)（含解析）2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE11-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課時(shí)分層作業(yè)(八)(建議用時(shí)：60分鐘）[合格基礎(chǔ)練］一、選擇題1．已知變量x與y正相關(guān)，且由觀測(cè)數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)eq\x\to（x）＝3，eq\x\to（y)＝3。5,則由該觀測(cè)數(shù)據(jù)算得的線性回歸方程可能是()A．y＝0.4x＋2。3 B．y＝2x－2.4C．y＝－2x＋9.5 D．y＝－0。3x＋4。4A［線性回歸方程一定經(jīng)過樣本點(diǎn)的中心（eq\x\to（x），eq\x\to(y))，將（eq\x\to(x)，eq\x\to（y)）逐個(gè)代入驗(yàn)證只有A項(xiàng)符合．]2．已知變量x和y滿足關(guān)系y＝－0。1x＋1，變量y與z正相關(guān)．下列結(jié)論中正確的是（)A．x與y負(fù)相關(guān),x與z負(fù)相關(guān)B．x與y正相關(guān)，x與z正相關(guān)C．x與y正相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)D．x與y負(fù)相關(guān)，x與z正相關(guān)A［因?yàn)樽兞縳和y滿足關(guān)系y＝－0.1x＋1，其中－0.1＜0，所以x與y成負(fù)相關(guān)；又因?yàn)樽兞縴與z正相關(guān),不妨設(shè)z＝ky＋b(k＞0），則將y＝－0。1x＋1代入即可得到：z＝k(－0.1x＋1)＋b＝－0.1kx＋(k＋b),所以－0.1k＜0，所以x與z負(fù)相關(guān),綜上可知，應(yīng)選A.］3．在一次試驗(yàn)中，測(cè)得（x,y）的四組值分別為（1,2），（2,3），（3,4),（4,5)，則y與x之間的線性回歸方程為()A．y＝x＋1 B．y＝x＋2C．y＝2x＋1 D．y＝x－1A［eq\x\to(x）＝eq\f(1＋2＋3＋4，4）＝2。5,eq\x\to（y）＝eq\f(2＋3＋4＋5,4)＝3。5，因?yàn)榛貧w方程過樣本中心（eq\x\to(x），eq\x\to（y）),故A正確．]4．已知x,y的取值如下表所示:x0134y2.24。34.86.7若y與x線性相關(guān)，且y＝0。95x＋a,則a＝（)A．2。2B．2.9C．2.8D．2.6D[eq\x\to(x）＝eq\f（0＋1＋3＋4，4）＝2，eq\x\to（y）＝eq\f（2。2＋4。3＋4.8＋6.7,4）＝4。5,又回歸直線經(jīng)過(eq\x\to（x)，eq\x\to(y）），所以4。5＝0.95×2＋a,a＝2。6.］5．有人收集了春節(jié)期間平均氣溫x（單位：℃）與某取暖商品的銷售額y（單位：萬元)的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表：平均氣溫x（℃）－2－3－5－6銷售額y（萬元）20232730根據(jù)以上數(shù)據(jù),用線性回歸的方法,求得銷售額y與平均氣溫x之間的線性回歸方程y＝a＋bx的系數(shù)b＝－2。4.則預(yù)測(cè)平均氣溫為－8℃時(shí),該商品的銷售額為（)A．34.6萬元 B．35.6萬元C．36.6萬元 D．37.6萬元A［由已知，得eq\x\to(x)＝eq\f（－2－3－5－6,4)＝－4,eq\x\to（y)＝eq\f(20＋23＋27＋30，4）＝25,所以a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝25＋2.4×（－4）＝15.4，即線性回歸方程為y＝15.4－2。4x,當(dāng)x＝－8時(shí),y＝34。6。]二、填空題6．某地區(qū)近10年居民的年收入x與支出y之間的關(guān)系大致符合y＝0。8x＋0。1(單位：億元)．預(yù)計(jì)今年該地區(qū)居民收入為15億元，則年支出估計(jì)是____________億元．12．1［由題意知，y＝0.8×15＋0。1＝12.1（億元)，即年支出估計(jì)是12。1億元．]7．調(diào)查了某地若干戶家庭的年收入x(單位：萬元)和年飲食支出y（單位：萬元），調(diào)查顯示年收入x與年飲食支出y具有線性相關(guān)關(guān)系,并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)對(duì)x的回歸直線方程：y＝0。254x＋0。321。由線性回歸方程可知，家庭年收入每增加1萬元，年飲食支出平均增加________萬元．0．254［[0.254（x＋1)＋0。321］－［0。254x＋0.321]＝0.254(萬元）．］8．對(duì)一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程觀測(cè)了4次,得到如下表所示的數(shù)據(jù)，則刻畫y與x的關(guān)系的線性回歸方程為________．x1234y1356y＝1.7x－0。5[eq\x\to（x)＝2。5，eq\x\to（y)＝3.75，eq\o(∑,\s\up11(4），\s\do9(i＝1))xiyi＝46，eq\o(∑，\s\up11(4)，\s\do9（i＝1))xeq\o\al（2,i)＝30，b＝eq\f(46－4×2。5×3.75，30－4×2.52)＝1.7，a＝eq\x\to（y)－beq\x\to（x）＝－0。5.所以所求的線性回歸方程為y＝1。7x－0。5。］三、解答題9．假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x(年)和所支出的維修費(fèi)用y（萬元)有如下的統(tǒng)計(jì)資料：使用年限x23456維修費(fèi)用y2.23。85.56。57.0若由資料知y對(duì)x呈線性相關(guān)關(guān)系．試求：(1)線性回歸方程y＝bx＋a；(2）估計(jì)使用年限為10年時(shí)，維修費(fèi)用是多少？[解］(1）制表如下：i12345合計(jì)xi2345620yi2。23.85.56。57。025xiyi4.411.422。032。542。0112。3xeq\o\al(2，i）4916253690eq\x\to（x）＝4,eq\x\to（y）＝5，eq\o(∑，\s\up11(5),\s\do9（i＝1)）xeq\o\al(2，i）＝90，eq\o(∑,\s\up11（5）,\s\do9（i＝1)）xiyi＝112。3于是有b＝eq\f（112.3－5×4×5,90－5×42)＝eq\f（12。3，10）＝1.23。a＝eq\x\to(y）－beq\x\to(x)＝5－1.23×4＝0。08。故線性回歸方程是y＝1.23x＋0。08.（2)根據(jù)線性回歸方程是y＝1。23x＋0.08，當(dāng)x＝10時(shí),y＝1。23×10＋0。08＝12。38，即估計(jì)使用年限為10年時(shí)，維修費(fèi)用是12。38萬元．10．從某居民區(qū)隨機(jī)抽取10個(gè)家庭，獲得第i個(gè)家庭的月收入xi（單位：千元）與月儲(chǔ)蓄yi(單位：千元）的數(shù)據(jù)資料，算得eq\o(∑，\s\up11（10），\s\do9（i＝1)）xi＝80，eq\o（∑,\s\up11（10),\s\do9(i＝1））yi＝20,eq\o(∑,\s\up11（10）,\s\do9(i＝1））xiyi＝184，eq\o（∑,\s\up11(10),\s\do9（i＝1))xeq\o\al(2,i)＝720.(1)求家庭的月儲(chǔ)蓄y對(duì)月收入x的線性回歸方程y＝bx＋a；（2）判斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；（3）若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，預(yù)測(cè)該家庭的月儲(chǔ)蓄．附:線性回歸方程y＝bx＋a中，b＝eq\f（\o(∑,\s\up11(n),\s\do9(i＝1）)xiyi－n\x\to(x）\x\to(y）,\o（∑，\s\up11(n），\s\do9（i＝1））x\o\al(2，i)－n\x\to（x)2)，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)，其中eq\x\to（x)，eq\x\to(y）為樣本平均值．[解](1）由題意知,n＝10，eq\x\to(x)＝eq\f（1,n）eq\o(∑,\s\up11（n）,\s\do9（i＝1))xi＝eq\f(80,10）＝8,eq\x\to（y)＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up11(n)，\s\do9(i＝1))yi＝eq\f（20，10）＝2，又lxx＝eq\o(∑,\s\up11（n),\s\do9（i＝1)）xeq\o\al（2，i）－neq\x\to(x）2＝720－10×82＝80,lxy＝eq\o（∑,\s\up11(n），\s\do9（i＝1））xiyi－neq\x\to(x)eq\x\to（y)＝184－10×8×2＝24,由此得b＝eq\f(lxy,lxx)＝eq\f(24，80)＝0。3，a＝eq\x\to（y）－beq\x\to（x）＝2－0。3×8＝－0。4。故所求回歸方程為y＝0。3x－0.4.（2)由于變量y的值隨x的值增加而增加(b＝0。3＞0），故x與y之間是正相關(guān)．(3)將x＝7代入回歸方程可以預(yù)測(cè)該家庭的月儲(chǔ)蓄為y＝0.3×7－0。4＝1.7(千元)．[等級(jí)過關(guān)練]1．某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷售額y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：廣告費(fèi)用x(萬元）2345銷售額y（萬元)26394954根據(jù)上表可得回歸方程y＝bx＋a中的b為9。4，據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為6萬元時(shí)銷售額為()A．63。6萬元 B．65。5萬元C．67。7萬元 D．72.0萬元B［∵eq\x\to(x)＝eq\f(2＋3＋4＋5，4)＝eq\f(7,2),eq\x\to(y)＝eq\f（26＋39＋49＋54,4)＝42?！?2＝9.4×eq\f(7,2）＋a,∴a＝9.1，∴回歸方程為y＝9.4x＋9.1，當(dāng)x＝6時(shí)，y＝9.4×6＋9.1＝65。5.]2．由一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，（x2,y2），…,（xn，yn)得到的回歸直線方程為y＝bx＋a,那么下面說法不正確的是(）A．直線y＝bx＋a必經(jīng)過點(diǎn)(eq\x\to(x），eq\x\to（y））B．直線y＝bx＋a至少經(jīng)過點(diǎn)（x1,y1)，（x2，y2)，…,(xn，yn)中的一個(gè)點(diǎn)C．直線y＝bx＋a的斜率為eq\f（\i\su(i＝1，n，x)iyi－n\x\to（x）\x\to（y),\i\su（i＝1，n，x）\o\al（2,i）－n\x\to（x）2）D．直線y＝bx＋a是最接近y與x之間真實(shí)關(guān)系的一條直線B[回歸直線一定經(jīng)過樣本點(diǎn)的中心，故A正確；直線y＝bx＋a可以不經(jīng)過樣本點(diǎn)中的任何一點(diǎn),故B錯(cuò)誤;由回歸方程的系數(shù)可知C正確；在直角坐標(biāo)系中，直線y＝bx＋a與所有樣本點(diǎn)的偏差的平方和最小，故D正確;]3．期中考試后，某校高三（9)班對(duì)全班65名學(xué)生的成績進(jìn)行分析，得到數(shù)學(xué)成績y對(duì)總成績x的回歸直線方程為y＝6＋0.4x.由此可以估計(jì)：若兩個(gè)同學(xué)的總成績相差50分，則他們的數(shù)學(xué)成績大約相差________分．20[令兩人的總成績分別為x1、x2，則對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)成績估計(jì)為y1＝6＋0.4x1,y2＝6＋0.4x2，所以｜y1－y2|＝|0。4（x1－x2)|＝0.4×50＝20.]4．為了解籃球愛好者小李的投籃命中率與打籃球時(shí)間之間的關(guān)系,下表記錄了小李某月1號(hào)到5號(hào)每天打籃球時(shí)間x(單位：h）與當(dāng)天投籃命中率y之間的關(guān)系：時(shí)間x12345命中率y0.40.50。60.60.4小李這5天的平均投籃命中率為________;用線性回歸分析的方法，預(yù)測(cè)小李該月6號(hào)打6h籃球的投籃命中率為________．0．50。53［eq\o(y,\s\up11(－）)＝eq\f(0。4＋0.5＋0。6＋0.6＋0.4,5）＝eq\f（2.5,5）＝0.5,eq\o(x，\s\up11(－)）＝eq\f（1＋2＋3＋4＋5，5）＝3。由公式，得b＝0。01,從而a＝eq\o(y，\s\up11(－)）－beq\o（x，\s\up11（－）)＝0。5－0。01×3＝0.47。所以回歸方程為y＝0.47＋0.01x。所以當(dāng)x＝6時(shí),y＝0.47＋0.01×6＝0.53。］5．研究某設(shè)備的使用年限x與維修費(fèi)用y之間的關(guān)系，測(cè)得一組數(shù)據(jù)如下(y值為觀察值)：年限x（年）23456維修費(fèi)用y（萬元）34。455.66。2由數(shù)據(jù)可知y與x有明顯的線性相關(guān)關(guān)系，可以用一條直線l的方程來反映這種關(guān)系．（1)將表中的數(shù)據(jù)畫成散點(diǎn)圖;（2)如果直線l過散點(diǎn)圖中的最左側(cè)點(diǎn)和最右側(cè)點(diǎn),求出直線l的方程；（3）如果直線l過散點(diǎn)圖中的中間點(diǎn)（即點(diǎn)（4，5）),且使維修費(fèi)用的每一個(gè)觀察值與直線l上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差的絕對(duì)值之和最小,求出直線l的方程．[解]（1)如下圖所示．（2）因?yàn)樯Ⅻc(diǎn)圖中的最左側(cè)點(diǎn)和最右側(cè)點(diǎn)分別是(2,3),(6,6.2)，所以直線l的方程是eq\f(y－3，6.2－3)＝eq\f（x－2,6－2）,即4x－5y＋7＝0.（3)由題意可設(shè)直線l的方程為y＝