2020高中數(shù)學(xué) 第1章 常用邏輯用語 1.4 全稱量詞與存在量詞學(xué)案 2-1

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE15-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1.4全稱量詞與存在量詞學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1。通過生活和數(shù)學(xué)中的豐富實例,理解全稱量詞與存在量詞的意義以及全稱命題和特稱命題的意義。2.掌握全稱命題與特稱命題真假性的判定．（重點、難點）3。能正確地對含有一個量詞的命題進(jìn)行否定．(重點、易混點）1。通過全稱量詞、存在量詞以及全稱命題、特稱命題相關(guān)概念的學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).2.借助相關(guān)命題的真假判斷及由命題的真假求參數(shù)，提升學(xué)生的邏輯推理及數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)。1．全稱量詞與全稱命題(1)短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“"表示．（2)含有全稱量詞的命題叫做全稱命題，通常將含有變量x的語句用p（x），q（x)，r(x)，…表示，變量x的取值范圍用M表示，那么全稱命題“對M中任意一個x，有p（x)成立”可用符號簡記為x∈M，p(x)．2．存在量詞與特稱命題（1)短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“”表示．(2）含有存在量詞的命題，叫做特稱命題,特稱命題“存在M中的元素x0，使p（x0）成立”,可用符號簡記為“x0∈M，p（x0）”．思考:(1)“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有實數(shù)解”是特稱命題還是全稱命題？請改寫成相應(yīng)命題的形式．（2)“不等式(m＋1）x2－（m－1）x＋3（m－1）〈0對任意實數(shù)x恒成立"是特稱命題還是全稱命題?請改寫成相應(yīng)命題的形式．[提示]（1）是特稱命題,可改寫為“存在x0∈R,使axeq\o\al（2,0）＋2x0＋1＝0”．(2)是全稱命題，可改寫成：“x∈R，（m＋1)x2－（m－1）x＋3（m－1）<0”．3．含有一個量詞的命題的否定一般地，對于含有一個量詞的全稱命題的否定，有下面的結(jié)論：全稱命題p：x∈M，p(x)，它的否定?p:x0∈M,?p(x0)；特稱命題p:x0∈M，p(x0)，它的否定?p：x∈M,?p（x)．全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題．1．下列命題中全稱命題的個數(shù)是（）①任意一個自然數(shù)都是正整數(shù)；②所有的素數(shù)都是奇數(shù)；③有的等差數(shù)列也是等比數(shù)列；④三角形的內(nèi)角和是180°.A．0 B．1C．2 D．3D［命題①②含有全稱量詞，而命題④可以敘述為“每一個三角形的內(nèi)角和都是180°”，故有三個全稱命題．]2．下列命題中特稱命題的個數(shù)是（）①至少有一個偶數(shù)是質(zhì)數(shù)；②x0∈R，log2x0＞0；③有的向量方向不確定．A．0 B．1C．2 D．3D［①中含有存在量詞“至少",所以是特稱命題；②中含有存在量詞符號“"，所以是特稱命題;③中含有存在量詞“有的"，所以是特稱命題．]3．命題p：“存在實數(shù)m,使方程x2＋mx＋1＝0有實數(shù)根”，則“?p”形式的命題是()A．存在實數(shù)m,使方程x2＋mx＋1＝0無實根B．不存在實數(shù)m，使方程x2＋mx＋1＝0無實根C．對任意的實數(shù)m，方程x2＋mx＋1＝0無實根D．至多有一個實數(shù)m,使方程x2＋mx＋1＝0有實根［答案］C4．下列四個命題中的真命題為（）A．x0∈Z，1〈4x0<3 B．x0∈Z，5x0＋1＝0C．x∈R，x2－1＝0 D．x∈R，x2＋x＋2>0D［當(dāng)x∈R時，x2＋x＋2＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（x＋\f（1,2）))eq\s\up20(2）＋eq\f(7，4)>0,故選D.]全稱命題和特稱命題的概念及真假判斷【例1】指出下列命題是全稱命題還是特稱命題，并判斷它們的真假．(1）x∈N,2x＋1是奇數(shù)；（2）存在一個x0∈R，使eq\f(1,x0－1)＝0;（3）能被5整除的整數(shù)末位數(shù)是0；(4）有一個角α，使sinα〉1。［解](1）是全稱命題，因為x∈N，2x＋1都是奇數(shù)，所以該命題是真命題．（2）是特稱命題．因為不存在x0∈R，使eq\f(1,x0－1)＝0成立,所以該命題是假命題．（3)是全稱命題．因為25能被5整除,但末位數(shù)不是0，因此該命題是假命題．（4）是特稱命題，因為α∈R，sinα∈［－1，1］，所以該命題是假命題．1．判斷命題是全稱命題還是特稱命題的方法（1)分析命題中是否含有量詞；(2)分析量詞是全稱量詞還是存在量詞；（3）若命題中不含量詞，要根據(jù)命題的意義去判斷．2．全稱命題與特稱命題真假的判斷方法(1)要判定全稱命題“x∈M，p(x)”是真命題，需要對集合M中每個元素x，證明p(x）都成立；如果在集合M中找到一個元素x0，使得p（x0)不成立,那么這個全稱命題就是假命題．（2）要判定特稱命題“x0∈M，p（x0）”是真命題,只需在集合M中找到一個元素x0,使p（x0）成立即可;如果在集合M中，使p（x）成立的元素x不存在，那么這個特稱命題就是假命題．1．(1）以下四個命題既是特稱命題又是真命題的是()A．銳角三角形的內(nèi)角是銳角或鈍角B．至少有一個實數(shù)x，使x2≤0C．兩個無理數(shù)的和必是無理數(shù)D．存在一個負(fù)數(shù)x，使eq\f（1,x）〉2B[A中銳角三角形的內(nèi)角是銳角或鈍角是全稱命題;B中x＝0時，x2＝0，所以B既是特稱命題又是真命題;C中因為eq\r(3)＋(－eq\r(3））＝0，所以C是假命題；D中對于任意一個負(fù)數(shù)x,都有eq\f(1,x)<0，所以D是假命題．］(2)下列命題中，真命題是()A．x∈eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1(0,\f（π，2)）），sinx＋cosx≥2B．x∈(3,＋∞),x2>2x＋1C．x∈R，x2＋x＝－1D．x∈eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(π，2）,π)），tanx>sinxB［對于選項A，sinx＋cosx＝eq\r(2）sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(x＋\f(π，4））)≤eq\r（2)，∴此命題不成立；對于選項B，x2－2x－1＝(x－1)2－2，當(dāng)x>3時，(x－1)2－2>0,∴此命題成立；對于選項C，x2＋x＋1＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)））eq\s\up20(2）＋eq\f（3，4）〉0，∴x2＋x＝－1對任意實數(shù)x都不成立,∴此命題不成立;對于選項D，當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(π,2),π））時，tanx<0，sinx〉0,命題顯然不成立．故選B。]含有一個量詞的命題的否定【例2】(1）命題“x∈R，x2≠x”的否定是()A．xR，x2≠xB．x∈R，x2＝xC．xR，x2≠xD．x∈R,x2＝x（2）寫出下列命題的否定，并判斷其真假：①p:x∈R，x2－x＋eq\f（1，4）≥0；②p：所有的正方形都是菱形；③p：至少有一個實數(shù)x0，使xeq\o\al(3,0）＋1＝0。思路探究:先判定命題是全稱命題還是特稱命題，再針對不同的形式加以否定．（1）D[原命題的否定為x∈R,x2＝x，故選D。]（2）解:①?p：x0∈R，xeq\o\al（2，0)－x0＋eq\f(1,4）<0,假命題．因為x∈R，x2－x＋eq\f（1，4)＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2）)）eq\s\up20(2）≥0恒成立．②?p：至少存在一個正方形不是菱形，假命題．③?p：x∈R，x3＋1≠0，假命題．因為x＝－1時，x3＋1＝0。對全稱命題和特稱命題進(jìn)行否定的步驟與方法（1）確定類型：是特稱命題還是全稱命題．（2)改變量詞：把全稱量詞換為恰當(dāng)?shù)拇嬖诹吭~;把存在量詞換為恰當(dāng)?shù)娜Q量詞．(3)否定結(jié)論：原命題中“是”“有"“存在”“成立”等改為“不是”“沒有”“不存在”“不成立"等．提醒：無量詞的全稱命題要先補回量詞再否定．2．（1）命題“x0∈（0，＋∞），lnx0＝x0－1"的否定是（）A．x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1B．x（0，＋∞）,lnx＝x－1C．x0∈（0,＋∞)，lnx0≠x0－1D．x0(0，＋∞），lnx0＝x0－1A[特稱命題的否定是全稱命題，故原命題的否定是x∈(0，＋∞），lnx≠x－1.］(2）寫出下列命題的否定，并判斷其真假．①p：不論m取何實數(shù),方程x2＋x－m＝0必有實數(shù)根；②q：存在一個實數(shù)x0,使得xeq\o\al(2，0)＋x0＋1≤0;③r：等圓的面積相等,周長相等；④s：對任意角α,都有sin2α＋cos2α＝1。［解]①這一命題可以表述為p：“對所有的實數(shù)m，方程x2＋x－m＝0有實數(shù)根”,其否定形式是?p：“存在實數(shù)m，使得x2＋x－m＝0沒有實數(shù)根”．注意到當(dāng)Δ＝1＋4m＜0時，即m＜－eq\f(1，4）時，一元二次方程沒有實數(shù)根,所以?p是真命題．②這一命題的否定形式是?q：“對所有的實數(shù)x,都有x2＋x＋1＞0"，利用配方法可以證得?q是真命題．③這一命題的否定形式是?r:“存在一對等圓，其面積不相等或周長不相等”，由平面幾何知識知?r是假命題．④這一命題的否定形式是?s：“存在α∈R,sin2α＋cos2α≠1”,由于命題s是真命題，所以?s由全稱（特稱）命題的真假確定參數(shù)的范圍[探究問題]1．若含參數(shù)的命題p是假命題，如何求參數(shù)的取值范圍?[提示］先求?p，再求參數(shù)的取值范圍．2．全稱命題和特稱命題與恒成立問題和存在性問題有怎樣的對應(yīng)關(guān)系？[提示］全稱命題與恒成立問題對應(yīng)，特稱命題與存在性問題對應(yīng)．【例3】(1）若命題p“x∈R，2x2－3ax＋9〈0”為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是________．(2）已知命題p：x∈R，9x－3x－a＝0，若命題p是真命題，求實數(shù)a的取值范圍．思路探究:（1）先求?p，再求參數(shù)的取值范圍．（2）令3x＝t,看作一元二次方程有解問題．（1)－2eq\r（2),2eq\r（2)[?p：x∈R,2x2－3ax＋9≥0為真命題．則Δ＝9a2－72≤0,解得－2eq\r(2）≤a≤2eq\r(2）。](2）解:設(shè)3x＝t，由于x∈R，則t∈(0，＋∞)，則9x－3x－a＝0?a＝（3x）2－3x?a＝t2－t，t∈（0，＋∞），設(shè)f（t）＝t2－t，t∈（0，＋∞)，則f（t）＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(t－\f（1，2）））eq\s\up20(2)－eq\f(1,4），當(dāng)t＝eq\f(1,2)時,f(t)min＝－eq\f（1,4），則函數(shù)f(t)的值域是eq\b\lc\［\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f(1，4），＋∞）),所以實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\［\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（1，4)，＋∞）)。1．若將本例題(2）條件“x∈R"，改為“x∈［0，1]”，其他條件不變，試求實數(shù)a的取值范圍．[解]設(shè)3x＝t,x∈[0，1]，∴t∈［1，3]．a(chǎn)＝t2－t，∵t2－t＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f（1,2）))eq\s\up20(2）－eq\f（1，4）,∴a＝t2－t在t∈［1，3］上單調(diào)遞增．∴t2－t∈eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1（0，6））。即a的取值范圍是eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1(0，6))。2。將本例題（2)換為“x∈eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1（0,\f（π,4）)），tanx≤m是真命題”，試求m的最小值．［解]由已知可得m≥tanxeq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（x∈\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1（0,\f(π，4)））））恒成立．設(shè)f（x)＝tanxeq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(x∈\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1（0，\f(π,4)））))，顯然該函數(shù)為增函數(shù),故f（x）的最大值為feq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（π，4））)＝taneq\f(π，4）＝1，由不等式恒成立可得m≥1，即實數(shù)m的最小值為1。應(yīng)用全稱命題與特稱命題求參數(shù)范圍的兩類題型(1)全稱命題的常見題型是“恒成立”問題,全稱命題為真時,意味著命題對應(yīng)的集合中的每一個元素都具有某種性質(zhì)，所以可以利用代入體現(xiàn)集合中相應(yīng)元素的具體性質(zhì)中求解;也可以根據(jù)函數(shù)等數(shù)學(xué)知識來解決．(2）特稱命題的常見題型是以適合某種條件的結(jié)論“存在”“不存在"“是否存在"等語句表述．解答這類問題，一般要先對結(jié)論作出肯定存在的假設(shè)，然后從肯定的假設(shè)出發(fā)，結(jié)合已知條件進(jìn)行推理證明，若推出合理的結(jié)論，則存在性隨之解決；若導(dǎo)致矛盾,則否定了假設(shè)．1．利用含量詞的命題的真假求參數(shù)取值范圍的技巧（1）轉(zhuǎn)化為恒成立問題：含參數(shù)的全稱命題為真時,常轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題來處理，最終通過構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題．（2）轉(zhuǎn)化為方程或不等式有解問題：含參數(shù)的特稱命題為真時，常轉(zhuǎn)化為方程或不等式有解問題來處理,最終借助根的判別式或函數(shù)等相關(guān)知識獲得解決．2．對含有全稱量詞的命題進(jìn)行否定需兩步操作：第一步，將全稱量詞改寫成存在量詞，即將“任意”改為“存在”；第二步，將結(jié)論加以否定,如：將“≥"否定為“＜”．3．對含有存在量詞的命題進(jìn)行否定需兩步操作：第一步，將存在量詞改寫成全稱量詞；第二步，將結(jié)論加以否定．含有存在量詞的命題的否定是含有全稱量詞的命題．注意命題中可能省略了全稱或存在意義的量詞,要注意判斷。1．下列命題中是全稱命題,且為假命題的是