2020高中數(shù)學 第1講 坐標系 4 柱坐標系與球坐標系簡介學案 4-4

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE10-學必求其心得，業(yè)必貴于專精四柱坐標系與球坐標系簡介學習目標：1.了解柱坐標系、球坐標系的意義，能用柱坐標系、球坐標系刻畫簡單問題中的點的位置．(重點）2。知道柱坐標、球坐標與空間直角坐標的互化關系與公式，并用于解題．（難點、易錯點)教材整理1柱坐標系閱讀教材P16~P17“思考”及以上部分,完成下列問題．一般地，如圖，建立空間直角坐標系Oxyz。設P是空間任意一點．它在Oxy平面上的射影為Q，用（ρ，θ)（ρ≥0,0≤θ〈2π)表示點Q在平面Oxy上的極坐標，這時點P的位置可用有序數(shù)組（ρ，θ,z)（z∈R）表示．這樣，我們建立了空間的點與有序數(shù)組（ρ，θ，z)之間的一種對應關系．把建立上述對應關系的坐標系叫做柱坐標系，有序數(shù)組（ρ，θ，z)叫做點P的柱坐標，記作P（ρ，θ，z)，其中ρ≥0,0≤θ<2π，－∞＜Z＜＋∞。已知點A的柱坐標為(1,0，1），則點A的直角坐標為(）A．（1，1，0） B．(1，0,1）C．（0，1，1) D．(1，1,1)[解析]∵x＝ρcosθ＝1，y＝ρsinθ＝0,z＝1，∴直角坐標為(1,0,1），故選B。[答案］B教材整理2球坐標系閱讀教材P17～P18，完成下列問題．一般地，如圖,建立空間直角坐標系Oxyz。設P是空間任意一點，連接OP，記｜OP｜＝r，OP與Oz軸正向所夾的角為φ.設P在Oxy平面上的射影為Q，Ox軸按逆時針方向旋轉到OQ時所轉過的最小正角為θ。這樣點P的位置就可以用有序數(shù)組（r，φ,θ）表示．這樣，空間的點與有序數(shù)組（r，φ，θ）之間建立了一種對應關系．把建立上述對應關系的坐標系叫做球坐標系(或空間極坐標系),有序數(shù)組（r，φ,θ)叫做點P的球坐標,記做P(r，φ，θ），其中r≥0，0≤φ≤π，0≤θ＜2π。已知點A的球坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（3，\f（π，2）,\f(π,2）))，則點A的直角坐標為（)A．（3,0,0） B．(0，3,0)C．（0，0，3) D．（3,3，0)[解析］∵x＝3×sineq\f(π，2）×coseq\f（π,2）＝0,y＝3×sineq\f（π,2）×sineq\f（π，2)＝3，z＝3×coseq\f(π,2)＝0,∴直角坐標為(0,3,0）．故選B.[答案］B點的柱坐標與直角坐標互化【例1】(1）設點M的直角坐標為（1,1，1），求它的柱坐標系中的坐標；（2)設點N的柱坐標為（π，π，π),求它的直角坐標．[思路探究]（1）已知直角坐標系中的直角坐標化為柱坐標，利用公式eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，，y＝ρsinθ，，z＝z，)）求出ρ，θ即可．（2)已知柱坐標系中的柱坐標化為直角坐標，利用公式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ,，y＝ρsinθ，,z＝z，))求出x，y，z即可．[自主解答]（1）設M的柱坐標為（ρ，θ，z），則由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（1＝ρcosθ，，1＝ρsinθ,,z＝1，）)解之得，ρ＝eq\r（2)，θ＝eq\f(π,4),因此，點M的柱坐標為eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\r（2），\f（π，4),1)）.（2）設N的直角坐標為(x，y，z)，則由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝ρcosθ,，y＝ρsinθ，,z＝z，))得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝πcosπ，，y＝πsinπ，，z＝π，))∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝－π，,y＝0，，z＝π，))因此，點N的直角坐標為（－π，0，π)．1．由直角坐標系中的直角坐標求柱坐標，可以先設出點M的柱坐標為（ρ，θ，z)，代入變換公式eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝ρcosθ，，y＝ρsinθ，,z＝z，）)求ρ；也可以利用ρ2＝x2＋y2，求ρ.利用tanθ＝eq\f(y,x)，求θ,在求θ的時候特別注意角θ所在的象限，從而確定θ的取值．2．點的柱坐標和直角坐標的豎坐標相同．1．根據(jù)下列點的柱坐標，分別求直角坐標：(1）eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（2,\f(5π，6)，3）)；(2）eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\r（2)，\f(3π，4)，2))。［解］設點的直角坐標為（x,y,z）．(1）eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ＝2cos\f（5π，6）＝－\r（3)，,y＝ρsinθ＝2sin\f(5π，6）＝1，，z＝3，))因此所求點的直角坐標為(－eq\r(3)，1，3）．(2)eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝ρcosθ＝\r(2)cos\f(3π，4)＝－1,，y＝ρsinθ＝\r(2)sin\f(3π,4）＝1,,z＝2，))因此所求點的直角坐標為（－1，1,2）。將點的球坐標化為直角坐標【例2】已知點M的球坐標為eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(2，\f(3，4)π，\f(3，4）π)),求它的直角坐標．［思路探究］eq\x（球坐標）eq\o（→,\s\up14（x＝rsinφcosθ，y＝rsinφsinθ，）,\s\do14(z＝rcosφ))eq\x（直角坐標)[自主解答］設點的直角坐標為(x,y,z），則eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝2sin\f（3，4)πcos\f(3,4）π＝2×\f(\r(2)，2）×\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(\r（2），2)））＝－1，，y＝2sin\f（3，4）πsin\f(3,4）π＝2×\f(\r(2)，2)×\f(\r（2),2）＝1,,z＝2cos\f(3,4）π＝2×\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（\r（2）,2）)）＝－\r(2），））因此點M的直角坐標為(－1,1，－eq\r（2))．1．根據(jù)球坐標系的意義以及與空間直角坐標系的聯(lián)系，首先要明確點的球坐標(r，φ，θ）中角φ，θ的邊與數(shù)軸Oz，Ox的關系，注意各自的限定范圍,即0≤φ≤π，0≤θ<2π。2．化點的球坐標(r，φ，θ)為直角坐標（x，y，z）,需要運用公式eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝rsinφcosθ，，y＝rsinφsinθ,,z＝rcosφ，))轉化為三角函數(shù)的求值與運算．2．若例2中“點M的球坐標改為Meq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（3，\f（5，6）π，\f(5，3）π））",試求點M的直角坐標．［解]設M的直角坐標為(x，y，z)，則eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝rsinφcosθ＝3sin\f(5π,6)cos\f（5π，3）＝\f（3,4），，y＝rsinφsinθ＝3sin\f（5π,6)sin\f(5π,3)＝－\f（3\r(3）,4），，z＝rcosφ＝3cos\f（5π,6)＝－\f(3\r(3），2），)）∴因此M的直角坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(3,4)，－\f(3\r（3），4），－\f（3\r（3),2）)).空間點的直角坐標化為球坐標【例3】已知長方體ABCD-A1B1C1D1中，底面正方形ABCD的邊長為1,棱AA1的長為eq\r（2),如圖所示,建立空間直角坐標系Axyz，Ax為極軸,求點C1的直角坐標和球坐標．[思路探究］先確定C1的直角坐標，再根據(jù)空間直角坐標系與球坐標系的聯(lián)系,計算球坐標．[自主解答］點C1的直角坐標為(1，1，eq\r(2））．設C1的球坐標為（r,φ，θ),其中r≥0，0≤φ≤π,0≤θ<2π，由x＝rsinφcosθ，y＝rsinφsinθ，z＝rcosφ，得r＝eq\r(x2＋y2＋z2)＝eq\r（12＋\r(2)2＋12）＝2。由z＝rcosφ,∴cosφ＝eq\f(\r(2),2),φ＝eq\f（π，4）,又tanθ＝eq\f(y,x）＝1，∴θ＝eq\f（π,4),從而點C1的球坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π，4），\f(π,4）))。1．由直角坐標化為球坐標時，我們可以設點M的球坐標為(r，φ，θ)，再利用變換公式eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝rsinφcosθ，，y＝rsinφsinθ，,z＝rcosφ））求出r,θ，φ.2．利用r2＝x2＋y2＋z2，tanθ＝eq\f(y，x)，cosφ＝eq\f（z，r），特別注意由直角坐標求球坐標時，應首先看明白點所在的象限，準確取值，才能無誤．3．若本例中條件不變,求點C的柱坐標和球坐標．[解］易知C的直角坐標為(1，1，0）．設點C的柱坐標為（ρ，θ，0），球坐標為(r，φ，θ），其中0≤φ≤π，0≤θ〈2π。(1）由于ρ＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r（12＋12)＝eq\r（2）。又tanθ＝eq\f（y,x)＝1，∴θ＝eq\f(π,4），因此點C的柱坐標為eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\r（2)，\f(π，4），0)）。(2）由于r＝eq\r（x2＋y2＋z2）＝eq\r（12＋12＋0）＝eq\r(2)。又cosφ＝eq\f(z,r)＝0，∴φ＝eq\f（π,2).又tanθ＝eq\f(y,x）＝1,∴θ＝eq\f(π，4），故點C的球坐標為eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\r(2)，\f（π,2)，\f(π,4）））.柱、球坐標系—eq\b\lc\｜\rc\(\a\vs4\al\co1（—\x(柱坐標系），—\x(球坐標系）,-\x（柱坐標、球坐標的互化）））1．在空間直角坐標系中，點P的柱坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（2，\f(π,4），3）)，P在xOy平面上的射影為Q，則Q點的坐標為()A．(2，0,3） B。eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（2，\f（π，4)，0))C。eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\r（2），\f(π,4），3）) D．(eq\r(2)，eq\f（π,4),0)［解析］由點的空間柱坐標的意義可知，選B.［答案]B2．柱坐標Peq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(16,\f（π，3)，5)）轉換為直角坐標為(）A．(5,8，8eq\r（3)） B．（8,8eq\r(3），5）C．(8eq\r（3)，8,5) D．（4，8eq\r（3)，5）[解析］由公式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ,z＝z，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝16cos\f(π,3）＝8，，y＝16sin\f(π,3)＝8\r（3），,z＝5，）)即P點的直角坐標為(8,8eq\r(3)，5）．[答案]B3．已知一個點的球坐標為eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（2，\f（3π,4），\f（π，4）)），則它的高低角為()A．－eq\f（π，4） B.eq\f（3π,4)C.eq\f（π，2) D。eq\f(π,3)[解析］∵φ＝eq\f(3π,4)，∴它的高低角為eq\f(π,2)－φ＝－eq\f(π,4）。[答案］A4．設點M的直角坐標為（1，1，eq\r（2)），則點M的柱坐標為________,球坐標為________．［解析]由坐標變換公式，可得ρ＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r（2)，tanθ＝eq\f(y,x）＝1，θ＝eq\f(π，4)（點(1，1)在平面xOy的第一象限），r＝eq\r(x2＋y2＋z2)＝eq\r（12＋12＋\r（2）2）＝2。由rcosφ＝z＝eq\r（2）,得cosφ＝eq\f（\r(2),r)＝eq\f(\r(2）,2)，φ＝eq\f(π，4）?！帱cM的柱坐標為eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\r(2)，\f（π,4)，\r（2）)）,球坐標為eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(2，\f(π，4)，\f(π，4))）。[答案］eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\r(2），\f（π,4)，\r（2）))eq\b\lc\（\r