教學(xué) 設(shè)計(jì)：解方程與數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念

數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念【教材分析】本章《數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入》是中學(xué)課程里數(shù)的概念的最后一次擴(kuò)展。引入復(fù)數(shù)后，不僅可以使學(xué)生對數(shù)的概念有一個初步完整的認(rèn)識，也為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)奠定基礎(chǔ)。教材編寫的線索是：先將復(fù)數(shù)看成是有序?qū)崝?shù)對，然后學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算，最后介紹復(fù)數(shù)的幾何意義。本節(jié)是該章的基礎(chǔ)課、起始課，具有承上啟下的作用?！緦W(xué)情分析】在學(xué)習(xí)本節(jié)之前，學(xué)生對數(shù)的概念已經(jīng)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)，也已清楚各種數(shù)集之間的包含關(guān)系等內(nèi)容，但知識是零碎、分散的，對數(shù)的生成發(fā)展的歷史和規(guī)律缺乏整體認(rèn)識與理性思考，知識體系還未形成。另一方面學(xué)生對方程解的問題會默認(rèn)為在實(shí)數(shù)集中進(jìn)行，缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣?！救S目標(biāo)】知識與技能：了解數(shù)系的擴(kuò)充過程；理解復(fù)數(shù)的基本概念、代數(shù)表示法以及復(fù)數(shù)相等的條件過程與方法：經(jīng)歷數(shù)的概念的發(fā)展和數(shù)系擴(kuò)充的過程，體會數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程，以及數(shù)學(xué)發(fā)生、發(fā)展的客觀需求，讓學(xué)生學(xué)會對事件歸納與認(rèn)識的方法。情感、態(tài)度與價(jià)值觀：（1）培養(yǎng)學(xué)生分類討論、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想和方法；（2）培養(yǎng)學(xué)生矛盾轉(zhuǎn)化、分與合、實(shí)與虛等辯證唯物主義觀點(diǎn)；（3）感受人類理性思維的作用?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】復(fù)數(shù)的基本概念、代數(shù)表示法以及復(fù)數(shù)相等的條件【教學(xué)難點(diǎn)】數(shù)集擴(kuò)充的必要性和過程【教學(xué)設(shè)計(jì)】整體思路激發(fā)求知欲激發(fā)求知欲引導(dǎo)分析形成新知情境設(shè)置例題分析反饋練習(xí)方法小結(jié)例題擴(kuò)展數(shù)學(xué)應(yīng)用設(shè)計(jì)思想 知識來源于實(shí)際生活。教學(xué)中應(yīng)注重把教材內(nèi)容與生活實(shí)踐結(jié)合起來，加強(qiáng)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐性。本節(jié)課對知識結(jié)構(gòu)進(jìn)行創(chuàng)造性地“教學(xué)加工”，教學(xué)方法上則采用“合作－探究”的模式，保證學(xué)生對知識的主動獲取，促進(jìn)學(xué)生充分、和諧、自主、個性化發(fā)展。 媒體設(shè)計(jì) 本節(jié)課是概念課，要避免單一下定義再作練習(xí)模式，應(yīng)努力使課堂元素更豐富，因此借助于多媒體課件配合教學(xué)，添加與教學(xué)內(nèi)容匹配的圖片背景，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；而例習(xí)題用媒體展示分析，則可以提高課堂教學(xué)效率。 設(shè)計(jì)特色重視數(shù)學(xué)的人文價(jià)值。（2）知識建構(gòu)采用合作探究模式?！窘虒W(xué)過程】課前投影,揭示課題名家名言虛數(shù)是奇妙的人類精神寄托，它好像是存在與不存在之間的一種兩棲動物－－萊布尼茨。（設(shè)計(jì)意圖：通過對萊布尼茨的“名言”的介紹，初步接觸“虛數(shù)”一詞，同時也本節(jié)課的結(jié)束語作鋪墊）今天我們來與大家一起學(xué)習(xí)“數(shù)系的擴(kuò)充”。（板書）（設(shè)計(jì)意圖：開門見山，揭示課題，明確學(xué)習(xí)內(nèi)容。）創(chuàng)設(shè)情境，提出問題問題1：數(shù)，是數(shù)學(xué)中的基本概念。到目前為止，我們學(xué)習(xí)了哪些數(shù)集？用符號表如何表示？它們之間有怎樣的包含關(guān)系？（板書）用圖示法可以如何表示（投影）（設(shè)計(jì)意圖：數(shù)集及之間關(guān)系的回顧，特別是“圖示法”的直觀表示，旨在幫助學(xué)生對“數(shù)系的擴(kuò)充”有個初步感受）我們將一個數(shù)集連同相應(yīng)的運(yùn)算及結(jié)構(gòu)叫做一個數(shù)系。（投影）如：自然數(shù)系、整數(shù)系、有理數(shù)系、實(shí)數(shù)系。所謂“運(yùn)算及結(jié)構(gòu)”主要是指加法與乘法的運(yùn)算律。無論在哪個數(shù)集內(nèi)，都滿足加法、乘法的交換律、結(jié)合律以及乘法對加法的分配律。（設(shè)計(jì)意圖：教材中“數(shù)系”的概念這一內(nèi)容放在本節(jié)課的結(jié)尾旁的注解中并未作過多說明，筆者將其提前至開頭，主要是解決課題中“數(shù)系”兩個字的疑問，而“擴(kuò)充”則成為下面研究的重點(diǎn)。）問題2：今天的課題是什么？從剛才這張“圖示法”表示數(shù)集之間的包含關(guān)系的圖也可以看出數(shù)逐步發(fā)展壯大的過程。數(shù)的概念是如何不斷的發(fā)展和擴(kuò)充的呢？下面跟大家一起作簡單回顧．學(xué)生活動，意義建構(gòu)最基本的數(shù)是自然數(shù),它是全部數(shù)學(xué)的發(fā)源地，自然數(shù)的產(chǎn)生當(dāng)初完全是古人為了計(jì)數(shù)的需要．之后，在土地測量，水利工程中發(fā)現(xiàn)僅有自然數(shù)顯然是不夠的，經(jīng)常發(fā)生度量不盡的情況，于是產(chǎn)生了正分?jǐn)?shù)，數(shù)的概念擴(kuò)充到正有理數(shù)．為了刻畫具有相反意義的量產(chǎn)生了負(fù)數(shù)，我國是認(rèn)識負(fù)數(shù)最早的國家．?dāng)?shù)的概念再次擴(kuò)充到有理數(shù)；古希臘人在研究正方形的邊長與對角線長之間關(guān)系時發(fā)現(xiàn)，產(chǎn)生了無理數(shù)，數(shù)的概念擴(kuò)充到實(shí)數(shù)。正是因?yàn)橛?jì)數(shù)、度量、測量等這些原因使得數(shù)的概念經(jīng)歷從無到有，從有到壯大的過程。問題3：由此看來，什么原因?qū)е聰?shù)的概念逐步擴(kuò)充的？（實(shí)際需求） （設(shè)計(jì)意圖：一方面讓學(xué)生感受數(shù)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系，感悟數(shù)的概念產(chǎn)生于實(shí)際需求，另一方面培養(yǎng)學(xué)生總結(jié)、歸納概括的能力）問題4：方程的解是什么？方程的解呢？學(xué)生必答“－4”和“無解”，下面可以如此設(shè)計(jì)：對于方程（1），在自然數(shù)集中，解的情況如何？原因是什么？為此引入負(fù)數(shù)，數(shù)集擴(kuò)充到整數(shù)集。在整數(shù)集中，方程無解，怎么辦？引入分?jǐn)?shù)，數(shù)集擴(kuò)充到有理數(shù)集。在有理數(shù)集中，方程無解，為此引入無理數(shù)，數(shù)集擴(kuò)充到實(shí)數(shù)集。從使得方程有解的角度來看，每一次數(shù)的概念的擴(kuò)充有什么特征？（新的數(shù)集都是在原來數(shù)集的基礎(chǔ)上“添加”了一種新的數(shù)得來的。）如何使方程有解呢？（設(shè)計(jì)意圖：通過一個簡單方程解的情況的“陷阱”，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度，同時通過如何使一系列方程解問題的“誘導(dǎo)”，使學(xué)生不斷受到數(shù)的概念的擴(kuò)充的“基本特征”的沖擊，形成思維定勢，從而使引入一個新數(shù)使方程有解的方法水到渠成，自然給出“虛數(shù)單位”的第一個“規(guī)定”。） 解方程離不開數(shù)與數(shù)之間的運(yùn)算，沒有運(yùn)算的話，數(shù)不過是一些符號而已，毫無意義。下面我們再從運(yùn)算的角度我們再來看一下每一次數(shù)的概念的擴(kuò)充又有什么特征。所謂運(yùn)算主要指加、減、乘、除、乘方、開方這六種運(yùn)算。在自然數(shù)集中，加法和乘法總可以實(shí)施，乘方是乘法特殊情況也是可行的。但是，由于小數(shù)不能減大數(shù)。在整數(shù)集中，自然數(shù)集原有的三種運(yùn)算固然可以進(jìn)行，同時又解決了在自然數(shù)集減法不是總可以實(shí)施的問題。在有理數(shù)集中，整數(shù)集中原有運(yùn)算仍然適用，同時又解決了除法只能整除問題，使得除法總可以實(shí)施了，當(dāng)然除數(shù)不為0。在實(shí)數(shù)集中，有理數(shù)集的運(yùn)算也都可以實(shí)施，還解決了開方的結(jié)果可能不是有理數(shù)的問題，當(dāng)然只能是正數(shù)的開方問題。問題5：從運(yùn)算角度來看，數(shù)集是在按某種“規(guī)則”不斷擴(kuò)充的。請問是何種規(guī)律？（在新的數(shù)集中，原有的運(yùn)算及其性質(zhì)仍然適用，同時解決了某些運(yùn)算在原來數(shù)集中不是總可以實(shí)施的矛盾。）數(shù)學(xué)理論，建立數(shù)學(xué)因此，我們規(guī)定：（1）(2)實(shí)數(shù)可以與進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時，原有的加法、乘法運(yùn)算律仍然成立。將滿足上述兩個條件的新數(shù)，叫做虛數(shù)單位。依照這種規(guī)定，可以與實(shí)數(shù)相乘，得（，特別地，）；還可以和實(shí)數(shù)相加得。于是出現(xiàn)了形如的數(shù)，（其中）我們把它們叫做復(fù)數(shù)。全體復(fù)數(shù)所組成的集合叫做復(fù)數(shù)集，記作C。復(fù)數(shù)通常用字母表示，即其中分別叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部。這一表示形式叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式。（設(shè)計(jì)意圖：通過對數(shù)與數(shù)之間的運(yùn)算特征的研究與歸納，建立復(fù)數(shù)的基本概念）應(yīng)用數(shù)學(xué)例1、寫出復(fù)數(shù)4，,0，，，的實(shí)部與虛部？（口答）（設(shè)計(jì)意圖：鞏固復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部的概念。）問題6：實(shí)數(shù)是復(fù)數(shù)嗎？何時為實(shí)數(shù)？根據(jù)復(fù)數(shù)中的取值不同，復(fù)數(shù)可以有以下的分類：例2、實(shí)數(shù)m取什么值時，復(fù)數(shù)是： （1）實(shí)數(shù)？ （2）虛數(shù)? (3)純虛數(shù)？（設(shè)計(jì)意圖：旨在明確復(fù)數(shù)的分類這一內(nèi)容，特別要強(qiáng)調(diào)純虛數(shù)的條件）復(fù)數(shù)可以看成是關(guān)于的一次二項(xiàng)式，類比兩個二項(xiàng)式相等的意義，我們規(guī)定：兩個復(fù)數(shù)與相等，當(dāng)且僅當(dāng)它們的實(shí)部與虛部分別相等，記作例3、已知，求實(shí)數(shù)的值（設(shè)計(jì)意圖：對復(fù)數(shù)相等問題的研究，可讓學(xué)生體會、總結(jié)復(fù)數(shù)問題的一般的處理方法――實(shí)數(shù)化）課堂練習(xí) 拓展延伸 5、以復(fù)數(shù)的虛部為實(shí)部，的實(shí)部為虛部的新復(fù)數(shù)是 6、集合，，且，則=（設(shè)計(jì)意圖：通過前5題的口答與板演，及時鞏固、檢查課堂效果；通過第5、6小題進(jìn)一步提升學(xué)生分析問題和解決問題的能力）課堂小結(jié)今天我們與大家一起學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的有關(guān)內(nèi)容。復(fù)數(shù)的引入實(shí)現(xiàn)了中學(xué)階段數(shù)系的最后一次擴(kuò)充。大家一定體會到了實(shí)際需求與數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾在數(shù)系擴(kuò)充過程中的作用，但在數(shù)學(xué)史上復(fù)數(shù)系的建立，卻是經(jīng)歷了一段曲折而漫長的過程。很多人認(rèn)為虛數(shù)是沒有意義的、是虛構(gòu)的、想象的。數(shù)學(xué)家萊布尼茨說“虛數(shù)是奇妙的人類精神寄托，它好像是存在與不存在之間的一種兩棲動物”。直到18世紀(jì)末至19世紀(jì)初才確立了虛數(shù)在數(shù)學(xué)中的地位。陳省身說：“沒有復(fù)數(shù)，便沒有