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文檔簡介
2023高考數(shù)學模擬試卷注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.把函數(shù)的圖象向右平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象,若函數(shù)是偶函數(shù),則實數(shù)的最小值是()A. B. C. D.2.函數(shù),,的部分圖象如圖所示,則函數(shù)表達式為()A. B.C. D.3.已知函數(shù),其中表示不超過的最大正整數(shù),則下列結(jié)論正確的是()A.的值域是 B.是奇函數(shù)C.是周期函數(shù) D.是增函數(shù)4.已知直線過雙曲線C:的左焦點F,且與雙曲線C在第二象限交于點A,若(O為坐標原點),則雙曲線C的離心率為A. B. C. D.5.若點x,y位于由曲線x=y-2+1與x=3圍成的封閉區(qū)域內(nèi)(包括邊界),則A.-3,1 B.-3,5 C.-∞,-36.如圖,在三棱錐中,平面,,現(xiàn)從該三棱錐的個表面中任選個,則選取的個表面互相垂直的概率為()A. B. C. D.7.已知函數(shù),若函數(shù)的所有零點依次記為,且,則()A. B. C. D.8.的圖象如圖所示,,若將的圖象向左平移個單位長度后所得圖象與的圖象重合,則可取的值的是()A. B. C. D.9.如圖,在直三棱柱中,,,點分別是線段的中點,,分別記二面角,,的平面角為,則下列結(jié)論正確的是()A. B. C. D.10.將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度后,得到的圖像關(guān)于坐標原點對稱,則的最小值為()A. B. C. D.11.已知集合(),若集合,且對任意的,存在使得,其中,,則稱集合A為集合M的基底.下列集合中能作為集合的基底的是()A. B. C. D.12.如圖是二次函數(shù)的部分圖象,則函數(shù)的零點所在的區(qū)間是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.曲線y=e-5x+2在點(0,3)處的切線方程為________.14.袋中裝有兩個紅球、三個白球,四個黃球,從中任取四個球,則其中三種顏色的球均有的概率為________.15.已知函數(shù),若關(guān)于的方程在定義域上有四個不同的解,則實數(shù)的取值范圍是_______.16.已知是拋物線的焦點,過作直線與相交于兩點,且在第一象限,若,則直線的斜率是_________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,直三棱柱中,分別是的中點,.(1)證明:平面;(2)求二面角的余弦值.18.(12分)記函數(shù)的最小值為.(1)求的值;(2)若正數(shù),,滿足,證明:.19.(12分)在中,內(nèi)角的對邊分別是,滿足條件.(1)求角;(2)若邊上的高為,求的長.20.(12分)的內(nèi)角、、所對的邊長分別為、、,已知.(1)求的值;(2)若,點是線段的中點,,求的面積.21.(12分)如圖1,與是處在同-個平面內(nèi)的兩個全等的直角三角形,,,連接是邊上一點,過作,交于點,沿將向上翻折,得到如圖2所示的六面體(1)求證:(2)設(shè)若平面底面,若平面與平面所成角的余弦值為,求的值;(3)若平面底面,求六面體的體積的最大值.22.(10分)如圖,已知正方形所在平面與梯形所在平面垂直,BM∥AN,,,.(1)證明:平面;(2)求點N到平面CDM的距離.
2023學年模擬測試卷參考答案(含詳細解析)一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.A【答案解析】
先求出的解析式,再求出的解析式,根據(jù)三角函數(shù)圖象的對稱性可求實數(shù)滿足的等式,從而可求其最小值.【題目詳解】的圖象向右平移個單位長度,所得圖象對應的函數(shù)解析式為,故.令,,解得,.因為為偶函數(shù),故直線為其圖象的對稱軸,令,,故,,因為,故,當時,.故選:A.【答案點睛】本題考查三角函數(shù)的圖象變換以及三角函數(shù)的圖象性質(zhì),注意平移變換是對自變量做加減,比如把的圖象向右平移1個單位后,得到的圖象對應的解析式為,另外,如果為正弦型函數(shù)圖象的對稱軸,則有,本題屬于中檔題.2.A【答案解析】
根據(jù)圖像的最值求出,由周期求出,可得,再代入特殊點求出,化簡即得所求.【題目詳解】由圖像知,,,解得,因為函數(shù)過點,所以,,即,解得,因為,所以,.故選:A【答案點睛】本題考查根據(jù)圖像求正弦型函數(shù)的解析式,三角函數(shù)誘導公式,屬于基礎(chǔ)題.3.C【答案解析】
根據(jù)表示不超過的最大正整數(shù),可構(gòu)建函數(shù)圖象,即可分別判斷值域、奇偶性、周期性、單調(diào)性,進而下結(jié)論.【題目詳解】由表示不超過的最大正整數(shù),其函數(shù)圖象為選項A,函數(shù),故錯誤;選項B,函數(shù)為非奇非偶函數(shù),故錯誤;選項C,函數(shù)是以1為周期的周期函數(shù),故正確;選項D,函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),但在整個定義域范圍上不具備單調(diào)性,故錯誤.故選:C【答案點睛】本題考查對題干的理解,屬于函數(shù)新定義問題,可作出圖象分析性質(zhì),屬于較難題.4.B【答案解析】
直線的傾斜角為,易得.設(shè)雙曲線C的右焦點為E,可得中,,則,所以雙曲線C的離心率為.故選B.5.D【答案解析】
畫出曲線x=y-2+1與x=3圍成的封閉區(qū)域,y+1x-2表示封閉區(qū)域內(nèi)的點(x,y)【題目詳解】畫出曲線x=y-2+1與y+1x-2表示封閉區(qū)域內(nèi)的點(x,y)和定點P(2,-1)設(shè)k=y+1x-2,結(jié)合圖形可得k≥k由題意得點A,B的坐標分別為A(3,0),B(1,2),∴kPA∴k≥1或k≤-3,∴y+1x-2的取值范圍為-∞,-3故選D.【答案點睛】解答本題的關(guān)鍵有兩個:一是根據(jù)數(shù)形結(jié)合的方法求解問題,即把y+1x-26.A【答案解析】
根據(jù)線面垂直得面面垂直,已知平面,由,可得平面,這樣可確定垂直平面的對數(shù),再求出四個面中任選2個的方法數(shù),從而可計算概率.【題目詳解】由已知平面,,可得,從該三棱錐的個面中任選個面共有種不同的選法,而選取的個表面互相垂直的有種情況,故所求事件的概率為.故選:A.【答案點睛】本題考查古典概型概率,解題關(guān)鍵是求出基本事件的個數(shù).7.C【答案解析】
令,求出在的對稱軸,由三角函數(shù)的對稱性可得,將式子相加并整理即可求得的值.【題目詳解】令,得,即對稱軸為.函數(shù)周期,令,可得.則函數(shù)在上有8條對稱軸.根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知,將以上各式相加得:故選:C.【答案點睛】本題考查了三角函數(shù)的對稱性,考查了三角函數(shù)的周期性,考查了等差數(shù)列求和.本題的難點是將所求的式子拆分為的形式.8.B【答案解析】
根據(jù)圖象求得函數(shù)的解析式,即可得出函數(shù)的解析式,然后求出變換后的函數(shù)解析式,結(jié)合題意可得出關(guān)于的等式,即可得出結(jié)果.【題目詳解】由圖象可得,函數(shù)的最小正周期為,,,則,,取,,則,,,可得,當時,.故選:B.【答案點睛】本題考查利用圖象求函數(shù)解析式,同時也考查了利用函數(shù)圖象變換求參數(shù),考查計算能力,屬于中等題.9.D【答案解析】
過點作,以為原點,為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標系,利用向量法求解二面角的余弦值得答案.【題目詳解】解:因為,,所以,即過點作,以為原點,為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標系,則,0,,,,,,0,,,1,,,,,,,設(shè)平面的法向量,則,取,得,同理可求平面的法向量,平面的法向量,平面的法向量.,,..故選:D.【答案點睛】本題考查二面角的大小的判斷,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,屬于中檔題.10.B【答案解析】
由余弦的二倍角公式化簡函數(shù)為,要想在括號內(nèi)構(gòu)造變?yōu)檎液瘮?shù),至少需要向左平移個單位長度,即為答案.【題目詳解】由題可知,對其向左平移個單位長度后,,其圖像關(guān)于坐標原點對稱故的最小值為故選:B【答案點睛】本題考查三角函數(shù)圖象性質(zhì)與平移變換,還考查了余弦的二倍角公式逆運用,屬于簡單題.11.C【答案解析】
根據(jù)題目中的基底定義求解.【題目詳解】因為,,,,,,所以能作為集合的基底,故選:C【答案點睛】本題主要考查集合的新定義,還考查了理解辨析的能力,屬于基礎(chǔ)題.12.B【答案解析】
根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱軸得出范圍,軸截距,求出的范圍,判斷在區(qū)間端點函數(shù)值正負,即可求出結(jié)論.【題目詳解】∵,結(jié)合函數(shù)的圖象可知,二次函數(shù)的對稱軸為,,,∵,所以在上單調(diào)遞增.又因為,所以函數(shù)的零點所在的區(qū)間是.故選:B.【答案點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及函數(shù)的零點,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13..【答案解析】
先利用導數(shù)求切線的斜率,再寫出切線方程.【題目詳解】因為y′=-5e-5x,所以切線的斜率k=-5e0=-5,所以切線方程是:y-3=-5(x-0),即y=-5x+3.故答案為y=-5x+3.【答案點睛】(1)本題主要考查導數(shù)的幾何意義和函數(shù)的求導,意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)函數(shù)在點處的導數(shù)是曲線在處的切線的斜率,相應的切線方程是14.【答案解析】
基本事件總數(shù)n126,其中三種顏色的球都有包含的基本事件個數(shù)m72,由此能求出其中三種顏色的球都有的概率.【題目詳解】解:袋中有2個紅球,3個白球和4個黃球,從中任取4個球,基本事件總數(shù)n126,其中三種顏色的球都有,可能是2個紅球,1個白球和1個黃球或1個紅球,2個白球和1個黃球或1個紅球,1個白球和2個黃球,所以包含的基本事件個數(shù)m72,∴其中三種顏色的球都有的概率是p.故答案為:.【答案點睛】本題考查概率的求法,考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,是基礎(chǔ)題.15.【答案解析】
由題意可在定義域上有四個不同的解等價于關(guān)于原點對稱的函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個交點,運用參變分離和構(gòu)造函數(shù),進而借助導數(shù)分析單調(diào)性與極值,畫出函數(shù)圖象,即可得到所求范圍.【題目詳解】已知定義在上的函數(shù)若在定義域上有四個不同的解等價于關(guān)于原點對稱的函數(shù)與函數(shù)f(x)=lnx-x(x>0)的圖象有兩個交點,聯(lián)立可得有兩個解,即可設(shè),則,進而且不恒為零,可得在單調(diào)遞增.由可得時,單調(diào)遞減;時,單調(diào)遞增,即在處取得極小值且為作出的圖象,可得時,有兩個解.故答案為:【答案點睛】本題考查利用利用導數(shù)解決方程的根的問題,還考查了等價轉(zhuǎn)化思想與函數(shù)對稱性的應用,屬于難題.16.【答案解析】
作出準線,過作準線的垂線,利用拋物線的定義把拋物線點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為點到準線的距離,利用平面幾何知識計算出直線的斜率.【題目詳解】設(shè)是準線,過作于,過作于,過作于,如圖,則,,∵,∴,∴,∴,,∴,∴直線斜率為.故答案為:.【答案點睛】本題考查拋物線的焦點弦問題,解題關(guān)鍵是利用拋物線的定義,把拋物線上點到焦點距離轉(zhuǎn)化為該點到準線的距離,用平面幾何方法求解.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)證明見解析(2)【答案解析】
(1)連接交于點,由三角形中位線定理得,由此能證明平面.(2)以為坐標原點,的方向為軸正方向,的方向為軸正方向,的方向為軸正方向,建立空間直角坐標系.分別求出平面的法向量和平面的法向量,利用向量法能求出二面角的余弦值.【題目詳解】證明:證明:連接交于點,則為的中點.又是的中點,連接,則.因為平面,平面,所以平面.(2)由,可得:,即所以又因為直棱柱,所以以點為坐標原點,分別以直線為軸、軸、軸,建立空間直角坐標系,則,設(shè)平面的法向量為,則且,可解得,令,得平面的一個法向量為,同理可得平面的一個法向量為,則所以二面角的余弦值為.【答案點睛】本題主要考查直線與平面平行、二面角的概念、求法等知識,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.18.(1)(2)證明見解析【答案解析】
(1)將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)或利用絕對值三角不等式進行求解;(2)利用基本不等式或柯西不等式證明即可.【題目詳解】解法一:(1)當時,,當,,當時,,所以解法二:(1)如圖當時,解法三:(1)當且僅當即時,等號成立.當時解法一:(2)由題意可知,,因為,,,所以要證明不等式,只需證明,因為成立,所以原不等式成立.解法二:(2)因為,,,所以,,又因為,所以,所以,原不等式得證.補充:解法三:(2)由題意可知,,因為,,,所以要證明不等式,只需證明,由柯西不等式得:成立,所以原不等式成立.【答案點睛】本題主要考查了絕對值函數(shù)的最值求解,不等式的證明,絕對值三角不等式,基本不等式及柯西不等式的應用,考查了學生的邏輯推理和運算求解能力.19.(1).(2)【答案解析】
(1)利用正弦定理的邊角互化可得,再根據(jù),利用兩角和的正弦公式即可求解.(2)已知,由知,在中,解出即可.【題目詳解】(1)由正弦定理知由己知,而∴,(2)已知,則由知先求∴∴∴【答案點睛】本題主要考查了正弦定理解三角形、三角形的性質(zhì)、兩角和的正弦公式,需熟記定理與公式,屬于基礎(chǔ)題.20.(1)(2)【答案解析】
(1)利用正弦定理的邊化角公式,結(jié)合兩角和的正弦公式,即可得出的值;(2)由題意得出,兩邊平方,化簡得出,根據(jù)三角形面積公式,即可得出結(jié)論.【題目詳解】(1)由正弦定理得即即在中,,所以(2)因為點是線段的中點,所以兩邊平方得由得整理得,解得或(舍)所以的面積【答案點睛】本題主要考查了正弦定理的邊化角公式,三角形的面積公式,屬于中檔題.21.(1)證明見解析(2)(3)【答案解析】
根據(jù)折疊圖形,,由線面垂直的判定定理可得平面,再根據(jù)平面,得到.(2)根據(jù),以為坐標原點,為軸建立空間直角坐標系,根據(jù),可知,,表示相應點的坐標,分別求得平面與平面的法向量,代入求解.設(shè)所求幾何體的體積為,設(shè)為高,則,表示梯形BEFD和AB
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