2020高中數(shù)學(xué) 穿越自測(cè)（含解析）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGEPAGE20學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精穿越自測(cè)一、選擇題1．[2017·全國(guó)卷Ⅰ·理6，本題考查了二項(xiàng)式定理,考查了學(xué)生運(yùn)算求解能力］1＋eq\f(1,x2）(1＋x）6展開式中x2的系數(shù)為（)A．15B．20C．30D．35答案C解析因?yàn)椋?＋x）6的通項(xiàng)為Ceq\o\al（r，6)xr，所以1＋eq\f（1,x2)（1＋x）6展開式中含x2的項(xiàng)為1·Ceq\o\al(2,6）x2和eq\f(1，x2）·Ceq\o\al(4，6)x4。因?yàn)镃eq\o\al(2，6）＋Ceq\o\al(4,6）＝2Ceq\o\al(2，6)＝2×eq\f（6×5，2×1）＝30,所以1＋eq\f(1，x2)(1＋x）6展開式中x2的系數(shù)為30。故選C。2．［2017·全國(guó)卷Ⅱ·理6,本題考查了排列組合的知識(shí),考查了學(xué)生分析求解能力］安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成,則不同的安排方式共有（)A．12種B．18種C．24種D．36種答案D解析由題意可得其中1人必須完成2項(xiàng)工作，其他2人各完成1項(xiàng)工作，可得安排方式為Ceq\o\al(1，3)·Ceq\o\al(2，4）·Aeq\o\al（2,2）＝36（種)，或列式為Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,4）·Ceq\o\al（1,2)＝3×eq\f(4×3,2)×2＝36（種）．故選D.3．[2017·全國(guó)卷Ⅲ·理4，本題考查了二項(xiàng)式定理]（x＋y）（2x－y）5的展開式中x3y3的系數(shù)為()A．－80B．－40C．40D．80答案C解析因?yàn)閤3y3＝x·（x2y3），其系數(shù)為－Ceq\o\al(3,5）·22＝－40，x3y3＝y(tǒng)·(x3y2）,其系數(shù)為Ceq\o\al（2,5）·23＝80。所以x3y3的系數(shù)為80－40＝40.故選C.4．[2017·山東高考·理5，本題考查了線性回歸方程的相關(guān)知識(shí)，考查了運(yùn)算求解能力]為了研究某班學(xué)生的腳長(zhǎng)x（單位：厘米)和身高y（單位：厘米)的關(guān)系,從該班隨機(jī)抽取10名學(xué)生，根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系．設(shè)其回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^）)＝eq\o(b，\s\up6（^）)x＋eq\o(a，\s\up6(^)).已知eq\i\su(i＝1，10,x)i＝225，eq\i\su（i＝1，10,y)i＝1600，eq\o(b，\s\up6（^)）＝4.該班某學(xué)生的腳長(zhǎng)為24，據(jù)此估計(jì)其身高為（)A．160B．163C．166D．170答案C解析∵eq\i\su(i＝1，10，x）i＝225，∴eq\x\to（x）＝eq\f(1,10）eq\i\su（i＝1，10,x）i＝22。5.∵eq\i\su（i＝1,10，y）i＝1600，∴eq\x\to（y）＝eq\f(1,10）eq\i\su（i＝1，10，y）i＝160。又eq\o(b,\s\up6(^））＝4，∴eq\o(a,\s\up6（^))＝eq\x\to(y）－eq\o（b,\s\up6（^）)eq\x\to（x）＝160－4×22。5＝70?！嗷貧w直線方程為eq\o（y，\s\up6(^）)＝4x＋70.將x＝24代入上式得eq\o(y,\s\up6（^))＝4×24＋70＝166.故選C。5．[2017·山東高考·理8，本題考查了古典概型概率的計(jì)算]從分別標(biāo)有1，2，…，9的9張卡片中不放回地隨機(jī)抽取2次，每次抽取1張，則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是（)A.eq\f(5,18)B。eq\f(4，9)C.eq\f（5,9）D.eq\f（7，9）答案C解析eq\a\vs4\al（解法一：）∵9張卡片中有5張奇數(shù)卡片，4張偶數(shù)卡片,且為不放回地隨機(jī)抽取,∴P(第一次抽到奇數(shù)，第二次抽到偶數(shù))＝eq\f（5，9)×eq\f（4,8）＝eq\f（5，18），P(第一次抽到偶數(shù),第二次抽到奇數(shù))＝eq\f（4,9)×eq\f(5，8)＝eq\f（5,18）?！郟（抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同）＝eq\f（5,18)＋eq\f(5，18）＝eq\f（5,9).故選C。eq\a\vs4\al(解法二：）依題意,得P（抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同)＝eq\f（5×4,C\o\al（2，9））＝eq\f（5，9）.故選C。6．［2017·浙江高考·理8，本題考查了兩點(diǎn)分布的數(shù)學(xué)期望和方差的計(jì)算，考查了運(yùn)算求解能力，構(gòu)造函數(shù)思想]已知隨機(jī)變量ξi滿足P（ξi＝1)＝pi,P(ξi＝0）＝1－pi，i＝1，2。若0＜p1＜p2＜eq\f（1,2）,則（）A．E（ξ1）<E（ξ2），D（ξ1)〈D(ξ2)B．E（ξ1）<E(ξ2），D（ξ1）〉D（ξ2)C．E（ξ1）〉E（ξ2)，D（ξ1）<D（ξ2）D．E（ξ1)>E（ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2）答案A解析由題意可知ξi（i＝1,2)服從兩點(diǎn)分布，∴E（ξ1)＝p1，E(ξ2）＝p2，D(ξ1)＝p1(1－p1），D（ξ2）＝p2(1－p2)．又∵0〈p1〈p2<eq\f（1,2)，∴E(ξ1）〈E（ξ2）．把方差看作函數(shù)y＝x(1－x），根據(jù)0<ξ1<ξ2〈eq\f（1，2)知，D(ξ1)<D(ξ2)．故選A。二、填空題7．［2017·全國(guó)卷Ⅱ·理13,本題考查了二項(xiàng)分布的知識(shí)］一批產(chǎn)品的二等品率為0.02,從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件數(shù)，則D(X)＝________.答案1。96解析由題意得X~B（100,0.02），∴D(X）＝100×0。02×(1－0.02）＝1。96。8．[2017·天津高考·理14，本題考查了排列組合相關(guān)知識(shí)］用數(shù)字1,2，3,4，5,6,7，8，9組成沒有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù),這樣的四位數(shù)一共有________個(gè)．（用數(shù)字作答)答案1080解析①當(dāng)組成四位數(shù)的數(shù)字中有一個(gè)偶數(shù)時(shí),四位數(shù)的個(gè)數(shù)為Ceq\o\al（3，5)·Ceq\o\al（1，4)·Aeq\o\al（4，4)＝960.②當(dāng)組成四位數(shù)的數(shù)字中不含偶數(shù)時(shí)，四位數(shù)的個(gè)數(shù)為Aeq\o\al(4,5)＝120。故符合題意的四位數(shù)一共有960＋120＝1080（個(gè))．9．［2017·山東高考·理11，本題考查了二項(xiàng)式定理的相關(guān)知識(shí)］已知（1＋3x）n的展開式中含有x2項(xiàng)的系數(shù)是54，則n＝________.答案4解析（1＋3x)n的展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n）（3x）r。令r＝2,得T3＝9Ceq\o\al（2，n）x2。由題意得9Ceq\o\al(2,n)＝54，解得n＝4.10．[2017·浙江高考·理13,本題考查了二項(xiàng)式定理］已知多項(xiàng)式（x＋1）3（x＋2）2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5,則a4＝________，a5＝________.答案164解析a4是x項(xiàng)的系數(shù)，由二項(xiàng)式的展開式得a4＝Ceq\o\al(3，3）·Ceq\o\al（1，2)·2＋Ceq\o\al（2，3）·Ceq\o\al(2，2）·22＝16；a5是常數(shù)項(xiàng),由二項(xiàng)式的展開式得a5＝Ceq\o\al（3，3）·Ceq\o\al（2，2)·22＝4.11．［2017·浙江高考·理16，本題考查了排列組合的應(yīng)用，考查了學(xué)生分析推理能力]從6男2女共8名學(xué)生中選出隊(duì)長(zhǎng)1人，副隊(duì)長(zhǎng)1人,普通隊(duì)員2人組成4人服務(wù)隊(duì)，要求服務(wù)隊(duì)中至少有1名女生，共有________種不同的選法．(用數(shù)字作答)答案660解析eq\a\vs4\al(解法一:）只有1名女生時(shí)，先選1名女生，有Ceq\o\al（1,2)種方法;再選3名男生，有Ceq\o\al（3，6)種方法;然后排隊(duì)長(zhǎng)、副隊(duì)長(zhǎng)位置，有Aeq\o\al（2,4)種方法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，知共有Ceq\o\al(1，2）Ceq\o\al(3,6)Aeq\o\al（2,4)＝480(種)選法．有2名女生時(shí)，再選2名男生，有Ceq\o\al(2，6）種方法；然后排隊(duì)長(zhǎng)、副隊(duì)長(zhǎng)位置，有Aeq\o\al(2，4)種方法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理,知共有Ceq\o\al(2，6)Aeq\o\al(2，4）＝180（種)選法．所以依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知共有480＋180＝660(種）不同的選法．eq\a\vs4\al（解法二：）不考慮限制條件,共有Aeq\o\al(2，8)Ceq\o\al（2,6）種不同的選法,而沒有女生的選法有Aeq\o\al（2,6)Ceq\o\al(2，4)種．故至少有1名女生的選法有Aeq\o\al（2,8）Ceq\o\al(2，6）－Aeq\o\al（2，6)Ceq\o\al(2,4）＝840－180＝660（種）．三、解答題12．[2017·全國(guó)卷Ⅰ·理19，本題考查了正態(tài)分布，數(shù)學(xué)期望,標(biāo)準(zhǔn)差等知識(shí)，考查了運(yùn)算求解能力,分析推理能力］為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸(單位：cm）．根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N（μ，σ2)．（1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ）之外的零件數(shù)，求P(X≥1）及X的數(shù)學(xué)期望；(2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ）之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查．①試說(shuō)明上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程方法的合理性；②下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸：9。9510。129.969。9610.019。929.9810。0410。269.9110.1310。029.2210。0410.059。95經(jīng)計(jì)算得eq\x\to（x）＝eq\f（1,16）eq\i\su（i＝1，16,x）i＝9.97，s＝eq\r(\f（1,16）\i\su（i＝1,16，）xi－\x\to(x）2）＝eq\r（\f(1，16)\i\su(i＝1,16,x)\o\al(2,i）－16\x\to(x）2)≈0.212，其中xi為抽取的第i個(gè)零件的尺寸,i＝1，2，…，16。用樣本平均數(shù)eq\x\to（x）作為μ的估計(jì)值eq\o（μ，\s\up6(^)），用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計(jì)值eq\o(σ,\s\up6（^))，利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查？剔除(eq\o(μ,\s\up6(^)）－3eq\o(σ,\s\up6(^）），eq\o（μ，\s\up6(^））＋3eq\o（σ,\s\up6(^）））之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)μ和σ(精確到0。01）．附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N（μ，σ2），則P(μ－3σ〈Z<μ＋3σ)＝0。9974，0.997416≈0.9592，eq\r(0.008）≈0.09。解(1)抽取的一個(gè)零件的尺寸在（μ－3σ，μ＋3σ）之內(nèi)的概率為0。9974，從而零件的尺寸在（μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率為0.0026，故X～B(16，0。0026）．因此P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997416≈0.0408。X的數(shù)學(xué)期望E（X)＝16×0.0026＝0.0416。(2）①如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個(gè)零件尺寸在(μ－3σ,μ＋3σ)之外的概率只有0。0026，一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中，出現(xiàn)尺寸在（μ－3σ，μ＋3σ）之外的零件的概率只有0。0408，發(fā)生的概率很小，因此一旦發(fā)生這種情況，就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況,需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查，可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程的方法是合理的．②由eq\x\to（x）＝9.97，s≈0。212,得μ的估計(jì)值為eq\o（μ,\s\up6(^）)＝9。97，σ的估計(jì)值為eq\o(σ,\s\up6(^））＝0。212，由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個(gè)零件的尺寸在（eq\o（μ,\s\up6(^)）－3eq\o（σ,\s\up6(^））,eq\o（μ，\s\up6（^））＋3eq\o(σ,\s\up6(^)）)之外，因此需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查．剔除(eq\o(μ,\s\up6（^)）－3eq\o(σ，\s\up6(^))，eq\o（μ,\s\up6（^))＋3eq\o(σ，\s\up6(^）))之外的數(shù)據(jù)9。22，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\f（1，15）×（16×9.97－9.22)＝10。02.因此μ的估計(jì)值為10。02。eq\i\su（i＝1，16，x）eq\o\al(2，i)＝16×0.2122＋16×9.972≈1591.134,剔除（eq\o(μ，\s\up6(^)）－3eq\o（σ，\s\up6(^）），eq\o(μ，\s\up6(^）)＋3eq\o(σ，\s\up6（^)）)之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為eq\f(1,15）×（1591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，因此σ的估計(jì)值為eq\r(0.008)≈0。09.13．[2017·全國(guó)卷Ⅱ·理18,本題考查了頻率分布直方圖,獨(dú)立性檢驗(yàn),樣本估計(jì)總體等知識(shí)，考查了學(xué)生讀圖，識(shí)圖能力，運(yùn)算求解能力]海水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比，收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100個(gè)網(wǎng)箱，測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位:kg），其頻率分布直方圖如下：(1）設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立，記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg,新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg”，估計(jì)A的概率；(2)填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99％的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān);箱產(chǎn)量<50kg箱產(chǎn)量≥50kg舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法（3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值(精確到0。01）．eq\a\vs4\al（附：),K2＝eq\f（nad－bc2，a＋bc＋da＋cb＋d）。解(1)記B表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg”，C表示事件“新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg”．由題意知P（A）＝P（BC）＝P(B)P(C)．舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg的頻率為（0。012＋0.014＋0.024＋0.034＋0。040）×5＝0.62,故P（B)的估計(jì)值為0.62。新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg的頻率為(0.068＋0.046＋0.010＋0。008）×5＝0。66,故P（C）的估計(jì)值為0.66。因此,事件A的概率估計(jì)值為0.62×0.66＝0。4092。(2)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表箱產(chǎn)量<50kg箱產(chǎn)量≥50kg舊養(yǎng)殖法6238新養(yǎng)殖法3466K2＝eq\f（200×62×66－34×382，100×100×96×104）≈15。705。由于15。705〉6。635，故有99％的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)．(3)因?yàn)樾吗B(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量頻率分布直方圖中,箱產(chǎn)量低于50kg的直方圖面積為（0。004＋0.020＋0。044)×5＝0。34〈0。5，箱產(chǎn)量低于55kg的直方圖面積為（0。004＋0.020＋0。044＋0。068)×5＝0.68>0。5，故新養(yǎng)殖法產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值為50＋eq\f(0。5－0。34,0.068)≈52。35(kg)．14．[2017·全國(guó)卷Ⅲ·理18，本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列，數(shù)學(xué)期望等知識(shí)，考查了分析問(wèn)題，解決問(wèn)題能力，運(yùn)算求解能力］某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn),每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：℃）有關(guān)．如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間［20，25)，需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫［10，15)［15,20）[20,25)[25，30）［30，35)[35,40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率．(1）求六月份這種酸奶一天的需求量X（單位：瓶)的分布列；(2）設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤(rùn)為Y(單位：元),當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量n（單位：瓶）為多少時(shí)，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？解(1)由題意知，X所有可能取值為200,300，500,由表格數(shù)據(jù)知P（X＝200)＝eq\f(2＋16,90)＝0。2,P(X＝300)＝eq\f（36,90）＝0.4,P(X＝500)＝eq\f（25＋7＋4,90）＝0。4。因此X的分布列為X200300500P0.20.40.4(2）由題意知，這種酸奶一天的需求量至多為500，至少為200，因此只需考慮200≤n≤500。當(dāng)300≤n≤500時(shí)，若最高氣溫不低于25，則Y＝6n－4n＝2n;若最高氣溫位于區(qū)間［20,25)，則Y＝6×300＋2（n－300)－4n＝1200－2n；若最高氣溫低于20，則Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n。因此E（Y）＝2n×0.4＋(1200－2n)×0。4＋（800－2n）×0.2＝640－0.4n.當(dāng)200≤n＜300時(shí)，若最高氣溫不低于20，則Y＝6n－4n＝2n；若最高氣溫低于20，則Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n,因此E（Y)＝2n×（0.4＋0。4）＋（800－2n)×0。2＝160＋1.2n.所以n＝300時(shí)，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值，最大值為520元．15．［2017·北京高考·理17，本題考查了隨機(jī)事件的概率，古典概型，隨機(jī)變量的分布列，數(shù)學(xué)期望,方差等知識(shí)，考查了運(yùn)算求解能力，概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)的應(yīng)用能力］為了研究一種新藥的療效，選100名患者隨機(jī)分成兩組,每組各50名，一組服藥，另一組不服藥．一段時(shí)間后，記錄了兩組患者的生理指標(biāo)x和y的數(shù)據(jù)，并制成下圖，其中“*"表示服藥者，“＋”表示未服藥者．（1）從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人,求此人指標(biāo)y的值小于60的概率；(2)從圖中A，B,C，D四人中隨機(jī)選出兩人，記ξ為選出的兩人中指標(biāo)x的值大于1.7的人數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E(ξ）;（3)試判斷這100名患者中服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差與未服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差的大小．（只需寫出結(jié)論）解（1)由題圖知，在服藥的50名患者中，指標(biāo)y的值小于60的有15人，所以從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人，此人指標(biāo)y的值小于60的概率為eq\f(15，50）＝0。3。(2)由題圖可知，A，B,C，D四人中，指標(biāo)x的值大于1。7的有2人:A和C。所以ξ的所有可能取值為0,1,2。P（ξ＝0）＝eq\f(C\o\al（2，2）,C\o\al(2,4))＝eq\f（1，6)，P(ξ＝1)＝eq\f（C\o\al（1，2)C\o\al(1,2），C\o\al(2，4））＝eq\f(2，3），P（ξ＝2）＝eq\f(C\o\al(2，2),C\o\al(2，4））＝eq\f(1，6).所以ξ的分布列為ξ012Peq\f（1，6)eq\f(2，3)eq\f（1，6)故ξ的期望E（ξ)＝0×eq\f（1,6)＋1×eq\f（2，3)＋2×eq\f（1，6）＝1。(3)在這100名患者中,服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差大于未服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差．16．［2017·天津高考·理16，本題考查了相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算,離散型隨機(jī)變量的分布列，數(shù)學(xué)期望等知識(shí)，考查了分析推理能力，運(yùn)算求解能力］從甲地到乙地要經(jīng)過(guò)3個(gè)十字路口,設(shè)各路口信號(hào)燈工作相互獨(dú)立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為eq\f(1，2），eq\f（1,3），eq\f（1，4）。（1)記X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若有2輛車獨(dú)立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率．解(1)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2，3.P（X＝0）＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（1－\f(1，2)）)×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（1－\f(1，3))）×eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)））＝eq\f（1,4),P（X＝1）＝eq\f(1,2）×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f（1，3)））×eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(1－\f(1，4))）＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(1－\f（1，2））)×eq\f(1,3)×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（1－\f（1,4）））＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(1－\f（1，2)))×eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(1－\f(1，3））)×eq\f（1，4）＝eq\f（11,24），P（X＝2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（1－\f（1，2)））×eq\f(1，3）×eq\f(1,4）＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)））×eq\f（1,4)＋eq\f（1，2)×eq\f(1,3）×eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(1－\f(1，4)))＝eq\f(1，4),P(X＝3)＝eq\f（1，2）×eq\f（1，3）×eq\f(1，4）＝eq\f(1，24）。所以隨機(jī)變量X的分布列為X0123Peq\f(1,4)eq\f(11,24）eq\f(1,4）eq\f(1，24）隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×eq\f(1，4)＋1×eq\f(11，24)＋2×eq\f(1，4）＋3×eq\f（1,24）＝eq\f（13，12）。(2）設(shè)Y表示第一輛車遇到紅燈的個(gè)數(shù)，Z表示第二輛車遇到紅燈的個(gè)數(shù)，則所求事件的概率為P（Y＋Z＝1)＝P（Y＝0，Z＝1）＋P(Y＝1，Z＝0）＝P（Y＝0)P（Z＝1)＋P(Y＝1）P（Z＝0)＝eq\f（1，4）×eq\f(11,24）＋eq\f（11,24)×eq\f（1，4）＝eq\f(11,48）。所以這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率為eq\f（11，48).17．［2017·山東高考·理18,本題考查了隨機(jī)事件的概率,分布列，數(shù)學(xué)期望等知識(shí)，考查了運(yùn)算求解能力,應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力]在心理學(xué)研究中，常采用對(duì)比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理暗示對(duì)人的影響，具體方法如下：將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過(guò)對(duì)比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來(lái)評(píng)價(jià)兩種心理暗示的作用．現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2,A3，A4,A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示,另5人接受乙種心理暗示．(1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；（2）用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E（X）．解(1)記接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件為M，則P（M)＝eq\f(C\o\al（4,8），C\o\al(5，10))＝eq\f（5，18）.(2）由題意知X可取的值為0，1,2，3,4，則P(X＝0）＝eq\f(C\o\al(5，6）,C\o\al(5,10))＝eq\f(1，42)，P（X＝1)＝eq\f(C\o\al(4，6)C\o\al(1,4),C\o\al(5,10））＝eq\f(5，21），P(X＝2）＝eq\f（C\o\al（3，6）C\o\al(2，4），C\o\al（5，10)）＝eq\f(10，21)，P（X＝3)＝eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(3,4),C\o\al（5，10）)＝eq\f（5,21)，P(X＝4）＝eq\f（C\o\al(1,6）C\o\al(4，4)，C\o\al（5，10))＝eq\f（1,42)。因此X的分布列為X01234Peq\f(1,42）eq\f(5，21）eq\f（10，21）eq\f(5,21)eq\f(1,42）X的數(shù)學(xué)期望E（X)＝0×P（X＝0）＋1×P(X＝1)＋2×P（X＝2)＋3×P(X＝3）＋4×P（X＝4）＝0＋1×eq\f（5,21)＋2×eq\f(10，21)＋3×eq\f(5,21)＋4×eq\f（1，42）＝2。18．[2017·江蘇高考·理23，本題考查了古典概型概率計(jì)算,隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,考查了運(yùn)算求解能力，放縮思想的應(yīng)用］已知一個(gè)口袋中有m個(gè)白球，n個(gè)黑球（m，n∈N*,n≥2)，這些球除顏色外完全相同．現(xiàn)將口袋中的球隨機(jī)地逐個(gè)取出，并放入如圖所示的編號(hào)為1,2,3，…,m＋n的抽屜內(nèi),其中第k次取出的球放入編號(hào)為k的抽屜(k＝1，2，3，…,m＋n）．123