數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)課件

數(shù)理方程與特殊函任課教師:數(shù)學科學學1第四波 通過討論，可以得到求解一維波動方程柯西問題的達朗貝爾公式和高維波動方程柯西問題的泊松公式主要內(nèi)一、一 、 域上波動方程求二、高維波動方程柯西問題求學時：6學2本次課主要一 、 域上波動方程求(一) 域上波動方程定解問題求(二)、 域上波動方程定解問題求3a2u(xa2u(xR,tut0(x)t(x)u(x,t)f1(x21、達朗貝爾公無限長細弦的自由橫振動的齊次定解問由第2章第44f1xf2xxafxafxx 2于是得f1xf2xx x1 21axxdf(x)f(x 0由此求得fx1(x)12f2x (x)121xxdxd1212f(x) f(x 0f(x) f(x 原定解問題的解為uu(x,t)12xatxat..上面公式稱為達朗貝爾公例1、無限長靜止弦在點x=x0受到?jīng)_擊，沖量I，弦的密度ρ。試求解弦的振動。分析弦受沖擊而振動，若把沖擊時間定為時間起點，則t>0時，弦作自由振動，其方程為： (x6在沖擊時，弦未及時發(fā)生位移，因此uut0弦在x=x0處受到敲擊時，初速度uutt0(xx00(xx0udxtudxtIutt I(xx07解：定解問ua 0,x2t0,xt0xx0,xI可直接代入達朗貝爾公式求uu(x,t)1xatxatIx0 2axx0xx08引入階躍函HH(x)0(xH(x)(x)所以定解問題的解可以進一步表達為uu(x,t)I2axx0xx0()dI2aH(xx0atxx0I2axxatHxxat0092、無限長弦的純強迫振動定解問無限長弦在純強迫力f(x,t)引起的振動定解問題為a2ut0f(x,t)(xR,tt對應(yīng)的齊次化問題為 a (xR,tt0 tf(x,作變換

tt則齊次化問Wta (xR,tt00 t0f(x,)(xR)由達朗貝爾公式得WW(x,t,)xatxatf(,即WW(x,t,)xa(txa(tf(,由齊次化uu(x,t)t0xa(txa(tf,)d例2、求定 a2xat(xR,tt00,t0解：這是純強迫振動問題，所以有uu(x,t)t0xa(txa(t)d 2326uyy8(xR,yy00,yy解：這可以看為純強迫振動問題，所以uu(x,y)y0xa(yxa(y8)d4y23、無限長弦的一般強迫振動定解問無限長弦在強迫力f(x,t)引起的振動定解問題為a2uf(x,t)(xR,tut0(x)t(x)作函數(shù)分解u(x,t)V(x,t)W(x,t)原定解問題可以分解為(xR,tut0(x)t(x) f(x,t)(xR,tt0t的解為VV(x,t)12xatxat.xat.xat的解為WW(x,t)t0xa(txa(tf,)d所以，原定解問題的解為,)dfxa(txa(t0td.xat.xatxatxat12u(x,t)例4、求定解問uxxcosx(xR,tt0cosx,t0x,)dfx,)dfxa(txa(t0td.xat.xatxatxat12u(x,t)VV(x,t)12 x xat.xat.xat 12 x xt12.xte.xt1cosxtcosxt1(xt1)ext(xt1)ext22WW(x,t)t0xa(txa(tf,)d12t0x(tx(tcosd12cosxcos(xt)cos(xt)2于是，原定解問題的解為uu(x,t)cosx1(xt1)ext(xt1)ext24、無限長弦的有阻尼振動定解問例5、求無限長弦的有阻尼振動定解問題 2auu0(xR,t2t0(x),tt0(x)分析泛定方程與自由弦振動相比較，多了阻尼項，因此，不能直接使用達朗貝爾公式求解。對于阻尼振動，常?？梢员硎緸槠浣庵袔б粋€隨時間成指數(shù)衰減的因子，所以可以令：u(x,t)etV(x,t)(將其代入阻尼振動方程得VV 2)V2t取β=ε，Va0(xR,tt0(x),t0(x)(x)V(x,t)12xatx.xat.xat(u(x,t) xatxat2et1t.xat.xat()由達朗貝爾公式得所以，原定解問題的解為注 域上類似阻尼振動問題，要考慮函數(shù)變換例6、在GL=RC的條件下，求無限長高頻傳輸線上的電報方程定解問題。(課堂思考)解：定解問VxLitRi CVGV(xR,ttV(x,0)(x)i(x,0)CF(x)提示：通過適當變換，得關(guān)于V和的二階線性偏微分方程，然后，用類似例5的方法求解。例7、求下面柯西問題的解x22u2u 2u2 03x2解：特征方程為dy22dxdy3dx2

C1,x

y3xxf(3x)f(x)3x12f1(3x)f2(x)f(x)2(x)1434 C21xC2u 2u 通解uf2()f2()f1(3xy)f2(x代入條件得(二)、 域上波動方程定解問題求討論半弦自由振動問題：半弦是有界真實弦的抽象。物理意義是考慮靠近一端的那段弦，而認為另一端的影響還未傳到。所以，邊界條件只有一個，該邊界分為固定與自由情形。端點固定

a2u

0,0x

u(x,0)

x,

x,0

x,0

xu(x,y)1(3xu(x,y)1(3xy)23(xy)23x2y44端點自 a2u

0,0x

u(x,0)

x,

x,0

x,0

xux0,t求解思設(shè)法把 處理成相應(yīng) 弦情形：只 ua2uua2u 0,0x,t0u(x,0)x,utx,0x,0xu0,tau(x,0)x,utx,0u(x,t)12 xat xat.xat.xatd設(shè)對應(yīng) 長弦的自由振動為由達朗貝爾讓該解滿足 弦邊界條件得由初始位移與初始速度的獨立性得at

at0012atatdx(x),x(x),xx(x),x(x),x所以：只要作如下奇延拓 由uu(x,t)12 xat xat.xat.xatd當x≥at時(自然uu(x,t)12xatxat.xat.xatd當x≦at時(但uu(x,t)12xatatx.xat.atdu(x,t)1xu(x,t)1xatx1xatat 1.xat.xat)d,txa.xat.at)d,txaua2uua2u 0,0x,t0u(x,0)x,utx,0x,0xu0,txau(x,0)x,utx,0u(x,t)12 xat xat.xat.xatd設(shè)對應(yīng) 長弦的自由振動為由達朗貝爾讓該解滿足 弦邊界條件得由初始位移與初始速度的獨立性得at

at

(at)(at)001atat1(at)(at)2x(x),x(x),x(x),x所以：只要作如下偶延拓 由uu(x,t)12 xat xat.xat.xatd當x≥at時(自然uu(x,t)12xatxat.xat.xatd當x≦at時(但uu(x,t)12xatat.at.at1xatx1xatx1xatat 1.xat(s)ds,xu(x,t)a[.xat.atxx(s)ds(s)ds,taua2u 0,ua2u 0,0xu(x,0)sinx,utx,0cosx,0xu0,tu(x,t)1xatx1xat