2020高中數(shù)學(xué) 第1章 集合與常用邏輯術(shù)語 單元質(zhì)量測評 第一冊

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE14-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第1章集合與常用邏輯術(shù)語單元質(zhì)量測評本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷(非選擇題）兩部分．滿分150分,考試時間120分鐘．第Ⅰ卷(選擇題，共60分）一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分,共60分．在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的）1．下列語句是命題的是（）A．2x2＋3x－1〉0 B．比較兩數(shù)大小C．?dāng)]起袖子加油干！ D．cos45°＝eq\f(\r(2),2)答案D解析A項不能判斷真假，不是命題；B，C兩項不是陳述句，不是命題；D項是命題．2．下面所給三個命題中真命題的個數(shù)是()①若ac2〉bc2,則a〉b；②若四邊形的對角互補，則該四邊形是圓的內(nèi)接四邊形；③若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac〈0，則該二次函數(shù)的圖象與x軸有公共點．A．0 B．1C．2 D．3答案C解析①該命題為真命題，由ac2〉bc2,得c2>0，則有a>b。②該命題為真命題，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的定義可進行判定．③該命題為假命題,因為當(dāng)b2－4ac<0時,一元二次方程ax2＋bx＋c＝0沒有實數(shù)根，因此二次函數(shù)的圖象與x軸無公共點．綜上所述，故選C.3．命題“?x∈R，|x|＋x2≥0"的否定是（）A．?x∈R，|x|＋x2<0B．?x∈R，｜x｜＋x2≤0C．?x∈R,|x|＋x2〈0D．?x∈R，｜x｜＋x2≥0答案C解析“?x∈R，|x｜＋x2≥0”的否定是“?x∈R,｜x|＋x2<0”．4．已知x1，x2∈R，則“x1〉1且x2>1"是“x1＋x2>2且x1x2>1”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案A解析由x1＞1且x2＞1得x1＋x2＞1＋1＝2，x1x2＞1×1＝1,所以“x1＞1且x2＞1"是“x1＋x2＞2且x1x2＞1”的充分條件；設(shè)x1＝3，x2＝eq\f（1,2），則x1＋x2＝eq\f（7,2)＞2且x1x2＝eq\f(3,2)＞1，但x2＜1，所以不滿足必要性．故選A。5．下列命題中，真命題有（）①mx2＋2x－1＝0是關(guān)于x的一元二次方程；②拋物線y＝ax2＋2x－1與x軸至少有一個交點；③互相包含的兩個集合相等；④空集是任何集合的真子集．A．1個 B．2個C．3個 D．4個答案A解析對于①來說，當(dāng)m＝0時，mx2＋2x－1＝0是一元一次方程；對于②來說,拋物線y＝ax2＋2x－1對應(yīng)的一元二次方程的判別式Δ＝4＋4a，當(dāng)a<－1時，方程無實數(shù)根,此時拋物線與x軸無交點；③正確，A?B，B?A?A＝B;空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集，故④錯誤．6．“a2＋(b－1）2＝0”是“a(b－1）＝0”的(）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案A解析a2＋(b－1）2＝0?a＝0且b＝1，而a(b－1）＝0?a＝0或b＝1，故“a2＋(b－1）2＝0”是“a(b－1)＝0”的充分不必要條件．7．已知集合A＝｛1,2，3,4，5｝，B＝｛(x,y）|x∈A,y∈A，x－y∈A｝，則B中所含元素的個數(shù)為()A．3 B．6C．8 D．10答案D解析當(dāng)x＝5時，y＝1，2,3，4;當(dāng)x＝4時，y＝1,2,3;當(dāng)x＝3時,y＝1，2;當(dāng)x＝2時，y＝1,共10個．故選D.8．在下列命題中，真命題的個數(shù)是(）①?x∈R，x2＋x＋3〉0；②?x∈Q，eq\f(1，3)x2＋1是有理數(shù)；③關(guān)于x的方程x2＋｜x｜－6＝0有四個實數(shù)根；④?x，y∈Z，3x－2y＝10。A．1 B．2C．3 D．4答案C解析①中,x2＋x＋3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)））2＋eq\f(11,4)>0，故①是真命題;②中,∵x∈Q，∴eq\f(1,3）x2＋1是有理數(shù),故②是真命題;③中，由x2＋|x｜－6＝0，得｜x|＝2，∴x＝±2，方程有兩個實數(shù)根，故③是假命題；④中，當(dāng)x＝4，y＝1時，結(jié)論成立，故④是真命題．由以上可知，正確選項為C.9．給出下列四個命題:①設(shè)集合X＝{x|x>－1},則｛0}∈X;②空集是任何集合的真子集；③集合A＝｛y|y＝eq\r(x2－1)｝，B＝｛x｜y＝eq\r（x2－1)}表示同一集合；④集合P＝{a，b｝,集合Q＝{b，a},則P＝Q.其中正確的命題是(）A．①② B．①③C．③④ D．④答案D解析①中{0｝與X均表示集合，不能用∈來表示集合與集合之間的關(guān)系,①不正確；②中空集是任何非空集合的真子集，②不正確；③中A＝{y|y≥0｝，B＝{x|x≥1或x≤－1},故不是同一集合，③不正確；④中根據(jù)集合中元素的無序性知④正確．故選D。10．下列命題中，是全稱量詞命題且是真命題的是(）A．對任意的a,b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0B．菱形的兩條對角線相等C．?x∈R，eq\r（x2)＝xD．正方形是矩形答案D解析A中的命題是全稱量詞命題，但a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋（b－1)2≥0，故是假命題；B中的命題是全稱量詞命題，但是假命題;C中的命題是全稱量詞命題,但eq\r(x2）＝|x｜，故是假命題；D中的命題是全稱量詞命題且是真命題，故選D。11．設(shè)U為全集,A,B是集合，則“存在集合C使得A?C，B??UC"是“A∩B＝?"的（）A．充分而不必要的條件B．必要而不充分的條件C．充要條件D．既不充分也不必要的條件答案C解析若存在集合C使得A?C，B??UC，則可以推出A∩B＝?；若A∩B＝?，由Venn圖可知，存在A＝C，同時滿足A?C，B??UC。故“存在集合C使得A?C,B??UC”是“A∩B＝?”的充要條件．12．已知△ABC的邊長為a，b，c，定義它的等腰判別式為D＝max｛a－b,b－c,c－a}＋min{a－b，b－c，c－a｝,則“D＝0”是“△ABC為等腰三角形”的（)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案C解析充分性：若“D＝0"，設(shè)c≥b≥a，則D＝max{a－b，b－c，c－a}＋min{a－b,b－c,c－a｝＝c－a＋b－c＝0或c－a＋a－b＝0，∴a＝b或b＝c，則△ABC一定為等腰三角形,所以充分性成立．必要性:若△ABC為等腰三角形，設(shè)a＝b，當(dāng)c≠a時，則b－c與c－a中必然有一個為最大值，另一個為最小值，則D＝b－c＋c－a＝b－a＝0；當(dāng)c＝a時，D＝0＋0＝0，所以必要性成立．故選C。第Ⅱ卷(非選擇題，共90分）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分,共20分．將答案填在題中的橫線上)13．“紅豆生南國，春來發(fā)幾枝？愿君多采擷，此物最相思．"這是唐代詩人王維的《相思》詩,在這四句詩中，可作為命題的是________________．答案紅豆生南國解析“紅豆生南國”是陳述句，意思是“紅豆生長在中國南方”，這在唐代是事實，故本語句是命題，且是真命題；“春來發(fā)幾枝"是疑問句,“愿君多采擷"是祈使句，“此物最相思”是感嘆句,都不是命題．14．設(shè)x∈R,則“x〉1”是“x3〉1”的________條件．答案充要解析因為x∈R，“x>1”?“x3>1”，所以“x>1”是“x3〉1”的充要條件．15．命題p:?x∈R,x2＋x＋1≠0，則命題綈p為________________．答案?x∈R,x2＋x＋1＝0解析命題p是全稱量詞命題，根據(jù)全稱量詞命題的否定是改量詞,否結(jié)論，則是?x∈R，x2＋x＋1＝0。16．由命題“?x∈R，x2＋2x＋m＝0”是假命題，求得實數(shù)m的取值范圍是m>a，則實數(shù)a＝________。答案1解析因為命題“?x∈R，x2＋2x＋m＝0”是假命題，所以其否定“?x∈R，x2＋2x＋m≠0”是真命題，等價于方程x2＋2x＋m＝0無實根，所以Δ＝4－4m〈0，解得m〉1，又因為m的取值范圍是(a,＋∞)，所以實數(shù)a＝1。三、解答題（本大題共6小題,共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．（本小題滿分10分)寫出下列命題的否定,并判斷真假．(1)p1：?x∈R，x2－x＋1≤0；(2）p2：所有的菱形都是平行四邊形；（3）p3：有的梯形是等腰梯形;（4)p4:任意x∈Z，x2的個位數(shù)字不等于3;（5）p5:有一個素數(shù)含三個正因數(shù)．解(1)綈p1：?x∈R，x2－x＋1〉0；真命題．(2）綈p2:存在一個菱形，它不是平行四邊形；假命題．(3)綈p3：所有的梯形都不是等腰梯形；假命題．(4)綈p4：存在x∈Z，使x2的個位數(shù)字等于3；假命題．(5）綈p5：所有的素數(shù)都不含三個正因數(shù)；真命題．18．(本小題滿分12分)已知集合A＝{x｜－2≤x≤5｝，B＝｛x｜m＋1≤x≤2m－1｝，且B≠?.(1）若“命題p：?x∈B,x∈A”是真命題，求m的取值范圍;（2）若“命題q:?x∈A，x∈B”是真命題，求m的取值范圍．解（1)∵A＝｛x｜－2≤x≤5}，B＝｛x|m＋1≤x≤2m－1｝，且B≠?，“命題p：?x∈B，x∈A"是真命題，∴B?A，B≠?,∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≤2m－1,,m＋1≥－2，，2m－1≤5,)）解得2≤m≤3.(2）q為真,則A∩B≠??！連≠?，∴m≥2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（－2≤m＋1≤5，,m≥2，）)∴2≤m≤4。19．（本小題滿分12分）已知集合A＝{x｜－1〈x<3｝，B＝｛x｜x≤m－1或x≥m＋1}．（1）當(dāng)m＝0時,求A∩B；(2）若p:－1<x〈3，q：x≤m－1或x≥m＋1，且q是p的必要不充分條件,求實數(shù)m的取值范圍．解(1）當(dāng)m＝0時,B＝{x｜x≤－1或x≥1}，又A＝｛x｜－1〈x〈3｝，所以A∩B＝{x|1≤x<3｝．（2）因為p：－1〈x<3，q:x≤m－1或x≥m＋1。q是p的必要不充分條件，所以m－1≥3或m＋1≤－1，所以m≤－2或m≥4.20．（本小題滿分12分)求關(guān)于x的方程ax2＋2x＋1＝0的實數(shù)根中有且只有一個負實數(shù)根的充要條件．解若方程ax2＋2x＋1＝0有且僅有一個負實數(shù)根,則:當(dāng)a＝0時，x＝－eq\f(1，2），符合題意．當(dāng)a≠0時，方程ax2＋2x＋1＝0有實數(shù)根,則Δ＝4－4a≥0,解得a≤1，當(dāng)a＝1時，方程有且僅有一個負實數(shù)根x＝－1，當(dāng)a〈1且a≠0時,若方程有且僅有一個負實數(shù)根，則eq\f(1,a)〈0，即a〈0。又以上過程均可逆，所以方程ax2＋2x＋1＝0有且僅有一個負實數(shù)根”的充要條件為“a≤0或a＝1”．21．（本小題滿分12分)設(shè)a，b，c為△ABC的三邊，求證：方程x2＋2ax＋b2＝0與x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要條件是∠A＝90°。證明必要性：方程x2＋2ax＋b2＝0與x2＋2cx－b2＝0有公共根ξ，則eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（ξ2＋2aξ＋b2＝0，,ξ2＋2cξ－b2＝0)）?ξ＝eq\f（－b2，a－c）＝eq\f（b2,c－a)?！鄀q\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(b2，c－a)））2＋2c·eq\f(b2,c－a)－b2＝0?a2＝b2＋c2，∴∠A＝90°。充分性:若∠A＝90°，則a2＝b2＋c2，解方程x2＋2ax＋b2＝0得x＝eq\f（－2a±\r（4a2－4b2）,2）＝－a±c，解方程x2＋2cx－b2＝0得x＝eq\f（－2c±\r（4c2＋4b2）,2)＝－c±a，得x0＝－a－c是方程的公共根．綜上可知,方程x2＋2ax＋b2＝0與x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要條件是∠A＝90°.22．(本小題滿分12分)已知兩個關(guān)于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0和x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，其中m∈Z，求這兩個方程的根均為整數(shù)的充要條件．解∵mx2－4x＋4＝0是一元二次方程,∴m≠0.又另一方程為x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，且兩方程都有實根,∴eq\b\lc\｛\rc\